Chuong 3 xstk pro 23 24 25

Tình huống về hợp đồng dịch vụ sau đây sẽ phần nào khái quát hơn về hợp đồng dịch vụ, các mối quan hệ pháp luật trong tình huống cũng như xác định trách nhiệm của bên vi phạm hợp đồng thuê dịch vụ theo tình huống đó. Chị Nguyễn Giang có chiếc bàn gỗ bị hỏng, đã đem đến cửa hàng đồ gỗ của anh Phạm Tiến để sửa chữa. Sau khi kiểm tra sơ qua hỏng hóc của chiếc bàn, anh Tiến có khẳng định với chị Giang là có thể sửa chữa được, hai bên làm thỏa thuận và nhất trí anh Tiến sẽ sửa chữa chiếc bàn và giao hàng vào 5 ngày sau kể từ ngày chị Giang mang chiếc bàn gỗ đến cửa hàng của anh, giá cả hai bên nhất trí là 500 000 đồng. Chị Giang đặt cọc trước 200 000 đồng, số tiền còn lại sẽ hoàn trả đầy đủ khi anh Tiến giao hàng tận nhà chị Giang. Sau 5 ngày, anh Tiến có gọi điện cho chị Giang báo lại là chưa hoàn thiện được, hẹn thêm 2 ngày nữa sẽ trao trả hàng nhưng không thể trao tận nhà cho chị Giang được như đã thỏa thuận. Chị Giang yêu cầu anh Tiến phải đảm bảo chất lượng sửa chữa chiếc bàn và sau 2 ngày sẽ đến nhận lại nó, nhưng anh Tiến phải chi trả chi phí phát sinh từ việc chị Giang phải thuê xe để vận chuyển chiếc bàn từ nơi sửa chữa của anh về nhà chị. Phân tích tình huống trên:

Chương 3 Các phân phối xác suất thông dụng

(Commonly Used Distributions)

3.1 Phân phối xác suất rời rạc (Discrete Distributions)

3.1.1 Phân phối Bernoulli

3.1.1.1 Ví dụ

3.1.1.2 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Bernoulli với 1 tham số p

0 p 1, ký hiệu X B p  hoặc X B p , nếu X chỉ có hai giá trị nguyên 0 và

1, với các xác suất tương ứng được tính theo công thức

 Hãy chứng minh định lý trên

3.1.2 Phân phối Nhị thức (Binomial Distribution)

3.1.2.1 Ví dụ

3.1.2.2 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với 2 tham số n, p,

ký hiệu X B n p ; hoặc X B n p ; , trong đó n là số nguyên dương, 0  , p 1

nếu X nhận n+1 giá trị nguyên 0,1, , n với các xác suất tương ứng được tính theo công

thức Bernoulli

  x x n x

n

p x C p q  x  0, ; 0n  p 1; q  1 p

 Hãy chứng minh định lý trên

Ví dụ 3.1.2.3.1 Tung 5 lần một đồng xu và theo dõi xem mặt sấp có xuất hiện hay

không Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong 5 lần tung đồng

xu Hãy tính E X V X     , , X , ModX

N N n , ký hiệu X H N N n , A,  hoặc X H N N n , A, , trong đó N N n là các , A,

số nguyên dương, 0n N, A N , nếu X nhận một trong các giá trị x nguyên từ

max0;nN AN đến minn N; A với các xác suất tương ứng được tính theo công

thức tính xác suất lựa chọn

  A A

x n x

N N N n N

 Hãy chứng minh định lý trên

Ví dụ 3.1.3.3.1 Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh Gọi X là số bi đỏ có

trong 4 bi chọn ra Hãy tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X

Nếu lập được bảng phân phối xác suất của X thì dựa vào các công thức của chương

II ta cũng tìm được kết quả trên

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với 1 tham số , ký

hiệu X P  hoặc X P  , trong đó hằng số  > 0, nếu X nhận vô hạn đếm được các giá trị nguyên 0,1, 2, với các xác suất tương ứng được tính theo công thức

 Hãy chứng minh định lý trên

3.1.4.5 Xấp xỉ phân phối Nhị thức bằng phân phối Poisson

Định lý giới hạn Poisson:

Trong phân phối Nhị thức, nếu số phép thử n   còn xác suất thắng lợi

0

p  và np  (hằng số) thì quy luật phân phối Nhị thức tiến tới quy luật phân phối 

Poisson với tham số   np

Nghĩa là, trong phân phối Nhị thức X B n p ; , nếu n rất lớn (thông thường >100),

p quá bé gần 0 (thông thường p < 0,01) thì ta có thể xấp xỉ phân phối Nhị thức bằng phân phối Poisson X P   với   np để việc tính được dễ dàng hơn

 Hãy chứng minh định lý trên

Ví dụ 3.1.4.5.1 Một nữ công nhân đứng máy se sợi gồm 800 ống sợi Xác suất đứt

sợi của mỗi ống trong vòng một giờ là 0,005 Tìm xác suất của biến cố trong vòng 1 giờ

e

Ví dụ 3.1.4.5.2

1 Trong một lô thuốc A, tỷ lệ thuốc hỏng p = 0,003 Nếu kiểm nghiệm 1 000 ống thì

xác suất để gặp 3 ống bị hỏng là bao nhiêu?

2 Giả sử xác suất tử vong của bệnh sốt xuất huyết là 0

00

7 Tính xác suất để có đúng 5 người chết do sốt xuất huyết trong một nhóm 400 người

 Hãy hoàn thành bảng sau

Bảng tổng kết các phân phối rời rạc

ModX

3.2 Phân phối xác suất liên tục (Continuous Distribution)

3.2.1 Phân phối chuẩn (Normal Distribution) (Phân phối Gauss)

3.2.1.1 Ví dụ

3.2.1.2 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trên  được gọi là có phân phối chuẩn

với 2 tham số  và  , ký hiệu X N   ; 2 hay X N   ; 2, nếu X có hàm mật

độ xác suất:

2 1 21( )

 

f x

O

+ Đồ thị của hàm mật độ được gọi là đường cong phân phối chuẩn, đạt cực đại tại

 nên diện tích bên

dưới đường cong phân phối chuẩn bằng 1

+ Khi  thay đổi, đường cong dịch chuyển song song với trục Ox còn dạng thì giữ nguyên + Nếu  thay đổi thì đường cong thay đổi: dẹp xuống (khi  tăng) hoặc lồi lên (khi  giảm) Điều này cho ta ý nghĩa của tham số  là thước đo độ tản mát các giá trị của biến ngẫu nhiên

 Hãy chứng minh định lý trên

3.2.1.4 Phân phối chuẩn tắc (Phân phối chuẩn hoá) (Standard Normal Distribution)

Z N hoặc Z N 0,1 , có hàm mật độ (xác suất) và hàm phân phối (xác

suất) lần lượt được ký hiệu và xác định như sau:

 

2 21( )

 

2 21

2 1 21

2 Bảng hàm Laplace

2 21

Ví dụ 3.2.1.5.2 Giả sử chiều cao X, đơn vị tính inches, của một người đàn ông

được chọn ngẫu nhiên từ một tổng thể nào đó có phân phối chuẩn với  69 và

2, 6

  Hãy tính:

1 P X  72

2 P X  72

2 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 10 và xác suất để X

có giá trị lớn hơn 12 là 0,1056 Tính độ lệch chuẩn của X ĐS:  =1,6

Ví dụ 3.2.1.5.4

Thời gian để đội thợ A xây xong một căn phòng là một biến ngẫu nhiên có phân

phối chuẩn có kỳ vọng là 500 giờ và độ lệch chuẩn là 100 giờ

1 Tìm xác suất để đội A xây xong trong khoảng [400 giờ, 700 giờ]

2 Tìm xác suất để đội A hoàn thành sớm hơn 580 giờ

3 Tìm xác suất để đội A hoàn thành trễ hơn 580 giờ

3.2.1.6 Xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn

Trong phân phối nhị thức X B n p ; , nếu n đủ lớn và p không quá bé gần 0 và 1

(thường xét n >30, np > 5) thì ta có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

 ; 2

X N   với   np,  2 npq

Việc tính gần đúng thể hiện ở hai dạng:

+ Công thức Moivre – Laplace

Gọi X là số người khỏi bệnh, X có phân phối nhị thức B(100;0,2)

 Tính theo phân phối nhị thức:

100

 Tính theo xấp xỉ phân phối chuẩn

Ví dụ 3.2.1.6.2 Có 80 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó có một

cách đúng Một học sinh trả lời kiểu hú hoạ

1 Tính xác suất để trả lời đúng 24 câu

2 Tính xác suất để số câu trả lời đúng nhiều hơn 30 câu

Giải:

Mỗi lần trả lời là một phép thử có xác suất thành công (trả lời đúng) p = 0,25 Trả lời 80

câu coi như lặp lại 80 lần phép thử, số câu trả lời đúng X có phân phối nhị thức B80; 0,25

Giả sử Z N 0;1 Phân vị chuẩn mức  của phân phối chuẩn tắc, ký hiệu z ,

là giá trị thoả mãn điều kiện

P Z z   tức là  z   

Với  cho trước có thể tính được giá trị của  z  bằng cách tra bảng tích phân Laplace (Bảng 2) Nếu tính ngược, ta tra bảng Giá trị bách phân vị (Bảng 3)

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

-0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x y

Ý nghĩa: “Nếu X N  ( , 2) thì xác suất (diện tích) để X nhận giá trị sai lệch so

với kỳ vọng  không quá 1; 2; 3 lần lượt là 68,26%; 95,44%; 99,74%”

Nhận xét:

Do xác suất P X  3 0, 9974 rất gần 1 nên ta có thể phát biểu như sau:

Hầu chắc chắn rằng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N   nhận giá trị sai ( ; 2)

lệch với kỳ vọng  không quá 3

Quy tắc trên được minh họa như sau:

Phân phối chuẩn với vùng 1 , 2 , 3  

3.2.1.9 Ứng dụng

Các đại lượng ngẫu nhiên sau có phân phối chuẩn:

+ Kích thước chi tiết máy do một máy sản xuất ra

+ Trọng lượng của nhiều sản phẩm cùng loại

+ Năng suất của một loại cây trồng trên những thửa ruộng khác nhau

Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn là biến phổ biến và đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê

3.2.2 Phân phối “Chi bình phương”

0,2

3.2.2.4 Cách tra bảng “Chi bình phương” (Bảng 5)

Giả sử X  2 n Phân vị mức  của phân phối 2( ) n , ký hiệu  2n ; , là giá trị thoả mãn điều kiện

Trong Bảng phân phối  , cột một chỉ bậc tự do n, hàng một chỉ mức ý nghĩa , 2

còn phân vị  2n , là giá trị nằm trên hàng “n” cột “” Như vậy nếu biết giá trị của đại

lượng ngẫu nhiên  2n , và bậc tự do n ta tìm được mức ý nghĩa , ngược lại nếu biết

được bậc tự do n và mức ý nghĩa , ta tìm được giá trị  2n , mà    2 

b Với n =20,  0, 95, lấy hàng n =20 và cột  0, 95 ta được ( ; )2n  10, 851

3.2.3 Phân phối Student (phân phối t) (t Distribution)

3.2.3.1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Student với (n–1) (hoặc còn

ký hiệu df) bậc tự do, ký hiệu X t n  1 hoặc X t n  , nếu có hàm mật độ: 1

 

/2 22

11

1 E X  với n 3 (  0 E X khơng tồn tại khi n=2)  

V n

V



được gọi là cĩ phân phối Student n bậc tự do

Với n 30, phân phối (t n  gần trùng với phân phối chuẩn tắc (0,1)1) N

3.2.4 Phân phối Fisher (F Distribution)

3.2.4.1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là cĩ phân phối Fisher với n1 và n2 bậc tự

do, ký hiệu là X F n n 1; 2, nếu X cĩ hàm mật độ được xác định bởi:

    vớivới

hay  

vớivới

1 2 2 2

Y n X

Với  0, 05, giá trị của F0,053;28 2, 947

Với  0, 01, giá trị của F0,013;28 4, 568

 Hãy hồn thành bảng sau

Bảng tổng kết các phân phối liên tục

Y; tính E(X), D(X), E(Y) và D(Y)

3.2 Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm

tốt Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại)

(a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra, và tính xác suất để trong đó có ít nhất 2 sản phẩm tốt

(b) Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra đi bán Biết rằng bán một sản phẩm tốt được lời 50 ngàn đồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn đồng Tính lợi nhuận thu được trung bình

và độ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên

3.3 Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%

(a) Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất để có nhiều nhất 2 sản phẩm giả

(b) Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một để kiểm tra cho đến khi nào gặp sản

phẩm giả thì dừng Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm thật đã

kiểm tra; tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm đã kiểm tra

3.4 Các khách hàng mua xe gắn máy tại một đại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì

được quyền trả lại xe trong vòng ba ngày sau khi mua và được lấy lại nguyên số tiền mua

xe Mỗi chiếc xe bị trả lại như thế làm thiệt hại cho đại lý 250 (ngàn)VNĐ Có 50 xe vừa được bán ra Xác suất để một xe bị trả lại là 0,1

(a) Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả lại Tính xác suất để có nhiều nhất 2 xe

bị trả lại

(b) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà đại lý phải chịu do việc trả lại

xe

3.5 Một thí sinh tên M tham dự một kỳ thi môn XSTK M phải làm một đề thi trắc

nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời giải khác nhau, trong đó chỉ có một lời giải đúng M sẽ được chấm đậu nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu

(a) Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời giải trong cả 10 câu Tính xác suất để M thi đậu Hỏi M phải dự thi ít nhất mấy lần để xác suất có ít nhất một lần thi đậu không nhỏ hơn 97%?

(b) Giả sử M chắc chắn trả lời đúng được 2 câu; còn các câu khác, M chọn ngẫu nhiên một trong 4 lời giải của mỗi câu Tính xác suất để M thi rớt

3.6 Nhà máy dệt muốn tuyển dụng người biết rành về một loại sợi Nhà máy thử

thách người dự tuyển 7 lần Mỗi lần nhà máy đem ra 4 sợi giống nhau, trong đó chỉ có một sợi thật và yêu cầu người này chọn ra sợi thật Nếu chọn đúng ít nhất 6 lần thì được tuyển dụng Một người đến xin tuyển dụng nói: "Chỉ cần nhìn qua là có thể phân biệt sợi thật hay giả với xác suất 80%"

(a) Nếu người này nói đúng khả năng của mình thì xác suất được tuyển dụng là bao nhiêu?

(b) Tính xác suất để được tuyển dụng trong trường hợp, thật ra, người này không biết gì về sợi cả

3.7 Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là pA = 0,1; ở lô B là pB = 0,08 và ở lô C là pC =

0,15 Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc

(a) Lấy 3 chai ở lô A Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong 3 chai Tính xác suất để có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng Phải lấy bao nhiêu chai (ở lô A) để xác suất có ít nhất một chai hỏng không nhỏ hơn 94% ?

(b) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 lô rồi lấy từ lô đó ra 3 chai Tính xác suất để có ít nhất 1 chai hỏng

(c) Lấy ở mỗi lô một chai Tìm phân phối xác suất rồi tính kỳ vọng và phương sai của

số chai hỏng trong 3 chai lấy ra

(d) Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô C rồi để lẫn lộn Một người đến mua 1 chai về dùng Tính xác suất để được chai tốt

3.8 Giả sử ngày sinh của mỗi người dân trong một thành phố lớn có thể rơi ngẫu

nhiên vào một ngày bất kỳ trong năm (365 ngày) Chọn ngẫu nhiên 1095 người trong thành phố đó Tính xác suất để

(a) có hai người có cùng ngày sinh đã cho;

(b) có không quá 7 người có cùng ngày sinh đã cho

3.9

(a) Cho ba biến ngẫu nhiên độc lập X,Y và Z Giả sử:

X ~ B(24; 0,1); Y ~ B(9; 0,1) và Z ~ B(17; 0,1) Hãy tính: P(X + Y + Z = 4)

(b) Cho hai BNN X và Y độc lập Giả sử X ~ Poisson() và Y ~ Poisson() Hãy tính xác suất P(X = k/X + Y = n), trong đó 0 ≤ k ≤ n

(c) Cho hai BNN X và Y độc lập; X ~ N(7; (1, 2) )2 và Y ~ N(5; (0,9) )2 Tính P(X +

Y < 9,5); P(X  Y) và P(X > 2Y)

3.10 Một trạm bưu điện chuyển điện trong khoảng thời gian 105 giây Trong

quá trình đánh điện có các tiếng ồn ngẫu nhiên Số tín hiệu ồn ngẫu nhiên trung bình trong 1 giây là 104 Nếu trong thời gian truyền tin có dù chỉ một tín hiệu ồn ngẫu nhiên thì trạm ngừng làm việc Tính xác suất để cho việc truyền tin bị gián đoạn, biết rằng số các tín hiệu ồn ngẫu nhiên rơi vào máy trong khoảng thời gian truyền tin là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson

3.11 Số lỗi trên một mét vuông vải là một BNN tuân theo luật phân phối Poisson

Kiểm trạm lô vải, người ta thấy 98% có lỗi Vậy, trung bình mỗi mét vuông vải có bao

nhiêu lỗi?

3.12 Một công ty cho thuê xe taxi có 4 chiếc taxi Hàng ngày, công ty phải nộp

thuế 8 USD cho một chiếc xe (dù xe có được thuê hay không) Mỗi chiếc xe được cho thuê với giá 20USD Giả sử số xe có nhu cầu thuê trong một ngày của công ty là một BNN tuân theo luật phân phối Poisson với kỳ vọng bằng 2,8

(a) Hãy tìm luật phân phối xác suất cho lợi nhuận và tìm lợi nhuận trung bình hàng ngày của công ty

(b) Tính xác suất để công ty không đủ xe đáp ứng được nhu cầu của khách hàng

(c) Công ty cần bao nhiêu xe taxi để xác suất không đáp ứng được nhu cầu bé hơn 2% ?

3.13 Một phân xưởng có 12 máy: 5 máy loại A, 4 máy loại B và 3 máy loại C

Xác suất sản xuất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn của máy loại A, loại B và loại C, theo thứ tự, là 98%, 96% và 90%

(a) Chọn ngẫu nhiên một máy và cho máy đó sản xuất 3 sản phẩm Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số 3 sản phẩm do máy đó sản xuất ra (b) Giả sử 3 sản phẩm do máy được chọn sản xuất ra đều đạt tiêu chuẩn Nếu cho máy

đó sản xuất tiếp 3 sản phẩm nữa, thì xác suất để 3 sản phẩm này đều đạt tiêu chuẩn bằng bao nhiêu?

3.14 Có hai máy hoạt động độc lập Tỉ lệ sản xuất ra sản phẩm loại A của máy I

là 80%, còn tỉ lệ này của máy II là 60% Cho máy I sản xuất 3 sản phẩm, máy II sản xuất

3.15 Một xí nghiệp có 2 máy I và II Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự thi sẽ

chọn ngẫu nhiên một máy và với máy đó sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại tốt sản xuất được không ít hơn 70 thì được thưởng Giả sử với một công nhân A, xác suất sản xuất được sản phẩm loại tốt với hai máy lần lượt là 65% và 70%

(a) Tính xác suất để công nhân A được thưởng

(b) Giả sử A dự thi 20 lần Số lần được thưởng có nhiều khả năng nhất là bao nhiêu? (c) Công nhân A phải dự thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần được thưởng không nhỏ hơn 95%?

3.16 Một lô hàng (rất nhiều sản phẩm) có tỉ lệ phế phẩm là 3% Theo hợp đồng

giữa hai bên: Nếu lấy ngẫu nhiên ra 100 sản phẩm để kiểm tra mà có không quá 3 phế phẩm thì bên mua chấp nhận mua lô hàng

(a) Tính xác suất để lô hàng bị trả lại

(b) Nếu trong 100 sản phẩm có không quá 1 phế phẩm thì lô hàng được xếp loại A, nếu

có từ 2 đến 3 phế phẩm thì lô hàng được xếp loại B Tính xác suất để lô hàng trên được xếp loại A; xếp loại B

(c) Giá của cả lô loại A là 100 triệu đồng, của cả lô loại B là 92 triệu đồng; trường hợp

bị trả lại được coi như giá bán là  0,8 triệu đồng (chi phí vận chuyển) Tìm số tiền trung bình mà bên bán thu được từ lô hàng trên trước khi bên mua kiểm tra và quyết định

3.17 Một hộp đựng 10 lọ thuốc, trong đó có 2 lọ hỏng

(a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 lọ cùng một lúc Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lọ

thuốc bị hỏng trong 4 lọ lấy ra Hãy tìm phân phối xác suất của X và tính E(X)

(b) Cần phải lấy bao nhiêu lọ để cho, với xác suất bằng 5/9, trong số đó có đúng một lọ

bị hỏng?