Một số loại máy thuỷ lực khác.Chúng tôi đã xây dựng chi tiế t nội dung để mong muốn cuốn sách được dùng làm tài liệu giúp sinh viên các ngành Cơ khí của các trường đại học kỹ thuật học t
Các lực tác động trong chất lỏng -á p s u ấ t
Tất cả các lực tác động trong chất lỏng đều có thể chia làm 2 loại: lực khối lượng (còn gọi là lực thể tích) và lực mặt.
Lực khối lượng là lực tác động lên tất cả các phân tố trong chất lỏng, và trong điều kiện phân bố đều, nó tỷ lệ với thể tích chất lỏng, vì vậy còn được gọi là lực thể tích Các loại lực như lực quán tính, lực từ, lực điện trường và trọng lực đều thuộc về lực khối.
Ký hiệu F là véctơ tổng hợp của lực khối, thì:
V và các hình chiếu của F lên các trục toạ độ Oxyz:
( 1 - 22 ) ở đây: 7 = X l + Y j + Z k (1-23) được gọi là lực khối đơn vị (hay mật độ lực khôl) Lực khối đơn vị biểu thị gia tốc của lực khối.
Ví dụ: chất lỏng chỉ chịu tác động của trọng trưòng thì lực khối đơn vị là gia tốc rơi tự do g.
Lực mặt là lực tác động lên bề mặt giới hạn của khối chất lỏng được khảo sát Khi lực mặt phân bố đều và liên tục, nó sẽ tỷ lệ thuận với diện tích tiếp xúc Áp lực không khí tác động lên mặt thoáng của chất lỏng cùng với lực ma sát do tính nhớt tạo thành lực mặt.
Lực mặt AR tác động lên diện tích AS của chất lỏng được phân tích thành hai thành phần: A T theo phương tiếp xúc và A p theo phương vuông góc với AS, như minh họa trong hình 1.6.
A T - lực ma sát, lực này chỉ xuất hiện khi có chuyển động tương đối giữa các lớp chất lỏng.
A P - áp lực chất lỏng tác động lên diện tích AS.
Nếu áp lực phân bố đều và liên tục thì lực tác động lên một đơn vị diện tích gọi là áp suất thuỷ động, ký hiệu p.
Trong trường hợp chất lỏng tĩnh thì gọi là áp suất thuỷ tĩnh:
AP AS Hay chính xác hơn: p = lim AP
ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG 2.1 Mục đích và phương pháp nghiên c ứ u
Phân loại chuyển động
2.1 MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu
Chương động học tập trung vào việc nghiên cứu chuyển động của chất lỏng mà không xem xét các lực gây ra chuyển động, chỉ mô tả các khía cạnh như vận tốc dòng chảy, gia tốc, đường dòng và quỹ đạo Chương này cũng khám phá định luật bảo toàn khối lượng trong cơ học và thiết lập các phương trình quan trọng trong thủy lực, bao gồm phương trình vi phân liên tục và phương trình liên tục của dòng chảy.
Khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, người ta có thể dùng phương pháp Lagrangiơ và phương pháp ơ le.
Chuyển động của chất lỏng được hiểu là sự di chuyển của các phần tử bên trong chất lỏng Phương pháp Lagrange tập trung vào việc phân tích chuyển động của từng phần tử chất lỏng một cách riêng biệt Khi áp dụng hệ tọa độ vuông góc Đề các Oxyz trong môi trường chất lỏng, giả sử một phần tử chất lỏng tại thời điểm ban đầu M0 có tọa độ x0, y0, z0, thì tại thời điểm t, nó sẽ di chuyển đến một điểm mới trong không gian.
M có toạ độ X , y, z (hình 2.1) Để nghiên cứu quy luật chuyển động, vẽ được quỹ đạo, ta cần có các hàm số sau:
X = /i( x 0, y0, z0,t) y = / 2(x0, y 0, z0,t) z = / 3(x0, y 0, z0,t) ở đây X , y, z được gọi là biến số Lagrangiơ.
Do gặp nhiều khó khăn trong tính toán, phương pháp này ít được dùng trong thuỷ lực, trừ trường hợp nghiên cứu chuyển động của sóng.
2.1.2 Phương pháp ơ le ơ le không nghiên cứu chuyển động của từng phần tử chất lỏng mà nghiên cứu chuyển động của các phần tử chất lỏng nào đó dịch chuyển qua các điểm cố định (có gắn với toạ độ) ở các thời điểm khác nhau.
Tại thời điểm t, một phần tử chất lỏng di chuyển với vận tốc u_n Đến thời điểm t2, một phần tử khác chuyển dịch với vận tốc u_12 Cuối cùng, tại thời điểm tn, một phần tử nữa chuyển động với vận tốc u_ln.
Tại điểm M2 (x2, y2, z2) vào thời điểm t1, một phần tử chất lỏng di chuyển với vận tốc U21 Tại thời điểm t9, một phần tử khác cũng chuyển dịch với vận tốc tương tự.
Vận tốc của một phần tử chất lỏng tại một điểm cố định U22 thay đổi theo thời gian khi có một phần tử khác chuyển dịch với vận tốc u2n Điều này cho thấy vận tốc chuyển động của chất lỏng tại điểm đó là hàm số của tọa độ X, Y, Z và thời gian t, cùng với các yếu tố thủy lực khác như áp suất p.
Các biến sô" này gọi là biến sô" ơle.
Phương pháp ơ le có nhiều ưu việt và tiện lợi hơn phương pháp Lagrangíơ nhất là nghiên cứu thực nghiệm.
2.2 M ỘT S Ố ĐỊNH N G H ĨA V À ĐẶC TRƯNG CHUYÊN đ ộ n g c ủ a d ò n g c h ả y
2.2.1 Vận tốc và gia tốc
Vận tốic dòng chảy ũ là hàm véctơ của 4 biến: ũ = 0 (x, y, z, t) Gọi ux, U y, uz là hình chiếu của Q lên các trục toạ độ vuông góc Oxyz, ta có: ũ = uxĩ + u yj + u zk (2- 1)
Trong đó i , j , k là các véctơ đơn vị: ux = ux (x, y, z, t)
U y = Uy (x, y, z, t ) uz = uz (x, y, z, t) Gia tốc của dòng chảy, ký hiệu là ă : ẩ = ^ = axi + ayj + a , k Trong đó ax, ay, az - hình chiếu của ã : a x = du, dt du. dt a
Vì ũ là hàm véctơ 4 biến nên:
_ _ du _ ỡũ , ổũ dx , ỡũ dy ÔQ dz _ ỡu , ổũ , ổũ , ỡu dt ỡt 5x dt ỡy dt ổz dt ổt õx ôy õz
Nếu s không phu thuôc t thì — = 0. ổt Tương tự ta có thể viết cho ax, av, az.
Trong một trường véctơ vận tốc, đường dòng thể hiện các điểm tại một thời điểm cụ thể, nơi mà véctơ vận tốc có phương trùng với phương của tiếp tuyến đường cong tại từng điểm.
Khái niệm đường dòng giông như khái niệm đường sức trong từ trường.
Quỹ đạo là đường đi của một phần'tử chất lỏng.
Phương trình quỹ đạo có dạng: dx dy dz , ,
Đường dòng và quỹ đạo là hai khái niệm khác nhau trong chuyển động Chỉ khi vận tốc không thay đổi theo thời gian t, tức là trong trường hợp chuyển động dừng, hai đường này mới trùng nhau.
2.2.3 Mặt dòng, ống dòng, dòng nguyên tố
Trong một môi trường chuyển động chất lỏng, ta lấy một đường c bất kỳ không phải là đường dòng.
Qua mỗi điểm của đường cong này ta vẽ một đường dòng, tập hợp vô số’ các đường dòng tạo thành một mặt dòng (hình 2.4a).
Nếu c là đường cong khép kín ta được một ông dòng (hình 2.4b) Hình 2-4
Nếu c là vụ cựng nhỏ (C—ằ dC), ta có thể xem dòng chảy như một tập hợp vô số dòng nguyên tố Do đó, khi nghiên cứu chuyển động của dòng chảy, chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của các dòng nguyên tố trước, sau đó mở rộng ra cho toàn bộ dòng chảy.
2.2.4 Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thuỷ lực
Mặt cắt ướt là mặt cắt vuông góc vối tất cả các đường dòng.
Mặt cắt ướt có thể là phẳng hoặc cong, với ký hiệu dòng nguyên tố là ds Do ds rất nhỏ, vận tốc u tại mọi điểm trên mặt cắt ướt được coi là đồng nhất Mặt cắt ướt của toàn bộ dòng chảy được ký hiệu là s, với đơn vị đo là m², cm².
Trên mặt cắt ướt, vận tốc điểm không bằng nhau.
2.2.4.2 Chu v i ướt Đường tiếp xúc giữa mặt cắt ướt và thành rắn giới hạn dòng chảy gọi là chu vi ướt, ký hiệu x(m, cm).
Tỷ số giữa diện tích mặt cắt ướt và chu vi ướt gọi là bán kính thuỷ lực, ký hiệu là
Chú ý không nhầm lẫn giữa bán kính thuỷ lực R và bán kính đường ông r.
2.2.5 Lưu lượng, vận tốc trung bình mặt cắt
Lưu lượng là lượng chất lỏng chảy qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian C/Ó 3 loại lưu lượng:
- Lưu lượng thể tích (gọi là lưu lượng), ký hiệu: Q, đơn vị đo: m3/s, 1/s
- Lưu lượng khôi, ký hiệu: M, đơn vị đo: kg/s.
- Lưu lượng trọng lượng, ký hiệu: G, đơn vị đo: N/s, kG/s.
Quan hệ giữa 3 lưu lượng:
Lưu lượng nguyên tố dQ : dQ = udS (2-7)
Từ đó lưu lường dòng chảy sẽ là:
Ký hiệu: v(m/s) v = a s hay biểu diễn qua vận tốc điểm bằng công thức:
2.3.1 Chuyển động dừng (ổn định) và không dừng (không ổn định)
Chuyển động không dừng là chuyển động trong đó có các yếu tô” thuỷ lực như vận tốc u, áp suất p phụ thuộc vào không gian và thời gian:
Chuyển động dừng là chuyển động trong đó các yếu tố thuỷ lực như p, u „ không phụ thuộc vào thời gian:
Khi nước chảy từ bình qua lỗ, cột áp H từ tâm lỗ đến mặt thoáng sẽ thay đổi theo thời gian Nếu H giảm dần, dòng chảy qua lỗ sẽ không dừng lại Ngược lại, nếu giữ H ổn định, dòng chảy sẽ trở thành dòng dừng.
Trong thực tế, dòng chảy hiếm khi hoàn toàn dừng lại; thường chỉ có dòng chảy được coi là dừng Nghiên cứu về dòng chảy không dừng rất phức tạp, vì vậy giáo trình này chủ yếu tập trung vào các dòng chảy dừng, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt Đối với dòng chảy dừng, các đường dòng không thay đổi theo thời gian và trùng với quỹ đạo, do đó hai đường dòng không bao giờ cắt nhau Vì lý do này, chất lỏng không thể xuyên qua dòng nguyên tổ từ trong ra ngoài và ngược lại.
2.3.2 Dòng ch ảy đểu và không đểu
Dòng chảy đều là loại dòng chảy mà vận tốc u được phân bố đồng nhất trên mọi mặt cắt ướt dọc theo dòng chảy Do đó, trong dòng chảy đều, vận tốc trung bình V giữ nguyên và không thay đổi theo chiều dài của dòng chảy.
Dòng chảy đều được minh họa qua ví dụ về dòng chảy trong ống có tiết diện không đổi (d = const) và dòng chảy trong kênh hở với mặt ướt và chiều sâu h không thay đổi dọc theo dòng chảy.
Phân bố áp suất: Với chất lỏng lý tưởng (hệ sô" nhớt V = 0), áp suất trong dòng chảy đều phân bô' theo quy luật thuỷ tĩnh, tức là z + — = const Còn
Y đối với chất lỏng thực thì phân bô' áp suất theo quy luật thuỷ tĩnh chỉ trong mặt cắt.
Dòng chảy không đều là dòng chảy trong đó phân bô' vận tốc u thay đổi dọc theo dòng chảy. a) CE dl d = const
Ví dụ: Dòng chảy trong ông có tiết diện thay đổi, dòng chảy trong kênh có chiều sâu h thay đổi (hình 2 8a,b) d t const
Dòng chảy không đểu được phân ra 2 dạng: I
- Dòng chảy không đều thay đổi dần (các đường dòng p , ,P1 ~ V2'P2 gần như song song và z + — = const trong mặt cắt) -
- Dòng chảy không đều thay đổi gấp: Các yếu tố* |_|jn h 2 9 thuỷ lực thay đổi đột ngột dọc theo dòng chảy (hình 2.9).
2.3.3 C hảy có áp và chảy không áp
Chất lỏng chuyển động do chênh lệch áp năng giữa các mặt cắt, dòng chảy này không có mặt thoáng.
Ví dụ: dòng chảy đầy ông.
Chảy không áp là dòng chảy có mặt thoáng Ví dụ: dòng chảy không đầy ông, dòng chảy trên kênh hở
Phương trìn h vi phân liên tục của môi trường liên tục chuyển động
CỦA MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CHUYỂN đ ộ n g
Trong một môi trường liên tục chuyển động, chúng ta có thể hình dung một hình hộp chữ nhật với các cạnh là dx, dy, dz Chất lỏng sẽ đi vào và ra khỏi các mặt của hình hộp này với vận tốc tại điểm O là ux, uy, uz.
Giả sử khôi lượng riêng của chất lỏng là p.
Sau thời gian dt khối lượng chất lỏng qua mặt 1 - 2 - 3 - 4 để vào hình hộp là:
24 puxdydzdt đồng thời khối lượng chất lỏng đi ra qua mặt Õ -6-7-8 là:
[pux + -^-(pux)dx ]dydz dt ỡx Vậy lượng biến đổi củ a khối lượng chất lỏng theo phương X là: Ổ õ dmx = pux đydzdt - [pux + — (pux)dx Jdydzdt = — — (pux) dxdydzdt ổx ổx
Theo phương y, ta có công thức: dmy = — — (puy) dxdydzdt Tương tự, theo phương z, ta có: dmz = - ổz (pu2) dxdydzdt Lượng biến đổi tổng cộng của khối chất lỏng khi chảy qua hình hộp chữ nhật sau thời gian dt được tính bằng: dm = | - (pux) + | - (puy) + |- (puz) ỡx dy ôz dxdydzdt.
Lượng biến đổi này chính bằng lượng biến đổi của khối hình hộp chữ nhật chất lỏng theo thồi gian sau dt, tức là bằng:
— (pdxdydz)dt ô ỡt Như vậy ta có phương trình: Õ_ õt õ
(pdxdydz)dt = õ ổ ổ £ ( p u , ) + ^ ( p u , ) + ^ < p u ,) dxdydzdt vì: — (pdxdydz)= — dxdydzổp ổt õ t ' cho nên phương trình trên viết dưới dạng: dọ õ õ , ô n
^ + iõt õx : ) + 7T 1 dỵ ipuyy + í : 1 õz {pu'-y= 0 hay ẼE õt
Phương trình (2-11) hoặc (2-12) là phương trình vi phân liên tục của môi trường liên tục của chuyển động, đó chính là định luật bảo toàn khối lượng.
Phương trình (2-12) còn có thể viết dưới dạng: dp dt + pdivn = 0 (2-13)
Nếu chất lỏng là không nén và đồng chất p = const thì — = 0, cho nên ta có dt phương trình vi phân liên tục: divu = 0 ỡux ỡuy ổu õx õy õx
Phương trình (2-15) mô tả chuyển động của chất lỏng không nén (p = const) trong cả hai trường hợp dừng và không dừng Đối với nguyên tố, phương trình liên tục được thiết lập như sau trong trường hợp p = const.
Với toàn dòng chảy (dòng chảy một chiều) ta có phương trình liên tục:
Hay có thể viết: lL = h (2-19) v2 s,
Vậy, trong dòng chảy, lưu lượng qua mọi mặt cắt ướt đều bằng nhau và vận tốc trung bình tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt.
Khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, việc viết phương trình trong hệ tọa độ khác, không phải hệ tọa độ Oxyz, thường mang lại sự thuận tiện hơn Bài viết này sẽ giới thiệu về phương trình vi phân liên tục trong hệ tọa độ trụ.
(2-18) ổr (rur) + ỡu, + r du Ỡ0 dz =
Nếu dòng chảy là đô'i xứng truc ( — = 0 ) thì phương trình có dang đơn giản: ỠG ỡu ỡu
Một sô' chuyển động thê' đơn g iản
2.1 MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu
Chương động học nghiên cứu chuyển động của chất lỏng mà không xem xét các lực gây ra chuyển động, tập trung vào việc mô tả các khái niệm như vận tốc dòng chảy, gia tốc, đường dòng và quỹ đạo Ngoài ra, chương này cũng phân tích định luật bảo toàn khối lượng trong cơ học và thiết lập các phương trình quan trọng trong thủy lực, bao gồm phương trình vi phân liên tục và phương trình liên tục của dòng chảy.
Khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, người ta có thể dùng phương pháp Lagrangiơ và phương pháp ơ le.
Chuyển động của chất lỏng là sự di chuyển của các phần tử bên trong chất lỏng Phương pháp Lagrangiơ nghiên cứu chuyển động của từng phần tử chất lỏng một cách riêng biệt Khi sử dụng hệ tọa độ vuông góc Đề-các Oxyz trong môi trường chất lỏng, giả sử một phần tử chất lỏng tại thời điểm ban đầu M0 có tọa độ x0, y0, z0, thì tại thời điểm t, nó sẽ di chuyển đến một điểm mới trong không gian.
M có toạ độ X , y, z (hình 2.1) Để nghiên cứu quy luật chuyển động, vẽ được quỹ đạo, ta cần có các hàm số sau:
X = /i( x 0, y0, z0,t) y = / 2(x0, y 0, z0,t) z = / 3(x0, y 0, z0,t) ở đây X , y, z được gọi là biến số Lagrangiơ.
Do gặp nhiều khó khăn trong tính toán, phương pháp này ít được dùng trong thuỷ lực, trừ trường hợp nghiên cứu chuyển động của sóng.
2.1.2 Phương pháp ơ le ơ le không nghiên cứu chuyển động của từng phần tử chất lỏng mà nghiên cứu chuyển động của các phần tử chất lỏng nào đó dịch chuyển qua các điểm cố định (có gắn với toạ độ) ở các thời điểm khác nhau.
TỈNH HỌC CHẤT LỎNG 3.1 Tính chất của áp su ấ t thuỷ tĩn h
Phương trìn h vi phân cân bằng của chất lỏng tĩn h (Phương trìn h ơ le tĩnh) - điều kiện thực hiện cân bằng
Khảo sát một phân tố hình hộp chữ nhật với các cạnh dx, dy, dz chứa đầy chất lỏng (hình 3.4).
Gọi p là áp suất tại trọng tâm M của hình hộp, hình chiếu lực khối tác động lên khôi chất lỏng là:
Hình chiếu của lực mặt tác động lên các mặt của khối chất lỏng:
Phương trình cân bằng viết dưới dạng hình chiếu sẽ là:
Phương trình (3-1) hoặc (3-2) được gọi là phương trình ơ le tĩnh.
Xét điều kiện thực hiện cân bằng: Nhân lần lượt 2 vế của hệ phương trình (3-1) với dx, dy, dz rồi cộng lại ta có:
Xdx + Ydy + Zdz = — (— dx + — d y + — dz) p ỡx ổy ỡz
Hay Xdx +Ydy + Zdz = —dp p
Từ phương trình (3-3), ta nhận thấy rằng vế phải là vi phân toàn phần của hàm p Điều này có nghĩa là vế trái cũng cần phải là vi phân toàn phần của cùng một hàm, chẳng hạn như hàm u Do đó, cần tồn tại một hàm u sao cho thỏa mãn điều kiện này.
Xdx + Ydy + Zdz = - du x = - ỔU õx z = - ÕU õz ,
Lực khối thoả mãn điều kiện (3-4) hoặc (3-5) được gọi là lực khối có thế, với u là hàm thế Điều này cho thấy rằng khối chất lỏng không nén sẽ ở trạng thái cân bằng khi lực khối là lực có thế.
Phương trình (3-4) có thể viết dưổi dạng (chú ý đến (3-3)):
Mặt đẳng áp là bề mặt mà tại mọi điểm, áp suất giữ giá trị không đổi (p = const) Ngược lại, mặt đẳng thế là bề mặt mà các điểm có hàm thế không thay đổi (U = const).
Như vậy từ phương trình (3-6) có thể nhận thấy khi chất lỏng ở trạng thái cần bằng thì mặt đẳng áp đồng thời cũng là mặt đẳng thế.
Phương trìn h cơ bản thuỷ tin h
Phương trình vi phân cân bằng ơ le (3-1) hoặc (3-3) là công cụ quan trọng trong việc giải quyết bài toán cơ bản của thủy tĩnh học, giúp xác định sự phân bố của áp suất thủy tĩnh.
Chúng ta xét sự cân bằng của chất lỏng không nén trong trường trọng lực (lực khôi chỉ là trọng lực), khi đó:
X = 0 ; Y = 0 ; z = - g Thay các đại lượng trên vào phương trình (3-3) ta có:
-gd z = —dp p Tích phân 2 vế phương trình dẫn đến: p = -p g z + c (3-7) ở đây c là hằng sô' tích phân Phương trình có thể viết dưâi dạng: z + — = c (3-8) y
Phương trình (3-8) gọi là phương trình cơ bản thuỷ tĩnh Ý nghĩa hình học của phương trình:
45 z là độ cao hình học của một điểm trong chất lỏng.
— có thứ nguyên là chiều dài và được gọi là độ cao áp suất
Y z + — được gọi là độ cao đo áp, Y
Tổng độ cao hình học và độ cao áp suất tại mọi điểm trong chất lỏng tĩnh là không đổi Điều này có nghĩa là năng lượng trong phương trình được biểu diễn bởi z, thể hiện vị năng đơn vị trọng lượng của chất lỏng.
— - biểu diễn áp năng đơn vị Đối vói chất lỏng,
Y th ế năng bao gồm cả vị năng và áp năng Như vậy, từ phương trình (3—8) ta có kết luận:
Trong chất lỏng tĩnh, th ế năng đơn vị tại mọi điểm không đổi.
Từ phương trình cơ bản thuỷ tĩnh (3-8) ta có thể dẫn đến công thức tính áp suất một điểm bất kỳ trong chất lỏng tĩnh.
Lấy 2 điểm A và B trong khôi chất lỏng, ZA và ZB là khoảng cách từ hai điểm đó đến mặt chuẩn nằm ngang 0 -0 (hình 3.5) Khi đó phương trình (3-8) có dạng:
Công thức này chứng minh rằng, khi biết áp suất tại một điểm trong chất lỏng, chúng ta có thể xác định áp suất tại mọi điểm khác trong cùng chất lỏng đó.
Trong trường hợp B là một điểm trên mặt thoáng (hình 3.6) ta sẽ có:
P b “ P o ; Z B “ z 0 ; Z B — Z A — z 0 — ZA — h ở đây h là độ sâu điểm A Vì A lấy tuỳ ý, do dó ta có công thức tính áp suất tại một điếm bất kỳ trong chất lỏng:
Áp suất thủy tĩnh tại một điểm trong chất lỏng được xác định bằng áp suất trên mặt thoáng cộng với trọng lượng của cột chất lỏng có tiết diện bằng một đơn vị nằm trên điểm đó.
Rõ ràng trong trường hợp này (trường hợp lực khôi chỉ là trọng lực) thì mặt đẳng áp là mặt phẳng nằm ngang (z = const).
Nếu mặt thoáng tiếp xúc với khí trời thì p0 = pa, pa là áp suất khí trời và bằng latm osphe kỹ thuật
(ptt = la t = 9,81 x io 4 N/m2) Công thức (3-10) sẽ là: p = pa + yh (3-11)
Sự cân bằng của chất lỏng trong trường hợp tinh tương đ ố i
Tĩnh học chất lỏng nghiên cứu trạng thái tĩnh và tĩnh tương đối của chất lỏng Phương trình vi phân cân bằng được viết để mô tả điều kiện cần thiết cho sự cân bằng Lực tác động của chất lỏng tĩnh lên thành bể chứa và lên vật ngập trong chất lỏng được tính toán dựa trên các yếu tố như áp suất và diện tích bề mặt tiếp xúc.
T ín h c h ấ t 1: á p s u ấ t t h u ỷ tĩn h lu ô n tá c đ ộ n g t h ẳ n g g ó c v à h ư ớ n g v à o m ặ t tiế p x ú c ( h ìn h 3 1 )
Có thể chứng minh tính chất này như sau: Xét một khối chất lỏng V (hình 3.2).
Chia khối chất lỏng thành hai phần bởi mặt s s, tại điểm M trên s s có áp suất p với hướng bất kỳ Phân tích áp suất p thành hai thành phần: pn thẳng góc với s s và Pt tiếp tuyến với s s Trong trạng thái tĩnh của chất lỏng, Pt bằng 0, do đó pn trùng với p.
Mặt khác chất lỏng không chông được lực kéo nên chỉ có thể hưống vào mặt s s
T ín h c h ấ t 2 : á p s u ấ t th u ỷ tĩn h t ạ i m ộ t đ iể m b ấ t k ỳ tr o n g c h ấ t lỏ n g k h ô n g p h ụ th u ộ c v à o p h ư ơ n g c ủ a m ặ t tá c đ ộ n g h a y n ó i c á ch k h á c , b ằ n g n h a u th e o m ọ i p h ư ơ n g
Trong một chất lỏng đứng yên, ta có thể hình dung một tứ diện vô cùng nhỏ OABC với các cạnh lần lượt là dx, dy, dz và đỉnh ở gốc tọa độ.
3.3) Xét các lực tác động lên tứ diện:
Lực khối vội các thành phần:
Vì kích thước của các mặt rất nhỏ, áp suất tại mỗi điểm trên các mặt này có thể coi là đồng nhất Do đó, hình chiếu của lực tác động lên mỗi mặt sẽ được tính toán dựa trên áp suất này.
APX = \ Pxdydz - pnds cos (u, x) = ị pxdydz - ị pndydz
APy = 2 Pydxdz - pnds cos(u, y ) = ị pydxdz - ị p„dxdz
AP, = 2 p,dxdy - pnds cos ( u- z) = 2 p,dxdy - ị pndxdy
Khôi chất lỏng ở trạng thái cân bằng dưới tác động của hai lực trên Do vậy phương trình cân bằng sẽ là:
Hay sau khi giản ước ta có:
, Px-Pn + 3 dXPX = 0 Py-Pn + 3 dXPY = 0
Vì p là đại lượng hữu hạn, dx, dy, dz là vô cùng nhỏ có thể bô qua cho nên dẫn đến:
Từ đó suy ra: px = py = Pz = Pn = p
Áp suất trong chất lỏng phụ thuộc vào vị trí, được biểu diễn dưới dạng hàm số của tọa độ X, Y, Z Đối với chất lỏng đồng nhất, áp suất được xác định bằng p = f(x, y, z) Trong khi đó, với chất lỏng không đồng nhất, áp suất là hàm số của tọa độ và khối lượng riêng, được thể hiện qua công thức p = f(x, y, z, ρ).
3.2 PHƯƠNG T R ÌN H VI PHÂN CÂN BẰNG C Ủ A C H Ấ T LỎ NG TĨNH (PHƯƠNG TRÌNH ƠLE TĨNH ) - Đ IỀ U KIỆN THỰC HIỆN CÂN BĂNG
Khảo sát một phân tố hình hộp chữ nhật với các cạnh dx, dy, dz chứa đầy chất lỏng (hình 3.4).
Gọi p là áp suất tại trọng tâm M của hình hộp, hình chiếu lực khối tác động lên khôi chất lỏng là:
Hình chiếu của lực mặt tác động lên các mặt của khối chất lỏng:
Phương trình cân bằng viết dưới dạng hình chiếu sẽ là:
Phương trình (3-1) hoặc (3-2) được gọi là phương trình ơ le tĩnh.
Xét điều kiện thực hiện cân bằng: Nhân lần lượt 2 vế của hệ phương trình (3-1) với dx, dy, dz rồi cộng lại ta có:
Xdx + Ydy + Zdz = — (— dx + — d y + — dz) p ỡx ổy ỡz
Hay Xdx +Ydy + Zdz = —dp p
Từ phương trình (3-3), ta nhận thấy rằng vế phải là vi phân toàn phần của hàm p Do đó, để phương trình có nghĩa, vế trái cũng phải là vi phân toàn phần của hàm tương ứng, chẳng hạn như hàm u Điều này dẫn đến việc tồn tại một hàm u sao cho thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Xdx + Ydy + Zdz = - du x = - ỔU õx z = - ÕU õz ,
Lực khối thoả mãn điều kiện (3-4) hoặc (3-5) được gọi là lực khối có thế, trong đó u là hàm thế Điều này cho thấy rằng khối chất lỏng không nén sẽ đạt trạng thái cân bằng khi lực khối là lực có thế.
Phương trình (3-4) có thể viết dưổi dạng (chú ý đến (3-3)):
Mặt đẳng áp là bề mặt mà tại mọi điểm áp suất giữ giá trị không đổi (p = const), trong khi mặt đẳng thế là bề mặt mà các điểm có hàm thế không thay đổi (U = const).
Như vậy từ phương trình (3-6) có thể nhận thấy khi chất lỏng ở trạng thái cần bằng thì mặt đẳng áp đồng thời cũng là mặt đẳng thế.
3.3 PHƯƠNG TR ÌN H c ơ BẢN TH U Ỷ TĨNH
Phương trình vi phân cân bằng ơ le (3-1) hoặc (3-3) là công cụ quan trọng trong việc giải quyết bài toán cơ bản của thủy tĩnh học, giúp xác định sự phân bố của áp suất thủy tĩnh.
Chúng ta xét sự cân bằng của chất lỏng không nén trong trường trọng lực (lực khôi chỉ là trọng lực), khi đó:
X = 0 ; Y = 0 ; z = - g Thay các đại lượng trên vào phương trình (3-3) ta có:
-gd z = —dp p Tích phân 2 vế phương trình dẫn đến: p = -p g z + c (3-7) ở đây c là hằng sô' tích phân Phương trình có thể viết dưâi dạng: z + — = c (3-8) y
Phương trình (3-8) gọi là phương trình cơ bản thuỷ tĩnh Ý nghĩa hình học của phương trình:
45 z là độ cao hình học của một điểm trong chất lỏng.
— có thứ nguyên là chiều dài và được gọi là độ cao áp suất
Y z + — được gọi là độ cao đo áp, Y
Tổng độ cao hình học và độ cao áp suất trong chất lỏng tĩnh là không đổi tại mọi điểm Điều này có nghĩa là z, biểu thị vị năng đơn vị trọng lượng của chất lỏng, phản ánh năng lượng trong hệ thống.
— - biểu diễn áp năng đơn vị Đối vói chất lỏng,
Y th ế năng bao gồm cả vị năng và áp năng Như vậy, từ phương trình (3—8) ta có kết luận:
Trong chất lỏng tĩnh, th ế năng đơn vị tại mọi điểm không đổi.
Từ phương trình cơ bản thuỷ tĩnh (3-8) ta có thể dẫn đến công thức tính áp suất một điểm bất kỳ trong chất lỏng tĩnh.
Lấy 2 điểm A và B trong khôi chất lỏng, ZA và ZB là khoảng cách từ hai điểm đó đến mặt chuẩn nằm ngang 0 -0 (hình 3.5) Khi đó phương trình (3-8) có dạng:
Công thức này cho thấy rằng, khi biết áp suất tại một điểm trong chất lỏng, ta có thể xác định áp suất ở mọi điểm khác trong cùng chất lỏng đó.
Trong trường hợp B là một điểm trên mặt thoáng (hình 3.6) ta sẽ có:
P b “ P o ; Z B “ z 0 ; Z B — Z A — z 0 — ZA — h ở đây h là độ sâu điểm A Vì A lấy tuỳ ý, do dó ta có công thức tính áp suất tại một điếm bất kỳ trong chất lỏng:
Áp suất thủy tĩnh tại một điểm trong chất lỏng được xác định bằng tổng áp suất trên mặt thoáng và trọng lượng của cột chất lỏng có tiết diện bằng một đơn vị nằm trên điểm đó.
Rõ ràng trong trường hợp này (trường hợp lực khôi chỉ là trọng lực) thì mặt đẳng áp là mặt phẳng nằm ngang (z = const).
Nếu mặt thoáng tiếp xúc với khí trời thì p0 = pa, pa là áp suất khí trời và bằng latm osphe kỹ thuật
(ptt = la t = 9,81 x io 4 N/m2) Công thức (3-10) sẽ là: p = pa + yh (3-11)
3.4 CÁC LOẠI Á P S U Ấ T - B iể u Đ ồ ÁP SUẤT
3.4.1 C ác loại áp su ất Áp suất xác định theo (3-10) được gọi là áp suất toàn phần:
Áp suất tuyệt đối được đo bằng giá trị tuyệt đối của P o và yh trong các buồng kín chân không tuyệt đối Điều này được thực hiện thông qua phong vũ biểu thủy ngân để đo áp suất khí trời pa, hoặc trong không gian vũ trụ Chẳng hạn, ở độ cao 200km, khoảng cách giữa hai phân tử không khí trở nên lớn hơn đáng kể.
216m Thông thường áp suất tuyệt đối tại các điểm trong chất lỏng lớn hơn áp suất khí trời pa) nhưng cũng có nhiều trường hợp nhỏ hơn pa.
Nếu pt > pa thì hiệu P t - pa gọi là áp suất dư:
Như vậy trong trường hợp mặt thoáng tiếp xúc với khí trời thì pd = yh.
Con số "không" trên mặt áp kế thể hiện trị số dư của áp suất khí trời, do đó, áp suất dư thường được gọi là áp suất áp kế.
Trường hợp Pt < p a th ì h iệu pa - Pt gọi là áp su ấ t chân không:
Áp suất chân không là giá trị cần thiết để bù đắp cho áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất khí quyển, nhằm đạt được tổng áp suất bằng áp suất khí quyển Giá trị của áp suất chân không đạt cực đại khi pt = 0, lúc này P c k m a x - p„.
Tính áp lực của chất lỏng lên thành p h ăn g
Áp suất tại một điểm trong chất lỏng tĩnh có thể được xác định bằng công thức 3 - 1 1 Trong thực tế, việc tính toán áp lực của chất lỏng tĩnh lên các thành của bể chứa, van và thiết bị tiếp xúc là rất quan trọng Đối với bề mặt có diện tích s, áp suất thủy tĩnh tác động vuông góc với bề mặt, do đó việc xác định áp lực lên s trở thành bài toán tìm hợp lực của các lực song song và cùng chiều Giả sử một bề mặt có diện tích s nằm trong mặt phẳng nghiêng góc a so với mặt phẳng ngang, hệ tọa độ được chọn với gốc tọa độ 0 trên mặt thoáng, trục Ox theo giao tuyến giữa mặt phẳng nghiêng và mặt thoáng, trục Oy nằm trong mặt phẳng nghiêng và vuông góc với Ox, còn trục Oz hướng xuống dưới.
Trong hình, chúng ta xem xét một diện tích nguyên tố dS rất nhỏ, và áp lực nguyên tố dP tác động lên diện tích này được biểu diễn bằng công thức: dP = (Po + yz)dS.
Tổng áp lực p của chất lỏng lên diện tích s sẽ có dạng: p = J(Po + yz)dS = PoS + y JzdS s s
Từ hình vẽ ta thấy:
Z = y sina. y - khoảng cách từ tầm của ds đến Ox.
Z - độ sâu của ds (z ở đây như là độ sâu h vì trục Oz quay xuốhg dưới)
Tích phân JydS chính là mômen tĩnh của diện tích s ứng với trục Ox và bằng s tích của diện tích s với toạ độ trọng tâm c , tức là: jydS = ycs s
Vậy áp lực p lên diện tích sẽ bằng: p = (Po + Y sin a y c) s = (Po + ỴZC)S (3-23)
Áp lực chất lỏng tác động lên bề mặt phẳng được xác định bằng tích của diện tích s và giá trị áp suất thủy tĩnh tại trọng tâm của diện tích đó.
Nếu mặt thoắng của chất lỏng tiếp xúc với khí trời (p0 = pa) thì áp lực dư p lên diện tích s sẽ là: p = yhcS = pds (3-25)
Kết quả cho thấy rằng không có sự phụ thuộc vào góc nghiêng a, do đó có thể áp dụng cho mọi vị trí của thành phẳng trong chất lỏng Khi thành phẳng nằm ngang (a = 0), diện tích s sẽ tương ứng với đáy bình, dẫn đến một nghịch lý thủy tĩnh.
Áp lực chất lỏng tại đáy bình chứa chỉ phụ thuộc vào chiều cao của cột chất lỏng, không liên quan đến lượng chất lỏng có trong bình.
Để minh chứng cho nghịch lý về áp lực chất lỏng, chúng ta xem xét một số bình có diện tích đáy giống nhau và chiều cao chất lỏng đồng nhất Áp lực tại đáy các bình này đều bằng nhau, được tính bằng công thức p = y HS, trong đó p là áp lực, y là trọng lượng riêng của chất lỏng, H là chiều cao chất lỏng và S là diện tích đáy bình.
Rõ ràng thể tích chất lỏng ở mỗi bình đều khác nhau.
Chúng ta sẽ xác định điểm đặt D của áp lực p, được gọi là tâm áp lực Đầu tiên, chúng ta xem xét trường hợp phổ biến trong thực tế, đó là các hình dạng có trục đối xứng đi qua trọng tâm c, bao gồm hình vuông, chữ nhật, hình tròn, cung tròn, tam giác cân, elíp và hình thang cân Áp suất trên mặt thoáng P o được xác định là p„ và p sẽ được tính theo áp suất dư Để tìm điểm đặt, chúng ta áp dụng định lý Varinhông, theo đó mômen của hợp lực ứng với một trục bằng tổng mômen của các thành phần ứng với trục đó.
Lấy mômen ứng với trục Ox ta có:
S theo (3-25) ta có: p = yhcS = yyc sinaS56
Cho nôn thay vào biểu thức trên ta được: yyc sinccyDS = y sin a Jy2dS í y !d S J ,
Trong đó Jx = Jy2dS là mômen quán tính của diện tích s ứng với trục Ox. s Để tiện tính toán ta áp dụng định lý chuyển trục Huyghen:
Jx = Jc + yc'2S, trong đó Jc là mômen quán tính của s ứng với trục song song với Ox và đi qua trọng tâm c, mômen Jc được cung cấp trong bảng phụ lục Tâm áp lực được xác định theo công thức yD = Yc + ~ (3-27) i YcS Lưu ý rằng tâm áp lực luôn nằm sâu hơn trọng tâm c, với khoảng cách giữa chúng được tính toán cụ thể.
Trong trường hợp diện tích s không có trục đối xứng (hình 3.26), để xác định tọa độ X_D trên trục Cx, chúng ta cần tìm tọa độ y_D và thiết lập phương trình mômen đối với trục Cy hay Oy, vuông góc với trọng tâm c.
PxD = JpxdS ^ s thay p = yhcS = yycsin aS p = yh = yy sina vào biểu thức trên ta có: y sin aycxDS = y sina JyxdS Hỉnh 3.26 s
Jxy — mômen quán tính ly tâm của diện tích s với các trục Cx, Cy.
Nếu hình phẳng có trục đối xứng Cy thì Jxy = 0 v à X D = 0 thì chỉ cần xác định toạ độ yD như công thức (3-27).
Phương pháp đồ giải được áp dụng cho các trường hợp khi hình phẳng là hình chữ nhật cạnh song song với mặt phẳng ngang.
Để xác định áp lực của chất lỏng lên bề mặt phẳng hình chữ nhật ABEF nghiêng một góc a so với mặt nằm ngang, ta cần xem xét khoảng cách từ cạnh trên đến mặt thoáng là hj và từ cạnh dưới đến mặt thoáng là h2 Áp suất trên mặt thoáng sẽ ảnh hưởng đến áp lực tác động lên bề mặt này.
P o = P a (hình 3.27) Biểu đồ áp suất của cạnh AB là hình thang AA’BB’ có diện tích bằng: s Ỵ h | + y h 2 a _ y h ,+ Ỵ h 2 (h2 - h , )
Áp lực của hình chữ nhật ABEF, một lăng trụ có đáy hình thang ABA’B’, có chiều dài b, được xác định bởi thể tích của lăng trụ Do đó, áp lực dư của chất lỏng được tính bằng công thức: p = S h' 1 h?b.
2 sin a Đường vuông góc với ABEF đi qua trọng tâm thể tích lăng trụ và cắt ABEF tại điểm D, điểm D chính là tâm áp lực.
Trưòng hợp cạnh AF tiếp xúc vối mặt thoáng (hình 3.28) thì biểu đồ áp lực lăng trụ tam giác có đáy tam giác ABB’ với diện tích bằng
2 và chiều dài b Như vậy áp
Khi chất lỏng ở hai bên của một mặt phẳng có độ cao khác nhau, ta cần vẽ biểu đồ áp lực cho từng bên và tính hiệu giữa hai biểu đồ để có được biểu đồ tổng hợp áp lực Biểu đồ tổng hợp áp lực sẽ có hình dạng giống như một hình hộp chữ nhật, với đáy là hình chữ nhật AIBK Hợp lực áp suất p sẽ đi qua trọng tâm của thể tích hình hộp chữ nhật này.
Tính áp lực của chất lỏng lên thành cong
Bài toán xác định áp lực chất lỏng lên thành cong phức tạp hơn so với áp lực lên thành phẳng, vì cần tìm hợp lực của những lực không song song Trong trường hợp tổng quát, cần xác định ba thành phần hợp lực và ba mômen Tuy nhiên, trong kỹ thuật, thường gặp mặt cong có dạng trụ hoặc cầu, với mặt phẳng thẳng đứng được coi là mặt đối xứng.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một phần mặt trụ AB với các đường sinh vuông góc với mặt hình vẽ (hình 3.30) Mục tiêu là xác định áp lực dư p tác động lên diện tích s của mặt AB Hệ tọa độ được thiết lập như hình 3.30, trong đó mặt xOy trùng với mặt thoáng của chất lỏng và trục Oz quay xuống dưới.
Trên bề mặt AB, một phân tố diện tích ds được lấy, và phân tố áp lực dP sẽ vuông góc với ds Phân tích dP thành hai thành phần dPx và dPz, trong đó a là góc giữa dP và đường nằm ngang Ta có công thức: dPx = dP cos a và dPz = dP sin a.
Vì diện tích ds rất nhỏ, có thể xem nó như một mặt phẳng Nếu h là tọa độ trọng tâm của ds, ta có dP = yh ds Do đó, thành phần áp lực theo phương ngang dPx được tính bằng yh cos(α) ds = yh dsx, trong đó dsx là hình chiếu của ds lên mặt vuông góc với trục Ox Thành phần áp lực này tác động lên toàn bộ diện tích s.
Hình 3.30 mô tả công thức p x = I yhdsx = yhcS, trong đó Sx là diện tích hình chiếu của s lên mặt vuông góc với trục Ox, và hc là tọa độ trọng tâm của Sx Tọa độ hc có thể xác định dễ dàng; nếu AB là một phần của mặt trụ, Sx sẽ là hình chữ nhật, trong khi nếu AB là một phần của mặt cầu, Sx sẽ là hình tròn Ngoài ra, thành phần phân tố áp lực thẳng đứng được biểu diễn bằng công thức dPz = yhds sin a = yhdsz.
59 ở đây ds sin a = dsz là hình chiếu diện tích ds lên mặt phẳng vuông góc với trục
Áp dụng công thức tích phân cho thể tích hình trụ hdsz = dW, ta có thể xác định thành phần áp lực thẳng đứng của chất lỏng tác động lên diện tích S, như được mô tả trong hình vẽ 3.30.
W là thể tích của một hình trụ đứng, với đáy dưới có diện tích chịu lực S và đáy trên là hình chiếu của diện tích S lên mặt thoáng hoặc mặt thoáng kéo dài W được gọi là vật thể áp lực.
Trị số của áp lực thẳng đứng Pz được xác định bằng trọng lượng của vật thể chịu áp lực, và điểm đặt của Pz đi qua trọng tâm của vật thể đó.
Dấu của Pz sẽ là dương (+) khi Pz quay xuống dưới, trong khi đó, nếu Pz quay lên trên, dấu sẽ là âm (-) Để dễ dàng xác định chiều của Pz, người ta thường sử dụng dấu của vật thể áp lực.
Vật thể áp lực sẽ dương (mang dấu “+”) nếu ngay bên trên mặt chịu lực có chất lỏng (hình
3.31a) Vật thể áp lực sẽ âm (mang dấu “- ”).
Nếu ngay bên trên mặt chịu lực không có chất lỏng (hình 3.31b).
Để tính toán vật thể áp lực cho một thành cong phức tạp, chúng ta cần chia thành cong đó thành các đoạn cong nhỏ Sau đó, ta sẽ vẽ vật thể áp lực cho từng đoạn và cộng dồn các vật thể áp lực lại, lưu ý đến dấu của chúng Kết quả cuối cùng sẽ cho ta vật thể áp lực tổng thể cho toàn bộ thành cong.
Tính toán áp lực chất lỏng tác động lên phần mặt trụ tròn AB được chia thành hai đoạn AC và CB Đối với đoạn cong AC, áp lực wỊ được mô phỏng bởi hình trụ ACC’ với dấu “+”.
Còn vối thành CB là trụ CBƠB’ và mang dấu
Như vậy, vật thể áp lực tổng cộng w là một phần trụ ACBB’ và mang dấu tức là w = w , - W2 và pz = -yW.
Pz < 0 chứng tỏ Pz hướng lên trên.
Sau khi xác định các thành phần Px, Pz, hợp lực p được tính theo công thức: p = ựpx2+pz2 (3-32)
Phương của hợp lực p xác định bằng góc a: tg a = p
Nếu thành công là một phần của mặt trụ tròn hoặc mặt cầu, thì hợp lực p sẽ đi qua tâm của trụ hoặc cầu đó và phải đi qua giao điểm của Px và Pz.
Xét một số trường hợp hay gặp trong kỹ thuật:
3.8.1 Tính phản lực theo phương bất kỳ
Trong các thiết bị cơ khí, việc xác định phản lực theo phương bất kỳ do áp lực thủy tĩnh tác động lên nắp hoặc thành cong tiếp xúc với chất lỏng là rất quan trọng.
Ví dụ ta có mặt cong ABCDE một phía tiếp xúc với chất lỏng có áp suất trên mặt thoáng là P o (hình
3.34) Cần tìm phản lực Pn của áp lực chât lỏng theo phương n lập với đường thẳng đứng một góc a.
Chiểu đường viền ABCD của mặt cong lên mặt thoáng theo phương n tạo ra vật thể áp lực w, với đáy là mặt cong ABCDE và đáy trên là hình chiếu A’B’C'D’ có diện tích Sn.
Vậy áp lực w sẽ cân bằng nếu thỏa mãn phương trình sau: p0Sn cos a + G cos a - Pn = 0
Từ đó suy ra: Pn = Po Sn cosa + G cosa do G = yW cho nên pn = (p0Sn + yW) cosa (3-34)
Muốn tính được Pn phải tính Sn và w Vói các hình phức tạp có thể dùng phương pháp đồ giải.
3.8.2 Tính áp lực chất lỏng lên thành trong của ống
Giả sử p là áp suất tại tâm 0 của ống (hình 3.35) Như vậy áp suất d à d tại điểm a sẽ là p y và tại c là p + — y Nhưng — y thường rất nhỏ
Áp suất p có thể được coi là phân bố đều trong mặt cắt ngang, do đó có thể bỏ qua sự khác biệt Chúng ta chỉ cần xác định thành phần áp lực Px tác động lên mặt abc để tính chiều dày e của ống, dựa trên ứng suất cho phép [ơ] của vật liệu làm ống.
Theo công thức tính áp lực lên thành cong ta có: px = pld Ớ đây: d - đường kính trong của ông.
Định luật Acsimét - Khái niệm về vật n ổ i
Khi một vật bị ngập một phần hoặc hoàn toàn trong chất lỏng, nó sẽ chịu tác động của một lực đẩy từ dưới lên theo phương thẳng đứng Lực này có giá trị bằng trọng lượng của thể tích chất lỏng mà vật đó chiếm chỗ, được gọi là lực đẩy Acsimét, ký hiệu là A.
Điểm đặt của lực đẩy, gọi là tâm đẩy (ký hiệu D), trùng với trọng tâm của khối chất lỏng bị vật chiếm chỗ Để chứng minh định luật này, ta sử dụng công thức tính áp lực chất lỏng lên thành cong Giả sử vật có thể tích w hoàn toàn ngập trong chất lỏng, khi đó áp lực chất lỏng tác động vào vật chỉ còn thành phần thẳng đứng, vì thành phần áp lực nằm ngang trên hai phía bằng nhau và ngược chiều nên triệt tiêu Để tính Pz, ta chia vật ra làm hai bởi mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất; thành phần Pzl tác động lên ACB hướng từ trên xuống và có trị số bằng trọng lượng chất lỏng chứa trong thể tích AA’B’BCA.
Pzl = yV(AA’B’BCA) Pz2 tác động lên ADB hướng lên trên và có trị số’ bằng trọng lượng chất lỏng chứa trong thể tích A’ADBB’:
Pz = Pzl + Pz2 = y[V(AA’B’BCA) - V(A’ADBB’)] = -yW(ACBDA), trong đó W là thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ Do Pz < 0, điều này cho thấy Pz hướng lên trên, thể hiện lực đẩy Acsimét.
3.9.2 Điểu kiện nối của vậ t
Giả sử một vật có thể tích V, trọng lượng G - - ngập trong chất lỏng có trọng lượng riêng y
Nếu G > A (A = yV), thì vật sẽ chìm xuống đáy.
Nếu G = A (A = yV), thì vật sẽ lđ lửng, tức đặt nó ở mọi vị trí trong chất lỏng nó đều cân bằng.
Nếu G < A thì vật sẽ nổi nhô lên khỏi mặt chất lỏng đến khi nào G = A' = yV' (V' là phần thể tích của vật ngập trong chất lỏng) thì thôi.
Một vật ngập trong chất lỏng muôn cân bằng thì ngoài điều kiện G = Ạ phải có trọng tâm c và tâm đẩy D ở trên cùng một đưồng thẳng đứng.
Cơ SỞ ĐỘNG L ự c HỌC CHẤT LỎNG 4.1 Phương trìn h vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng (phương trìn h ơ le động)
Y nghĩa năng lượng, hình học và các ứng dụng của tích phân Bécnuli
Chương 2 (Động học chất lỏng) đã nghiên cứu hình ảnh chuyển động chất lỏng Chương 4 này nghiên cứu phương trình chuyển động của chất lổng có tính đến lực gây ra chuyển động Lần lượt ta sẽ viết phương trình chuyển động chất lỏng lý tưởng, chất lỏng thực và tìm các tích phân để ứng dụng giải các bài toán trong thực tiễn kỹ thuật đề ra.
4.1 PHƯƠNG TR ÌN H VI PHÂN CHUYÊN đ ộ n g c ủ a c h ấ t l ỏ n g l ý t ư ở n g
4.1.1 Lực tác động của chất lỏng lý tưảng
Chất lỏng lý tưởng là loại chất lỏng không có lực nội ma sát và sự truyền nhiệt, với hệ số nhớt động bằng không Trong trường hợp này, lực mặt chỉ có một thành phần theo phương pháp tuyến với mặt cắt chịu lực của khối chất lỏng Thành phần theo phương tiếp tuyến, do lực nội ma sát giữa các phân tố chất lỏng hoặc giữa các lớp chất lỏng, bằng không Khi chất lỏng lý tưởng chuyển động, mọi tác động tương hỗ giữa các thể tích chất lỏng tiếp xúc nhau chỉ là tác động của lực mặt theo phương pháp tuyến Mô hình chất lỏng lý tưởng là mô hình đơn giản nhất trong nghiên cứu "cơ học chất lỏng".
Lực mặt trong chuyển động của chất lỏng lý tưởng tương tự như lực mặt trong chất lỏng tĩnh, do đó để thiết lập phương trình Euler động, chúng ta có thể áp dụng phương trình Euler tĩnh: f - gradp = 0 Bên cạnh đó, theo nguyên lý Đalămber, bài toán động có thể chuyển thành bài toán tĩnh nếu trong phương trình cân bằng thêm vào lực quán tính Theo Đalămber, đối với một đơn vị khối lượng chất lỏng, lực quán tính được xác định như sau:
- 1 a = — — dt Như vậy, phương trình ơ le động có dạng véctơ:
— = ? - — gradp (4-1) dt p hay dưới dạng hình chiếu:
+ u 4-U + u ổu ỡu ỡx ỡu. x + u - ^ - + 11. dy õu Ị K õz ỡu ổx y õy ỡu + u ỡu
Hệ phương trình này có 4 ẩn ux, Uy, u2 và p
Như vậy, để đóng kín hệ phương trình này ta có thể dùng phương trình vi phân liên tục: ỡux ỡu ổu
Nếu là chuyển động dừng ( — = 0) thì ta bỏ các số hạng thứ nhất ở vế trái: ỡt ổuv duv du z _
= 0 ổt ổt ỡt và hệ phương trình trở nên đơn giản hơn: u ỡx ổu
= x u - - + u ổx y du. dy ỡu + u l ỏ p p ỡx y_ = Ỵ _ i Ẽ P ổz p ổy ux^ + uy^ + u z ỡu z _ i ô p
Trong chuyển động đều (u = const), vế trái của phương trình (4—3) triệt tiêu, dẫn đến việc nhận được phương trình ơle tĩnh Kết luận rút ra là trong trường hợp chuyển động đều, áp suất dòng chảy phân bố theo quy luật thuỷ tĩnh.
4.2 PHƯƠNG TRÌNH ƠLE ĐỘNG VIẾT DƯỚI DẠNG GRÔMECÔ - LĂMBE
Năm 1881, Grômecô và Lămbe đã biến đổi hệ phương trình ơ le (4-2) và viết dưới dạng mới, trong đó có chứa véctơ xoáy Rotũ Hệ phương trình có dạng: ổ u x õ ị u - >
+ [Rotu A ũ] - X 1Ôp õt ổx U ; p ổx õny Õ í u 2>
+ [Rotũ a ũ ] _ Y 1 dp õl õy V 2 ) pỡy ỡ u z õ V )
Nếu lực khối là lực có thế: f = -gradU , u là lực thế, thì phương trình (4-5) trở thành:
Khi số' hạng [Rotũ A ũ] = 0 thì phương trình trên sẽ đơn giản hơn nhiều và dễ dàng cho ta tích phân:
• Vận tốc ũ = 0 , chất lỏng ở trạng thái tĩnh.
• ủ II Rotũ : chuyển động xoắn ốc, ít gặp trong thực tế.
• Rotu = 0 : chuyển động không xoáy hay có thế.
4.3 CÁC T ÍC H PH Â N C Ủ A PHƯƠNG T R ÌN H VI PH ÂN C H U Y Ê N đ ộ n g c h ấ t l ỏ n g
Ta xét dòng chất lỏng lý tưởng, chuyển động có thế (không xoáy) và lực khối có thế. Như vậy, theo giả thiết thì trong phương trình (4-6) có:
RotO = 0, ũ = gradcp trong đó: (p - hàm th ế vận tốc õũ ô „ỡ ọ và ÍT = -r- (grad(p) = g ra d (^ ) ơt Ỡt Ỡt cho nên phương trình (4-6) có dạng: grad( ặ + u + £ + ặ = o ỡt p 2 hay ta có tích phân:
C(t) - hằng số tích phân, phụ thuộc vào thòi gian và được xác định theo điều kiện bài toán.
Tích phân (4-7) là tích phân Côsi - Lagrangiơ cho chuyển động có thế, chất lỏng lý tưởng, lực khối có thế.
Trong phương trình (4-7) này có 2 ẩn là p và ô(p 1 ổcp ■, u - O ỡx dy + (? } õz ta sẽ xác định được p , còn C(t) có thể được tính theo giá trị p(t) tại điểm đã cho.
Ta xét trường hơp chuyển đông dừng (— = 0) chất lỏng lý tướng không nén, lưcỡ ổt khôi có thế, khi đó phương trình (4-6) có thể viết dưới dạng: ôx
(4-9) Ở đây véctơ vận tốíc xoáy: Q = —RotO.
Nhân lần lượt các phương trình (4-9) với dx, dy, dz, rồi cộng lại thì phương trình (4-9) có dạng mới: í 2 \ ÍT p u u + - + — dx dy dz u x u v
Phương trình (4-10) có thể tích phân được nếu định thức ở vế phải triệt tiêu Điều đó có thể xảy ra trong các trường hợp sau:
• Chuyển động có th ế (không xoáy): í ì x = Qv= Qz = 0.
Q— ,tức là véctơ vận tốc cùng phương với véctơ xoáy, ta có chuyển động xoắn ốic, ít gặp trong thực tế.
• Khi — = — = — , tức là phương trình (4-10) có thể tích phân được dọc theo ux Uy u đường dòng hay mỏ rộng ra là dòng nguyên tố.
, tức là tích p h ân dọc theo đường xoáy.
Theo 4 trường hợp trên tích phân của (4-10) có dạng:
2 Ư + — + -— = c = const p 2 vì hằng số c ta nhận thấy:
- Đôi với chuyển động có th ế (trường hợp 1) giá trị của c được bảo toàn trong dòng chảy.
Đối với dòng chất lỏng có xoáy, mỗi đường dòng mang một giá trị c riêng biệt Nếu tất cả các đường dòng khởi đầu trong trạng thái tĩnh hoặc chuyển động thẳng đều, thì hằng số c sẽ đồng nhất cho toàn bộ dòng chất lỏng.
Khi lực khối chỉ là trọng lực, tích phân Bécnuli được biểu diễn dưới dạng gz + — + —— = c, với p = 0, Y = 0, và z = -g Đây là lời giải của hệ phương trình ơ le dọc theo đường dòng trong chuyển động dừng của chất lỏng lý tưởng không nén Tích phân này có nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng.
4.4 Ý NGHĨA NĂNG LƯỢNG, HÌNH HỌC V À CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BÉCNULI
Tích phân (4-12) có thể viết dưói dạng sau: z + £ + — = c (4-13)
4.4.1 Ỹ nghĩa năng lượng của tích phân
Tổng ba thành phần trong tích phân Bécnuli thể hiện cơ năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng, được gọi là cơ năng đơn vị Trong đó, thành phần z biểu thị năng lượng do vị trí gây ra, tính từ một mặt chuẩn nằm ngang bất kỳ, được gọi là năng lượng đơn vị.
— - năng lư ợ n g do áp suất gây nên, gọi là áp năng đơn vị.
Y z + — - chính là th ế năng đơn vị.
— biểu diễn đông năng đơn vi.
Ý nghĩa của năng lượng trong tích phân Bécnuli cho thấy rằng, dọc theo đường dòng của chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng, tổng cơ năng đơn vị luôn là một hằng số Điều này chứng tỏ tích phân Bécnuli biểu thị cho định luật bảo toàn cơ năng.
4.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Bécnuli
Các số hạng trong tích phân
Bécnuli (4-13) mô tả mối quan hệ giữa năng lượng của chất lỏng và chiều cao cột chất lỏng, với chiều dài được biểu diễn qua độ cao z của điểm so với mặt chuẩn 0-0, được gọi là độ cao hình học Mối quan hệ này có thể được minh họa qua hình vẽ (hình 4.1).
Y h, = z + — - được gọi là cột áp thuỷ tĩnh
Độ cao cột vận tốc là chiều cao của cột chất lỏng đạt được khi chất lỏng phun lên từ vòi theo phương thẳng đứng với vận tốc u, trong điều kiện không bị cản trở bởi môi trường bên ngoài Thành phần này còn được gọi là cột áp động.
Cột áp toàn phần, hay còn gọi là cột áp thuỷ động htJ, được xác định bằng công thức h,d = ht + h(l) Trong việc biểu diễn năng lượng của chất lỏng, đường biểu diễn hld được gọi là đường năng, trong khi đường ht là đường đo áp Do đó, trong chuyển động của chất lỏng lý tưởng, đường năng sẽ là một đường nằm ngang.
Tích phân Bécnuli (4-13) viết cho 2 mặt cắt (1-1) và (2-2) vuông góc với chiểu dòng chảy và chọn mặt chuẩn nằm ngang 0 - 0 (hình 4.1) có dạng:
4.4.3 Các úmg dụng của tích phân Bécnuli
4.4.3.1 C ôn g thứ c T o rix e n li tín h vận tốc và lưu lượng qua lỗ
Trên thành bình chứa chất lỏng, có một lỗ với diện tích s cho phép chất lỏng chảy qua Diện tích mặt cắt ngang của bình cũng được ký hiệu là s, và chúng ta sẽ xem xét trường hợp khi s rất nhỏ so với s.
Để xác định lưu tốc u2, ta áp dụng phương trình Bécnuli cho hai mặt cắt 1-1 và 2-2, với giả định rằng cột chất lỏng H từ tâm lỗ đến mặt thoáng là không đổi (H = const).
Mặt cắt 1-1 là mặt thoáng, còn mặt cắt 2-2 sát thành lỗ, vuông góc với dòng chảy từ lỗ ra Hình 4.2
Phương trình (4—14) với các sô’ hạng sau:
• P1 = 0 (áp s u ấ t dư trên m ặt th oán g tiếp xúc vói k h í tròi)
• p2 = 0 chảy ra ngoài không khí, áp suất dư bằng không)
Như vậy phương trình (4-14) có dạng:
Lưu lượng chảy qua lỗ sẽ bằng:
Công thức (4-16) gọi là công thức Torixenli.
Các công thức (4-15) và (4-16) chỉ dùng cho chất lỏng lý tưởng (bỏ qua ma sát), còn với chất lỏng thực thì:
Q = [iSyỊĩgH (4-18) ở đây : (p - hệ sô’ lưu tốc. p - hệ sô’ lưu lượng, ta xét kỹ hơn ở dòng chảy qua lỗ, vòi.
Ta đo độ cao vận tốC' —- bằng một dụng cụ do Pitô chê’ ra gọi là ông Pitô.
Ống Pitô là một thiết bị nhỏ hình chữ L, làm bằng thủy tinh hoặc kim loại, với đường kính từ 6 đến 10mm và phần miệng đoạn ngắn có đường kính 1 đến 2mm Khi đặt ống Pitô ngược dòng chảy và vuông góc với đường dòng, ta có thể quan sát được chất lỏng chảy qua.
D U 2 lỏng dâng lên trong ông môt đô cao bằng — + — (hình 4.3).
Y 2g Để riêng —— và từ đó ta tính ra u, ta đăt thêm môt ống đo áp thẳng đứng
Để đo áp suất, cần đặt miệng ống song song với dòng chảy và sát miệng ống Pitô Độ chênh lệch mức chất lỏng giữa ống đo áp và ống Pitô sẽ cho ra trị số áp suất cần đo.
Phương trìn h vi phân, chuyển động của chất lỏng thực phương trìn h Navier - S to k e s
4.5.1 Phương trình vi phân chuyển động viết dưới dạng ứng su ất
Khi nghiên cứu tĩnh học và động lực học của chất lỏng lý tưởng, lực mặt chỉ bao gồm lực pháp tuyến vuông góc với mặt tác dụng Tuy nhiên, trong chất lỏng thực, hay còn gọi là chất lỏng nhớt, khi có chuyển động tương đối giữa các lớp chất lỏng sẽ sinh ra các ứng suất tiếp Trong hệ tọa độ Đề các, chuyển động của chất lỏng thực tạo ra ba ứng suất pháp px, pyy, p/y và sáu ứng suất tiếp txz, txy, tyz, tạo thành tenxơ ứng suất.
Sử dụng nguyên lý Đalămber, người ta thành lập được hệ phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực viết dưới dạng ứng suất như sau:
Dựa trên phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực dạng ứng suất, nhà bác học Stokes đã biến đổi nó thành dạng thuận tiện để giải quyết các bài toán cơ học chất lỏng, dựa trên một số giả thuyết về ứng suất Cùng lúc đó, nhà khoa học Navier người Pháp cũng đã phát hiện ra phương trình này từ năm trước đó, dựa vào giả thuyết về các lực phân tử.
1827 Vì vậy hệ phương trình được mang tên hệ phương trình Navier - Stokes.
Các giả thuyết về ứng suất mà Stokes đã sử dụng như sau :
• Áp suất thuỷ động p tại một điểm là trung bình cộng của các ứng suất pháp lên ba mặt vuông góc với nhau qua điểm đó:
• Do có lực nhớt nên các ứng suất pháp của chất lỏng thực sẽ có thêm thành phần bổ sung:
• ứ n g suất tiếp có dạng (giả thuyết Niutơn mở rộng): xy yz yx
T X/ = T zx ỡy ỡz ỡu ỡu ỡz ỡx
Thay thế các biểu thức trong (4-24) và thực hiện một số phép biến đổi đơn giản, chúng ta thu được hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất lỏng thực không nén.
(4-25) Ẻ}h dt du > dt dụ, dt
= z + 1 ỡp + vAu p ổz / hay viết dưới dạng véctơ: dũ _ I 1 dt pgradp + vAũ ở đây: À -to á n tử Laplase õ2 õ2 õ2 ổx2 dy2 õz2
Rõ ràng nếu V = 0 , tức là với chất lỏng lý tưởng ta lại có phương trình ơ le động: dũ - 1
Nếu chất lỏng không chuyển động ũ = Ohay chuyển động thẳng đều ta có phương trình ơ le tĩnh: f - — gradp = 0 p
Trong một mặt cắt ngang của dòng chảy đều, áp suất thủy động phân bố theo quy luật tĩnh học, thể hiện qua công thức z + —= const Kết luận này cũng áp dụng cho dòng chảy biến đổi dần.
Hệ phương trình Navier - Stokes là một tập hợp các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính phức tạp, và đến nay, chỉ có một số trường hợp đơn giản được giải đúng như dòng chất lỏng thực trong ống tròn thẳng (bài toán Poiseuille) và dòng chất lỏng giữa hai bản phẳng song song (bài toán Couette) Trong nhiều trường hợp khác, người ta thường tuyến tính hóa hệ phương trình để tìm ra các lời giải gần đúng.
Tích phân Bécnuli dọc theo đường dòng (dòng nguyên tổ) của chất lỏng chuyển động dừng, chất lỏng th ự c
Đặc trưng của chất lỏng thực là tính nhớt, khiến cho khi chất lỏng chuyển động, lực ma sát nội bộ xuất hiện và cản trở chuyển động Một phần cơ năng của chất lỏng bị tiêu hao để khắc phục các lực cản này, dẫn đến việc năng lượng này biến thành nhiệt năng không thể thu hồi.
2 chất lỏng thực giảm dần dọc theo dòng chảy và z + — + — * con st.
Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt (1-1) đến mặt cắt (2-2), với chất lỏng lý tưởng ta có:
Nhưng với chất lỏng thực thì:
Ký hiệu hw đại diện cho phần năng lượng tiêu hao của một đơn vị trọng lượng chất lỏng khi chuyển động từ mặt cắt (1-1) đến mặt cắt (2-2), được gọi là tổn thất năng lượng hoặc tổn thất cột áp Bất phương trình liên quan có thể được chuyển đổi thành phương trình sau: z , + — + — = z , + — + — + hw (4-26).
Phương trình (4-26) được gọi là tích phần Bécnuli dọc theo đường dòng trong điều kiện chuyển động dừng của chất lỏng thực Tên gọi này xuất phát từ việc nó là nghiệm của hệ phương trình liên quan đến động lực học chất lỏng.
’ õ trình Navier - Stockes trong trường hơp chuyến đông dừng ( — s=0) doc theo môt ổt đường dòng khi lực khối là trọng lực.
• Ý nghĩa năng lượng của tích phân :
Tích phân (4-26) biểu diễn định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng.
• Ý nghĩa hình học của tích phân:
Giống như tích phân Bécnuli, trong dòng nguyên tố của chuyển động dừng của chất lỏng lý tưởng, z(m) biểu thị độ cao hình học, — (m) là độ cao đo áp, và — (m)là u2.
Độ cao tổn thất trong vận chuyển chất lỏng được xác định bởi số hạng hw(m), phản ánh tổn thất năng lượng trong hệ thống Tổn thất này được đo bằng mét (m) cột chất lỏng và thường được gọi là tổn thất cột áp Hình 4.7 minh họa cách biểu diễn hình học tích phân liên quan đến độ cao tổn thất này.
Đường đo áp 89 biểu diễn thế năng đơn vị của dòng chảy và cột áp tĩnh hj Khi trục dòng chảy nằm ngang, với z = const, đường đo áp phản ánh sự biến thiên của áp suất chất lỏng trong dòng chảy.
Ta ký hiệu độ dốc đo áp bằng Jp thì: d(z + —)
Độ dốc đo áp chính là độ dốc của đường đo áp, phản ánh sự biến thiên năng lượng đơn vị trong chất lỏng thực Khác với chất lỏng lý tưởng, đường năng lượng không còn là đường thẳng nằm ngang mà dốc xuống theo chiều dòng chảy do năng lượng đơn vị giảm dần và tổn thất năng lượng tăng lên Độ dốc thủy lực, ký hiệu là J, biểu thị tổn thất năng lượng trên một đơn vị chiều dài.
Độ dốc thủy lực, ký hiệu là J, là độ dốc của đường năng, với độ dốc thủy lực trung bình được ký hiệu là Jtb J được sử dụng trong các tính toán thủy lực để xác định hiệu suất của hệ thống.
Độ dốc đo áp có thể là dương hoặc âm, trong khi độ dốc thủy lực luôn dương Cần lưu ý rằng độ dốc đo áp trong chất lỏng lý tưởng khác với độ dốc đo áp trong chất lỏng thực Trong trường hợp chuyển động đều, đường đo áp và đường năng song song với nhau, do đó Jp = J.
Tích phân Bécnuli cho chuyển động tương đốì 1
Chương 2 (Động học chất lỏng) đã nghiên cứu hình ảnh chuyển động chất lỏng Chương 4 này nghiên cứu phương trình chuyển động của chất lổng có tính đến lực gây ra chuyển động Lần lượt ta sẽ viết phương trình chuyển động chất lỏng lý tưởng, chất lỏng thực và tìm các tích phân để ứng dụng giải các bài toán trong thực tiễn kỹ thuật đề ra.
4.1 PHƯƠNG TR ÌN H VI PHÂN CHUYÊN đ ộ n g c ủ a c h ấ t l ỏ n g l ý t ư ở n g
4.1.1 Lực tác động của chất lỏng lý tưảng
Chất lỏng lý tưởng là loại chất lỏng không có lực nội ma sát và không có sự truyền nhiệt, với hệ số nhớt động bằng không Trong trường hợp này, lực mặt chỉ có một thành phần theo phương pháp tuyến với mặt cắt chịu lực của khối chất lỏng Thành phần theo phương tiếp tuyến không xuất hiện do lực nội ma sát giữa các phân tố hoặc lớp chất lỏng bằng không Khi chất lỏng lý tưởng chuyển động, mọi tương tác giữa các thể tích chất lỏng tiếp xúc chỉ là tác động của lực mặt theo phương pháp tuyến Mô hình chất lỏng lý tưởng là mô hình đơn giản nhất trong nghiên cứu "cơ học chất lỏng".
Lực mặt trong chuyển động của chất lỏng lý tưởng tương tự như lực mặt của chất lỏng tĩnh, vì vậy để xây dựng phương trình động lực học, chúng ta có thể áp dụng phương trình tĩnh: f - — gradp = 0 Đồng thời, theo nguyên lý Đalămber, bài toán động có thể chuyển đổi thành bài toán tĩnh nếu trong phương trình cân bằng thêm vào lực quán tính Theo Đalămber, lực quán tính đối với một đơn vị khối lượng chất lỏng được xác định bằng:
- 1 a = — — dt Như vậy, phương trình ơ le động có dạng véctơ:
— = ? - — gradp (4-1) dt p hay dưới dạng hình chiếu:
+ u 4-U + u ổu ỡu ỡx ỡu. x + u - ^ - + 11. dy õu Ị K õz ỡu ổx y õy ỡu + u ỡu
Hệ phương trình này có 4 ẩn ux, Uy, u2 và p
Như vậy, để đóng kín hệ phương trình này ta có thể dùng phương trình vi phân liên tục: ỡux ỡu ổu
Nếu là chuyển động dừng ( — = 0) thì ta bỏ các số hạng thứ nhất ở vế trái: ỡt ổuv duv du z _
= 0 ổt ổt ỡt và hệ phương trình trở nên đơn giản hơn: u ỡx ổu
= x u - - + u ổx y du. dy ỡu + u l ỏ p p ỡx y_ = Ỵ _ i Ẽ P ổz p ổy ux^ + uy^ + u z ỡu z _ i ô p
Trong trường hợp chuyển động đều (u = const), vế trái của phương trình sẽ triệt tiêu, dẫn đến việc nhận được phương trình ơle tĩnh Điều này cho thấy rằng, trong chuyển động đều, áp suất của dòng chảy phân bố theo quy luật thuỷ tĩnh.
4.2 PHƯƠNG TRÌNH ƠLE ĐỘNG VIẾT DƯỚI DẠNG GRÔMECÔ - LĂMBE
Năm 1881, Grômecô và Lămbe đã biến đổi hệ phương trình ơ le (4-2) và viết dưới dạng mới, trong đó có chứa véctơ xoáy Rotũ Hệ phương trình có dạng: ổ u x õ ị u - >
+ [Rotu A ũ] - X 1Ôp õt ổx U ; p ổx õny Õ í u 2>
+ [Rotũ a ũ ] _ Y 1 dp õl õy V 2 ) pỡy ỡ u z õ V )
Nếu lực khối là lực có thế: f = -gradU , u là lực thế, thì phương trình (4-5) trở thành:
Khi số' hạng [Rotũ A ũ] = 0 thì phương trình trên sẽ đơn giản hơn nhiều và dễ dàng cho ta tích phân:
• Vận tốc ũ = 0 , chất lỏng ở trạng thái tĩnh.
• ủ II Rotũ : chuyển động xoắn ốc, ít gặp trong thực tế.
• Rotu = 0 : chuyển động không xoáy hay có thế.
4.3 CÁC T ÍC H PH Â N C Ủ A PHƯƠNG T R ÌN H VI PH ÂN C H U Y Ê N đ ộ n g c h ấ t l ỏ n g
Ta xét dòng chất lỏng lý tưởng, chuyển động có thế (không xoáy) và lực khối có thế. Như vậy, theo giả thiết thì trong phương trình (4-6) có:
RotO = 0, ũ = gradcp trong đó: (p - hàm th ế vận tốc õũ ô „ỡ ọ và ÍT = -r- (grad(p) = g ra d (^ ) ơt Ỡt Ỡt cho nên phương trình (4-6) có dạng: grad( ặ + u + £ + ặ = o ỡt p 2 hay ta có tích phân:
C(t) - hằng số tích phân, phụ thuộc vào thòi gian và được xác định theo điều kiện bài toán.
Tích phân (4-7) là tích phân Côsi - Lagrangiơ cho chuyển động có thế, chất lỏng lý tưởng, lực khối có thế.
Trong phương trình (4-7) này có 2 ẩn là p và ô(p 1 ổcp ■, u - O ỡx dy + (? } õz ta sẽ xác định được p , còn C(t) có thể được tính theo giá trị p(t) tại điểm đã cho.
Ta xét trường hơp chuyển đông dừng (— = 0) chất lỏng lý tướng không nén, lưcỡ ổt khôi có thế, khi đó phương trình (4-6) có thể viết dưới dạng: ôx
(4-9) Ở đây véctơ vận tốíc xoáy: Q = —RotO.
Nhân lần lượt các phương trình (4-9) với dx, dy, dz, rồi cộng lại thì phương trình (4-9) có dạng mới: í 2 \ ÍT p u u + - + — dx dy dz u x u v
Phương trình (4-10) có thể tích phân được nếu định thức ở vế phải triệt tiêu Điều đó có thể xảy ra trong các trường hợp sau:
• Chuyển động có th ế (không xoáy): í ì x = Qv= Qz = 0.
Q— ,tức là véctơ vận tốc cùng phương với véctơ xoáy, ta có chuyển động xoắn ốic, ít gặp trong thực tế.
• Khi — = — = — , tức là phương trình (4-10) có thể tích phân được dọc theo ux Uy u đường dòng hay mỏ rộng ra là dòng nguyên tố.
, tức là tích p h ân dọc theo đường xoáy.
Theo 4 trường hợp trên tích phân của (4-10) có dạng:
2 Ư + — + -— = c = const p 2 vì hằng số c ta nhận thấy:
- Đôi với chuyển động có th ế (trường hợp 1) giá trị của c được bảo toàn trong dòng chảy.
Trong dòng chảy có xoáy, mỗi đường dòng mang một giá trị c riêng biệt Nếu tất cả các đường dòng khởi đầu trong chất lỏng tĩnh hoặc chuyển động thẳng đều, thì hằng số c sẽ đồng nhất cho toàn bộ dòng chất lỏng.
Khi lực khối chỉ là trọng lực, ta có X = 0, Y = 0, z = -g hoặc u = gz, dẫn đến tích phân (4-11) có dạng gz + — + —— = c (4-12) p 2 Đây chính là lời giải Bécnuli cho hệ phương trình ơ le (4-3) dọc theo đường dòng hoặc dòng nguyên tố của chuyển động dừng trong chất lỏng lý tưởng không nén khi lực khối là trọng lực Tích phân này được gọi là tích phân Bécnuli và có nhiều ứng dụng thực tiễn.
4.4 Ý NGHĨA NĂNG LƯỢNG, HÌNH HỌC V À CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BÉCNULI
Tích phân (4-12) có thể viết dưói dạng sau: z + £ + — = c (4-13)
4.4.1 Ỹ nghĩa năng lượng của tích phân
Tổng ba thành phần trong tích phân Bécnuli thể hiện cơ năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng, được gọi là cơ năng đơn vị Trong đó, thành phần z biểu thị năng lượng do vị trí gây ra, được tính từ một mặt chuẩn nằm ngang bất kỳ, và được gọi là năng lượng đơn vị.
— - năng lư ợ n g do áp suất gây nên, gọi là áp năng đơn vị.
Y z + — - chính là th ế năng đơn vị.
— biểu diễn đông năng đơn vi.
Ý nghĩa của năng lượng trong tích phân Bécnuli cho thấy rằng, dọc theo đường dòng của chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng, tổng cơ năng đơn vị luôn giữ hằng số Điều này chứng tỏ rằng tích phân Bécnuli biểu thị cho định luật bảo toàn cơ năng.
4.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Bécnuli
Các số hạng trong tích phân
Bécnuli (4-13) thể hiện mối quan hệ giữa năng lượng của chất lỏng và chiều cao cột chất lỏng, trong đó chiều cao này được biểu diễn qua độ cao z của điểm được xét so với mặt chuẩn 0-0 Độ cao này được gọi là độ cao hình học, và có thể được minh họa qua hình vẽ (hình 4.1).
Y h, = z + — - được gọi là cột áp thuỷ tĩnh
Độ cao cột vận tốc là chiều cao của cột chất lỏng đạt được khi chất lỏng phun lên từ một vòi theo phương thẳng đứng với vận tốc u, trong điều kiện không có cản trở từ môi trường ngoài Thành phần này còn được gọi là cột áp động.
Cột áp toàn phần, hay còn gọi là cột áp thủy động htJ, được biểu diễn bằng công thức h,d = ht + h(l) Khi phân tích năng lượng của chất lỏng, đường biểu diễn hld được gọi là đường năng, trong khi đường ht là đường đo áp Do đó, trong chuyển động của chất lỏng lý tưởng, đường năng sẽ luôn nằm ngang.
Tích phân Bécnuli (4-13) viết cho 2 mặt cắt (1-1) và (2-2) vuông góc với chiểu dòng chảy và chọn mặt chuẩn nằm ngang 0 - 0 (hình 4.1) có dạng:
4.4.3 Các úmg dụng của tích phân Bécnuli
4.4.3.1 C ôn g thứ c T o rix e n li tín h vận tốc và lưu lượng qua lỗ
Trên thành bình chứa chất lỏng, có một lỗ với diện tích s cho phép chất lỏng chảy qua, trong khi diện tích mặt cắt ngang của bình là S Chúng ta sẽ xem xét trường hợp khi s rất nhỏ so với S.
Để xác định lưu tốc u2, ta áp dụng phương trình Bécnuli cho hai mặt cắt 1-1 và 2-2, với giả định rằng cột chất lỏng H từ tõm lỗ đến mặt thoáng là không đổi (H = const) Mặt chuẩn nằm ngang đi qua tâm lỗ sẽ được sử dụng trong quá trình tính toán.
Mặt cắt 1-1 là mặt thoáng, còn mặt cắt 2-2 sát thành lỗ, vuông góc với dòng chảy từ lỗ ra Hình 4.2
Phương trình (4—14) với các sô’ hạng sau:
• P1 = 0 (áp s u ấ t dư trên m ặt th oán g tiếp xúc vói k h í tròi)
• p2 = 0 chảy ra ngoài không khí, áp suất dư bằng không)
Như vậy phương trình (4-14) có dạng:
Lưu lượng chảy qua lỗ sẽ bằng:
Công thức (4-16) gọi là công thức Torixenli.
Các công thức (4-15) và (4-16) chỉ dùng cho chất lỏng lý tưởng (bỏ qua ma sát), còn với chất lỏng thực thì:
Q = [iSyỊĩgH (4-18) ở đây : (p - hệ sô’ lưu tốc. p - hệ sô’ lưu lượng, ta xét kỹ hơn ở dòng chảy qua lỗ, vòi.
Ta đo độ cao vận tốC' —- bằng một dụng cụ do Pitô chê’ ra gọi là ông Pitô.
Ống Pitô là một thiết bị hình chữ L được làm từ thủy tinh hoặc kim loại, có đường kính từ 6 đến 10mm, với đoạn miệng ngắn thu hẹp lại còn 1 đến 2mm Khi đặt ống Pitô sao cho miệng đoạn ngắn hướng ngược dòng chảy và vuông góc với đường dòng, người dùng có thể quan sát được chất lỏng chảy qua.
D U 2 lỏng dâng lên trong ông môt đô cao bằng — + — (hình 4.3).
Y 2g Để riêng —— và từ đó ta tính ra u, ta đăt thêm môt ống đo áp thẳng đứng
Để đo áp suất, cần đặt miệng ống song song với dòng chảy và sát miệng ống Pitot Độ chênh lệch mức chất lỏng giữa hai ống đo áp và ống Pitot sẽ cho ra trị số cần thiết.
