chủ đề 25 hàm ghép trơn

Đặt vấn đề và ý tưởng phương pháp1.. Đặt vấn đề Các phương pháp tính nội suy đa thức đã biết ở các chủ đề trước, công thức tính khá thuận lợi, nhưng khi số lượng mốc nội suy tăng thêm th

VIỆN TOÁN NG D NG VÀ TIN HỨ Ụ ỌC

2

1 ĐẶT VẤN ĐỀ 3

2 Ý TƯỞNG PHƯƠNG PHÁP 3

II NỘI DUNG LÍ THUYẾT 4

1 S PLINE B C Ậ 1 4

2 S PLINE B C Ậ 2 4

3 S PLINE B C Ậ 3 6

4 L ƯU Ý KHI CHỌN CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN : 10

III SAI S VÀ NG D NG 10Ố Ứ Ụ 1 S AI SỐ: 10

2 ỨNG DỤNG: 10

3. ƯU NHƯỢC ĐIỂM : 11

IV THU ẬT TOÁN, CHƯƠNG TRÌNH VÀ VÍ DỤ 12

1 T HUẬT TOÁN 12

2 CHƯƠNG TRÌNH 13

3 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 16

4 Đ ÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP 22

I Đặt v ấn đề và ý tưở ng phương pháp

1 Đặt vấn đề

Các phương pháp tính nội suy đa thức đã biết ở các chủ đề trước, công thức tính khá thuận lợi, nhưng khi số lượng mốc nội suy tăng thêm thì bậc của đa thức nội suy cũng tăng lên Khi nội suy v i b d li u lớ ộ ữ ệ ớn thì đa thức thu được s có b c r t cao, khi n vi c tính toán và s dẽ ậ ấ ế ệ ử ụng đa thức thu được trở nên phức tạp hơn Và phương pháp nội suy bằng hàm ghép trơn đã khắc phục được như c điểm đó ợ

2 Ý tưởng phương pháp

Từ n+1 m c n i suy, ta xây d ng các ố ộ ự đa thức b c thậ ấp hơn n trên từng khúc, nhưng khi nối chúng l i vạ ẫn đạt độ trơn cao (ghép trơn từng khúc) Các đa thức này có bậc như nhau và bậc chúng không đổi khi ta tăng số mốc nội suy

4

Trước hết ta cần biết định nghĩa hàm ghép trơn

Xét 1 phân hoạch chia đoạ [a,b] như sau:n

S C − m là l p hàm liên tớ ục và có đạo hàm liên tục đến c p m-ấ 1 trên đoạn [a,b]

- Trên mỗi đoạn nhỏ i= xi− 1,x ii ,=1,nthì S(x) là đa thức bậc m

S(x) được t o bạ ởi n đa thức bậc m, mỗi đa thức bậc m c n m+1 h s ầ ệ ố chưa xác định Như vậy

để có được S(x) thì cần n (m +1)hệ số Theo cách chia đoạn như trên thì ta có n-1 điểm nối xitại các điểm đó thì hàm S(x) có đạo hàm liên tục đến cấp m-1, nghĩa là đã có m n −( )1 điều kiện, thêm n+1 điều ki n t b ng s nên còn thi u m-ệ ừ ả ố ế 1 điều kiện Điều ki n thi u sệ ế ẽ được b sung nh ổ ờcác nút biên x x = =0 a x x , = n= b

S(x) là đa thức bậc 2 nên S’(x) là đa thức bậc nhất

i i

i

i id+

4 Lưu ý khi chọn các điều kiện biên:

Trong ph n lý thuy t trên, chúng ta ch n ầ ế ở ọ đượ điềc u ki n t i biên nh v y khi có hàm ệ ạ ư ậ đã( )

y=f x Nh ng trong th c t , bài toán ư ự ế đặt ra th ng ch cho d ng d ng b ườ ỉ ướ ạ ộ điểm (x, y) mà không cho bi t hàm sế ố Trong trường h p này, ta ch n o hàm c p 1 tợ ọ đạ ấ ại 2 biên như sau:

a Trong tính toán:

- Sử d ng hàm SPLINE ụ để tính g n ầ đúng giá tr hàm s ị ố

- Sử d ng hàm SPLINE ụ để tính g n ầ đúng đạo hàm

with open ( 'test.txt' 'r+' , ) as f :

for line in f readlines ():

x append ( float ( line split ( )[ ' ' 0 ]))

y append ( float ( line split ( )[ ' ' 1 ]))

anpha i [ + ]= 1 lamda i [ ]/(- - 2 anpha i muy i [ ]* [ ])

beta i [ + 1 ]=( muy i [ ]* beta i d i [ ]- [ ])/(- - 2 anpha [ ]* muy [ ])

a = float ( input ( "Nhập giá trị cần tính: " ))

print ( 'Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 3 tại ' + ( str a )+ ' là:

' + ( str spline3 ( , 0 a )))

print ( 'Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 2 tại ' + ( str a )+ ' là: ' + str ( spline2 ( 0 , a )))

print ( 'Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 1 tại ' + ( str a )+ ' là: ' + str ( spline1 ( 0 , a )))

x0 = np linspace ( [ x ], x n [ ], 1000 )

y3 =[]

plt title ( "Spline Curve" )

plt plot ( , , x0 y1 color = 'blue' , label = 'Spline bậc 1' )

plt plot ( , , x0 y2 color = 'green' , label = 'Spline bậc 2' )

plt plot ( , , x0 y3 color = 'red' , label = 'Spline bậc 3' )

=============================================================== Các đa thức spline bậc 1:

18

• So sánh hàm Spline bậc 3 so với hàm gốc y=sin( )x

VD2: Ta có bảng giá trị mực nước biển trung bình theo nhiệt độ trung bình của trái đất và bảng giá trị đo nhiệt độ trung bình của trái đất theo thời gian:

Bảng 1: Nhiệt độ trung bình của trái đất theo

20

Bảng 2: Giá trị mực nước biển trung bình theo

nhiệt độ trung bình của trái đất

• Ta sẽ tính dự đoán mực nước biển tại năm 1933

Đầu tiên, ta sẽ có giá trị nhiệt độ trung bình được dự đoán từ Bảng 1

Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 3 tại 1933.0 là: -0.21402750614459728

Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 2 tại 1933.0 là: -0.323

Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 1 tại 1933.0 là: -0.1826

Ta lấy nhiệt độ trung bình tại năm 1933 được dự đoán −0.214

Từ đây, ta sẽ dự đoán được mực nước biển trung bình năm 1933 theo Bảng 2

22

Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 3 tại -0.214 là: -123.99956009027183

Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 2 tại -0.214 là: -214.01167726064983

Giá trị xấp xỉ đa thức theo spline bậc 1 tại -0.214 là: -130.0996946551724

Vậy ta đã có được dự đoán mực nước biển trung bình tại năm 1933

4 Đánh giá phương pháp

• Đây là một phương pháp nội suy khá là mạnh và đã khắc phục được nhược điểm khi có quá nhiều mốc nội suy thì bậc của đa thức sẽ tăng theo của có phương pháp nội suy đã

nêu trước

• Độ phức tạp thuật toán chỉ có O(n), được giảm nhiều so với các phương pháp khác, do

đó phương pháp này sẽ là lựa chọn tối ưu khi chạy được với bộ dữ liệu lớn