Mặc dù chúng ta có thể giải các bài toán đơn giản bằng phương pháp ma trận thuần nhất hay hình học nhưng biểu diễn D-H chúng ta có thể sử dụng kết quả của nó cho các bài toán sau như bài
Trang 1BIỂU DIỄN DENAVIT-HARTENBERG CỦA
BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC THUẬN ROBOT
Vào năm 1955, Denavit và Hartenberg đăng tải một bài báo của tạo chí Cơ học ứng dụng ASME (Journal of Applied Mechanics) Từ các phương pháp giải trong bài báo này, việc ứng dụng phương pháp giải quyết bài toán được đưa vào biểu diễn và mô hình hoá Robot và để tìm ra phương trình di chuyển Phương pháp này trở thành phương pháp tiêu biểu để biểu diễn Robot và mô hình hoá các chuyển động của nó Mô hình hoá Denavit-Hartenberg (Viết tắt là phương pháp D-H) là cách biểu diễn đơn giản mô hình các khâu và khớp của Robot và có thể sử dụng cho bất cứ cấu hình Robot nào, kể cả bài toán phức tạp hay đơn giản Và chúng có thể dùng để biểu diễn cho bất kỳ hệ trục toạ độ nào như : Decard, trụ, cầu, Euler, RPY… Thêm vào đó nó có thể sử dụng để biểu diễn cho tất cả Robot mà chúng ta có thể gặp trong công nghiệp Mặc dù chúng ta có thể giải các bài toán đơn giản bằng phương pháp ma trận thuần nhất hay hình học nhưng biểu diễn D-H chúng ta có thể sử dụng kết quả của nó cho các bài toán sau như bài toán Jacobi, phân tích lực, độ cứng…
Giả sử Robot của chúng ta là một chuỗi các khâu và các khớp Các khớp này có thể là khớp trượt (tịnh tiến) hay khớp trụ (quay), và chúng có thể sắp xếp theo bất kỳ thứ tự nào và có thể nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào Các khâu cũng có chiều dài bất kỳ kể cà bằng 0, có thể xoắn hoặc cong Vì vậy bất kỳ một tập hợp các khâu, các khớp đều có thể tạo thành một cấu hình Robot và chúng ta đều có thể giải quyết các vấn đề đối với nó thông qua việc mô hình hoá
Để làm được việc này, chúng ta cần thiết phải gắn một hệ trục tham chiếutới mỗi khớpvà sau đó xác định sự chuyển vị từ khớp này đến khớp kế tiếp Nếu chúng ta kết hợp tất cả các chuyển vị từ bệ đến khớp thứ nhất, từ khớp thứ nhất đến khớp thứ hai và cứ tiếp tục cho đến khi tới khớp cuối cùng chúng ta sẽ có ma trận chuyển vị tổng cộn Ở phần dưới này chúng ta sẽ xác định giải thuật tổng quát dựa vào biểu diển D-H để gắn các hệ trục tham chiếu lên mỗi khớp Sau đó chúng ta sẽ xác định chuyển vị giữa 2 hệ trục kế tiếp nhau Cuối cùng chúng ta sẽ viết ma trận chuyển vị của Robot
Chúng ta giả sử Robot được thiết kế với một số lượng các khâu, các khớp tuỳ ý và có thể bố trí bất kỳ Hình ở dưới chúng ta biểu diễn 3 khâu kế tiếp nhau với 2 khớp Mặc dù các khớp và các khâu này không nhất thiết giống nhau với các khâu và các khớp trong thực tế nhưng với các khâu và khớp này chúng ta thể dễ dàng mô hình hoá các khớp và khâu trong thực tế Các khớp này có thể là khớp tịnh tiến hay khớp quay hoặc có thể là cả hai Trong thực tế việc thiết kế Robot công nghiệp thường là khớp bậc 5 để dễ dàng điều khiển nhưng trong hình vẽ chúng ta biểu diễn các khớp này có 2bậc tự do Mỗi khớp trong mô hình hoá có thể quay hoặc tịnh tiến, giả sử chúng ta đánh số n cho khớp thứ nhất trong hình vẽ, n+1 cho khớp thứ hai và n+2 cho khớp thứ ba Như vậy chúng ta có thể hiểu trước và sau 3 khớp này có thể có rất
Trang 2nhiều khớp khác tác động và gắn lên hệ thống Robot Mỗi khâu cũng sẽ được đánh số , khâu n sẽ nằm giữa khớp n và khớp n+1, khâu n+1 sẽ nằm giữa khớp n+1 và n+2
Hình : Biểu diễn hệ trục Denavit-Hartenberg
Để mô hình hoá Robot với sự biểu diễn D-H, việc đầu tiên chúng ta cần làm là gắn một hệ trục tham chiếu địa phương lên mỗi và mọi khớp Vì vậy mỗi khớp chúng
ta sẽ phải gắn trục z và trục x Chúng ta không nhất thiết phải gắn trục y vì chúng ta có thể xác định trục y theo tam diện thuận mà hệ trục tham chiếu có được xyz Ngoài
ra vì biểu diễn D-H không cần thiết sử dụng trục y Quá trình gắn hệ trục tham chiếu địa phương lên mỗi khớp như sau:
- Tất cả mọi khớp đều được biểu diễn theo trục z Nếu khớp là khớp quay, trục z sẽ được xác định theo hướng dịch chuyển tạo ra do sự quay theo quy tắc bàn tay phải Nếu khớp là khớp tịnh tiến, trục z của khớp sẽ dọc theo hướng di chuyển Và cách đánh số trục z của khớp n là n-1 Như vậy trục z biểu diễn khớp n+1 là zn Với quy tắc đơn giản này sẽ giúp chúng ta nhanh chóng gắn trục z lên mọi khớp Như vậy khi khớp quay, góc quay quanh trục z sẽ là một biến khớp (θ hoặc α hoặc β…) còn đối với khớp tịnh tiến thì chiều dài của khâu dọc theo trục z biểu diễn bởi thông số
d sẽ là biến khớp
- Với việc mô hình hoá không nhất thiết là các khớp phải song song hay giao nhau Trong mô hình chúng ta đưa ra trục z là những đường nghiêng với nhau theo hướng
Trang 3của trục xn sẽ dọc theo hướng của đoạn an Tương tự vậy nếu đường vuông góc chung giữa zn và zn+1 là an+1, hướng của trục xn+1 sẽ dọc theo an+1 Đường vuông góc chung của các khớp kế tiếp nhau không nhất thiết phải giao nhau hay trùng nhau Các gốc toạ độ các hệ trục không cần trùng nhau Dựa vào những vấn đề mô hình hoá và gắn các hệ trục toạ độ ngoại trừ những trường hợp đặc biệt chúng ta có thể gắn các hệ trục toạ độ lên mọi khớp Nếu 2 trục z song song với nhau, có vô số đường vuông góc chung thì chúng ta sẽ lấy đường vuông góc chung của khớp trước Còn nếu trục z của 2 khớp giao nhau, không có đường vuông góc chung giữa chúng (chiều dài là bằng 0) chúng ta sẽ gắn trục x dọc theo đường vuông góc với mặt phẳng hình thành bởi 2 trục này Điều này có nghĩa là đường vuông góc chung là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa 2 trục z và hướng sẽ là hướng của tích hữu hướng của 2 trục z này
Như vậy θ biểu diễn sự quay xung quanh trục z, d biểu diễn khoảng cách trên trục z giữa 2 đường vuông góc chung, a biểu diễn chiều dài của đoạn vuông góc chung (còn gọi là đoạn dịch chuyển của khớp – joint offset), α biểu diễn góc giựa 2 trục z kế tiếp nhau (góc xoắn) Thường chỉ có d và θ là biến khớp
Bước kế tiếp cần di chuyển các sự chuyển vị từ hệ trục toạ độ này đến hệ trục toạ độ kế tiếp Giả sử ở hệ trục toạ độ địa phương xn-zn chúng ta sẽ tạo 4 dịch chuyển tiêu chuẩn để di chuyển hệ trục này tới hệ trục xn+1-zn+1 là :
- Quay xung quanh trục zn một góc θn+1, sau khi quay xong các trục xn và xn+1 sẽ song song với nhau bởi vì an và an+1 đều vuông góc với zn và quay quanh zn một góc θn+1 sẽ làm chúng song song.
- Tịnh tiến dọc trục zn một đoạn dn+1 làm cho xn và xn+1 trùng nhau Rõ ràng khi xn và xn+1 song song và vuông óc zn, như vậy khi di chuyển dọc theo zn thì chúng sẽ trùng với nhau
- Di chuyển dọc theo trục xn một khoảng an+1 sẽ mang gốc toạ độ n và n+1 trùng với nhau Ở điểm này 2 gốc toạ độ của 2 hệ trục tham chiếu sẽ ở cùng 1 điểm
- Quay trục zn xung quanh trục xn+1 một góc αn+1 để trục zn nằm thẳng với trục zn+1 Ở điểm này hệ trục n và hệ trục n+1 sẽ hoàn toàn trùng với nhau Và chúng
ta sẽ tiếp tục di chuyển từ hệ trục này tới hệ trục kế tiếp
Tương tự chúng ta tạo 4 chuyển động giữa hệ trục n+1 và n+2 sẽ tạo nên chuyển vị tiếp theo Bắt đầu hệ trục tham chiếu, chúng ta sẽ toạ nên chuyển vị tới bệ Robot, sau đó tới khớp thứ nhất, thứ 2 và cuối cùng tới tay gắp hay cơ cấu chấp hành cuối
Ma trện A biểu diễn 4 di chuyển bằng cách nhân 4 ma trận biểu diễn từng chuyển động, kết quả như sau:
Trang 4) , ( ) 0 , 0 , ( ) , 0 , 0 ( ) ,
1
n
n T A R z θ xT d xT a xR x α
−
=
+ +
+ +
+
+
+ +
+ +
1 0 0
0
0 0
0 0
0 0 0
1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
n n
n n
n
n
n n
n n
c s
s c
x
a x
d x
c
s
s
c
α α
α α
θ
θ
θ θ
−
−
=
+ +
+
+ + + + +
+ +
+ + +
+ +
+ +
1 0
0 0
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
n n
n
n n n n n
n n
n n n
n n
n n
d c
s
s a s
c c
c
s
c a s
s c
s
c
α α
θ α
θ α
θ
θ
θ α
θ α
θ θ
Với bệ Robot chúng ta có thể bắt đầu với khớp thứ nhất và chuyển về khớp thứ 2, sau đó đến khớp thứ 3… tới bệ dụng cụ của Robot hoặc cơ cấu khâu cuối Mỗi
ma trận chuyển vị là A Như vậy ma trận chuyển vị tổng giữa nền Robot và cánh n+ 1 tay là:
n n
n R
H
R T T T T 1T A1.A2A3 A
3
2 2
1
Với n là số khớp Với Robot có 6 bậc tự do thì có 6 ma trận Để tính toán được
ma trận A chúng ta phải lập ra các bảng của các tham số khớp và khâuvới các giá trị biểu diễn mỗi khớp và khâu được xác định từ bảng vẽ hay cấu hình Robot
GIẢI THUẬT GẮN HỆ TRỤC LÊN ROBOT
1- Bắt đầu đánh số từ số 0 đến số n (với n là số khâu của Robot) và bệ Robot sẽ được đánh số 0
2- Mỗi hệ trục gắn ở mỗi khâu và phải luôn tuân theo quy tắc bàn tay phải
3- Hệ trục toạ độ của bệ được gắn song song với hệ trục tham chiếu Gốc của hệ trục toạ độ này được gắn trùng với gốc của khớp 1 Với giả thiết là trục khớp 1 vuông góc với mặt phẳng xy
4- Hệ trục toạ độ gắn trên khâu của Robot được gắn tại khớp xa hơn so với bệ của mỗi khâu Vì vậy chúng ta sẽ thấy hệ trục toạ độ số 1 sẽ gắn tại khớp số 2 (khớp này nối giữa khâu 1 và khâu 2)
5- Gốc của hệ trục toạ độ đặt tại giao điểm của đường vuông góc chung của các trục khớp với nhau Nếu các trục khớp song song với nhau thì vị trí của gốc của hệ trục toạ độ được lựa chọn sao cho khoảng cách giữa các khâu bằng 0 hoặc nhỏ nhất nếu có một khoảng dịch chuyển giữa các khâu Nếu các trục khớp giao nhau thì gốc toạ độsẽ đặt tại điểm giao nhau của các trục
6- Trục z trùng với trục khớp Nếu khớp tịnh tiến hướng trục z sẽ là hướng di chuyển đi xa từ khớp Nếu là khớp trụ, hướng trục z xác định là hướng dương
Trang 5tâm của khâu nếu các trục giao nhau không có đường vuông góc chung trục x sẽ tích vectơ của 2 vectơ zn-1 và zn Trong nhiều trường hợp trục x sẽ có hướng như trục x của khâu trước (như ở hệ trục toạ độ số 0)
8- Hướng trục y tuân theo quy tắc bàn tay phải
9- Hệ trục toạ độ gắn ở khâu cuối (n) thường gắn ở tay gắp hay ở bệ dụng cụ Nếu Robot có tay gắp tạo bởi nhiều khớp hay thay đổi vị trí thường xuyên thì nếu đặt một hệ trục toạ độ ở tay gắp hay bệ dụng cụ và chúng được ngăn cách bởi một ma trận chuyển vị trừ hệ trục cuối cùng của Robot với hệ trục của tay gắp hay bệ dụng cụ Trục z của hệ trục này cùng hướng với khớp cuối cùng Chú ý:
- di : là khoảng cách từ gốc toạ độ thứ i-1 tới giao điểm của của trục zn-1 và xi dọc theo trục zn-1
- li : khoảng cách giữa giao điểm trục zi-1 và xi với gốc toạ độ hệ trục thứ I dọc theo trục xi
- θI : góc quay từ trục xi-1 tới xi xung quanh trục zi-1.
- αI : là góc quay của trục zi-1 tới zi xung quanh trục xi.
BẢNG THAM SỐ DENAVIT – HARTENBERG
1 2
….
n
Trang 6Hình : Hệ trục toạ độ và các tham số DH
