Bài Tập Lớn Toán Kinh Tế 2 Chương4.Pdf

Bài 15: Trong một ngày tại một chi nhánh ngân hàng MB, số khách đến rút tiền và gửi tiền đều theo luật Poisson.. Giả sử trung bình một ngày số khách rút tiền là 20 người, gửi tiền là 22

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG KHOA KINH DOANH QUỐC TẾ

- -BÀI TẬP LỚN TOÁN KINH TẾ 2

Nội dung: CHƯƠNG 4

Giảng viên: Nguyễn Văn An Nhóm 4

Bài 15: Trong một ngày tại một chi nhánh ngân hàng MB, số khách đến rút tiền

và gửi tiền đều theo luật Poisson Giả sử trung bình một ngày số khách rút tiền là

20 người, gửi tiền là 22 người Giả sử việc rút tiền và gửi tiền là độc lập với nhau Tính xác suất để trong một ngày nào đó số khách đến rút tiền và số khách đến gửi tiền là 25 người

LỜI GIẢI:

Gọi X: = “ Số khách đến rút tiền trong một ngày”

Y: = “ Số khách đến gửi tiền trong một ngày”

X Poisson (20) ; Y Poisson (22)

Xác suất để trong một ngày nào đó số khách đến rút tiền và khách đến gửi tiền đều

là 25 người là:

P ( X=25, Y=25 ) = P (X=25) P (Y=25)

=

= 0,0029

Vậy xác suất để trong một ngày nào đó số khách đến rút tiền và khách đến gửi tiền đều là 25 người là 0,0029

Bài 16: Thời gian để thực hiện một giao dịch ở một cây ATM (đơn vị: phút) là

biến ngẫu nhiên X có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Biết rằng ở cây này 64,8% giao dịch hoàn thành với thời gian dưới 3 phút, 8,08% giao dịch hoàn thành với thời gian quá 5 phút Tính kì vọng và phương sai của X

LỜI GIẢI:

Gọi X là thời gian hoàn thành một giao dịch ( đơn vị: phút)

XN(,)

Theo đề bài :

Vậy kì vọng và phương sai của X lần lượt là và

Bài 17: Xác suất để một khách hàng khi đến ngân hàng không thực hiện được

giao dịch là 0,05% Giả sử có 30 khách đến giao dịch

a Tìm số khách không được giao dịch có khả năng cao nhất và tính xác suất xảy ra

b Tính xác suất để có không quá 2 khách không thực hiện được giao dịch

LỜI GIẢI:

Gọi X là số khách hàng không thực hiện được giao dịch khi đến ngân hàng trong

30 khách hàng

TGT: X () =

X phân phối theo quy luật nhị thức B(n;p) với n = 30; p là xác suất khách hàng không thực hiện được giao dịch: p = 0,05

a Số khách hàng không được giao dịch có khả năng cao nhất là Mode(X)

Ta có: np + p -1 mode (X) np + p

30 0,05 + 0,05 – 1 mode (X) 30 0,05 + 0,05

0,55 mode (X) 1,55

Mode (X) = 1

P(X=1) = p (1-p) 1 29

= 0,05 (1-0,05)1 29

= 0,3389

Vậy số khách hàng không được giao dịch có khả năng cao nhất là 1 và xác suất xảy

ra là 0,3389

b Xác suất để có không quá 2 khách hàng không thực hiện được giao dịch là:

P(X2) = P(X=1) + P(X=2)

= 0,05 (1-0,05) + 0,05 (1-0,05)1 29 2 28

= 0,5975

Vậy xác suất để có không quá 2 khách hàng không thực hiện được giao dịch là 0,5975

Bài 18: Ở thành phố A, tỉ lệ người dùng Facebook là 85% Chọn ngẫu nhiên 15

người Tìm

a Xác suất để có hơn 10 người dùng Facebook

b Trung bình và phương sai của số người dùng Facebook

LỜI GIẢI:

Gọi X là số người dùng Facebook ở thành phố A trong 15 người được chọn TGT: X () =

X phân phối theo quy luật nhị thức B(n;p) với n = 15; p là xác suất người ở thành phố A dùng Facebook: p = 0,85

a Xác suất để có hơn 10 người dùng Facebook là:

P (X10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) = 0,85 (1 - 0,85) + 0,8510 5 11 (1 - 0,85)4 + 0,85 (1 - 0,85)12 3

+ 0,85 (1 - 0,85) + 0,85 (1 - 0,85) + 0,85 (1 - 0,85)13 2 14 1 15 0

= 0,9832

Vậy xác suất để có hơn 10 người dùng Facebook là 0,9832

b Trung bình số người dùng Facebook là:

E(X) = np = 15 0,85 = 12,75

Phương sai của số người dùng Facebook là:

V(X) = np (1-p) = 15 0,85 (1-0,85) = 1,9125

Vậy trung bình và phương sai của số người dùng Facebook lần lượt là 12,75 và 1,9125

Bài 19 Giả sử lương của công nhân ở công ty A là biến ngẫu nhiên X (đơn vị:

USD/ giờ) có luật phân phối ( xấp xỉ) chuẩn với trung bình là 15,9 USD/giờ và độ lệch chuẩn là 1,5 USD/giờ

a Tính xác suất để một công nhân có mức lương không dưới 20 USD/giờ

b Tìm một mức lương sao cho có 5% công nhân của công ti này có mức lương cao hơn mức đó

LỜI GIẢI

a Gọi X là lương của công nhân ở công ty A ( đơn vị USD/giờ)

XN(,) trong đó

Xác suất để một công nhân có mức lương không dưới 20 USD/giờ là:

P(X20) = 0,5 – = 0,5 - = 0,5 – = 0,00314

Vậy xác suất để một công nhân có mức lương không dưới 20 USD/giờ là: 0,00314

b Gọi m là mức lương cần tìm

Theo bài ra ta có P(Xm)= 0,05

0,5 – = 0,05

0,5 – = 0,05

= 0,45 =

m =18,3674

Vậy với mức lương là 18,3674 USD/giờ thì có 5% công nhân của công ti này có mức lương cao hơn mức đó

Bài 20 Khối lượng của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

với khối lượng trung bình là 4,2 kg và độ lệch chuẩn là 1,8 kg Sản phẩm được coi

là đạt tiêu chuẩn nếu có khối lượng vượt qua mức tối thiểu cho phép Nếu sản phẩm đạt tiêu chuẩn sẽ lãi 5000 đồng, còn không thì lỗ 7000 đồng Nếu muốn tiền lãi trung bình là 2500 đồng thì mức tối thiểu cho phép về khối lượng là bao nhiêu?

LỜI GIẢI

Gọi X là khối lượng của một loại sản phẩm ( đơn vị : kg)

Theo đề bài X có phân phối chuẩn N ( ,Trong đó :

Gọi y là số tiền lãi khi sản phẩm được coi là đạt tiêu chuẩn ( đơn vị : đồng) TGT: y= (-7000,5000)

Gọi m là mức tối thiểu cho phép về khối lượng (kg)

P(y= -7000) = P(Xm)

P(y=5000) = P( X>m) = 1 - P(Xm)

Ta có : E(y) = -7000 P(y= -7000) + 5000 P(y=5000)

E(y) = -7000 P(y= -7000) + 5000 ⇔

2500 = -7000 P(y= -7000) + 5000 – 5000 ⇔

= 0,2083⇔

P(Xm) = 0,2083 ⇔

= 0,2083 = (-0,8123)⇔

= -0,8123⇔

m = 2,73786⇔

Vậy nếu muốn tiền lãi trung bình là 2500 đồng thì mức tối thiểu cho phép về khối lượng là 2,73786 kg

Bài 21 Thời gian cần thiết để hoàn thành một bài thi cuối khóa đối với một khóa

học cụ thể ở một trường đại học có phân phối chuẩn với trung bình là 80 phút và

độ lệch chuẩn là 10 phút Tính xác suất để:

a Sinh viên hoàn thành bài thi trong thời gian không quá một giờ

b Trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên hoàn thành bài thi trong thời gian không quá 1 giờ

LỜI GIẢI

Gọi X là thời gian cần thiết để hoàn thành 1 bài thi cuối khóa ( đơn vị: phút ) Theo đề bài X có phân phối chuẩn N( , ) trong đó

a.Xác suất để sinh viên hoàn thành bài thi trong thời không quá 1 giờ là :

P(X) = 0,5 + = 0,5 + = 0,02275

Vậy xác suất để sinh viên hoàn thành bài thi trong thời không quá 1 giờ là 0,02275

b gọi K là số sinh viên hoàn thành bài thi trong thời gian không quá 1 giờ trong 3 sinh viên

TGT: K () =

Ta có KB ( 3;0,02275)

Xác suất để trong 3 sinh viên có ít nhất một sinh viên hoàn thành bài thi trong thời gian không quá 1 giờ là :

P( K1) = 1- P(K= 0) = 1- (1 – 0,02275) = 0,0667

Vậy xác suất để trong 3 sinh viên có ít nhất một sinh viên hoàn thành bài thi trong thời gian không quá 1 giờ là 0,0667

Bài 22 Một ngân hàng có 200 máy đếm tiền hoạt động độc lập với nhau Xác suất

trong một ngày mỗi máy đếm tiền hỏng là như nhau và bằng 0,01

Nếu mỗi thợ có thể sửa tối đa được 1 máy đếm tiền bị hỏng trong một ngày trực thì ngân hàng cần bố trí bao nhiêu thợ trực sửa chữa mỗi ngày để phòng trường hợp xảy ra các khả năng lớn nhất?

LỜI GIẢI

Gọi X là số máy đếm tiền bị hỏng trong 200 máy đếm tiền

TGT : X(Ω) =

Suy ra : X phân phối theo quy luật nhị thức

B(n,p) với n = 200, p là xác suất máy đếm tiền hỏng p = 0,01

Máy đếm tiền bị hỏng có khả năng cao nhất là mode(X)

n.p + p – 1 mode(X) n.p + p

1,01 mode(X) 2,02

⇒mode(X) = 2

Vậy ngân hàng cần bố trí 2 thợ trực sửa chữa mỗi ngày để phòng trường hợp xảy ra các khả năng lớn nhất

Bài 23 Một người cân nhắc giữa hai phương án:

Phương án 1: Mua nhà bây giờ

Phương án 2: Gửi tiền tiết kiệm với lãi suất 5,5% một năm rồi năm sau mới mua Biết mức tăng giá nhà là biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng là 7,5 (%/năm) và độ lệch chuẩn là 10 (%/năm) Tính xác suất để việc lựa chọn phương án 2 có lợi hơn lựa chọn phương án 1 ( chỉ xét lợi ích về tài chính)?

LỜI GIẢI

Gọi X là mức tăng giá nhà (X>0) ( đơn vị : %/năm)

Theo đề bài X tuân theo quy luật phân phối chuẩn XN() với

Để việc lựa chọn phương án 2 có lợi hơn lựa chọn phương án 1 ( chỉ xét lợi ích về tài chính) thì mức tăng giá nhà phải nhỏ hơn lãi suất gửi tiết kiệm

Theo yêu cầu đề bài ta cần tìm P(X 5,5)

P(0<X<5,5) = –

= (-0,2) -

= (0,75) - (0,2)

= 0,27337 – 0,079259

= 0,1941

Vậy xác suất cần tìm là 0,1941

biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối (xấp xỉ) chuẩn với trung bình là 23

500 đồng và độ lệch chuẩn là 500 đồng Tìm xác suất đề trong 7 ngày của giai đoạn này có đúng 4 ngày tỉ giá nằm trong khoảng từ 23000 đồng đến 24000 đồng

LỜI GIẢI:

Gọi tỷ giá USD với VND trong ngày là X (đồng) (X > 0)

Theo đề bài X tuân theo quy luật phân phối chuẩn

X ~ N(;) với

Gọi là biến cố: “Tỉ giá nằm trong khoảng từ 23000 đồng đến 24000 đồng” P() = P( 23000 < X < 24000 )

= () - ()

= (1) - (-1) = 2 (1)

= 0,6827

Gọi Y là số ngày tỉ giá nằm trong khoảng từ 23000 đồng đến 24000 dồng TGT: Y= {0;1;2;3; ;7}

Ta có: Y tuân theo quy luật phân phối nhị thức

B (n,p) với

Xác suất để trong 7 ngày có đúng 4 ngày tỉ giá nằm trong khoảng 23000 đồng đến

24000 đồng là:

= = 0,2429

Vậy xác suất cần tìm là 0,2429

phối (xấp xỉ) chuẩn với trung bình là 200 ml và độ lệch chuẩn là 15 ml Sử dụng loại cốc với dung tích tối thiểu bao nhiều để ít nhất 95% số lần được rót không bị chảy tràn?

LỜI GIẢI:

Gọi X là lượng nước ngọt trong mỗi lần rót tự động (X > 0) (đơn vị:ml)

Theo đề bài: X tuân theo quy luật phân phối chuẩn

X ~ N(;) với

Gọi m là dung tích cốc (ml)

Để ít nhất 95% số lần được rót không bị chảy tràn thì: P(X<m) 0,95

P(0 < X < m) 0,95

() - () 0,95

() + () 0,95

() 0,95-0,5

() 0,45

1,6448

m 224,672

Vậy dung tích cốc là 224,672 ml tối thiểu

Bài 26: Số tiền nợ của khách hàng ở ngân hàng H là một biến ngẫu nhiên X có phân phối (xấp xỉ) chuẩn, với trung bình là 10 tỷ và độ lệch chuẩn là 5 tỷ Biết rằng xác suất trả được nợ của một khách hàng ngân hàng H như sau: nợ dưới 14 tỷ là 0,7, từ 14 tỷ đến 16 tỷ là 0,6 và trên 16 tỷ là 0,5 Chọn ngẫu nhiên một khách đang

nợ ngân hàng H Tính xác suất để người ấy có thể trả được nợ ngân hàng H

LỜI GIẢI:

Gọi X là số tiền nợ của một khách hàng ở ngân hàng H (đơn vị, tỷ đồng) (X>0) Theo đề bài: X tuân theo quy luật phân phối chuẩn

X ~ N(;) với

P(0 < X < 14) = () – ()

= (0,8) - (-2)

= (0,8) + (2)

= 0,7654

P(14 X 16) = () - ()

= () - (0,8)

= 0,0968

P(X > 16) = 1 - P(0 < X < 14) – P(14 X 16)

= 1 - 0,7654 – 0,0968

= 0,1378

Gọi B là biến cố “Một người khách có thể trả được nợ”

Gọi là biến cố “Số tiền nợ dưới 14 tỷ”

Gọi là biến cố “Số tiền nợ từ 14 – 16 tỷ”

Gọi là biến cố “Số tiền nợ trên 16 tỷ”

Ta thấy {,,} là một nhóm biến cố đầy đủ

Theo đề bài:

P(B\) = 0,7

P(B\) = 0,6

P(B\ = 0,5

Ta có: P() = P(0 < X < 14) = 0,7654

P() = P(14 < X < 16) = 0,0968

P() = P(X > 16) = 0,1378

Xác suất để người đó trả được nợ là:

P(B) = P() P(B\) + P() P(B\) + P() P(B\)

= 0,7654 0,7 + 0,0968 0,6 + 0,1378 0,5

= 0,6628

Vậy xác suất cần tìm là 0,6628

Bài 27: Mức thu hồi nợ của các cán bộ tín dụng ở ngân hàng H là một biển ngẫu nhiên X có phân phối (xấp xỉ) chuẩn, với trung bình là 8 tỷ đồng, độ lệch chuẩn là

2 tỷ Biết rằng ngân hàng H thưởng cho một cán bộ thu hồi được nợ ở mức dưới 8

tỷ là 10 triệu đồng, từ 8 tỷ đến 20 tỷ là 20 triệu đồng và trên 20 tỷ là 30 triệu đồng Tính mức tiền thưởng trung bình của một cán bộ của ngân hàng H khi thu hồi được nợ

LỜI GIẢI:

Gọi X là mức thu hồi nợ của các cán bộ ngân hàng H (đơn vị: tỷ đồng)

X ~ N(;)

Theo đề bài: =8

=2

Gọi Y là mức tiền thưởng của một cán bộ ngân hàng H khi thu hồi được nợ (đơn vị: tỷ đồng)

P(Y = 0,01) = P(X < 8) = () - ()

= (0) + (4) = 0,4997

P(Y = 0,02) = P(8 X20) = () - ( )

= (6) - (0) = 0,5

P(Y = 0,03) = P(X > 20) = 0,5 - ()

= 0,5 - (6) = 0

Bảng PPXS của Y

E(Y) = 0,0003 + 0,01 0,4997 + 0,02 0,5 + 0,03 0

= 0,014997

Vậy mức tiền thưởng trung bình của một cán bộ ngân hàng H khi thu hồi được nợ

là 14,997 triệu đồng

Bài 28: Mỗi khách hàng mua xe tại một đại lý, nếu xe có sự cố trong vòng 3 ngày thì khách hàng được quyền trả lại xe và lấy lại nguyên số tiền mua xe Mỗi xe như thế làm thiệt hại cho đại lý 2 (triệu VND)

a/ Có 300 xe được bán ra, xác suất mỗi xe bị trả lại là 0,005, tìm số xe trung bình

bị trả lại

b/ Tính số tiền thiệt hại trung bình do sự cổ trong vòng 3 ngày sau khi bán 1 xe

LỜI GIẢI:

Gọi X là số xe bị trả lại trong 300 xe được bán ra

TGT X() = {0;1; ;300}

 X phân phối theo quy luật nhị thức

B(n,p) và n = 300; P là xác suất xe bị trả lại P = 0,005

a, Số xe trung bình bị trả lại là:

E(X) = n.p = 300 0,005 = 1,5

b, Gọi X là số tiền thiệt hại do sự cố trong vòng 3 ngày sau khi bán một xe (đơn vị: triệu đồng)

Bảng PPXS của X

E(X) = 2,005 + 0,0995 = 0,01 (triệu đồng)

Vậy số tiền thiệt hại trung bình do sự cố trong vòng 3 ngày sau khi bán một xe là 10000