Phương pháp Điện từ trong thử nghiệm khoa học kỹ thuật y học và Địa vật lý

PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN TỪ TRONG THỬ NGHIEM KHOA HOC KY THUAT, Y HOC VA DIA VAT LY MO DAU Việc tìm ra các vết rạn nứt trong vật thể rấn bằng cách sử dụng phương pháp điện từ được Friedman và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HOC SU PHAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ

MÃ SỐ: B 2001-23-01

PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN TỪ TRONG THỬ

NGHIỆM KHOA HOC KY THUAT, Y HOC

PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN TỪ TRONG THỬ NGHIEM KHOA HOC KY THUAT, Y HOC

VA DIA VAT LY

MO DAU

Việc tìm ra các vết rạn nứt trong vật thể rấn bằng cách sử dụng phương pháp điện từ được Friedman và Vogelius khởi xưởng trong các công trình đầu tiên [EV,1989] Lưu ý rằng vết nứt có thể được xem như là giới han cửa một lỗ hổng (bên trong vật thể ) khi một trong các chiều không gian dần tới

không Trong trường hợp phẳng hai chiều , vết nứt được mô tả

như một đường cong mà trường hợp đặc biệt là vết nút thẳng, được Griffith định nghĩa trong [SL 1969] như là giới hạn cửa

một lỗ hổng hình êlíp khi trục nhỏ cửa êlíp dần đến không Sau Friedman va Vogelius thi cé vai công trình tập trung vào phương pháp điện từ để tìm ra các vết nứt cong hai chiều (ví

du ,xem [ABB 19Ø7]) Như đã đề cập ở trên, một vết nứt được

xem như lổ hổng khi một trong các chiều tiến đến 0.Trong khi cách nhìn nhận như vậy là thuận tiện trong một vài mục đích nào đó , nhưng nó lại làm mất đi tính nghiệm duy nhất ,, Thực

Phunp pháp điện tư rong khoa học kỹ thuật,y học và địa vật lý

vậy , theo các công trình của Friedman và Vogelius ( xem

phần tham khảo ) có nêu rằng hai chiều đo là cần thiết cho tính duy nhất , khi các vết nứt có dạng phẳng Bài toán nhận dạng các vết nứt bình thường bằng cách sử dụng phương pháp điện từ được xét trong [MI 1991, AV 1995, AT 1998, BV

1998 ,BCY;- BCY, 1998 ,T 1998 J 1999, TA 2000, ABRV

2000] và một số các bài khác.Trong các bài vừa nêu ,ví dụ như

[MI.AT] va [I] , van dé xdp xỉ nghiệm đã được xét đến, trong

khi ở bài khác, ví dụ như trong [BV,BCY;-BCY,, ABRV], thì vấn đẻ ổn định được chú trọng Trong một số bài báo , bể

mặt cửa lỗ hổng được giả thiết là trơn Nhưng nếu một vật thể rắn đem ra khảo sát là vật thể đàn hồi , thì theo quan điểm cửa

cơ học phá hủy, chúng ta phải quan tâm đến các dị thường như

hình dạng chử V, dang nón trên bể mặt lỗ hổng mà tại đó sự

kỳ dị ứng xuất phát sinh Do vậy , chúng ta phẩi xem xét các

16 hổng ma bé mặt của nó có vài chổ kỳ dị , Chứng ta sẽ khảo

sát các lỗ hổng mà bề mặt cửa nó chỉ trơn trên phần bù của

một tập hợp không đáng kể theo một nghĩa nào đó, ở đây là

tập hợp loại zero 2 - extent Khai niệm tập hợp như vậy sẽ

được định nghĩa trong phần sau Tuy vậy, ta cũng thấy rằng

Phường pháp điện tư trong khoa học kỳ thu4t,y học và địa vật lý

hội của hữu hạn các cung đóng Lipschitz là một ví dụ về tập hợp như vậy

Đạt © là miền đơn liên trong RỶ bị bao bên ngoài bởi

một mạt Ù' biết trước và chứa hữu hạn các lỗ hổng bên trong

chưa biết Các lỏ hổng này được biểu diên bởi các miền đơn

liên œ;, @; œ@,„ sao cho bao đóng của chúng từng cạp rời

Phương pháp điện tư trong khoa học kỹ thuật,y học và địa vật ly

5 a, (x,u(x))n, (x)Dx(x)=øŒœ%) , xel, (3)

i,j=l

( trong đó n(x) =(n¡(x),n; (x),n› (x)) là vectở phấp tuyến

đơn vị hưởng ngoài của mạt ôOÔ tại x ; Fo là tập mở tương đối

cho nhờ vào việc đo đạc mà thường là bị nhiều , do đó dân đến

bài toán có thể vô nghiệm Vì vậy , chúng ta có thể phải xử lý

một bài toán không có lời giải và đương nhiên phải tính đến việc chỉnh hóa ( điều này không được bàn đến trong để tài

khao cứu này)

Nội dung để tài được trình bày gềm ba phần : phần mở đầu ,

phần một và phần hai Phần một dành để bàn đến tính chất

hình học cửa ©Ô và phát biểu kết quả nghiên cứu của chúng tôi

về tính duy nhất nghiệm của bài toán Phần còn lại là dành cho việc trình bày chứng minh kết quả này

zero 2~ extent ,chii ng ta suy ra rằng,

+ Một tập con cửa tập có Zero 2- extent thìcózero 2 extent

& (£)= sup{gy (3) théa với mỗi 0< £ < ếạ }

“Trong để tài khảo cứu này , chúng tỏi đưa thêm một định

nghĩa về tập Q có ƒ - zero 2- extent là tập có zero 3- extent

và thỏa

- £

Fey Peo Sey P

Nếu Q là hội của hữu hạn các cung đóng Lipschitz thì

chúng ta có thể chứng minh rằng Qlà § - zero 2- extent với

p-2va g (e)=eVe (>0)

Đạt A là một tập mở bị chận liên thông trong R° Dit

pc OA Chiing ta nói ð A có biểu điễn địa phương tại p nếu

có thể tìm được khối hộp N(p) =1; (p) x [2 (p) x Is (p) chifa p

và N@œ) ê A_ có thể được biểu dién bởi một hầm tron

cấp một

Kb) Oy ET (P)* LP)

3, trang 97) nếu có tập đóng § C 9 Acé zero 2- extent sao cho

@ AS co thé biéu diễn địa phương tại mỗi p cô A \S Đối

với một miền chuẩn thì định lý divergence thỏa ( xem [w])

“Thực ra , biên của miễn chuẩn là hội của một tập con đóng có zero 2 —extent và họ đếm được các mật cong trơn hai chiều

trong

Mộệt tập A là miễn ÿ - chuẩn nếu A là miễn chuẩn như trong

định nghĩa nêu trên , ngoài ra S là tập thuộc loại ƒ - zero 2 extent

“Trước khi phát biểu và chứng minh kết quả chính cửa để tài nghiên cứu , chúng tôi lưu ý rằng tính duy nhất nghiệm của bài toán mà chúng tôi đang khảo sát phụ thuộc rất nhiều vào các tính chất hình học cửa các lỗ hổng ( ví dụ , tính duy nhất sẽ mất nếu các lỗ hổng là phẳng) Vì vậy cẩn nhiều điều kiện

cho tập © Trong [ABRV] , các tác giả giả thiết rằng các lỗ

hổng thuộc lớp C** Tuy nhiên , như đã chỉ ra ở trên , với hầu hiết các trường hợp quan tâm trong thực tế,, các lỗ hổng có các góc hay các cạnh bén Do đó chúng tôi sẽ xem © thuộc lớp #

với các điều kiện (2) - (4) có quá lắm một nghiệm (@,u )

théa Qe 5,

weCQiNC(QUT, Uo P, YNH'Q) (6) và

P

supldQ,P2)|f (È|Dw@)f) <œ ®

trong đó P; là một tập đóng thuộc loại B - zero 2 — extent va d(A.B) là khoảng cách giữa các tập con A ,B trong không gian Euelide RỲ

PHAN HAI

CHUNG MINH CUA DINH LY DUY NHAT NGHIEM

Gi sit 0`), ¡ =1,2 là hai nghiệm của bài toán (1)-(4)

là biên trong ° tưởng ứng và 12) Ở đấy †

Py: Py là hai tập hợp đồng có zero 2-extent, Chúng ta sẻ thấy rằng Q` = Q Chứng minh được trình bày bằng phép phản chứng như sau đây và được chia thành 3 bước Bước 1, Giả sử bằng phản chứng rằng @! z G* ,Khi đó

(@5@))U(2\8)zó @®

Đặt W là thành phẩn liên thông của @Ì ¬ 3° thoảTc#_ thì

ul su? én 7 (9) Thật vay néu (VQ )UCQ?\A)=¢ mo =A vi

©! va Q? là các miễn chuẩn thỏa (A) nên

oo

Q=Q=Q'=Q?

Mâu thuần với giả thiết Q` z Q2 do đó (8) thỏa

Do tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho các phương

Chứng minh của bước 2 được dưa vào bổ để sau đây:

Bd dé 1 Giả sở Q thỏa (A) „(Bì và ú là một nghiệm của CL)

và thỏa (2) ~ (4), (6), (72 Khi đó, với mỗi > 0, tổn tại một miễn @, sao cho

4) @ 50 =ÚP £

b) do, 1 hội của các tập phẳng „

c) lim đ(8ø,,êø)=0

trong dé n, = (n, (x),m, (x),n, (x)) là pháp vectơ đơn vị ngoài của Q\@, tại xe Aone

Chứng minh của bổ để nầy đã được trình bày trong [AMTT] Bây giờ ta xét @¿ là tập thỏa bổ để ! tương ứng với

w

IxatalhG) |4Ø š [at | COLAO + fog yl Olde

Sử dụng (9) trong bước 1,ta được

Tiép theo , lấy U là thành phần lién théng cla Q'\W sao cho

U cONW, Từc) trong bé dé 1, thi có sạ > 0 thda UcA\h , 0<e<e

Suy ra từ tính chất êliptic của (a,) rằng,

Osh, Š 4, (x10 (x))Du'(x)D tực fe a de

sb 3 xŠ (17)

ẩn

Kết hợp (16), (17) ta có

£, & 4,(aul@opDulD wher =0

'Từ điều kiện êliptic , suy ra rằng D,u'() =0, Vx € U,véi

¡= 1,2,3 và do tính liên thông của U dẫn đến uÌ = const trên

1J, Sử dụng tính duy nhất của sự liên tục êliptic (xem [P]) ,ta

suy raring u! =const trên Q`, Vì vậy

Hi], = ƒ = const

0 we L,

Do đó chúng ta có sự mâu thuẫn , va kết thúc phép phần chứng , Định lý đã được chứng minh xong,

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

[Al] GAlessandrini , Stable Determination of a Crack from Boundary Measurements Proc R Soc Edinburgh 123A ( 1993) 497 — 516

[A2] GAlessandrini , Examples of Instability in Inverse Boundary - value Problems , averse Problem 13 (1997) 887

- 897

[ABRV] G.Alessandriai , E Berreta E.Rosset and §.Vessela Optional Stability for Inverse EI ptic Boundary Value Problems with Unknow Boundaries Ann, Scuola Norm , Pisa

CL Sci (4) Vol XXIX (2000) 755 ~ 806 [AD] G.Alessandrini and E, DiBenedetto, Determining 2 ~

Stability Indiana Unie Math 1 , 46 (1987) , 1- 83

[ABB] S.Andrieux A BenAbda and HD, Bui, Sur

l'Identification de Fissures Planes via le Concept d’Ecart & la Réciprocité en Elasticité C.R Acad, Sci Paris Série 1 324 (

Cavity Detection by the Electric Method, The 3 dimensional case To Appear

[AT] D.D Ang and DD Trong Crack Detection by the Flectric Method Uniqueness and Approximation Internalt J

[AV] D.D.Ang and L.K.Vy , Domain Identification for Harmonic Functions Acta Applicandae Math 38 1995 ,217

~ 238,

(B] HD Bui , Inverse Problems in the Mechanics of Materials : an Introduction ,CRC Press Inc , 1994 (BCY 1] A L Bukhgeim J Cheng and M Yamamoto, Uniqueness and Stability for an Inverse Problem of Determining Parts of Boundary in Inverse Problems ,in

uẽng Đa 16t âu

Elsevier , Amsterdam (1998) , 327 ~ 336 [BCY2] AL Bukhgeim ,J.Cheng and M.Yamamoto „Ôn a Sharp Estimate in a Nondestructive Testing Determination of Unknown Boundaries preprint (1998)

[BCY3] AL Bukhgeim , J.Cheng and M.Yamamoto, Stability for an Inverse Boundary Problem of Determining Part of Boundary Inverse Problems 14 (1999) , 1021 ~ 1032 LBCY4] A L Bukhgeim „J Cheng and M.Yamamoto , Conditional Stability in an Inverse Problem of Determining Non ~ Smooth boundary , J Math Anal Appl 24 (2000) 57

-14

{BV] EBeretta ,S Vessella Stable Determination of

Boundaries from Cauchy Data , SLAM J Math Anal 30 (1998)

„320 - 232

[EV] A Friedman and M.Vogelius , Determining Cracks by Boundary Measurements , Indiana Univ , Math ,J 38 (1998) , S21 - 556

[I] MIkehata , Enclosing a Polygonal Cavity in a Two — Dimensional Bounded Domain from Cauchy Data , Inverse

Problems 15 (1999), 1234 - 1241

k Detection IMA J on Appl.Math 47,1991, 127

141

[KS] H Kin and J.K, Sco , Uniqueness of Determination of a

Cotlate of Finite Cracks from Two Boundary Measurements ,

[K] S Kubo Requirements for Uniqueness Crack

Identification from Electric Potential Distribution ,In Inverse

Problem in Engineering Science: |, Springer ~ Verlag , 1990, [P] RN Pederson , On the Unique Continuation Theorem for

Certain Second and Fourth Order Elliptic Equations ,Comm

on Pure and Appl, Math, , XI , 1958 ,67 — 80,

[SV] FSantosa and M.Vogelius , A Compete Algorithm to

Determine Cracks from Electrical Body Measurements , Ia J Eng Sci 29 (1991) , 913 ~ 937

[SL] LN Sneddon and M Lowengrub ,Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity , John Wiley & Sons Inc., New York (1969)

(T] D.D Trong , Domain Identification for a Nonlinear

Elliptic Equation Zeitschrift Fur Analysis und ihre

Anwendungen 17 (1998) 4 ,1021 - 1024

Semilinear elliptic Equations in the Plane : the Zero Flux Case , Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen 19 (2000) 1, 109 ~ 120

(W]H Whitney Geometric Integration Theory , Princeton , Press (1957)

1) Cổng lào động nghiều cứu - Bao gồm đạc „ phẩu tích tải liệu và thực hiển chứng minh với khối lượng tướng dương 268 gid 208% 50,000 ddng = 13,490.00 déng

3) Viết ho cáo tổng kết 2.000.000 đổng 3\ Nghiệm thứ cấp cơ sử 330,000 đểng 4) Nghiệm thu chính thức (đự chủ + 1.930.000 đồng

Tổng chỉ: 11.000.000 đổng (ruưới bẩy kiểu đồng }

Chui nhiệm để tải

cor tte