Mở rộng t và không gian các Đạo hàm phản xứng của một số Đại số lie toàn phương 6 chiều

HO CHi MINH Nguyễn Phi Long MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN - CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA MỘT SÓ ĐẠI SÓ LIE TOÀN PHƯƠNG 6 CHIEU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 'Thành phố Hồ Chí Minh - 2012... Như chú

‘TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP HO CHi MINH

Nguyễn Phi Long

MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN - CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA MỘT SÓ ĐẠI SÓ LIE TOÀN PHƯƠNG 6 CHIEU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

'Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

“TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH Nguyễn Phi Long

MO RONG T* VA KHONG GIAN CAC DAO HAM PHAN XUNG CUA MOT SO DAI SO LIE TOAN PHƯƠNG 6 CHIEU Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Anh Vũ và TS Dương Minh Thành

Những kết quả trong luận văn này mà không được trích dẫn là những kết quả

tôi đã nghiên cứu được

Nguyễn Phi Long

Aut (V): nhém các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V

Aut g : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên g

.C : trường số phức

C*(g.V) :_ không gian các ánh xạ k tuyến tinh phản xứng từ gxgx xg vào V'

End(V) không gian các đồng cầu trên không gian vecto V

a không gian đối ngẫu của đại số Lieg «

GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực

Lie(): dai le của nhom Lie g

‘Span{X.¥) : khong gian sinh boi XY

T;(ạ): mở rộng T* của g bởi Ø

“Các không gian véctơ trong luận văn này được xét chủ yếu trên trường số phức € và hữu hạn chiều

Như chúng ta đã biết, dạng Killing là một công cụ hữu ích trong việc

nghiên cứu các đại số Lie nửa đơn nhờ tính chất đối xứng, bắt biến và không

suy biến của nó, chẳng hạn như trong chúng minh của Định lý Kostant-

Morosov trong Lý thuyết Lie Nhắc lại rằng Định lý Kostant- Morosov là định

lý đồng vai trở trung tâm trong bài toán phân loại các quỹ đạo phụ hợp của các đại số Lie cỗ điễn o(m) và sp(2n) (xem tải liệu [4] |9] để biết thêm chỉ

ie mã trên đó

tiếu Một câu hỏi đặt ra ở đây rằng liệu có tồn tại những đại

có một dạng song tuyến tính đối xứng, bắt biến và không suy biến không? Ta

gọi các đại số Lie đó là các đại sé Lie roàn phương TẤt nhiên theo Tiêu chuẩn Cartan ta chỉ xét câu hỏi này cho lớp các đại số Lie giái được và câu trả lời là có, một ví dụ cho chúng là đại số Lie kim cương g=span[Z,P,0,X] với

tích Lie được xác định: [X,P]= P, [X.Ø]=-Ø và [P.Q1=Z, dang song tuyén tính đối xứng được cho bởi 8(X,Z)= B(P.Ø)=1, các trường hợp khác bằng 0 Đây là một đại số Lie giải được bốn chiều đã được nghiên cứu khá nhiều

cương là một mở rộng T* của đại số Lie giải được không giao hoán 2 chỉ

Một lụ khác cũng khá quen thuộc trong Lý thuyết các đại số Lie như sau: cho ạ là một đại số Lie va ø' là không gian đối ngẫu của ø Biểu diễn đối phụ hợp aứ":g ¬ End(g') được định nghĩa bởi

44'(X)(Z)(V)=—/([X.Y]) với mọi X.Y c g và ƒ cg hoặc tương đương: ø#'(X)(/)=~/ =a4(X)

[E#]=[f], [X./]=44000) L/y£=0 hoặc tương đương: [X + ƒ,Y + ]=[X,Y],+ / s44 (1) =e 20d (X) Khi đồ b trở thành một đại

ie toàn phương với dang song tuyến tính

biến được định nghĩa bởi :

BX + 2Ý tø)= Ƒ(V +) Với mội X2Y cg VA fee 8"

Lưu ý rằng, có những đại số Lie không có tính chất như thế, ví dụ đại số Lie giải được 2 chiều g = span(X, Y} voi [X,Y] = Y,, đại số Lie Hersenberg 3 chiều hoặc kiểu tổng quát 2z+1 chiều, hoặc đại số Lie filiform

Câu hỏi liên quan đến sự tồn tại của các đại số Lie toàn phương đã được đặt ra từ lâu nhưng gần đây mới được quan tâm nghiên cúu khi xuất hiện 1ä một công cụ khá hữu dụng dé làm việc trên các trường hợp giải được Bản

thể tổng quát lên cho trường hợp các siêu đại số Lie toản phương [2] hoặc áp dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác [3]

Trong luận văn này chúng tôi sẽ tiếp cận các đại sé Lie toàn phương theo

hướng quen thuộc, đó là tiếp in theo hướng thấp chiều Vì mở rộng T* đối

với trường hợp 1 chiều và 2 chié khá tầm thường nên chúng tôi sẽ bắt đầu tir

ó thể xem xét nhiều trường hợp 3 chiều Cách tiếp cận này có lợi điểm 6 ct khái niệm khá phức tạp của lớp các dai s6 Lie toàn phương trên những ví dụ

giúp cho việc nghiên cứu các đại số Lie toàn phương dễ dàng hơn Một lợi

du cho lớp các đại số Lie toàn phương để từ đó hi vọng sẽ tìm thấy những đối

ai qu song song với bài toán nghiên cứu các tính chất tổng quát trong nghiên cứu

Vì các đạo hàm phản xứng đồng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu

các đại số Lie toàn phương, cụ thé li trong phương pháp mở rộng kép Do đó

trong luận văn này chúng tôi sẽ tỉnh toán một cách cụ thể không gian các đạo hàm phân xứng của các đại số Lie giải được 6 chiều thu được từ mở rộng T* của các đại số Lie giải được 3 chiều Từ những tính toán này, chúng tôi hỉ

vọng sẽ thu được toản bộ những mở rộng kép của những đại số Lic toàn

phương nay

'Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương Chương 1 chủ

yếu dành để nhắc lại một số khái niệm và những kết quả cần thiết liên quan phân loại đến đăng cấu đẳng cự các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều

đã được thực hiện trong [10| Phân loại này dựa theo phương pháp mở rộng kép (xem [9] va [I1]) khác với mở rộng T* được đề cập trong luận văn

“Chương 2 dành cho việc liệt kê trường hợp đặc biệt của mở rộng T*, đó là tích nửa trực tig của một đại số Lie giải được 3 chiều bởi biểu diễn đối phụ hợp Chương 3 sẽ giới thiệu khái niệm mớ rộng T* được đưa ra đầu tiên trong

âu Từ kế

toàn bộ các mở rộng T* của các đại số toàn phương giải được 3 chỉ

chiều như trong Chương 1 Tiếp theo của chương là những tính toán chỉ

để thu được một mô tả cụ thể không gian các đạo hàm phản xứng của các đại

số toàn phương giải được 6 chiều bắt khả phân Phản cuối của luận văn dành

để bình luận các kết quả và để xuất một vài bải toán mở

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê

Anh Vũ và TS Dương Minh Thành Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới

2 thầy Lê Anh Vũ và Dương Minh Thành Xin chân thành cám ơn các thầy Minh đã giúp đỡ tác giá nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm Phòng Khoa học Công nghệ và Sau dai học Trường Đại học Sư Phạm Tp Hé nghiệp, bạn bẻ, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm và những kết quả cần thiết liên quan đến các đại số Lie toàn phương như: định nghĩa đại số Lie, đại phân loại đến đẳng cấu đẳng cự các đại số Lie toàn phương dựa theo phương

sao cho các tiên đề sau được thỏa man:

(i) Song tuyển tính:

[ãx*4,9]=A[x.y]+Ä

[say *22»]=Ä[xw]+Ä2[x%] WAAL ES, xu

neg (i) Phản xứng: [x,+]=0,Y+€ 8

(iii) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi

*IIy.zl.xl*ls.xl,y

Số chiều của đại số Lie ạ chính là số chiều của không gian véctơ ø

CCho g là một không gian hữu hạn chiều trên trường C Giả

cấp véctơ thuộc cơ sở {s.e, e„} đã chọn trước trên ø như sau:

[ene,] Sen Isic jen

Cae h sb ci, Isi< j<n được gọi là các hằng số cấu trúc của đại

é Lie 6 trong cơ sở được chọn

số Lie Mat(n,C) các ma trận vuông cấp ø trên © là một đại số Lie với móc

Lie [A,B]= AB ~ BA, VA,B € Mar(n,C), và được kí hiệu là giún,C)

d Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính EndV) trên C-không gian véeto V Khi dé, End (V) tr6 thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau: [A,B]= AsB~BsA, VA,Be End(V) Đại số Lie này được gọi là đại số

Lie tuyén tính tổng quát và được kí hiệu là gi(W)

(i) Khong gian con 6 cia dai sé Lie g được gọi là đại sé Lie con của 9,

nếu [x.y]e với mọi x,y e9

() Không gian con ¡ của đại số Lie g duge gọi là ideal của g nếu

Jei voi moi xeg và yei

ideal dan xuat cua g

đi) [ss|=[s»]lxvee} gọi

Ví dụ 1.14

(i) Xét dai s6 Lie gl(n,C), ki hiệu

al(n€) A =(a)e olny

là không gian các ma trận vuông cấp m có vết bằng không (trong đó vết của

ma trận vuông là tổng của ede phan tử trên đường chéo chính) trong giới, ) b(n,C)=ÍA =(a,)< gI(w.C)1a, =0.15 j<isn}

là không gian các ma trận tam gide trén chat che trong gl(n,¢

Khi dé sl(n,C), 6(n,C) va n(n,C) déu là các đại số Lie con của giún,C)

Đặc biệt, sI0¡,C) là một ideal của glún,C) và núa,C) là một ideal của bún, C)

(ii) Đại số Lie các toán tử vi phân Der(%) là đại số Lie con cita gl(21).

=[xeg/[oy]=0⁄YYeg) (được gọi là sâm ciia dai sé Lie 9) RO rang Z(g) là một ideal của ạ

Định nghĩa 1.1.5:

Cho g¡, g; là hai C-đại số Lie Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ C-tuyển

tính Ø:g, —> g, sao cho ø bảo toàn móc Lie, tite la

ø(x»])=[øG).ø0)] (syea)

ø là đẳng cấu tuyến tinh thi đại số Lie ø được gọi là

đẳng cấu đại số Lie

Định nghĩa 1.1.6 Biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối phụ hợp

Cho G là nhóm Lie tùy ý và ạ = Lie(G) là đại số Lie của G Ký hiệu g`

là không gian đối ngẫu của đại số Lie(G) Với mỗi ¢ eG ta có tự đẳng cầu A,¡:G —»G được xác định như sau

Aj(S)= ae”, VăeG

“Tự đẳng cầu trên cảm sinh ánh xạ sau:

Tác động (được cảm sinh bởi biểu điễn phụ hợp Az của Ở trong g) K:G~> Ar(g)

gD K(g)=K„,

xao cho

(K,F.X) =(F.Ad(s")X): (P<g.X =g) được gọi là biểu diễn đái phụ hợp hay K-biễu diễn của G trong g” day (F,X), Peg’ X g là chỉ giá trị của dạng tuyển tinh F eg’

tại trường véctơ (bất biến trái) X eg

1.2 Đại số Lie toàn phương

Định nghĩa 1.2.1 Cho một đại số Lie phúc hữu hạn chiều ạ Một dang song tuyến tính 8:g x g—»© được gọi là

Q)— đốixúng nếu BQX,V)=BU,X) — với mọi X.Y eg,

(ii) không suy biển nếu B(X,Y)=0, VY cg thì X =0, (iii)- bất biển (hay còn gọi là kết hợp) nếu 8([x,Y],Z)= B(X,[Y.Z]) với

moi X.Y,Ze9

Một đại số Lie trên đó tổn tại một dạng song tuyến tính, đối xứng, không

suy biến và bắt bi được gọi là một đại số Líe toàn phương

Cho (g.8) là một đại số Lie toàn phương và V' là một không gian vector con của g Ta kí hiệu thành phẩn trực giao của V bởi {X cgl8(X,Y)=0,WY eV} Khi đồ ta có đẳng thức:

Một phần tử X trong ạ được gọi là tự đẳng ñướng nêu B(X, X)=0 Một không gian con V của ạ được gọi là sự đẳng hướng hoàn toàn néu B(X,Y)=0,

với mọi X,Y eV', Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V =V'

Từ tính chất bắt biến và không suy biến của dạng song tuyến tính xác

định trên ạ, ta đễ dàng chứng mình được [o, Z(g)ˆ Do đó Z(g) tự đẳng

hướng hoàn toàn khi và chỉ khi Z(g)c[g.g] Một kết quả trong [I2] nói rằng

nghiên cứu các đại số Lie toan phương có (hể quy về nghiên cứu các đại số không suy biển) Bên cạnh đó, nghiên cứu các đại số Lie toàn phương cũng có

trong mệnh để sau

Mệnh đề 1.2.2 |3]

Cho (@.8) là một đại số Lie toàn phương và 1 là một ideal của ạ Khi

đó 1 cũng là một ideal của ạ Hơn nữa, nếu thu hẹp của B trên 1x1 không

suy biến thì thụ hạp của B trên 1`x1ˆ cũng không say biển, [II']=|0} và Far =(0}

Nếu thu hẹp của của Ø trên 77 không suy biến thì ta gọi 7 là một iđeal

không suy biển của ø Trong trường hợp này ạ=¡®/ˆ Khi đó, để thích hợp

À:8—g" thỏa mãn

B(A(X),Ađ))=B(X.Đ), Ves

Trong trường hợp này ta cũng nói A là một đẳng cấu đẳng cự Như vậy,

A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự

Cuối cùng trong phẩn này chúng tôi nhắc lại kết quả phân loại các đại Lie toàn giải được 6 chiều bằng phương pháp mở rộng kép được đưa ra trong [I1] như sau:

Mệnh đề 1.2.5 Cho (g.B) là đại số Lie toàn phương giải được 6 chiêu Giả

sử ạ bắt khả phân và ạ= span{Z,,Z,.Z,„X,„X,.X,), ở đây dạng song tuyển tính

đi xứng B được xác định bỏi BQX„Z,)=ð,, \<i, <3, các trường hợp còn lại

bằng 0 Khi đỏ ạ đẳng cấu với một trong các đại số Lie sau đây: ()— 8ạ:[Xu.X;]=Z2, [X,„X.]=Z, và [X,.X.]=Z:,

is, [XAX,

() s0): [XuZ]=Z, [XZ Xu [XuX;]=-AX, [Z.Xi]=Z, và [Z X;]=4Z, với 20 Trong trường hợp này,

LIE BOI BIEU DIEN DOI PHU HOP

9([x.].2)+ ø((r.Z].x)+ ø([Z.X].Y)= 0, v.y.Z<ø Trong trường hợp này V sẽ chứa trong tâm của g nên người ta gọi ạ là

mở rộng tâm của ạ bởi V (theo ánh xa 9)

[X +8[Y.ZI+ø(Y,Z)]*[Y tá[Z,X]+ø(Z,X)[Z+w[X;YI+ø(XJV)I= [x4r.ZII=ø(X.(y.Z])+[Y{Z.XII+e(r[Z.X])+[Z{X.YIIeø(Z.[X.Y])= Lxjr,Z)+[r[Z.X}[Z{X.y]I+e(x.(Y.Z))+ø(VIZ.X])+e(Z.[x.y])=0

‘Vay geting với móc Lie được định nghĩa như trên tạo thành 1 đại số Lie Cho ạ là một đại sé Lie, V là một không gian vector và z:g—» EnđV)

lä một ánh xạ tuyến tính Trên không gian véctor ạ= ạ©V ta định nghĩa phép

toán

[X +} +9]=[X.Y]+z(X0v~zÔm, VXUY cụ, 6eV,

Mệnh đề 2.1.2 Không gian véctor ạ là một đại số Lie nếu và chi néu x thỏa mãn điều kiện

z([X.Y])=[z(x),z(Y)], vx.v=ø Chứng minh Tính chất phản xứng của phép toán được định nghĩa như trên là

hiển nhiên LẤy X,Y,Z c g và ø.v.u:eV', ta có;

[[X tey+y].Z+]=[[X.Y]*ztX~zữ0,Z+w]

=[[X.Y]:Z]+#([X.Y])#~zØ)szŒXir+z)s201,

Phép toán thỏa mãn Đồng nhất thức Jacobi néu va chi nếu:

(LX urs (UY Zr a (Z,X Dv LAX), 400 ype =[20Y), (Zhe LZ), (XY = 0 Cho w= = 0 ta được z([X,Y])w~[z(X).z(W)]w=0 Vì điều này đúng

với mọi w nên z([X,Y])=|z(X),z0)]

Z là một biểu điển của ạ trong V' Trong trường hợp này ta nói ạ là /ích nứa

trực tiếp của ạ với V bởi biểu điển z

Bây giờ ta xét trường hợp cụ thể z=a” là biểu diễn đối phụ hợp của ø

ong g', khi đồ sứ :g~— End(g), ø(X)(/)=~/+u4(X), XÃ cg, / cổ Tích

nửa trực tiếp g=g®g` của g với g' bởi biểu diễn đối phụ hợp có tích Lie

được xác định như sau:

[X+/ZY+g]=[X,Y]xa4'QX(6)~44 000), XXUY sp, /,ø<g

Điều này tương đương với [XJV] =[XY], [X./J=-/»a4(X) và

[fe], <0V6i moi XY es feed

2.2 Các ví

Ví dụ 2.2.1 Xét đại số Lie giải được 2 chiều g=span|X,Y} với tích Lie

[X.Y]=Y Khi đó biểu diễn đối phụ hợp a":g~¬» £nd(g') được xác định như ad’ (X)(" , #4 (X)(f')=-Y”, at (y)(X)=0 và áF(#)(#)=x”

Do dé tich Lie trên tích nửa trực tiếp g=g@®g' của ạ với g bởi a¿" được

cho bởi

Đây chính là đại số Lie kim cương giải được 4 chiều

Vi dy 2.2.2 Cho ạ là một đại ố Lie giải được 3 chiều Như ta đã biết, phân

loại của các đại số Lie giải được 3 chiều được cho như sau:

ad'(x)(¥')=-¥"-Z", ad’ (v)(¥")=x", ad’ (z)(¥" =x", 44'(X)(Z)= TU ad! (Z)(2')= (iii) a#'(X)(X')=0, ad’ (v)(X")=0, ad’ (Z)(X")=0, 0 ốc ad'(X)(Z)=-gZ.- a(Y)(Z)=0, ad’ (Z)(Z")= ux"

Do đó ta xác định được tích nửa trực tiếp ạ=g©gˆ của ø với g bởi biểu

diễn đối phụ hợp ø¿" cho từng trường hợp trên như sau

® 6u: [XV]=Zthì gụ =spam[XJY,Z,X)V,Z} có tích Lie được

xác định bởi [X,Y]=Z, [X,Z ]=-Yˆ và [Y,Z']= X" Đây chính

là đại sé Lie s,, trong Mệnh để 1.2.5 cũng như được bắt gặp nhiều trong những phân loại các đại số Lie lũy linh thấp chiều

đi) ịi [XVV]=Y, [X,Z]=Y+Z thÌ g,;—span{X,Y,Z,X”/Y ,Z} có

tích Lie được cho bởi [X,Y]=Y,, [X,Z]=Y+Z, [X,Y']=-Y' ~Z”,

` [r]=[Z#]=[Z

trong Mệnh để 1.2.5

Gi) g,.:[X.Y]=Y,[X.Z]=zZ, |a|<l thì gọi ¬"

có tích Lie được cho bởi [X,Y]=Y,, [X,Z]=„Z, [X.Y']= [x

Diy la dai s6 g,,() trong Ménh dé 1.2.5

biểu diễn đối phụ hợp như sau

Mệnh đề 2.3 Cho g=g@q" ld tich nữa trực tiếp của ạ với g` bởi biểu diễn

tính B được xác định bởi

BÙY+fJŸ+§)=ƒ)+g(Ä), WX Veg, freee Chứng mình

“Ta kiểm tra dang song tuyển tính Z thỏa mãn 3 tỉnh chất: đối xứng, không suy

biển, bất biển: YX,Y,Z £g./.g.h€ g”

Điều này vô lý nên ta suy rà X =0

Lập luận tương tự ta được / =0

GIẢI ĐƯỢC 3 CHIEU Tiếp theo đây, ta xét trường hợp tổng quát hơn những gì ta đã làm ở

&-tuyến tính phản xứng từ g x g x x g vào V nếu k >1 và C°(g.V)= v Dat

voi MO’ FECHAV), Xoo Xs €8

Ta có thể kiểm tra ở thỏa mãn tính chất 5° =0, Ta nói ring feC'(g.V)

là một & -đối chư trình nêu ƒ =0 và / là một k-đối bờ nếu có g <C*'(g,V)

Sao cho / =ổg

Ví dụ 3.1.1 Giả sử Øe CẺ „V) là một 2-465 chu trình Khi đó Ø:g x gg" Ia