đồng hóa số liệu cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính hai chiều

Bài toán đồng hóa số liệu xác định điều kiện ban đầulà một trong những bài toán ngược.Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh

Bài toán thuận và một số kiến thức bổ trợ

Cho Ω là một miền mở, giới nội trong R 2 với biên ∂Ω Ký hiệu Q Ω×(0, T], S = ∂Ω×(0, T] Xét bài toán giá trị ban đầu với điều kiện biên Dirichlet sau đây

Bài toán tìm nghiệm u(x, t) của hệ (1.1)–(1.3) khi các hệ số của phương trình (1.1) cùng điều kiện ban đầu v và vế phải f đã biết được gọi là bài toán thuận [8]. Để đưa ra khái niệm về nghiệm yếu của bài toán thuận, chúng tôi sử

Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu

48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM

48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu

Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu

48Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuWednesday, June 12, 2024 dụng các định nghĩa về không gian Sobolev H 1 (Ω), H 0 1 (Ω), H 1,0 (Q), H 1,1 (Q)

H 0 1,0 (Q) và H 0 1,1 (Q) tham khảo trong các tài liệu [6, 8]. Định nghĩa 1.1 Không gian H 1 (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈L 2 (Ω) có đạo hàm suy rộng ∂x ∂u i ∈L 2 (Ω), i= 1,2 với tích vô hướng (u, v) H 1 (Ω) :Z

∂x i )dx. Định nghĩa 1.2 Không gian H 0 1 (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈H 1 (Ω) và triệt tiêu trên biên ∂Ω, tức là

∂Ω = 0}. Định nghĩa 1.3 Không gianH 1,0 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L 2 (Q) có các đạo hàm suy rộng ∂x ∂u i ∈ L 2 (Q), i = 1,2 với tích vô hướng

∂x i )dxdt. Định nghĩa 1.4 Không gianH 1,1 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L 2 (Q) có đạo hàm suy rộng ∂x ∂u i ∈ L 2 (Q), i= 1,2và ∂u ∂t ∈L 2 (Q) với tích vô hướng

∂t)dxdt. Định nghĩa 1.5 Không gianH 0 1,0 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ H 1,0 (Q) và triệt tiêu trên biên S, tức là

S = 0}. Định nghĩa 1.6 Không gianH 0 1,1 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ H 1,1 (Q) và triệt tiêu trên biên S, tức là

Ngoài ra chúng tôi sử dụng một số khái niệm sau đây:

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Bài toán đồng hóa số liệu

Bài toán đồng hóa số liệu: Từ một số các quan sát về nghiệm u(x, t) của bài toán (1.1)–(1.3) ta xây dựng lại điều kiện ban đầu v(x).

Như đã trình bày trong phần Lời nói đầu, bài toán đồng hóa số liệu là một dạng của bài bài toán ngược, cụ thể là bài toán ngược xác định lại điều kiện ban đầu của hệ (1.1)–(1.3).

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

48Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuWednesday, June 12, 2024

Các quan sát ở đây đóng vai trò rất quan trọng, luận văn tập trung nghiên cứu bài toán đồng hóa số liệu ước lượng lại điều kiện ban đầu chưa biết từ quan sát sau đây:

• Quan sát nghiệm tại thời điểm cuối u(x, T) =ξ(x);

• Quan sát tích phân trong miền lu(x, t) Z

Ω ω i (x)u(x, t)dx =h(t), t∈ (τ, T), trong đó ω(x) là các hàm trọng không âm với R

Ωω i (x)dx >0. Để nhấn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm u(x, t) của bài toán (1.1)–(1.3) vào điều kiện ban đầu v, kí hiệu nghiệm là u(x, t;v) (đôi khi ta viết gọn là u(v) nếu không có gì nhầm lẫn) Từ các quan sát có được, sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu [6, 7, 8], ta thu được bài toán biến phân, tức là bài toán cực tiểu hóa các phiếm hàm mục tiêu tương ứng, cụ thể như sau

• Từ quan sát tại thời điểm cuối u(x, T) =ξ(x), x∈ Ω, xây dựng lại điều kiện ban đầu của bài toán (1.1)–(1.3), ta cực tiểu hóa phiếm hàm

• Từ quan sát tích phân trong miền lu= h(t), xây dựng lại điều kiện ban đầu của bài toán (1.1)–(1.3), ta cực tiểu hóa phiếm hàm

Ta biết rằng các bài toán biến phân (1.10), (1.11) là không ổn định [6], vì vậy thay vì sử dụng phiếm hàm mục tiêu J 0 ta sử dụng phiếm hàm mục tiêu hiệu chỉnh Tikhonov J γ được xác định như sau

2kv−v ∗ k 2 L 2 (Ω) (1.12) với γ > 0là tham số hiệu chỉnh Tikhonov và v ∗ là ước lượng củav (ta có thể chọn v ∗ = 0).

Tính tồn tại nghiệm của bài toán biến phân với phiếm hàm hiệu chỉnh Tikhonov (1.12) đã được chứng minh là tồn tại nghiệm (tham khảo trong tài liệu [2]).

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Phương pháp số cho bài toán thuận

Nội suy hàm lưới

Giả sử rằng miền Ω là miền hình hộp dạng Ω = (0, L 1 )×(0, L 2 ) Ta chia nhỏ miền Ω thành các hình hộp nhỏ bởi lưới đều xác định bởi

• h i = L i /N i là bước lưới trên trục x i , i = 1,2;

• h := (h 1 , h 2 ) là véc tơ bước lưới không gian;

• e 1 , e 2 tương ứng là véc tơ đơn vị trên trục x 1 , x 2

Ω¯ h là tập các chỉ số của các điểm lưới thuộc Ω, tức là¯

Ω h là tập các chỉ số của các điểm lưới trong miền, tức là

Ta cũng sử dụng kí hiệu

(1.23) Tiếp theo ta xấp xỉ các tích phân trong phương trình đầu tiên của (1.20), ta

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

48Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuWednesday, June 12, 2024 nhận được

Trong đó f k (t) là xấp xỉ của vế phải f tại điểm lưới x k , vì f ∈L 2 (Q) nên ta xấp xỉ f k (t) được tính theo công thức trung bình sau đây f k (t) :1

Thay các xấp xỉ tích phân (1.24)–(1.27) vào công thức nghiệm yếu (1.20), ta nhận được đẳng thức sau (tạm thời bỏ qua biến thời gian t cho đơn giản kí hiệu)

Sử dụng công thức tổng từng phần kết hợp với điều kiện u k = η k = 0 với k i = 0 và k i =N i , ta có X k∈Ω i h a k i u k x iη x k i = X k∈Ω i h a k i+ u k+e i −u k h i η k+e i −η k h i

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Một số bài toán đồng hóa số liệu 24 2.1 Bài toán đồng hóa số liệu với quan sát tại thời điểm cuối

Công thức gradient của phiếm hàm mục tiêu

a Công thức gradient dạng liên tục Sau đây ta sẽ tính gradient ∇J 0 của phiếm hàm J 0 (v), gradient của phiếm hàm J γ (v) được suy ra từ công thức

∇J γ (v) =∇J 0 (v) +γ(v−v ∗ ). Để làm được điều này ta giới thiệu bài toán liên hợp của bài toán (2.1) có dạng sau

Tính khả vi Fréchet và gradient của phiếm hàm J γ được trình bày trong định lý dưới đây. Định lý 2.1 Phiếm hàm J γ là khả vi theo nghĩa Fréchet và gradient ∇J γ (v) tại v có dạng

∇J γ (v) =p(x,0) +γ(v−v ∗ ) (2.5) trong đó p(x, t) là nghiệm của bài toán (2.4).

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Chứng minh Để đơn giản ta sử dụng kí hiệu u(v) thay cho u(x, t;v) Cho biến phân δv, ta có

(2.6) trong đó δu(v) =u(v+δv)−u(v) là nghiệm của bài toán

Hơn nữa theo đánh giá (1.6) về nghiệm của bài toán (2.7), tồn tại hằng số c thỏa mãn kδuk ≤ ckδvk nên 1 2 kδu(v)k 2 L

Sử dụng công thức Green (1.15) (Định lý 1.1) cho bài toán (2.4) và (2.7) ta có đồng nhất thức sau đây

Do đó kết hợp với biến đổi (2.6), ta có

∇J 0 (v) =p(x,0) trong đó p(x, t) là nghiệm của bài toán liên hợp (2.4) Từ đó ta nhận được công thức (2.5) cho gradient của phiếm hàm J γ (v) Định lý đã được chứng minh.

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Phương pháp gradient liên hợp

Kí hiệu là nhiễu của dữ liệu đo Sử dụng phương pháp gradient liên tục (Conjugate Gradient Method - Phương pháp CG) [5], chúng tôi xây dựng lại điều kiện ban đầu v¯từ quan sát tại thời điểm cuối u M =ξ qua các bước sau:

Bước 1 (khởi tạo) Cho trước dự đoán ban đầu v 0 và một số α > 1, tính phần dư rˆ 0 = u(v 0 )−ξ bằng việc giải lược đồ phân rã (1.34) với điều kiện ban đầu v¯được thay bởi dự đoán ban đầu v 0

Nếu kˆr 0 k ≤γ, ta dừng thuật toán Ngược lại, đặt i = 0, d −1 = (0, ,0) và chuyển sang Bước 2.

Bước 2 Tính gradientr i =∇J 0 k,M (g i )theo công thức (2.10) bằng cách giải bài toán liên hợp (2.11) Tiếp theo ta đặt d i =−r i +β i−1 d i−1 (2.23) trong đó

Bước 3 Tính nghiệm u¯ i của lược đồ sai phân phân rã (1.34) với ¯v được thay bởi d i , đặt α i = kr i k 2 k (¯u i ) M k 2 (2.25)

Tiếp theo ta đặt v i+1 =v i +α i d i (2.26) Tính phần dư theo công thức ˆ r i+1 = ˆr i +α i (¯u i ) M (2.27)

Bước 4 Nếuk ˆr i+1 k≤ γ, ta dừng thuật toán Nếu không, ta đặti := i+ 1, và quay trở lại Bước 2.

Ta chú ý rằng phương trình (2.27) có thể được suy ra từ đẳng thức ˆ r i+1 =u M (v i+1 )−ξ =u M (v i +α i d i )−ξ

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Ví dụ số

Các ví dụ số được thử nghiệm với hàm giá trị ban đầu lần lượt là hàm khả vi trong Ví dụ1, là hàm liên tục nhưng không khả vi trong Ví dụ 2và là hàm gián đoạn trong Ví dụ 3.

Xét miền Ω = (0,1)×(0,1), cỡ lưới h= (0.02,0.02), thời điểm cuối T = 1 và bước thời gian ∆t = 0.02, thuật toán CG xuất phát tại v 0 = 4, đặt x= (x 1 , x 2 ) Xét hệ

Ví dụ 1 Trong ví dụ này hàm điều kiện ban đầu chính xác được cho bởi hàm trơn v(x) = sin(πx 1 ) sin(πx 2 ), với các hệ số a 1 (x, t) = 0.02[1− 1

Vế phải f(x, t) có dạng sau đây f(x, t) =−g(x)

Kết quả xây dựng lại điều kiện ban đầuv(x) của Ví dụ1được cho trong Hình 2.1 Ví dụ 2 Ta xét ví dụ trong trường hợp hàm v(x) không trơn với v(x)

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Hình 2.1: Ví dụ 1: (a) Hàm v chính xác; (b) Ước lượng; (c) Sai số từng điểm; (d) Lát cắt so sánh tại x 1 = 1/2 (hình nét đứt: hàm chính xác, hình nét liền: hàm ước lượng). được chọn là hàm tuyến tính từng khúc cho bởi v(x) 

2x 2 , nếu x 2 ≤1/2 và x 2 ≤x 1 và x 1 ≤ 1−x 2 , 2(1−x 2 ), nếux 2 ≥ 1/2 và x 2 ≥x 1 và x 1 ≥1−x 2 , 2x 1 , nếu x 1 ≤1/2 và x 1 ≤x 2 và x 2 ≤ 1−x 1 , 2(1−x 1 ), trong trường hợp ngược lại, các hệ số a 1 (x, t), a 2 (x, t) và b(x, t) được chọn như sau a 1 (x, t) = 0.02[1− 1

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Bài toán đồng hóa số liệu với quan sát tích phân trong miền 35 1 Công thức gradient của phiếm hàm mục tiêu

Trong mục này, luận văn nghiên cứu bài toán đồng hóa số liệu xác định lại điều kiện ban đầu v(x) của bài toán biên Dirichlet (1.1)–(1.3) từ quan sát tích phân trong miền lu =h(t), t ∈(τ, T), τ > 0, với lu(x, t) Z

Bài toán đặt ra ở đây là từ các quan sát này ta xây dựng lại điều kiện ban đầuv(x) Cũng tương tự như trong Mục 2.1., chương này cũng sẽ nghiên cứu bài toán đồng hóa số liệu ở cả bài toán liên tục và bài toán rời rạc.

2.2.1 Công thức gradient của phiếm hàm mục tiêu a Công thức gradient dạng liên tục Tiếp theo, để tiện theo dõi ta viết lại bài toán giá trị ban đầu (1.1)–(1.3) và đánh số lại các phiếm hàm mục tiêu J 0 trong (1.11) và J γ trong (1.12) dưới dạng sau

Bài toán đồng hóa số liệu:Từ quan sát tích phân trong miềnlu =h(t), t ∈ (τ, T), τ >0, ta ước lượng lại điều kiện ban đầu v(x).

Ta kí hiệu nghiệm u(x, t) của hệ (2.30) dưới dạng u(x, t;v) (hoặc u(v) nếu không có gì nhầm lẫn) để nhấn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm u(x, t) vào điều kiện ban đầu v Từ đó ta có bài toán biến phân sau: cực tiểu hóa phiếm hàm

2klu(v)−hk 2 L 2 (0,T ) (2.31) với v ∈ L 2 (Ω) Kết hợp bài toán bình phương tối thiểu trên và hiệu chỉnh

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Tikhonov, ta có bài toán sau: cực tiểu hàm mục tiêu

2 (Ω) (2.32) trong đóv ∗ là một dự đoán tiên nghiệm củav và γ >0là tham số hiệu chỉnh.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh tính khả vi theo nghĩa Fréchet và đưa ra công thức gradient của hàm mục tiêu J γ (v). Định lý 2.3 Gradient ∇J 0 (v) của hàm mục tiêu J 0 (v) tại v được cho bởi

∇J 0 (v) =p(x,0), (2.33) với p(x, t) thỏa mãn bài toán liên hợp

(2.34) Chứng minh Cho biến phân δv của v, ta có

=hlδu(v), lu(v)−hi+o(kδvk) trong đó δu(v) là nghiệm của bài toán

482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Tiêu đề	Đồng hóa số liệu cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính hai chiều
Tác giả	Nguyễn Thúy Dương
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh
Trường học	Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên
Chuyên ngành	Toán ứng dụng
Thể loại	Luận văn Thạc sĩ Toán học
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	2,58 MB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
[1] Agoshkov V. I., On some inverse problems for distributed parameter sys- tems, Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 18(2003), no. 6, 455–465	Khác
[2] S. I. Khabanikhin (2012), Inverse and Ill-posed Problems: Theory and Applications, De Gruyter	Khác
[3] Hadamard J., Lectures on the Cauchy Problem in Linear Partial Differ- ential Equations, Yale University Press, New Haven, 1923	Khác
[4] Marchuk G.I., Splitting and alternating direction methods. In Ciaglet P. G. and Lions J. L., editors, Handbook of Numerical Mathematics.Volume 1: Finite Difference Methods. Elsevier Science Publisher B.V., North-Holland, Amsterdam, 1990	Khác
[5] Nemirovskii A. S., The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems. Zh. vychisl. Mat. mat. Fiz. 26(1986), 332–	Khác
[6] N. T. N. Oanh (2018), Data Assimilation in Heat Conduction, LAP Lam- bert Academic Publishing	Khác
[7] Thành N. T., Hào D. N., and Sahli H., Thermal infrared technique for landmine detection: mathematical formulation and methods. Acta Math.Vietnam. 36(2011), 469–504	Khác