Chủ Đề 15_ Phương Pháp Đổi Biến Số Tìm Nhanh.doc

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 15: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NHANH

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Ý nghĩa của phương pháp đặt ẩn phụ: Đưa l tích phân phức tạp (không có công thức trong bảng

nguyên hàm) trở về một tích phân đơn giản (có công thức trong bảng nguyên hàm)

2 Công thức đổi vi phân (công thức đổi đuôi): t u x ( ) t dt u x dx '  '( )

3 Giá trị bất biến của tích phân:  ( )  ( )  ( )

f x dx f u du f t dt

4 Phương pháp chung:

 Bước 1: Xác định thành phần ẩn phụ và tiến hành đặt ẩn phụ

 Bước 2: Tiến hành đổi vi phân và đổi cận

 Bước 3: Lắp các thành phần tìm được vào tích phân ban đầu để tạo tích phân mới

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xuất hiện căn thức thì đặt t căn thức

Ví dụ 1 (Chuyên ĐH Vinh): Cho tích phân

4

0

ln 3



x với ,a b là các số nguyên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a b 3 B a b 3 C a b 5 D a b 5

Giải

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Vì xuất hiện căn thức nên ta đặt t 2x 1 t2 2x 1

Tiến hành đổi vi phân (đổi đuôi)  t2 'dt2x1 ' dx 2tdt2dx tdt dx

Tiến hành đổi cận 0 1







3 3

1 1

tdt

Vậy a2,b 3 a b 5

 Chọn D

Cách 2: Casio

Tính giá trị tích phân I và lưu giá trị này vào phím A

Ta thu được a1.4,b1.57 là 2 giá trị không nguyên  A sai

Tương tự làm như vậy, ở đáp số D ta thu được a2,b3thỏa mãn

Phân tích

Nếu tích phân xuất hiện căn thức 2 x  thì ta nghĩ đến “đặt căn thức là ẩn phụ 1 t 2x ” để đưa1

tích phân I ban đầu về tích phân mới đơn giản hơn.

Ví dụ 2 (Chuyên Biên Hòa):

Tích phân

3

02 1

x

x



 có giá trị 14 12ln4

a  b với ,a b là các số nguyên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 2a b 1 B 2a b 3 C 3a b 2 D 3a b 3

Giải

Cách 1: Đặt ẩn phụ loại 1

Đặt t x 1 t2  x 1

Tiến hành đổi vi phân (đổi đuôi)  t2 'dtx1 ' dx 2tdt dx

Tiến hành đổi cận 0 1





2

2 3

2

1

t

Vậy a3,b 3 2a b 3

 Chọn B

Cách 2: Đặt ẩn phụ loại 2

t  x  t  x  t  t   x x t  t

Tiến hành đổi vi phân: dx2t 4dt

Tiến hành đổi cận 0 3





2

4 3

2

3

t

Bình luận

Ta thấy trong cách 1, việc chia tử số cho t 2 là một công việc khó khăn Tuy nhiên trong cách 2, việc chia tử số cho t là một công việc đơn giản hơn rất nhiều Do đó ta rút kinh nghiệm: “Nếu mẫu số chứa căn thức thì đặt cả mẫu số là t”

Dạng 2: Xuất hiện cụm cos xdx thì đặt tsinx

Xuất hiện cụm sin xdx thì đặt tcosx

Xuất hiện cụm 12

cos x dx thì đặt ttanx

Xuất hiện cụm 12

sin x dx thì đặt ttanx

Ví dụ 3 (Chuyên Thái Nguyên): Cho

2 2 0

ln

x

c



0

c  Tính tổng S a b c   ?

A S 4 B S 3 C S 0 D S 1

Giải

Đặt tsinx t dt' sinx dx'  dtcosxdx

Tiến hành đổi cận

1 2



   



Khi đó ta tích phân mới

2

t

t



 Vậy a1,b0,c 3 a b c  4

 Chọn A

Phân tích

Tích phân chứa cụm cos xdx thì đương nhiên ta chọn ẩn phụ tsinx

Bình luận

Hệ quả của phép đặt ẩn phụ đối với các hàm lượng giác ta thường thu được tích phân hệ quả là 1 tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Ví dụ 4 (Chuyên Biên Hòa): Cho F( )x là một nguyên hàm của ( ) sin 42

1 cos

x

f x

x



2

F

  Tính F(0)

A (0) 4 6ln 2F   B (0)F  4 6ln 2 C (0)F  4 6ln 2 D (0) 4 6ln 2F  

Giải

Ta có: sin 42 sin 2 cos 22

Đặt tcos 2x dt2sin 2xdx 2sin 2xdxdt

2

Tiến hành đổi cận 2 1











2

F

  với ẩn x F( 1) 0  ẩn t 2 6ln 2 C 0 C 2 6ln 2

Vậy F(0) với ẩn x là F(1) với ẩn t và  2 6ln 4 2 6ln 2   4 6ln 2

 Chọn C

Phân tích

Trong tích phân chứa cả dấu hiệu “ cos 2xdxthì đặt tsin 2x” và “sin 2xdx thì đặt tcos 2x” Do đó để

trả lời câu hỏi đặt t là cái gì thì ta phải đi xem xét các thành phần còn lại trong tích phân Và ta thấy

2 1 cos 2

cos

2

x

x  là lý do quyết định việc đặt ẩn phụ

Dạng 3: Xuất hiện cụm ln x và 1dx

x thì đặt t ln x

Ví dụ 5 (THPT An Nhơn): Tích phân  

1

2 1

ln

ln 2

ln 2

e

x



 với ,a b là các số nguyên.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A 2a b 1 B a2b2 4 C a b 1 D ab 2

Giải

Đặt t lnx 2 t dt' lnx 2 ' dx dt 1dx

x

Tiến hành đổi cận

1

1

e









Khi đó tích phân mới

t

2

1

2

t

    

Vậy a1,b 1 2a b 1

 Chọn A

Phân tích

Trong bài toán này ta có 2 hướng để đặt ẩn phụ Hướng 1 đặt t ln x khi đó tích phân hệ quả sẽ có mẫu số là t 22 Hướng 1 đặt t ln x2 thì phương trình hệ quả sẽ có mẫu số là t và ta sẽ ưu tiên 2

mẫu số đẹp hơn để dễ tính toán hơn

Ví dụ 6 (THPT Công Nghiệp): Biết rằng

1

1 3ln ln

e



  với ,a b là các số nguyên dương

và a

blà phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P a b  ?

Giải

3

tdt

Tiến hành đổi cận 1 1





2 2

I t  dt t t  dt

Vậy a116,b135 a b 19

 Chọn C

Phân tích

Bài toán này có 2 dấu hiệu đặt ẩn phụ Thứ nhất “ xuất hiện căn thức đặt căn thức là t” Thứ hai, “xuất

hiện 1dx

x đặt tlnx ” Ta có nhận xét dấu hiệu 1 bao hàm cả dấu hiệu 2 nên ta đi theo dấu hiệu 1.

Dạng 4: Xuất hiện e thì đặt x t e x hoặc 1 cụm chứa e x

Xuất hiện a thì đặt x t a x hoặc 1 cụm chứa a x

Ví dụ 7 (Sở GD-ĐT tp.HCM): Biết

ln 6

ln 3

3ln ln

dx

e e

giá trị biểu thức P ab ?

t e dt e dx dx

t

Tiến hành đổi cận ln 3 3





Khi đó ta có tích phân mới

2

6

3

x

x





Vậy a2,b 5 ab10

 Chọn B

Ví dụ 8 (Chuyên KHTN Hà Nội): Giá trị

1

lim 1

n x n

n

dx e



    bằng bao nhiêu?

Giải

Ta hiểu

n

  

  Đặt t e x dt e dx x

Khi đó tích phân mới

ln ( 1) 1

x

x x

e e





1

1

n n

n









1 1

1

1

n











Để tính giới hạn của

1 1

n n

e





 khi n   ta có thể sử dụng máy tính Casio:

 

1

n

     



Vậy a5,b 2 ab10

 Chọn D

Phân tích

Đây là bài toán khó, phối hợp nhiều dạng một cách khéo léo Có nhiều tình huống mới xảy ra Ví dụ như tình huống muốn đặt ẩn phụ được nhưng không đổi được cận từ cận x n sang cận t Khi đó ta phải đổi nguyên hàm từ t quay trở lại x rồi mới lắp cận x.

Dạng 5: Tích phân chứa x2a2 thì đặt x a tan (t a0)

Ví dụ 9 (THPT Đức Thọ - HT): Khi đổi biến x 3 tant , tích phân

1 2

0 3

dx I

x





 trở thành tích phân nào?

A 3

0

3



6

0

3 3



6

0

3



6

0

1

t





Giải

3

cos

t

Tiến hành đổi cận

1

1 tan

6 3









Ta thu được:

6 2 6 2 6 2

2

3

3

cos

t

t



 Chọn B

Phân tích

Chú ý việc từ x tìm ra t vì tant 0 sinh ra rất nhiều giá trị t thỏa mãn và ta thường lấy các giá trị cận

thuộc khoảng 0;

2



Ví dụ 10 (THPT Trần Hương Đạo - NĐ): Biết 3 2  

1

2

3

I x x  dx a b với ,a b là các số

dương Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a2b B a b C a b D a3b

Giải

cos

t

Đổi cận

4

3













Khi đó:

2

1

t

Đặt ucost du sintdt

1 1

2

2 2

dt







Vậy a4,b 2 a2b

 Chọn A

Phân tích

Ta hiểu x2 1 x212 với a 1 vậy ta đặt x1.tant cho dù cụm x  có ở trong căn hay ngoài căn2 1

thì vẫn làm được Ngoài cách đặt ẩn phụ này ra ta còn thấy tích phân chứa them dấu hiệu “chứa căn” do

đó ta có thể đặt “t là căn thức”

Dạng 6: Tích phân chứa a2 x2 thì đặt x a sin (t a0)

Tích phân chứa x2 a2 thì đặt ( 0)

cos

a

t

Ví dụ 11 (Chuyên Vĩnh Phúc): Cho

2

2 0

4

I   x dx có giá trị a

b



 Tính tổng P a b 

Giải

Đặt x2sint x dx' 2sin 't dt  dx2costdt

Tiến hành đổi cận

2









4 4sin 2cost 4cos t

2

2

2 2cos 2 t dt 2x sin 2x





Vậy a4,b 2 a2b

 Chọn C

Bình luận

Chú ý việc từ x tìm ra t vì sint 0 sinh ra rất nhiều giá trị t thỏa mãn và ta thường lấy các giá trị cận thuộc khoảng 0; 

Tương tự việc từ x tìm ra t vì cost 0 sinh ra rất nhiều giá trị t thỏa mãn và ta thường lấy các giá trị

cận thuộc khoảng ;

2 2

 



Ví dụ 12 (THPT Đào Duy Từ): Biết

1 2

2 0

, 2

a c x





blà phân số tối giản Tính giá trị

biểu thức P a b c  

Giải

Đặt x 2 sint dx 2 costdt

Đổi cận

1

1 sin

4 2









4 2





Vậy a4,b1,c 2 a b c  5

 Chọn A

Dạng 7: Đặt ẩn phụ kết hợp tính chất bất biến của tích phân:

f x dx f u du f v dv

Ví dụ 13 (Chuyên Bến Tre): Cho I f x dx( ) 27 Tính

0

3

( 3 )

f x dx







Giải

Đặt x3t x dx'   3 't dt  dx3tdt





Ta thu được:



3 f( 3 )x dx 27 f( 3 )x dx 9

 Chọn C

Bình luận

( 3 ) ( 3 )

  thực ra về bản chất có nghĩa là “giá trị tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu

của biến mà chỉ phụ thuộc vào giá trị của hàm”

Ví dụ 14 (THPT Đặng Thúc Hứa): Cho hàm số ( )f x liên tục trên 1; và 3  

0

f x dx



Tính giá trị tích phân:

2

1

( )

I x f x dx

Giải

x  t x  t dx tdt





I f x dxf t tdt t f t dt x f x dx

Vậy 2I  4 I 2

 Chọn D

Ví dụ 15 (Sở GD-ĐT Bắc Giang): Cho hàm số yf x( ) liên tục trên thỏa mãn 9  

1

4

f x dx

2

0

(sin ) cos 2





3

0

( )

I f x dx

Giải

2

x t  x t  dx tdt





t

Tiếp tục đặt sinx t  cosxdx dt

Đổi cận

1 2



   



f x xdx f t dt f x dx



Vậy

I f x dxf x dxf x dx  

 Chọn C

Phân tích

Đây là một bài toán hay kết hợp nhiều dấu hiệu và dễ làm học sinh mất phương hướng Tuy nhiên nếu

ta kiên định tư duy thì sẽ nhìn ra vấn đề: Từ f  x chuyển về ( ) f x thì đặt x t  để được ( ) f t và từ

( )

f t lại chuyển về ( ) f x

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số f x( ) lnx

x

 Tính I F e( ) F(1)

A 1

2

e

Câu 2: Cho  210

I x  x dx Đặt u 1 x2, khi đó viết I theo u và du ta được

A I 2u du10 B I 2u du10 C 1 10

2

I  u du D I 12u du10

Câu 3: Cho 2 2

0

sin cos



 và usinx Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

1

2

0

1

0

2

0 2 1

I u du



1 2 0

I u du

Câu 4: Cho

2

2 1

4

I x  x dx và t 4 x2 Khẳng định nào sau đây sai?

0

2

2

t

3 2 0

3

3

t

I 

Câu 5: Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) cot f x  x trên khoảng 0;2

3



  Thỏa mãn

0

4

F

  Tính

2

F

 

2

F

F

2

F

2

F

 

Câu 6: Cho

2

6

cos

ln 2 ln 3

sin 1

x

x







 Khi đó giá trị của a b là

Câu 7: Biết ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) sinx

1 3cos

f x

x



2

F

  Tính F 0

A  0 1ln 2 2

3

3

3

3

Câu 8: Biết

4

0

1

ln 2

x

 

 với ,a b là số nguyên Tính S a b 

Câu 9: Tìm nguyên hàm x x 219dx.

A 1  2 10

1

1

20 x  C C 1  2 10

1

10 x  C D x2110C

Câu 10: Nguyên hàm của hàm số: ycos sin2x x là:

A 1 3

cos

3

1 cos

3

cos x C

sin

3 x C

Câu 11: Tính tích phân 2 2

0

sin cos





3

3

24

I 

Câu 12: Tính tích phân

2

1

ln

e x

x



A 1

6

8

3

4

I 

Câu 13: Kết quả phép tính tích phân

5

1 3 1

dx

x x 

 có dạng I aln 3bln 5 ( ,a b ) Khi đó

2 3 2

a ab b có giá trị là

Câu 14: Tính tích phân

2 2 1

I x x  dxbằng cách đặt u x 2 , mệnh đề nào dưới đây đúng?1

A

3

0

2

2

1

2

3

0

2

1

1 2

I   udu

Câu 15: Cho hàm số ( )f x liên tục trên  và thỏa mãn ( )f x f(x) 2 2cos 2 ,  x    Tínhx

3

2

3

2

( )

I f x dx







 

Câu 16: Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

ln

f x

x x

 và F e  Tính   3  2

F e

A F e   2 3 2ln 2 B F e   2 3 ln 2 C F e   2 1 ln 3 D F e   2 3 ln 2

Câu 17: Biết 3 2  

1

2

3

x x  dx a b

 với ,a b là số nguyên dương Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 18: Biết

2

1

x x dx a b

A 4

3

15

15

15

S 

Câu 19: Tính

2 2

1

2ln

dx x



A 3 2

ln 2

2

3

ln 2

2

1

ln 2

3

ln 2

2

Câu 20: Giả sử

2

2 1

4ln 1

ln 2 2 ln 2,

x

x



 với ,a b là số hữu tỉ Khi đó tổng 4a b bằng

Câu 21: Cho tích phân

2 2 0

1

, ; ; 0

4





Câu 22: Xét 3 4 5

Bằng cách đặt 4 4 x4 3, khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5

4

I  u du B I 121 u du5 C I 161 u du5 D I u du5

Câu 23: Gọi ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2

8

x

f x

x



 thỏa mãn F 2 0 Khi đó phương trình ( ) xF x  có tổng các nghiệm bằng

Câu 24: Tìm nguyên hàm sin 2 2 .

1 sin

x dx x



A 1 sin2

2

x C



 B 1 sin x C 2  C  1 sin x C 2  D 2 1 sin x C 2 

Câu 25: Biết ( )F x là một nguyên hàm của hàm số 2 ln

x

3

F  Tính F e( ) 2

A  ( )2 8

3

F e  B  ( )2 8

9

3

F e  D  ( )2 1

9

Câu 26: Với cách đổi biến u 1 3ln x thì tích phân

1

ln

1 3ln

e

x dx

A  

2

2

1

2

1

2 2 1

2

1

2 2 1

2u 1 du D

2 2

1

9

u du u





Câu 27: Cho

2

1

( ) 2

f x dx 

1

f x

dx x

2

I 

Câu 28: Cho ( )f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn 1;1 và

1

1

( ) 2

f x dx





1

1

f( )

1 x

x

e









bằng:

Câu 29: Cho m là số thực dương thỏa mãn

 23 0

3 16 1

m x dx



A 3;7

2

m   

2

m   

2

m   

2

m   

Câu 30: Cho

1

0

1

x

a b e



 



 với ,a b là số hữu tỉ Tính S a 3b3bằng

Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số

3 4

1

x

f x

x





A

4 4

3

x

x



f x dx x  C



f x dx x x  C

4

f x dx x  C



Câu 32: Tập hợp nghiệm của bất phương trình 2

0

0 1

x t dt

A  ;0 B   ;  C   ;   \ 0 D 0; 

Câu 33: Cho hàm số ( )f x liên tục trên 1; và 3  

0

f x dx

2

1

( )

x f x dx



Câu 34: Nếu đặt t x  x216 thì tích phân

3 2

0 16

dx I

x





 trở thành:

A

8

4

dt

I

t

8

4

5

4

dt I t

5

4

I tdt

Câu 35: Cho số thực m thỏa mãn

0

1 ln

0,

e

m t dt t





 các giá trị tìm được của m thỏa mãn điều kiện nào sau

đây?

Câu 36: Cho ' 0y    Tính 0 6

0

(sin 3 ) cos3



Câu 37: Cho ( )f x là hàm liên tục trên  thỏa mãn (1) 1y  và

1

0

1

3

f t dt 

2

0

sin 2 '(sinx)





A 4

3

3

3

3

I 

Câu 38: Nếu

1

0

xf x dx 

4

0

cos 2 sin 4



Câu 39: Cho hàm số ( )f x liên tục trên  và có

2

0

( ) 3

f x dx 

1

1





Câu 40: Nếu 4

0

1 sin cos

64

n

x xdx





Câu 41: Cho hàm số ( )f x liên tục trên  và (2) 16,f 

2

0

( ) 4

f x dx 

1

0

'(2 )

I xf x dx

Câu 42: Cho hàm số ( )f x liên tục trên  và thỏa mãn ( )f x  f(x) 2 2cos 2 , x x   

Tính

3

2

3

2

( )

I f x dx







 

Câu 43: Cho hàm số ( )f x liên tục trên  và các tích phân 4

0

(tan ) 4

f x dx





1 2 2 0

( )

2

1

x f x

dx



Tính tích phân

1

0

( )

I f x dx

Câu 44: Cho hàm số ( )f x liên tục trên  và thỏa mãn

1

(ln )

e

dx e

 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

1

0

f x dx 

1

0

( )

f x dx e

0

e

f x dx 

0

( )

e

f x dx e



Câu 45: Cho yf x( ) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn 6;6 Biết rằng

2

1

f x dx





3

1

( 2 ) 3

f  x dx

6

1

( )

I f x dx



Câu 46: Cho biết

5

1

( ) 15

f x dx





2

0

P f  x  dx

Câu 47: Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với

2

3 2 1

1

I x x  dx

A

2

1

1

1

2t t dt B

4

1

1

1

3

2 2 1

1

t  t dt

3

2 2 1

1

x  x dx



Câu 48: Cho

2

1

f x dx a

1 2 0

( 1)

I xf x  dx theo a.

2

a

4

a

I 

Câu 49: Biết

1 2 0

2

ln 12 ln 7,

x



 với ,a b là các số nguyên Tính tổng a b bằng

A -1 B 1 C 1

Câu 50: Cho  

2 2 1

f x  xdx

5

2

( )

I f x dx bằng

D BẢNG ĐÁP ÁN