1 góc

Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng... Ví dụ: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. Góc giữa cạnh bên và m

Góc giữa hai đường thẳng d và 1 d là góc giữa hai đường thẳng 2 d 1 và d 2

cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d và 1 d 2

 Nhận xét

 Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và 1 d , ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một trong hai 2 đường thẳng đó

 Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90

 Nếu u u 1, 2

lần lượt là vectơ chỉ phương của d và 1 d và 2 u u 1, 2

thì góc giữa hai đường thẳng 1

d và d bằng 2  nếu và bằng nếu

Cách 1:

Từ một điểm trên đường thẳng a , kẻ b // b  , a b a b,  

Cách 2:

Từ một điểm bất kì, kẻ a // , // a b b  , a b  a b,  

Dựng tam giác chứa góc

 Đối với tam giác thường, sử dụng định lí hàm số côsin: cos A 2 2 2

2

AB

C

B A

C AC

B A





 Đối với tam giác vuông, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông: sin AC

B BC

 ; cos AB

B BC

 ; tan AC

B AB



0 90

d 1

d 2

d 2 '

d 1 '

O

A

H

b

a

b' O

b

a a' b' O

[Mã 101 - 2021]Cho hình chóp S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng

A 90 B 30 C 45 D 60

(Đề minh họa 2022) Cho hình hộp ABCD A B C D     có tất cả các cạnh

bằng nhau (tham khảo hình bên) Góc giữa hai đường thẳng A C  và BD

bằng

A 90 B 30

C 45 D 60

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD Biết tam giác BCD vuông tại C 

2

a

AB AC a CD a Gọi E là trung điểm của AD Góc giữa hai đường thẳng AB

và CE bằng

A 120 B 30 C 45 D 60

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C    có đáy ABC là tam giác cân AB AC a ,

 120 ,

BAC  cạnh bên AA a 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC

A 90 B 30 C 45 D 60

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCDcó AB a SA a ,  2 Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng

A arccos 3

5 arccos

5 arccos

3 D

15 arccos

5

Cho đường thẳng d và mặt phẳng  

- Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d

và mặt phẳng   bằng 900

- Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng   góc giữa d và hình chiếu 'd của

nó trên   gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  

 Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 900

Bước 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bước 2: Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên

mặt phẳng

Từ đó, ta có công thức góc theo thứ tự ĐỈNH – GIAO ĐIỂM – CHÂN ĐƯỜNG CAO

Dựng tam giác chứa góc

 Đối với tam giác thường, sử dụng định lí hàm số côsin:

2 2 2 2 cos ; 2 2 2 2 cos ; 2 2 2 2 cos

a b  c bc A b c a  ac B c a b  ab C

 Đối với tam giác vuông, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

 sinB AC

BC

 ; sin AB

C BC



 cosB AB

BC

 ; cosC AC

BC



 tanB AC

AB

 ; tanC AB

AC



Áp dụng cho bài toán tìm góc giữa đường cao và mặt bên hoặc bài toán khó tìm được hình chiếu của điểm còn lại trên mặt phẳng  P

Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P , ta có công thức sau:

 

sin d A P

AO

Trong đó: A là điểm thuộc đường thẳng d và tính được khoảng cách từ A đến  P ;

O là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P

A

H

Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa cạnh bên và mặt đáy Góc giữa cạnh bên và mặt đứng Góc giữa đường cao và mặt bên PHƯƠNG PHÁP

Từ giao điểm của đường thẳng

với mặt phẳng nối vào chân

đường cao

  SB ABCD;  SBA

  SD ABCD;  SDA

  SC ABCD;  SCA

  SM ABCD;  SMA

PHƯƠNG PHÁP

Từ điểm còn lại (không phải giao điểm) kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh đáy của mặt đứng

  SC SAB;  CSB

  SC SAD;  CSD

  SM SAB;  MSN

  SB SAC;  BSO

PHƯƠNG PHÁP

Từ chân đường cao kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh đáy của mặt bên

  SA SBC;   ASB

  SA SCD;  ASD

  SA SBD;  ASO

(Mã 101 - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a ,

2 ,

BC a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 15a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

A 45 B 30 C 60 D 90

N A B

D C

S

A

B

D C

S

M

O

A B

D C S

(Đề minh họa 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 

A 45 B 30 C 60 D 90

(Mã 103 - 2022) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ABCD bằng 

6

3

2

2

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a, gọi M là trung điểm của SC Tính cosin của góc  là góc giữa đường thẳng

BM và ABC 

14

7

7

7

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có AB a , AA a 2 Góc giữa đường thẳng A C

và mặt phẳng ABB A  bằng 

Cho hình chóp S ABCcó đáy là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB2a, BAC  và 60 SA a 2 Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng 

A 45 B 30 C 60 D 90

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ABC, 60 và SB a Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Gọi   là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SCD Tính sin 

2

4

2

2



Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q , ta có: 0  900

Nếu lần lượt trong hai mặt phẳng  P và  Q có hai đường thẳng a và b vuông góc với giao tuyến d tại một điểm I thì góc giữa hai đường mặt phẳng  P và  Q bằng góc giữa hai đường thẳng a và b Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:    P  Q  (1) d

Bước 2: Trong mặt phẳng  P , kẻ đường thẳng a vuông góc giao

tuyến d tại điểm I (2)

Bước 3: Chứng minh d  aIb , từ đó suy ra d  (3) b

Bước 4:  P    ; Q aIb

Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa mặt bên và mặt đáy Góc giữa mặt bên và mặt đứng Góc giữa hai mặt bên PHƯƠNG PHÁP

B1: Xác định giao tuyến của mặt

bên và mặt đáy

B2: Từ chân đường cao kẻ đường

thẳng vuông góc với giao tuyến,

sau đó nối lên đỉnh S

  SBC ; ABCD SBA

  SCD ; ABCD SDA

  SBD ; ABCD SOA

PHƯƠNG PHÁP CÁCH 2 (Tổng quát)

 SBC ; SAB 900

 SCD ; SAD 900

  SBD ; SAB AHO

  SBD ; SAD AKO

PHƯƠNG PHÁP CÁCH 2 (Tổng quát)

  SBD ; SCD BHD O

A

B

D

C

S

O A

B

D

C

S

K

H

O A

B

D

C

S

H

(P)

d

(Q)

b

a I