Nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền tron g Cn và dáng điệu biên của hàm squeezing Nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền trong Cn và dáng điệu biên của hàm squeezing
Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.1 (Hàm điều hòa dưới) Cho Ω ⊂ C là một miền Một hàm u: Ω→[−∞,+∞) là điều hòa dưới nếu nó là hàm nửa liên tục trên trong Ω (kí hiệu là U SC(Ω)) và với mọi a ∈ Ω, tồn tại 0 < ρ(a) < dist(a, ∂Ω) sao cho với mọi 0< r < ρ(a), ta có u(a)≤ 1
Tập hợp các hàm điều hòa dưới không đồng nhất bằng−∞ được ký hiệu làSH(Ω).
Mệnh đề 1.1.1 Cho Ω ⊂ C là một miền Khi đó, ta có i) Nếu u : Ω → [−∞,+∞) là điều hòa dưới trên Ω và χ : I → R là hàm lồi, tăng trên khoảng I chứa u(Ω) thì χ◦u là hàm điều hòa dưới trên Ω. ii) Cho (u j ) j∈
N là một dãy giảm của các hàm điều hòa dưới trong Ω Khi đó, hàm u:= lim↘ uj là điều hòa dưới trên Ω. iii) Cho (uj) j∈
N là một dãy các hàm điều hòa dưới trên Ω và bị chặn trên địa phương trong Ω, (ϵ j ) j∈
N là một dãy số thực dương sao cho P j∈ N ϵ j < ∞ Khi đó, hàm u := P j∈ N ϵ j u j là điều hòa dưới trong Ω.
Ví dụ 1.1.1 i) Cố định a ∈C vàc > 0 Khi đó, hàm z 7→clog|z−a| là điều hòa dưới trên C và điều hòa trên C\{a} Tổng quát hơn, giả sử Ω là một miền trong C và f : Ω → C là hàm chỉnh hình với f ̸≡ 0 trên Ω Khi đó, log|f| là hàm điều hòa dưới trên Ω Hơn nữa, với α > 0, hàm |f| α là điều hòa dưới trên Ω. ii) Cho (a j ) j∈
N là một dãy số phức bị chặn và(ϵ j ) j∈
N là một dãy số thực dương sao cho P j∈ N ϵj 0với mọi z ′ ∈ C n−1 \{0} Khi đó, vì De P ⊂ {(z ′ , z n )∈ C n : 0≤ P (z ′ ) > mi j−1 +1 = = mi j > > mi k−1 +1 = = mi k = m n−1 Ký hiệu GP là tập các tự đẳng cấu có dạng (Az ′ , z n ), trong đó A = diag (A 1 , , A k ) là ma trận khối đường chéo sao cho mỗi Aj(1 ≤ j ≤ k) là (ij−ij−1) × (ij−ij−1) ma trận và P (Az ′ ) ≡ P (z ′ ) Thêm nữa, ký hiệu hs(z) là mầm các hàm chỉnh hình tại gốc tọa độ với trọng lớn hơn s (s >0).
Trước khi tiến tới những kết quả tốt hơn, ta cần chuẩn bị một bổ đề kỹ thuật được sử dụng trong các chứng minh của Định lý 2.2.1 và Định lý 2.3.2.
Bổ đề 2.2.3 Cho P là đa thức thuần nhất theo trọng với các trọng(m1, , mn−1) cho bởi (2.1) sao cho {P = 0} không chứa tập giải tích không tầm thường đi qua gốc tọa độ Cho f˜= (f 1 , , f n−1 ) là ánh xạ song chỉnh hình trên một lân cận nào đó của 0 ∈C n−1 với f˜(0) = 0 Nếu P (f1(z ′ ), , fn−1(z ′ )) =P (z ′ ) với mọi z ′ trong lân cận của 0 ∈C n−1 thì f˜có thể thác triển thành một ánh xạ tuyến tính trên C n và hơn nữa f(z ′ , z n ) :f˜(z ′ ), z n thuộc vào G P
Chứng minh Cho P là đa thức thuần nhất theo trọng sao cho
P (f1(z ′ ), , f n−1 (z ′ )) =P (z ′ ) với mọi z ′ trong lân cận 0∈C n−1 Ký hiệu U(0) là lân cận của 0∈C n−1 Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết rằng m1 ≥ m2 ≥ ≥ mn−1.
Hơn nữa, do P là đa thức thuần nhất với trọng số (m1, , m n−1 ) nên ta suy ra rằng
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng df = Id tại gốc tọa độ Chúng ta sẽ xét các trường hợp sau đây:
Trường hợp 1: m 1 > m 2 > > m n−1 Cố định một điểm z ′ ∈ U(0) Khi đó, do t 2m 1 1 > t 2m 1 2 > > t
1 2 mn−1 với mọi t∈ (0,1) nên ta có fj(z ′ ) = aj,jzj +h1/2m j (z ′ ), với mỗi 1≤ j ≤ n−1, trong đó a1,1, , a n−1,n−1 ̸= 0 Nhắc lại rằng hs(z) ký hiệu cho mầm tại gốc tọa độ của hàm chỉnh hình với trọng lớn hơn s Phương trình (2.5) trở thành
1 2 mn−1)) =tP(z ′ ), (2.6) với mọi t ∈(0,1) và z ′ ∈U(0) Chia cả hai vế của (2.6) cho t ta suy ra rằng
(2.7) với mọi t ∈ (0,1) và z ′ ∈ U(0) Bây giờ, ta tính giới hạn khi t → 0 + của vế phải (2.7) ta đạt được
P (a 1,1 z 1 , a 2,2 z 2 , , a n−1,n−1 z n−1 ) = P (z ′ ), (2.8) với mọi z ′ ∈ U(0) Tính toán tương tự với f −1 ta thu được
=P (z ′ ), (2.9) với mọi z ′ ∈ U(0) Với điểm cố định z ′ ∈ C n−1 , chọn t > 0 đủ nhỏ sao cho t 2m 1 1 z1, , t
Do đó, từ (2.8) và (2.9) ta có
Do P là đa thức thuần nhất theo trọng với trọng (m 1 , , m n−1 ) nên ta suy ra rằng
. với mọi z ′ ∈ C n−1 Do đó, ta kết luận được φ(z) := (a1,1z1, a2,2z2, , an−1,n−1zn−1, zn) là tự đẳng cấu củaMP, tức là φ∈GP Thay thế f bởi f◦φ −1 , ta có thể giả thiết rằng a1,1 = .= a n−1,n−1 = 1 Do đó, ta thu được df = Id tại gốc tọa độ.
Trường hợp 2: m 1 ≥ m 2 ≥ ≥ m n−1 Giống như trường hợp 1, ta có thể viết f(z) = (Az ′ +g(z ′ ), zn) trong đó g = (g1, , gn−1) là chỉnh hình trong lân cận của gốc tọa độ trong C n sao cho mỗi gj có bậc theo trọng lớn hơn 1/2m j , j = 1, , n− 1 Nhóm các hạng tử có bậc theo trọng bằng 1, (2.5) suy ra ánh xạ (z ′ , zn) 7→ (Az ′ , zn) thuộc tập GP Do đó, sau khi lấy hàm hợp với (z ′ , zn)7→(A −1 z ′ , zn), ta có thể giả sử rằng df = Id tại gốc tọa độ.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh f = Id Thực vậy, giả sử f˜(z ′ ) = z ′ +g(z ′ ), tức là với mỗi 1≤ j ≤ n−1, fj(z ′ ) = zj+gj(z ′ ), trong đó g = (g1, , g n−1 ) là hàm chỉnh hình trong lân cận gốc tọa độ trong C n sao cho g j có bậc theo trọng lớn hơn 1/2m j , j = 1, , n−1 Vì vậy, ta có
P (z 1 +g 1 (z ′ ), z 2 +g 2 (z ′ ), , z n−1 +g n−1 (z ′ )) =P (z ′ ) (2.10) với mọiz ′ ∈ U(0) Do{P = 0}không chứa tập giải tích không tầm thường đi qua gốc tọa độ, so sánh các hạng tử hai vế trong (2.10) chỉ ra rằngg 1 ≡ ≡ g n−1 ≡ 0 trên U(0) Do đó, theo Định lý duy nhất ta kết luận f = Id Vì vậy, bổ đề được chứng minh.
Bây giờ, ta giới thiệu kết quả chính thứ nhất trong chương này. Định lý 2.2.1 Cho P là đa thức thực đa điều hòa dưới thuần nhất theo trọng trên C n−1 cho bởi (2.1) với giả thiết thêm rằng P (z ′ )>0 với mọi z ′ ∈ C n−1 \{0}.
Khi đó, Aut(DP) được sinh bởi GP và {ϕ a,θ : a ∈∆, θ ∈ R}.
Chứng minh Cho f ∈ Aut (DP) tùy ý Khi đó, do DP ⊂ C n là miền giả lồi kiểu hữu hạn, f thác triển trơn lên DP (xem [4]) Do đó, các điểm 0 ′ , e iθ được bảo toàn bởif Do đó,f j (0 ′ , z n )≡0với mọij = 1, , n−1và f| D
P ∩{z ′ =0} ∈ Aut(∆), trong đó ∆ là đĩa đơn vị trong C Hơn nữa, ta có fn(z) =fn(0 ′ , zn) =e iθ n zn −a
1−¯az n , với a ∈ ∆ và θ n ∈ R Từ đó, ta có f(0) = (0 ′ ,−a) (sai khác phép quay trong Cz n) Thay f bởi ϕ−a,−θ n ◦f, ta có thể giả thiết f(0) = 0 Điều này suy ra fn(z) =e iθ n zn.
Mặt khác, do f ∈Aut (DP) nên ta có
|z n | 2 +P (f 1 (z), , f n−1 (z)) ≤ 1, khi và chỉ khi |z n | 2 +P (z ′ )≤ 1 Bằng tính toán trực tiếp cùng với tính bất biến của biên ∂DP qua ánh xạ song chỉnh hình, chỉ ra rằng f1, , fn−1 không phụ thuộc vào zn và chỉnh hình trong lân cận 0∈ C n−1 Do đó, ta thu được
P (f 1 (z ′ ), , f n−1 (z ′ )) =P (z ′ ), với mọi z ′ trong lân cận của 0 ∈ C n−1 Vì thế, từ Bổ đề 2.2.3 ta suy ra f ∈ GP.Vậy, định lý được chứng minh.
Tự đẳng cấu của mô hình kiểu hữu hạn
Trong phần này, chúng tôi chứng minh Định lý 2.3.2 dưới đây; đó là kết quả nghiên cứu chính thứ hai trong chương này Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một vài ký hiệu và khái niệm. Đặt Sλ (λ >0), Ts (s ∈R) là các tự đẳng cấu của MP lần lượt được xác định bởi
;Ts(z) = (z ′ , zn +is). Định nghĩa 2.3.1 Một mô hình MP được gọi là ống (hoặc tròn xoay) nếu MP là song chỉnh hình với mô hình M
P e, trong đó đa thức thuần nhất theo trọng Pe thỏa mãn
Pe(z1, , zn−1) =Pe(Imz1, z2, , zn−1) ( tương ứng Pe(z1, z2, , zn−1)
=Pe(|z 1 |, z 2 , , z n−1 )) với mọi z ′ ∈ C n−1 Định nghĩa 2.3.2 Mô hình MP được gọi là tổng quát nếu nó không song chỉnh hình với mô hình tròn xoay hoặc mô hình ống nào.
Bằng cách khai triển P thành chuỗi Taylor tại α = (α1, , αn−1)∈ C n−1 , ta có
D p D¯ q P(α) p!q! (z ′ −α) p (¯z ′ −α)¯ q , trong đó D p và D¯ q lần lượt ký hiệu cho các toán tử vi phân đạo hàm riêng
|p|>0 D p P (α) p! (z ′ −α) p w ′ = z ′ −α, hàm xác định biên cho M P được cho bởi ρ(z) = Re(wn) + X
Từ nay về sau, chúng ta giả thiết rằng MP là tổng quát Hơn nữa, chúng tôi đưa ra các ký hiệu sau đây
Bổ đề 2.3.1 Cho P là đa thức thuần nhất theo trọng với trọng (m1, , mn−1) cho bởi (2.1) sao cho P(z ′ )> 0 với mọi z ′ ∈ C n−1 \{0} Giả sử MP là tổng quát.
Nếu tồn tại ít nhất một số nguyên trong các số m 1 , , m n−1 lớn hơn 2 thì
Chứng minh Dễ thấy Γ ⊂P2m 1 , ,2m n−1(∂MP) Vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng
Cho p = (α,−P(α) +it) (α = (α 1 , , α n−1 )̸= 0) là một điểm biên bất kỳ trong
Lưu ý rằng theo [8, trang 531], chúng ta có
Do đó, ta nhận được
D p D q P(α) p!q! (z ′ ) p (¯z ′ ) q Điều này ta suy ra
(z ′ ) Bằng cách chuyển tọa độ, chúng ta giả thiết rằng rằng α= (1,0, ,0) Cố định zℓ với ℓ≥ 2 và đặt f(x, y) =P 1,1 (x+iy, z2, , zn−1), với mọi z1 := x+iy ∈ C Do đó, từ (2.11) ta suy ra f(x+ 1, y) = f(x, y) với mọi (x, y)∈ R 2 Bởi vì với mỗi y ∈ R f(x, y) là đa thức tuần hoàn theo x, và do đó f(x, y) không phụ thuộc vào x, tức là, f(x, y) = g(y) với g là đa thức theo y.
Kết hợp với giả thiết là P có n hạng tử điều hòa chúng ta có thể kết luận rằng P (z 1 , , z n−1 ) = P (Imz 1 , z 2 , , z n−1 ) với mọi z ′ ∈ C n−1 , và do đó M P là song chỉnh hình với mô hình ống Điều này là mâu thuẫn Vì vậy, bổ đề được chứng minh.
Bây giờ, chúng tôi chuẩn bị định lý sau như là một phần chính trong chứng minh của Định lý 2.3.2. Định lý 2.3.1 Cho P là đa thức thuần nhất theo trọng với trọng (m 1 , , m n−1 ) cho bởi (2.1) sao cho P (z ′ ) > 0 với mọi z ′ ∈ C n−1 \{0} Giả sử MP là một mô hình tổng quát mà không song chỉnh hình vớiQP Giả sử f ∈ Aut (MP), f(0) = 0 và tồn tại các lân cậnU 1 , U 2 của 0∈ C n sao cho f thác triển thành đồng phôi địa phương giữa U1 ∩MP và U2∩MP Khi đó, sau khi hợp thành với St(t >0) hoặc một phần tử của GP nếu cần thiết, ta có f = Id.
Chứng minh Chúng ta định nghĩa tập Hbằng cách đặt H:= {z ∈ C: Rez < 0} và nhắc lại rằng Γ :={(0 ′ , it) : t∈ R} Khi đó, ta định nghĩa gj(zn) := fj(0 ′ , zn) (1 ≤ j ≤ n−1) và gn(zn) := fn(0 ′ , zn) với mọi zn ∈ H.
Do đa kiểu Catlin là CR-bất biến nên từ Bổ đề 2.3.1 ta suy ra rằng, sau khi thu nhỏ các lân cận U1, U2 nếu cần thiết, f(U1∩Γ) = U2 ∩Γ Do đó, với mỗi 1 ≤ j ≤ n− 1 chúng ta có gj(it) = 0 với mọi −ϵ0 < t < ϵ0 với ϵ0 > 0 đủ nhỏ.
Khi đó, từ Định lý duy nhất ta suy ra rằnggj(zn) = 0 với mọi zn ∈ H Hơn nữa, do P (z ′ ) > 0 với mọi z ′ ∈ C n−1 \{0} nên g n ∈ Aut(H) Do g n (0) = 0 nên ta có thể chỉ ra rằng gn(zn) = αz n
1 +iβz n với α > 0 và β ∈ R nào đó Thêm nữa, do fn(MP)⊂ H và f là ánh xạ song chỉnh hình nên ta thu được fn(z) =fn(0 ′ , zn) = αzn
Bây giờ ta xét các trường hợp sau:
Trong trường hợp này, bằng cách khai triểnfn thành chuỗi Taylor, ta thu được fn(z) = αz n
1 +iβz n =αzn −iβαz n 2 +ã ã ã , trong đó các dấu “ ” ký hiệu cho các hạng tử có bậc theo trọng lớn hơn 2 Hơn nữa, do tính không bất biến của MP dưới ánh xạ St(t > 0), chúng ta có
≤0 (2.12) với mọi (z ′ , zn)∈U1∩MP và t∈ (0,1) Do đó, (2.12) tương đương với
≤0, với mọi (z ′ , zn) ∈ U1 ∩MP và t ∈ (0,1) Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng m1 ≥ m2 ≥ ≥ mn−1.
Từ đây về sau, hs(z) được kí hiệu cho các mầm hàm chỉnh hình tại gốc với bậc theo trọng lớn hơn s (s >0).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng df = Id tại gốc tọa độ, sai khác một phép hợp thành với một phần tử của GP Để chứng minh điều này, chúng ta chia ra hai trường hợp sau đây:
Trường hợp con 1: m 1 > m 2 > > m n−1 Cố định z ∈U 1 ∩∂M P Khi đó, do Re fn t 2m 1 1 z1, , t
= αtRezn+o(t)nên ta suy ra rằng
1 2 mn−1 với mọi t ∈ (0,1) nên ta có với mỗi 1≤ j ≤ n−1 fj(z) =aj,jzj +h1/2m j (z), trong đó a1,1, , an−1,n−1 ̸= 0.
Tiếp đến, thay f bởi S 1/α ◦f, chúng ta có thể giả thiết rằng α = 1 Lấy đạo hàm riêng cấp 1 cả hai vế của bất đẳng thức (2.12) theot và sau đó tính giới hạn khi t →0 + , ta thu được
Re(z n ) +P (a 1,1 z 1 , a 2,2 z 2 , , a n−1,n−1 z n−1 )< 0 với mọi (z ′ , zn)∈MP Tính toán tương tự cho f −1 ta cũng thu được
0 với mọi η∈ U Từ đó, ta suy ra δ 1/2 ≲τ(η, δ)≲δ 1/(2m) (η∈ U) (3.3)
Bây giờ, ta định nghĩa phép co giãn đặc biệt ∆ ϵ η cho bởi
Với mỗi η∈ ∂Ω, nếu chúng ta đặt ρ ϵ η (w) =ϵ −1 ρ◦Φ −1 η ◦ ∆ ϵ η −1
(w), thì từ (3.1) và (3.3) ta suy ra rằng ρ ϵ η (w) =Re (wn) + X j+k≤2m j,k>0 aj,k(η)ϵ −1 τ(η, ϵ) j+k w 1 j w¯ k 1 + n−1
Tiếp theo, chúng tôi cố định một lân cận đủ nhỏ U0 của ξ0 và đặt{ηj} ⊂Ω là dãy hội tụ tớiξ 0 Hơn nữa, chúng tôi cũng giả sử rằngη j ∈ U 0 − := U 0 ∩{ρ 0, η j ′ thuộc siêu mặt {ρ= 0} Chúng tôi xét đến dãy phép co giãn ∆ ϵ η j ′ j
Hơn nữa, từ (3.4) ta suy ra rằng
Sau đó, (3.2) suy ra rằng các hệ số củaP η ′ j vàQ α η ′ j là bị chặn bởi1 Bởi vậy, sau khi chọn một dãy con, chúng tôi có thể giả thiết rằngn
P η ′ j o hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới đa thức P (z1,z¯1) Hơn nữa, n
Q α η ′ j o (2 ≤ α ≤ n−1) hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới 0 bởi bổ đề dưới đây.
Bổ đề 3.1.1 (xem Bổ đề 2.4 trong [9]).
≤ τ η j ′ , ϵ j 10 1 với mọi α= 2, , n−1 và |w1| ≤1, với điều kiện là τ đủ nhỏ.
Khi đó, theo Bổ đề 3.1.1, sau khi chọn một dãy con, ta có thể suy ra rằng
∆ ϵ η j ′ j ◦Φ η ′ j U 0 − hội tụ tới mô hình sau đây
, (3.5) trong đó P (w1,w¯1) là đa thức có bậc ≤ 2m, không chứa hạng tử điều hòa (xem trong [15, trang 153]).
Nhận xét 3.1.1 MP đã được biết đến là giới hạn của miền giả lồi ∆ ϵ η j ′ j◦Φη j ′ U 0 −
. Do đó,MP trở thành miền giả lồi Bởi vậy, hàm ρˆtrong (3.5) là đa điều hòa dưới, và do đó P là đa thức điều hòa dưới mà có toán tử Laplace không triệt tiêu khắp nơi.
3.1.2 Tính chuẩn tắc của dãy scaling
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một định lý dưới đây đảm bảo tính chuẩn tắc của dãy scaling, được dùng để chứng minh Mệnh đề 3.1.2.
Mệnh đề 3.1.1 (xem Định lý 3.11 trong [15]) Cho Ωlà một miền trong C n Giả sử rằng ∂Ω là giả lồi, kiểu D’Angelo hữu hạn và C ∞ -trơn trong lân cận điểm biên(0, ,0) ∈∂Ω Giả sử dạng Levi có đối hạng lớn nhất bằng 1 tại (0, ,0) ChoD là một miền trong C k và φ j : D → Ω là dãy các ánh xạ chỉnh hình sao cho ηj := φj(a) hội tụ tới (0, ,0) với điểm a nào đó thuộc D Khi đó, {Tj ◦φj}, với Tj = ∆ ϵ η j ′ j ◦Φ η ′ j , là chuẩn tắc và giới hạn của nó là các ánh xạ chỉnh hình từ D vào mô hình
) , trong đó P ∈ P2m Ở đây, P2m là tập các đa thức trên C, với giá trị thực bậc
≤2m và không chứa hạng tử điều hòa.
Mệnh đề 3.1.2 MP là song chỉnh hình với hình cầu đơn vị B n
Chứng minh Cho {ηj} ⊂ Ω là một dãy sao cho ηj → ξ0 = 0, j → ∞ và j→∞lim s Ω (η j ) = 1 Đặt δ j = 2 (1−s Ω (η j )) với mọi j Khi đó, theo giả thiết, với mỗi j, tồn tại một đơn ánh fj : Ω → B n sao cho fj(ηj) = (0 ′ ,0) và
B(0; 1−δj) ⊂ fj(Ω) Vì thế, theo [15, Mệnh đề 2.1] và giả thiết của Định lý 3.1.1, sau khi chọn một dãy thích hợp các đơn ánh chỉnh hình fj : Ω → B n mà sự tồn tại được đảm bảo bởi các giả thiết của hàm squeezing s Ω , với mỗi tập con compact K ⊂ B n và mỗi lân cận U0 của ξ0, tồn tại số nguyên j0 sao cho f j −1 (K) ⊂ Ω∩U0 với mọi j ≥ j0, tức là, fj(Ω∩U0) hội tụ tới B n Do đó, theo Mệnh đề 3.1.1 ta suy ra rằng dãy
Tj ◦f j −1 : fj(Ω∩U0)→ Tj(Ω∩U0), là chuẩn tắc và giới hạn của chúng là các ánh xạ chỉnh hình từ B n vào MP Hơn nữa, theo định lý Montel, dãy f j ◦T j −1 : T j (Ω∩U 0 )→f j (Ω∩U 0 )⊂ B n , cũng chuẩn tắc Chúng tôi cũng lưu ý thêm rằng dãy Tj ◦f j −1 là không phân kỳ compact do
Do đó, theo [15, Mệnh đề 2.1], sau khi chọn dãy con của
T j ◦f j −1 nếu cần, ta có dãy này hội tụ đều trên mọi tập con compact của B n tới một ánh xạ song chỉnh hình F từ B n vào MP, như mong muốn.
Nhận xét 3.1.2 Như trong [26], dãy {ηj} có thể chọn sao cho ηj hội tụ tới ξ0 dọc theo hướng pháp tuyến tới biên Do đó, P (z 1 ,z¯ 1 ) phải là các đa thức điều hòa dưới thuần nhất bậc 2m Tuy nhiên, lập luận như trong [5, Mục 3 và 4] (hoặc trong [15, Mục 4]), trong trường hợp này, P cũng là đa thức điều hòa dưới thuần nhất bậc 2m không chứa hạng tử điều hòa Hơn nữa, chúng ta có thể thấy thêm từ nhận xét ở trên là ∆P ̸≡ 0.
Bây giờ, ta giới thiệu kết quả chính đầu tiên trong chương này Cụ thể, ta có định lý sau đây. Định lý 3.1.1 Cho Ω là miền bị chặn trong C n với biên trơn, giả lồi Giả sử ξ 0 là một điểm biên của Ω có kiểu D’Angelo hữu hạn sao cho dạng Levi có đối hạng nhiều nhất là 1 tại ξ0 và tồn tại dãy {φj} ⊂Aut(Ω) sao cho ηj = φj(a)→ξ0 khi j → ∞ với a nào đó thuộc Ω Khi đó, nếu lim j→∞σ Ω (η j ) = 1 thì ∂Ω là giả lồi chặt tại ξ0.
Chứng minh Giả sử tồn tại dãy {φj} ⊂ Aut(Ω) sao cho ηj = φj(a) → ξ0 khi j → ∞ với a nào đó thuộc Ω Khi đó, theo [15, Định lý 1.1], Ω song chỉnh hình vớiM P Mặt khác, từ Mệnh đề 3.1.2, ta có M P song chỉnh hình với B n Như vậy, Ω song chỉnh hình với B n Vì vậy, ∂Ω là giả lồi chặt tại ξ0 (ξ0 có kiểu D’Angelo bằng 2) Vậy, định lý được chứng minh.
Như là một hệ quả, chúng tôi thu được một kết quả đã biết sau đây (xem trong [6, 26, 36]).
Hệ quả 3.1.1 Cho Ω là miền bị chặn trong C n với biên trơn, giả lồi Giả sử ξ 0 là một điểm biên của Ω có kiểu D’Angelo hữu hạn sao cho dạng Levi có đối hạng nhiều nhất là 1 tại ξ0 và nếu lim
Ω∋z→ξ 0 σΩ(z) = 1 thì biên ∂Ω là giả lồi chặt tại ξ0.
Nhận xét 3.1.3 Chúng ta biết rằng điểm biên ξ 0 trong trường hợp này là h- thác triển Do đó, nếu {η j } hội tụ
-không tiếp xúc tới ξ0 thì ξ0 là giả lồi chặt như đã đề cập ở trên Tuy nhiên, chúng tôi nhấn mạnh rằng, ở đây, dãy{η j } ⊂Ω là dãy bất kỳ hội tụ tới ξ 0
Dáng điệu biên của hàm squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính 55
3.2.1 Một số bổ đề kỹ thuật
Trước tiên, để chứng minh Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.3 dưới đây, chúng ta cần bổ đề sau đây mà là tổng quát hóa của [34, Bổ đề 2.5].
Bổ đề 3.2.1 Cho {ψj} ⊂Aut (DP) là dãy các tự đẳng cấu ψj(z, w)
2 mn−1q 1− |aj| 2 mn−1p 1 + ¯ajzn zn−1, z n +a j 1 + ¯a j z n
, trong đóa j ∈ (0,1)vớilima j = 1 Khi đó, vớis∈ (0,1)chúng ta cóψ j −1 (D P s )→ D P khi j → ∞ Thêm nữa, với 0 < ε < 1
2 và với lân cận U bất kỳ của (0 ′ ,1) trong C n , tồn tại số nguyên dương j0 ≥ 1 sao cho DP\B((0 ′ ,−1), ε) ⊂ ψ −1 j DP ∩U với mọi j ≥ j0.
Chứng minh Tính toán chỉ ra rằng zn+aj
Hơn nữa, bằng các tính toán trực tiếp ta có j→∞lim b(1−aj) 1 +aj −2ajb = 0, lim j→∞
Từ đó, ta suy ra ψ −1 j (D s P )→DP, j → ∞.
3.2.2 Hàm squeezing đối với miền lồi tuyến tính Trong phần này, cho Ω là một miền bị chặn trong C n với biên trơn, giả lồi.
Giả sử ξ 0 là một điểm biên của Ω theo kiểu hữu hạn D’Angelo sao cho ∂Ω là lồi tuyến tính tại ξ0 Hơn nữa, giả sử ∂Ω có kiểu hữu hạn 2m tại điểm ξ0 Chúng ta cũng có thể giả thiết thêm rằng ξ 0 = 0 Tồn tại lân cận U của ξ 0 = 0 trong C n sao cho Ω∩U là lồi tuyến tính và định nghĩa bởi hàm trơn ρ(z ′ , zn) = Re (zn) +h(Im(zn), z ′ ) trong đó h là hàm thuộc lớp C ∞ Chúng ta cũng có thể giả thiết thêm rằng tồn tại số thực dương ϵ 0 sao cho với mọi −ϵ 0 < ϵ < ϵ 0 , tập mức {ρ(z) = ϵ} là lồi tuyến tính.
Với mỗiϵ ∈(0, ϵ0/2), η ∈ Ω∩U với|ρ(η)| < ϵ0/2và với mỗi vectorv ∈S n−1 :{v ∈ C n : |v| = 1}, chúng ta đặt τ(η, v, ϵ) := sup{ρ > 0 :ρ(η+λv)−ρ(η)< ϵ với mọi λ ∈ C với |λ| < ρ}.
Khi đó, dễ thấy τ(η, v, ϵ) chính là khoảng cách từ η tới Sη,ϵ := {ρ(z) = ρ(η) +ϵ} dọc theo đường thẳng phức {η+λv : λ ∈C}.
Với mọi điểm η ∈Ω∩U và với mọi số dương ϵ đủ nhỏ, ta kết hợp
(1) Một hệ tọa độ chỉnh hình (z1, z2, , zn) tâm tại η và bảo toàn tính trực giao,
(2) Các điểm p 1 , p 2 , , p n trên siêu mặt S η,ϵ , (3) Các số dương τ1(η, ϵ), τ2(η, ϵ), , τn(η, ϵ).
Cách xây dựng được tiếp tục như sau Đặt en := ∇ρ(η)
|∇ρ(η)| và τn(η, ϵ) := τ (η, en, ϵ). Với ϵ đủ nhỏ, tồn tại duy nhất một điểm p n trong S η,ϵ mà có khoảng cách như trên Chọn một tham số hóa đường thẳng phức từ η tới pn sao cho zn(0) = η, pn thuộc trục thực dươngRe (zn) Bằng cách chọn trục thực đối với zn, chúng ta có
(η) = 1, và do đó, nếu U đủ nhỏ thì
Chúng ta cũng có τ n (η, ϵ)≈ ϵ (3.6) trong đó hằng số là độc lập đối với η và ϵ Bây giờ chúng ta xét đến thành phần trực giao Hn của không gian sinh bởi trục zn trong C n Với mỗi γ ∈ H1 ∩S n−1 , ta tính được τ(η, γ, ϵ) Do giả thiết về kiểu hữu hạn nên khoảng cách lớn nhất là hữu hạn và đạt được tại vector e 1 ∈ H n ∩S n−1 Ta có tập τ 1 (η, ϵ) := τ (η, e 1 , ϵ).
Lấy p1 ∈ Sη,ϵ là một điểm sao cho p1 =η+τ1(η, ϵ)e1 Tọa độ z1 được xác định là tham số hóa của đường thẳng phức từ η tới p2 sao cho z1(0) = η và p1 nằm trên trục thực dươngRe (z1) Tiếp theo, ta định nghĩaH1 như là thành phần trực giao của không gian sinh bởi z 1 và z n và lặp lại cách xây dựng như trên Cứ tiếp tục quá trình đó, chúng ta thu đượcn hàm tọa độzk, các vectorek, các số τk(η, ϵ)và các điểm triệt tiêu pk(1 ⩽ k ⩽ n) Đặtzk = xk+iyk(1⩽ k ⩽ n), ký hiệu cho các tọa độ thực.
Chúng ta giả thiết rằng ξ0 là điểm tụ của dãy các tự đẳng cấu của Ω Đặt {ηj} ⊂Ωlà dãy hội tụ tớiξ0 Thêm nữa, chúng ta có thể giả thiết rằng ηj ∈ Ω∩U với mọij Ta đặt tậpϵ j :=−ρ(η j )với mọij Khi đó, bằng cách lập luận như trên, chúng ta xây dựng một hệ tọa độ mới z 1 j , , z n j
, các số dương τj,1, , τj,n, và các điểm p j 1 , , p j n liên kết với ηj và ϵj.
Sự thay đổi hệ tọa độ từ hệ tọa độ chính tắc sang hệ tọa độ z 1 j , , z n j là do sự kết hợp của phép tịnh tiến Tj và phép biến đổi unitaAj Thêm nữa, chúng ta có thể giả thiết rằng (Aj ◦Tj) −1 là xác định trong một lân cận cố định của gốc tọa độ và do đó kéo theo hàm xác định ρ j được định nghĩa bởi ρ j := ρ◦(A j ◦T j ) −1 , xác định trong một lân cận cố định của 0 bởi ρj(z) =−ϵj + Re n P k=1 a j k zk
C αβ j z ′α z ′β +O(|z| 2m+1 ), trong đú α = (α 2 , , α n ),|α| = α 2 + ã ã ã+α n and z ′α = z 2 α 2 z n α n Chỳng ta cũng lưu ý rằng O(|z| 2m+1 ) là độc lập với j. Đặtρ◦Alà giới hạn củaρj khij → ∞, trong đóAlà phép biến đổi unita và giới hạn này hội tụ trongC ∞ trên một lân cận compact cố định củaξ 0 Khi đó, với mọi k nhỏ hơn hoặc bằng n và với mọi đa chỉ số α và β thỏa mãn 2⩽ |α|+|β| ⩽ 2m, tồn tại các số phức ak và Cαβ sao cho j→∞lim a j k =ak và lim j→∞C αβ j = Cαβ. Bây giờ, chúng ta xét phép co giãn Λj(z) := (τj,1z1, , τj,nzn) và hàm số ˜ ρj = 1 ϵj ρj◦Λj.
Vì thế, hàm xác định ρ˜j có dạng như sau ˜ ρ j (z) = −1+1 ϵj
, trong đó τ j α+β = τ j,2 α 2 +β 2 τ j,n−1 α n−1 +β n−1 Hơn nữa, từ [39, Mệnh đề 3.1] ta có hàm ˜ ρj là trơn và đa điều hòa, và sau khi chọn một dãy con thích hợp, chúng ta có thể giả sử rằng {ρ˜ j } hội tụ đều trên mọi tập compact của C n tới một hàm đa điều hòa trơn ρ˜có dạng ˜ ρ(z) =−1 + Re n P k=1 bkzk
+P (z ′ ), trong đó P là một đa thức đa điều hòa có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2m.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ ký hiệu Γj := Λ −1 j ◦Aj ◦Tj với mọi j Khi đó, ta có thể suy ra rằng {Γj(Ω∩U)} hội tụ tới mô hình
, mà MfP rõ ràng là song chỉnh hình với mô hình
Chúng ta sẽ xem xét dãy các ánh xạ song chỉnh hìnhF j : f j (Ω∩U)→Γ j (Ω∩U) xác định bởi Fj = Γj ◦f j −1 Do Fj(0) = 0 ∈ MfP nên ta suy ra dãy {Fj} không phân kì compact Hơn nữa, tính chuẩn tắc của {Fj} được đảm bảo bởi [39, Bổ đề 4.1].
Mục đích đầu tiên của phần này là chứng minh định lý sau đây: Định lý 3.2.1 Cho Ω là một miền bị chặn trong C n với biên trơn, giả lồi Giả sử ξ0 là một điểm biên của Ω theo kiểu hữu hạn D’Angelo sao cho ∂Ω là lồi tuyến tính tại ξ 0 và tồn tại dãy {φ j } ⊂ Aut(Ω) sao cho η j = φ j (a)→ξ 0 khi j → ∞ với a nào đó thuộc Ω Khi đó, nếu lim j→∞σΩ(ηj) = 1 thì ∂Ω là giả lồi chặt tại ξ0.
Chứng minh Cho {ηj} ⊂Ω là một dãy cho bởi Định lý 3.2.1, tức là lim j→∞ηj = ξ0 và lim j→∞ s Ω (η j ) = 1 Trước tiên, chúng ta đặt δ j = 2 (1−s Ω (η j )) với mọi j.
Khi đó theo giả thiết, với mỗi j, tồn tại ánh xạ chỉnh hình liên hợp fj : Ω → B n sao cho fj(ηj) = (0 ′ ,0) và B(0; 1−δj) ⊂ fj(Ω) Khi đó, theo [15, Mệnh đề 2.2] và theo giả thiết của Định lý 3.2.1, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng với mỗi tập compact K ⋐ B n và với mỗi lân cậnU của ξ0, tồn tại số nguyên dương j0 sao cho f j −1 (K)⊂Ω∩U với mọi j ⩾ j0, tức là fj(Ω∩U) hội tụ tới B n Tiếp đến, từ [39, Bổ đề 4.1] suy ra rằng dãy Γ j ◦f j −1 : f j (Ω∩U)→Γ j (Ω∩U)là chuẩn tắc và giới hạn của dãy là ánh xạ chỉnh hình từ B n vào MfP Hơn nữa, theo định lý Montel, dãy fj ◦Γ −1 j : Γj(Ω∩U) → fj(Ω∩U) ⊂ B n cũng là chuẩn tắc.
Thêm nữa, dãy Γj ◦f j −1 không phân kỳ compact do Γj ◦f j −1 (0,0 ′ ) = (0,0 ′ ).
Do đó, theo [15, Mệnh đề 2.1], sau khi chọn dãy Γ j ◦f j −1 chúng ta có thể giả thiết rằng tồn tại dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact củaB n tới ánh xạ song chỉnh hình F từ B n vào MfP Mà MfP song chỉnh hình với MP nên B n song chỉnh hình với M P
Mặt khác, theo [39, Định lý 1.1], Ω cũng song chỉnh hình với MP, và do đó, Ω là song chỉnh hình với hình cầu đơn vị B n Vì vậy, ∂Ω là giả lồi chặt tạiξ0 (ξ0 có kiểu D’Angelo bằng 2) Vậy, ta chứng minh xong định lý.
Trong phần này, chúng ta giả sử rằng miền DP là miền W B, tức làDP là giả lồi chặt tại mọi điểm biên bên ngoài tập
Với s, r ∈ (0,1], lấy cảm hứng từ [34, Bổ đề 2.5], ta định nghĩa các miền D p s và D s,r p lần lượt bởi
, trong đós = 1−b Chúng ta lưu ý rằng D P s = D s,1 P và limψ j −1 (D P s ) = DP với họ bất kì {ψ j } ⊂ Aut (D P ) đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh kết quả chính dưới đây. Định lý 3.2.2 Cho Ω là miền con của DP sao cho D s P ⊂ Ω⊂ DP với s∈ (0,1].
Khi đó, với mọi r∈ (0,1), tồn tại γ0 phụ thuộc vào r sao cho σΩ(z)≥ γ0,∀z ∈ D s,r P ∩Ω.
Chứng minh Đặtq = (q ′ , q n )∈D P s,r gầnp= (0 ′ ,1) Do tính bất biến củaD s,r , D P qua phép quay (z ′ , zn) 7→ z ′ , e iθ zn với θ ∈ R thỏa mãn Im e iθ qn
= 0, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng Im (qn) = 0 với mọi j ⩾1.
Bây giờ chúng ta xét đến các tự đẳng cấu ψ a ∈Aut (D P ), cho bởi ψa(z) 2mp1
Khi đó, từ Bổ đề 3.2.1 ta suy ra a→1limψ a −1 (Ds,r) =DP,r; lim a→1ψ a −1 (Ω) = DP, trong đó DP,r := DP/r = n z ∈ C n :|z n | 2 + 1 r P (z ′ ) δ/d >0,∀q ∈ E r ∩B(0;ϵ0),trong đó d ký kiệu cho đường kính của DP và δ := dist (Zρ(P), Z1(P))/2 vớiZ ρ (P) = {z ′ ∈ C n−1 :P (z ′ ) =r}.
Nhận xét 3.2.1 Lưu ý rằng điểm p= (0 ′ ,1) là (P, s)-cực trị đối với mỗi miền Ωj
(xem [44, Định nghĩa 1.1] về điểm cực trị (P, s)) và sự hội tụ của dãy điểm trong
D s,r P tới p chính là sự hội tụ Λ-không tiếp xúc đã được giới thiệu trong [42, Định nghĩa 3.4].