ứng dụng định lí điểm bất động xác định giá trị gần đúng cho nghiệm của phương trình

Nếu x 1 thỏa mãn điều kiện trên thìx 1chính là nghiệm gần đúng của phương trình.. Còn nếu x không thỏa mãn điều kiện trên thì1 ta làm lại thuật toán từ đầu với x0=x1.. Để có được điều đó

ĐỀ TÀI 8:

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 1

1) Dương Sơn Vĩnh

2) Trần Gia Minh

3) Nguy n Th Thu H ng ễ ị ồ

4) Phan Th M ng Quị ộ ỳnh

Trang 1

I ĐẶT V ẤN ĐỀ

Giả s ử[ , ]a b là kho ng cách ly nghiả ệm của phương trình f x( ) =0( )∗

Tìm nghiệm ủ phương trình c a ( )∗ trong [ , ]a b bằ ng cách dùng đ nh lý điểm bất động ị

và biểu diễn nghiệm dưới dạng thập phân gần đúng, ạng chuẩn tắc vớd i sai số

.10k ( {0,1, ,9}

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Phân tích ý tưởng ủ c a phương pháp dùng đ nh lý điểm bất động ị

Đầu tiên, ta đưa phương trình ( )∗ v ề phương trình tương đương:

( )x

x=ϕ (1) Tiếp theo, ta chọn x0∈[a,b] làm nghi m gệ ần đúng ban đầu của (1)

Thay x =x0vào v ph i cế ả ủa (1), ta nhận được nghiệm gần đúng thứ nh t: ấ

( )0

1 x

x=ϕ (2) Thay x0 =x1vào v ph i cế ả ủa (2), ta nhận được nghiệm gần đúng thứ hai:

( )1

2 x

x=ϕ Lặp l i nhi u l n quá trình trên, ta nhạ ề ầ ận được các nghiệm gần đúng:

( )2

3 x

x=ϕ ( )3

4 x

x=ϕ

………

( 1)

= n

n x

x ϕ (3)

…………

Nếu dãy các nghi m gệ ần đúng { }xn ,n=1,2,3 được xây dựng như trên hộ ụ, nghĩa là:i t

*

lim xn x

+∞

→ (4) Khi đó, từ(3) và (4) ới gi thi t hàm s ( ), v ả ế ốϕx liên t c trên [a,b], ta suy ra: ụ

= +∞

→ n

nlim x ( )− =

+∞

lim n

n ϕ x ( lim −1)

+∞

→ n

n x

hay x* = xϕ ( )∗

Điều này chứng t r ng ỏ ằ x* là nghiệm đúng của phương trình (1) và do đó cũng là nghiệm

đúng của phương trình ( )∗ Và vớ n khá l n, chúng ta có thi ớ ể xem xn là x p xấ ỉ của nghiệm

*

x

2 Cơ sở oán họ t c

2.1 Các định lý cơ sở

 Định lý 1 ( Nguyên lý ánh x co ) ạ

Cho hàm s ốϕ:[ ] [ ]a,b→ ,b

Giả s có ử q∈[0 ,1) sao cho ϕ( ) ( )x ϕ−y q≤x y− ,x∀y, [ ]∈b, (**)

Khi đó:

i) T ồn tại duy nhất x∗.∈[ ],b:ϕ( )x∗ =x∗ (x∗.được gọi là điểm bất động c a ủ ϕ) ii) Dãy { }xnn∈N định bởi :

( ), 01, , 2

1 0





=

=

=

+ x n x

c x

n

n ϕ với c ∈[ ]b,

là dãy h i t v ộ ụ ềx ∗

Hơn nữa, ta có các ước lượng:

*

1 0

1

n n

q

q

−

hoặc

*

1

1

n n n

q

−

Chứng minh

a Chứng minh tính duy nhất của điểm bất động x ∗

Giả s ử x ∗, y ∗ là hai điểm bất động c a ϕ ủ

Khi đó, ta có:

=

− ∗

∗ y

x. ϕ( ) ( )x ∗ −ϕy∗ ≤qx ∗− y∗⇒(1−q)x ∗−y∗≤0

Do q 1 nên t bừ ất đẳng th c trên, ta suy ra: ứ x ∗−y∗=0⇒ x ∗=y ∗

Trang 3

b Chứng minh tính tồn tạ ủ i c a điểm bất độngx ∗

Ta có, ∀ ∈n N:

1 1 1 n 1 0

n n n n n n

x+ −x =ϕ x −ϕ x− ≤q x−x− ≤ ≤q x− x (1)

Khi đó, ∀n p, ∈N:

1 1 2 1

n p n n p n p n p n p n n

x+ −x ≤x+ −x+ −+ x+ −− x+ − + + x+ − x

1 1 2 1

n p n p n p n p n n

x+ x+ − x+ − x+ − x+ x

1 0 1 0 1 0

n p n p n

1 0

= q xn −x qp − + qp − + + 1

1 0

1 =

1

p

n q

q x x

q

−

−

−

Như vậy, xn p+ −xn≤ 1 01

1

p

n q

q x x

q

−

−

− (2)

Do q 1 nên (1) ch ng t ứ ỏ( )xn n N∈ là dãy Cauchy nên ( )xn n N∈ h i t ộ ụ

Đặt x ∗=limxn Khi đó x ∗là điểm bất động của ϕ

Thật v y, ta có: ậ

.

( )x (lim ) lim ( )xn xn

ϕ ∗ =ϕ = ϕ (do ϕ liên tục)

=limxn+1=x ∗

c Chứng minh các ước lượng

- Từ công thức (2) ở trên, cho p→ +∞ ta được: * 1 1 0

n n

q

q

- Mặt khác, ta có: ∀n p, ∈N,

xn p+ −xn≤xn p+ −x+ −n p1+ x+ −n p1− x+ −n p2+ + +xn1− xn

1 1 2 1

n p n p n p n p n n

x+ x+ − x+ − x+ − x+ x

1

1

1

1

p p

n n n n n n p

n n

q

q

−

−

−

− Cho p→ +∞ ta được n * 1 n n 1

q

− Như vậy, định lý đã hoàn toàn được chứng minh

Nhận xét

Có nhiều cách đ đưa phương trình ể f( )x =0 v d ng ề ạ x=ϕ( )x, t c là có nhiứ ều cách chọn hàm ϕ( )x Nhưng ta cần ch n hàm s ọ ốϕ( )x thỏa mãn điều kiện (**) trong định lí 1 để dãy xấp xỉ liên tiếp { }xnn∈N hội t , và tụ ừ đó ta mới có thể tìm được nghi m gệ ần đúng xn b ng ằ các ước lượng như trong định lí 1 Tuy nhiên, trong nhi u bà i toán, ề dùng điều kiện (**) để kiểm tra hàm ϕ( )x s gẽ ặp nhiều khó khăn trong quá trình tính toán Do vậy, t ừ tính ch t cấ ủa ánh x co, ta sạ ẽ đưa ra một “công cụ” khác để kiểm tra điều ki n cệ ủa hàm ϕ( )x một cách dễ dàng hơn Đó chính là mệnh đề sau đây

 Mệnh đề

Cho ϕ:[ , ]a b→[ , ]a blà hàm liên tục trên[ , ]a b và kh vi trong ả (a b, )

Khi đó ϕ là hàm co trên [ , ]a b khi và chỉ khi t n t ồ ại 0≤ <q 1 sao cho '( )x q, x( , )a b

Chứng minh

- CM chi u thu n: ề ậ ϕ là hàm co trên [a,b] ⇒ T n tồ ại 0≤ < sao cho: q 1

'( )x q, x ( , )a b

ϕ ≤ ∀ ∈

Lấy x0 ∈( , )a b, do ϕ là hàm co trên [a,b] nên t n t i ồ ạ0≤ < sq 1 ao cho:

{ }

0

0 0 0 0 0

( ) ( ) , [ , ] \ ( ) ( )

( ) ( ) lim

'( )

x x

x x q x x x a b x

q

x x

q

x x

x q

ϕ

→

−

−

−

−

- CM chi u nghề ịch:

Giả s t n t i ử ồ ạ 0≤ < sao cho: '( )q 1 ϕ x≤ ∀ ∈q, x ( , )a b (1)

Ta c n CMầ : ϕ là hàm co trên [a,b]

Ta có: ϕ liên t c trên [a,b] và kh ụ ả vi trong (a,b) Khi đó, theo định lý Lagrange ta có: , [ , ], ( , ) : ( ) ( ) '( ) '( )

Vậy ϕ là hàm co trên [a,b]

Trang 5

Ví d ụ

: Xét phương trình bậc 3 ( )f x= 3x+ −x1000 0=

Ta có: (9) 0f < <f(10 Do đó ( )f x có nghiệm * [9,10]x ∈

Ta có th ể đưa phương trình đã cho về các ạd ng x=ϕ( )x như sau:

3 1

2 2

3

3

i) ( ) 1000

1000 1

ii) ( )

iii) ( ) 1000

ϕ

ϕ

ϕ

Ta lần lượt xét s h i t c a nghi m trong tự ộ ụ ủ ệ ừng trường h p: ợ

1 [ 9 ,10 ]1

2 3 2 [ 9 ,10 ] 2

2

3 [ 9 ,10 ] 3 3

i) ' ( ) 3 ; suy ra max ' ( ) 3.10 300 1

ii) ' ( ) ; suy ra max ' ( ) 2,71 1

729 81

iii) ' ( ) 1000 ; suy ra max ' ( ) 0,031

x x x

∈

∈

−

∈

−

 

 

Như vậy, cách đưa về hàm ϕ( )x trong hai trường h p i) và ii) cho ta phép lợ ặp phân k , còn ỳ trường h p iii) thì cho ta phép l p h i t nhanh ợ ặ ộ ụ

Chú ý

Với λ≠0, ta có:

f x= ⇔ = +x xλ f x

⇔ =x ϕ( )x v i ớ ϕ( )x= +xλ f x( ) (*)

Giả s [a,b] là khoử ảng cách li nghiệm (*)và f x'( ) 0> trên [a,b]

Đặt '( ), '( )

a x b a x b

M Max f x m Min f x

≤ ≤ ≤ ≤

Đặt 1, = 1q m

Xét hàm ϕ( )x dạng (*)

Ta có: '( ) 1x f x'( )

M

Vì 0 m f x'( ) M nê '( ) 1n x f x'( ) 1-m q 1

ϕ

< ≤ ≤ = − ≤ = < ,∀ ∈x [ ]a b,

Như vậy, ϕ( )x được xây dựng như trên thỏa mãn điều ki n th nh t cệ ứ ấ ủa định lý cơ sở

Và ta cũng có th chể ứng minh được r ng với cách ch n ằ ọ 2

m M

λ= − + thì ϕ( )x tạo ra dãy l p ặ hội t nhanh nhụ ất với s ốq M m

M m

−

= + , trong đó a x b | '( ) |, a x b | '( )

M Max f x m Min f x

≤ ≤ ≤ ≤

 Định lý 2

Giả s ử sao cho là hàm liên tục trên [ , ]a b và kh vi trong ả ( )a b, thỏa mãn:

i) ∀ ∈x ( , ) ,a bϕ'( )x≤ <q1

ii) ∀ ∈x [ , ] , ( ) [ , ]a bϕ x∈ a b

Khi đó:

- Tồn tại duy nhất x ∗∈[ ],b:ϕ( )x∗ =x∗

- Dãy { }xn n∈N định bởi :

( ), 0 ,1,2

1 0



+ x n x

c x

n

n ϕ với c ∈[ ]b,

là dãy h i t v ộ ụ ềx ∗

Hơn nữa, ta có các ước lượng:

*

1 0

1

n n

q

q

−

hoặc

*

1

1

n n n

q

−

Từ nh lý 1 và mđị ệnh đề ở trên, ta suy ra được định lý 2

2.2 Hai cách đánh giá sai s cố ủa nghiệm gần đúng

- Cách 1: s d ng công thử ụ ức *

1 0

1

n n

q

q

− làm ước lượng tiên nghiệm, nghĩa

là cho trước ε , sau khi biết được x1 (sau l n l p th nh t), ta có th ầ ặ ứ ấ ể xác định được số bước lặp n sao cho sai s ố ở bước th ứ n không vượt quá ε, khi đó ta sẽ nhận được nghiệm g n ầ đúng xnđạt độ chính xác ε

Thật vậy:

Trang 7

Muốn *

n

x −x ≤ε, ta ch c n ỉ ầ 1 0

1

n

q

x x

1 0

(1 ) ln

1 ln

q

x x n

q

ε −

Ta có th ể chọn 1 0

(1 ) ln

1 ln

q

x x n

q

ε −

- Cách 2: s d ng công thử ụ ức *

1

1

n n n

q

− ti n l i trong quá trình tính toán ệ ợ

vì nó cho ta ước lượng hậu nghi m N u sai s gi a hai x p x liên ti p ệ ế ố ữ ấ ỉ xnế xn1 1 q

qε

−

−

*

n

x −x ≤ε

2.3 Vấ n đ tìm nghiệm gần đúng của phương trình ề và biểu diễn nghiệm dướ ại d ng

thập phân gầ n đúng, d ng chuẩn tắc với sai s ạ ố 10p − k (p∈{0,1, ,9})

Có hai vấn đề cần giải quyết:

Vấn đề 1

- Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x=ϕ( )x với sai số đặt ra bằng cách sử dụng định

lý điểm bất động

Vấn đề 2

- Biểu diễn nghiệm gần đúng vừa tìm được dưới dạng thập phân gần đúng ạng chu n td ẩ ắc với sai s ố 10p − k (p∈{0,1, ,9})

Giải quyết v ấn đề 1

Giả sử x∗ là nghiệm đúng của phương trình x=ϕ( )x

Sau khi xây d ng hàm ự ϕ thỏa mãn các điều ki n cệ ủa định lý để d ã y lặp h i tộ ụ bao gồm c ả ( xác định h s co ệ ố q), để tìm gần đúng của phương trình x=ϕ( )x với sai số đặt ra, ta sẽ sử dụng công thức: *

1

1

n n n

q

− Đầu tiên, đặt x1= ϕ( )x0 thì sai số định bởi: *

1− ≤1 1− 0

−

q

q

Trong thực hành, nhiều khi ta không thể tính chính xác được giá trị x1= ϕ( )x0 nên ta gọi x 1

là giá tr làm tròn cị ủa x1= ϕ( )x0 n đế t chữ ố s sau d u phấ ẩy (t k≥ )

Và ta cần đánh giá 1

∗

−

x x thỏa mãn: 1

∗

− ≤

x x ε với ε là sai số do phương pháp đặt ra

Nếu x 1 thỏa mãn điều kiện trên thìx 1chính là nghiệm gần đúng của phương trình

Còn nếu x không thỏa mãn điều kiện trên thì1 ta làm lại thuật toán từ đầu với x0=x1 Và ta thực hiện lại quá trình trên cho tới khi tìm được x 1 thỏa mãn điều kiện thì dừng thuật toán Bây giờ ta cần xác định 1

∗

− ≤

x x ε

Ta xét

• x∗ là nghiệm đúng của phương trình

• x là giá tr làm tròn c1 ị ủa x1= ϕ( )x0 đến t chữ s sau d u phố ấ ẩy (t k≥ )

• x là giá tr làm tròn cị ủa x1đến k chữ ố s sau d u phấ ẩy.

Khi đó, nghiệm ghi ở dạng thập phân gần đúng, dạng chu n t c vớẩ ắ i sai s ố 10k ( {0,1, ,9})

p − p∈ cần tìm là: x∗= ±x p.10− k

- Trước hế đểt, ϕ ( )x1 xác định, ta c n có ầ x1∈[ ]a b, Để có được điều đó, ta chỉ cần lấy

,

a bcó tối đak chữ số sau dấu phẩy

- Ti p theoế , ta đánh giá sai số x x: − ∗

1 10 2

− ≤ − + − ≤ k+ −

Để x x− ∗≤ p.10− k v i ớ p∈{0,1, ,9}, ta chỉ c n: ầ x1−x∗ ≤8,5.10− k (nghĩa là sai số do

phương pháp không vượt quá 8,5.10−)

Để ễ d dàng hơn trong quá trình tính toán, ta chọn: ε =8.10 k

Khi đó, ta cần: x1−x∗≤ =ε 8.10− k

- Tiếp theo, ta đánh giá sai số: 1

∗

−

x x

Ta có:

Trang 9

1 1 1 1

− ≤ − + −

−

−

t q

x x q

( 1 1 1 0)

1

.10

−

−

t q

x x x x

q

1 0

.10 10

x x

1 10

−

t q

x x

Suy ra:

( )

1

.10

t q

Khi đó, để : x1−x∗ ≤ =ε 8.10− k, ta ch cỉ ần cho ( ) 1 0

1 10

t q

x x

Ta có thể cho:

( )

1 0

1

.10

−

 −



 −



t

q

q

x x

q

ε

ε

( ) ( )

1 0

log 1 1 2

 ≥ −  − 



− ≤





q

x x

q

ε

Kết luận vấ n đ 1 ề

- Để tìm được x1 thỏa mãn điều kiện đặt ra là: 1 ∗ 8.10−

x x ε , ta c n làm tròn các s ầ ố

hạng của dãy đế t chữ s sau d u phn ố ấ ẩy vớt i là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:

1 log (1

≥

− t

q ε

- Sau đó ta tính (1 )

2

−

∆ =ε qq

ε

và ∆ =x1−x0

- Nếu ∆ ≤ ∆ε thì thì x 1 chính là nghiệm gần đúng của phương trình

- Còn nếu x không thỏa mãn điều kiện trên thì1 ta làm lại thuật toán từ đầu với x0= Và x1

ta thực hiện lại quá trình trên cho tới khi tìm được x thỏa mãn điều kiện thì dừng thuật 1 toán

Giải quyết v ấ n đ ề 2

Sau khi tìm được x1 là nghiệm và lấy x là giá trị làm tròn của x1 đến k chữ số sau dấu

phẩy, ta cần tìm p∈{0,1, ,9}: x x− ∗≤ p.10− k

Ta đã có:

1

1

.10

2

− ≤ k+ −

( )

q q , với ∆ = x1−x0

Để x x− ∗ ≤ p.10− k, ta ch c n: ỉ ầ

( )

p

( )

− +

t k q k

p

Ta chọn p nh nh t thỏ ấ ỏa yêu cầu trên

Như vậy, ta tìm được nghiệm của phương trình ở ạ d ng bi u di n th p phân gể ễ ậ ần đúng, dạng chuẩn tắc là: x∗= ±x p.10−k

3 Thuật toán và ví d ụ

3.1 Thu t toán ậ

Tên thuật toán: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp điểm bất động

Input: f x a b k( ), , , ,ε= 8.10− k {a b, có tối đa k chữ số sau dấu phẩy}

Output: x∗ {Ghi dưới dạng bi u di n th p phân gể ễ ậ ần đúng, dạng chu n tẩ ắc}

Giải thu t: ậ

Bước 1

- Xây dựng hàm ϕ thỏa mãn các điều ki n cệ ủa định lý để dãy lặp hộ ụi t (bao g m c ồ ả xác

định h s co ệ ố q)

Bước 2

- Tính 1

2

q

q

ε − ε

∆ =

- Tìm t là số nguyên dương nh ỏ nhất th a : ỏ log 1

(1

≥

− t

q ε

Trang 11

- Chọn x0 ∈[ ]a b,

Bước 3:

- Gán x:=ϕ( )0x (v i ớϕ( )x0 là làm tròn của ϕ( )x0 đến t chữ ố s sau d u phấ ẩy)

- Gán ∆ = −: x x0

Bước 4

- N u ế ∆ ≤ ∆ε thì:

 Đặt x là giá tr làm tròn c a ị ủx n đế kchữ s sau d u phố ấ ẩy

 Tìm p N∈ nh nh t thỏ ấ ỏa mãn: 1 10 10 1

t k q k

p

− +

 Xu t nghi m ấ ệ x* = ±x p.10− k và k t thúc ế

- Gán x0:=x và quay lại bước 3

Bảng thu t toán ậ

0 x0 ∈[ ]a b,

1

1 ( )0

2

2 ( )1

i

1

( )

i i

x=ϕ x− xi−xi−1

n

1

( )

n n

x =ϕx− xn−xn−1

3.2 Ví d ụ

Ví dụ 1

Cho phương trình: x+log x=2( )∗ có nghiệm trên [ ]1, 2

sai s ốp.10− 3

Giải

Ta có: ( )∗ ⇔ = −x2 logx

Suy ra ϕ( ) 2 logx= − x

.ln10 ln10 ln10

1

ln10

q

⇒ =

Mặt khác:

[ ]

1 2 0 log log 2 1 2 log 2 2 log

( ) 1, 2

x

ϕ

Vậy ϕ( )x thỏa điều ki n áp dệ ụng định lý điểm bất động

Chọn 0x 1, 5= ∈[ ]1, 2

Xét ε=8.103 − Khi đó, ta có:

(1 ) 1 ln101 .8.103

0, 0052 1

ln10

q q

ε

ε  −  −

Ta tìm t là s ố nguyên dương nhỏ nh t thấ ỏa:

3

1

ln10

−

t

q ε

3

⇒ =t

Như vậy, ta s làm tròn các ẽ x1=ϕ( )x0 n ch s th 3 sau d u phđế ữ ố ứ ấ ẩy

Ta tính các x1 t i lúc ớ ∆ = 1x− 0x≤ ∆ =ε 0,0052thì dừng thu t toán ậ

Trang 13

Ta l p bậ ảng sau: Bảng chi ti t th hi n vi c ch n l i xế ể ệ ệ ọ ạ 0ban đầu:

0 1,5

1 1,824 0,324

2 1,739 0,085

3 1,760 0,021

4 1,754 0,006

5 1,756 0,002 < ∆ε

Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của ( )∗ là 1,756

Bây gi , ta tìm ờ p N∈ nh nh t thỏ ấ ỏa mãn:

3 3 3

1

t k q k

p

Suy ra: p=3

Vậy phương trình có nghiệm *x=1, 756± 3.10− 3

Ví dụ 2

Cho phương trình: 53x −20 x+ =3 0( )∗ có nghiệm trên [ ]0,1

n xn=ϕ(xn−1) ∆n

1 1,823908741…

0 1,824 1,824 1,5− = 0,324

1 1,738975166…

1 1,759700418…

1 1,754487332…

1 1,755970411…

0 1,756 0,002 < ∆ε

Giải

Để áp d ng thu t toán của phương pháp điểm bất động, ta đưa phương trình ụ ậ ( )∗ v d ng : ề ạ

( )

x=ϕx v i ớ ( ) 53 3

20

x x

Ta kiểm tra các điều ki ện của hàm ϕ

i '( ) 15 2 3 1

20 4

x

ϕ = < = < ,∀ ∈x [ ]0,1

ii 0 ( ) 8

20

x

ϕ

≤ ≤ ,∀ ∈x [ ]0,1 Nghĩa là: ϕ( )x∈[ ]0,1 ,∀ ∈x[ ]0,1

Như vậy, ϕ thỏa các điều ki n cệ ủa định lý cơ sở nên dãy{ }xn n∈Nđịnh bởi:

( ), 0 ,1,2

1 0





=

=

=

+ x n x

c x

n

n ϕ v iớ c ∈[ ]b,

là dãy h i t v ộ ụ ềx ∗ là nghi m duy nh t cệ ấ ủa phương trình trên [ ]0,1

Chọn x0=0,5∈[ ]0,1

Chọn ε=8.104 − Khi đó, ta có:

(1 ) 1 34 .8.104 4.104

3

4

q q

ε

 − 

 

Ta tìm t là s nguyên ố dương nh nh t thỏ ấ ỏa:

4

3

4

t

q

4

⇒ =t Như vậy, ta s làm tròn các ẽ x1=ϕ( )x0 n ch s th 4 sau d u phđế ữ ố ứ ấ ẩy

Ta tính các x1 t i lúc ớ 1 0 4

4 10 3

−

∆ = x−x ≤ ∆ =ε thì dừng thu t toán ậ

Trang 15

Ta l p bậ ảng sau: B ng chi ti t th hi n viả ế ể ệ ệc chọ ại xn l 0ban đầu:

0 0,5

1 0,1813 0,3187

2 0,1515 0,0298

3 0,1509 0,0006

4 0,1509 0 < ∆ε

Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của ( )∗ là: 0,1509

Bây gi , ta tìm ờ p N∈ nh nh t thỏ ấ ỏa mãn:

4 4 4

3

t k q k

p

Suy ra: p 3

Vậy phương trình có nghiệm *x=0,1509± 3.104

Ví dụ 3

Cho phương trình: 3 x−cosx=0( )∗ có nghiệm trên 0,

2 π

 

 

 

sai s ốp.10− 3

n xn=ϕ(xn−1) ∆n

0 0,1813 0,1813 – 0,5 0,318=

1 0,1514898187…

1 0,1508693165…

1 0,1508590288…

Giải

Ta có: ( )∗ cos

3

x

x

⇔ =

Suy ra: ( ) cos

3

x

x

Ta kiểm tra các điều ki ện c a ủ hàm ( ) cos

3

x x

x

ϕ = − < = < , 0;

2

x  π

∀ ∈  Mặt khác:

1

0 ( )

3

x

ϕ

2

x  π

∀ ∈  Nghĩa là: ϕ( )x ∈0;π2 ,∀ ∈x 0;π2

Vậy ( )ϕx thỏa điều kiện áp dụng định lý phương pháp điểm bất động

Chọn 0 0,5 0,

2

x =  π

∈  

Xét ε=8.103 − Khi đó, ta có:

(1 ) 1 31 .8.103 3

8.10 1

3

q q

ε

 − 

 

Ta tìm t là s ố nguyên dương nhỏ nh t thấ ỏa:

3

3

−

t

q

3

⇒ =t Như vậy, ta s làm tròn các ẽ x1=ϕ( )x0 n ch s th 3 sau d u phđế ữ ố ứ ấ ẩy

1 0 8.10−

∆ = x−x ≤ ∆ =ε thì dừng thu t toán ậ

Trang 17