Bài tập nâng cao Mũ và logarit

Hơn 100 bài toán vận dụng cao về mũ và logarit là tài liệu khá có ích cho các bạn học sinh có nhu cầu đạt điểm 9, điểm 10 trong kì thi đại học. Với lời giải chi tiết, các dạng bài phong phú, đa dạng từ dễ đến khó mong sẽ giúp ích cho việc ôn thi của học sinh. Mong mọi người ủng hộ. Nếu mọi người file pdf mà muốn file word, liên hệ qua zalo số 0338901607, mình sẽ gửi miễn phí file word cho khách hàng.

BÀI TẬP MŨ VÀ LOGARIT

Câu 1: Gọi là các số thực dương thỏa mãn điều kiện và , với ,

là hai số nguyên dương Tính

Thử lại ta thấy thỏa mãn dữ kiện bài toán Suy ra

Câu 2: Cho ba số thực dương , , đều khác thỏa mãn và Khi

Đặt

Phương trình trên trở thành

Với

Trong trường hợp này ta có:

Mà nên giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là

Giải bất phương trình theo ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của để hệ có nghiệm là

nguyên âm để phương trình  1 có nghiệm thực trong đoạn 2 ;2

11

t t

3

 

  là   3; 2; 1.

Câu 6: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình

có ba nghiệm thực phân biệt Tìm số phần tử của

Lời giải: Chọn A

Ta có:

.Phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: có một nghiệm và nghiệm còn lại khác và

cầu)

Trường hợp 2: có một nghiệm và nghiệm còn lại khác và

Vậy có giá trị thỏa yêu cầu đề bài

Câu 7: Cho phương trình Biết phương trình có một

nghiệm là và một nghiệm còn lại có dạng (với , là các số nguyên tố và ) Khi đógiá trị của bằng:

Như vậy phương trình đã cho có các nghiệm là ,

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có hai nghiệm phânbiệt lớn hơn

Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán

, là các số nguyên dương, trong đó , , là các số nguyên tố và Tính tổng

Suy ra

Câu 11: Cho phương trình Biết phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn

Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là

Vậy thỏa ycbt

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để tập nghiệm của bất phương trình

1 , 87

Vậy có giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 13: Cho hai số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu

Do đó , dấu “=” xảy ra khi

Vậy

Câu 14: Cho , , là các số thực thuộc đoạn thỏa mãn Khi biểu thức

đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng là

Câu 15: Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số để phương trình đã cho có nghiệm ?

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn D

với Với

Xét hàm số , có

đồng biến trên đoạn

Khi đó :

(2)Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm

với hay

Vậy có 9 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên dương ( là tham số) để phương trình

có nghiệm duynhất?

Vậy không có giá trị thỏa yêu cầu.

Câu 17: Xét các số thực , thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi

Câu 19: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn và Gọi , lần lượt là giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tính tổng

191 16

12 + 0

2- 3 4

+

191 16

1 0

12

2+ 3 4

y y'

25 2

Khảo sát hàm ta được ,

Vậy

Câu 22: Cho hai số thực , thỏa mãn , và Xét biểu thức

Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?

Câu 23: Cho cấp số cộng , cấp số nhân thỏa mãn và ; và hàm số

sao cho và Số nguyên dương nhỏ nhất và lớn hơn sao cho

là

A B C D .

Lời giải: Chọn B

Hàm số có bảng biến thiên như sau:

Từ đó suy ra , hơn nữa Ta xét các trường hợp:

 Nếu thì

 Nếu thì điều này là không thể

Do đó chỉ xảy ra trường hợp

Xét hàm số trên nữa khoảng , ta có bảng biến thiên

Ta chọn đáp án A

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt?

YCBT có hai nghiệm phân biệt , lớn hơn

Phương trình (*) có đúng hai nghiệm khi

Vậy có 2 giá trị của tham số

Câu 26: Cho hai số thực thỏa mãn điều kiện

Khi đó biểu thức có bao nhiêu ước sốnguyên?

Khi đó Số 19 có 4 ước số nguyên là

Câu 27: Cho các số thực thỏa mãn Giá trị lớn nhất củabiểu thức thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

nghiệm đúng với mọi

Vậy có 21 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 29: Cho các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2.

Câu 31: Cho bất phương trình Số các giá trị nguyên của tham

số để bất phương trình trên có đúng năm nghiệm nguyên dương phân biệt là:

A B C. D.

Lời giải: Chọn B

Ta có:

Xét hàm số , có

Xét hàm số với Ta có:

Để bất phương trình có đúng 5 nghiệm nguyên dương thì

Kết hợp điều kiện, suy ra

Vậy có 4 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 32: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho tương ứng mỗi luôn tồn tại không quá 63 số nguyên

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn C

Điều kiện xác định của là :

Do nguyên nên Cũng vì nguyên nên ta chỉ cần xét trên nửa khoảng

Ta có :

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Yêu cầu bài toán trở thành:

Mà nguyên nên

Vậy có 602 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 33: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Gọi , lần lượt là giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Biết với là các số nguyên dương Giá

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn D

Biến đổi giả thiết ta có:

Thế vào giả thiết ta được: Đặt , khi đó ta được:

Vậy khi và chỉ khi

Câu 35: Cho lần lượt là các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức sau đây:

Khi đó biểu thức có giá trị nhỏ nhất là:

Nếu suy ra (loại)

Do đó

Vậy khi và chỉ khi (do ) suy ra

Câu 37: Cho các số thực thỏa mãn Tổng giá trịlớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bằng:

Mặt phẳng có điểm chung với mặt cầu nên ta có:

Câu 38: Cho các số thực dương khác 1 thỏa mãn Gọi lần lượt làgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn C

Đặt

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

Yêu cầu bài toán phương trình (**) có 2 nghiệm dương phân biệt

Ta có:

luôn đồng biến trên , luôn nghịch biến trên

phương trình có nghiệm duy nhất (Bấm máy)

Bảng biến thiên:

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì:

Vậy có 1 giá trị nguyên của thỏa mãn.

Câu 40: Cho là các số thực thỏa mãn Đặt

và là tập hợp những giá trị nguyên của Tổng tất cả các phần tử của tập hợp là:

Do nên Do đó, yêu cầu bài toán trở thành phương trình có nghiệm trên khoảng

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta được Từ đó có 7 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu

Câu 42: Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Như vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng với

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình

có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng ?

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn B

Đặt , ta có bảng biến thiên của theo :

Từ bảng biến thiên, ta thấy, ứng với mỗi giá trị thì có 1 giá trị của thỏa , ứngvới mỗi giá trị có hai giá trị của thỏa

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn

Dựa vào bảng biến thiên , phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn khi

Vậy thì phương trình đã cho có bốn nghiệmphân biệt thuộc

Câu 44: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để với mọi cặp hai số

có tổng lớn hơn 1 đều đồng thời thỏa mãn và

?

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn D

Ta có:

, với

Ta có: nên hàm số đồng biến trên

Vậy , suy ra số giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng là 17

Câu 45: Biết phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn

Số nghiệm nguyên thuộc khoảng của bất phương trình

Suy ra hàm số đồng biến trên

Kết hợp điều kiện, suy ra

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên thuộc khoảng

Câu 46: Biết là các số thực sao cho , đồng thời là các số thực dương thỏa mãn

và Giá trị của thuộc khoảng:

Từ bảng biến thiên, ta thấy có nghiệm thực dương khi

Mặt khác, Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn

Câu 48: Biết rằng bất phương trình

Câu 49: Cho hai số thực dương và thỏa mãn Biết giá trị lớn nhất của

biểu thức là với là các số nguyên dương và là phân số tối giản

Nên hàm số đồng biến trên

Câu 50: Cho các số thực thỏa mãn Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

là với là các số nguyên dương và phân số tối giản Tính giá trị biểu thức

Câu 52: Cho là các số thực dương khác 1 thỏa mãn Gọi lầnlượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Giá trị của biểu thức bằng :

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn C

Biến đổi đẳng thức đề bài ta được:

.Đặt , ta có phương trình :

Ta có bất đẳng thức quen thuộc , dấu bằng xảy ra khi , áp dụng bất đẳng thức này ta

Nên bất phương trình , do đó để bất phương trình có không quá 255 giá trị thì

Vì nên có 158 giá trị thỏa mãn

Câu 54: Cho hai số thực thỏa mãn Giá trị lớn nhất của biểu thức

có dạng , trong đó nguyên và là số nguyên tố Hỏi bằng:

Câu 55: Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Tổng các giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt bằng:

* Với có 2 nghiệm phân biệt (thỏa mãn)

+) Nếu : khi đó có hai nghiệm phân biệt (thỏa mãn)

Vậy Tổng các giá trị của là 50

Câu 56: Cho bất phương trình: Cóbao nhiêu số nguyên để bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi giá trị của thuộc khoảng

Ta có:

Do đó: hàm số đồng biến trên

Suy ra bất phương trình (*) thỏa mãn khi và chỉ khi

Ta có: có 9 giá trị nguyên thỏa mãn

Câu 57: Cho phương trình với là tham số thực Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị của phương trình có 2 nghiệm phân biệt , thỏa mãn Tích các phần tử của bằng:

Câu 58: Gọi là tập hợp các giá trị nguyên dương của để phương trình

có nghiệm thực Khi đó tổng của hai phần tửlớn nhất và nhỏ nhất của bằng:

Dễ thấy và nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Suy ra nên tổng của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của bằng 28

Câu 59: Cho là các số thực dương thỏa mãn Gọi lần lượt

là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Tính

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức

có dạng với và là các số hữu tỉ Giá trị của biểu thức thuộc khoảng nào sauđây?

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn B

Với , ta có:

, với

TH1: , phương trình đã cho thỏa mãn

TH2: , phương trình đã cho tương đương

Từ bảng biến thiên, suy ra

Câu 61: Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện .Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng?

Câu 62: Có bao nhiêu giá trị nguyên lớn hơn 2 của sao cho với mỗi tồn tại đúng 3 số nguyên dương thỏa

Câu 63: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện và bất phương trình có

tập nghiệm là Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất tại Khi đó, tổng

Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel cho các số thực và các số thực dương , ta

có , với dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi ; và bất đẳng thức Cauchy cho 4 số dương, ta có:

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

Thay vào biểu thức , ta được:

Câu 67: Cho 2 số thực thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện , và

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn D

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

.Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

Từ đó suy ra

Câu 68: Cho 2 số thực dương thỏa mãn phương trình sau:

Biết rằng, giá trị của được viết dưới dạng với là các số nguyên dương và là phân số tối giản.Hỏi có giá trị là bao nhiêu?

Mặt khác theo một bất đẳng thức quen thuộc ta có:

Vậy Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

Câu 69: Cho hai số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với và là , khi đó thuộc khoảng nào sau đây?

A. B. C. D.

Do đó có nhiều nhất một nghiệm trên

Mà là nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm duy nhất là

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:

Câu 70: Cho 2 số thực không âm thỏa mãn đồng thời

Biết rằng được viết dưới dạng với là các sốnguyên dương Hỏi có tất cả bao nhiêu bộ số như vậy?

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn D

Bất đẳng thức Jensen và tính chất của hàm lồi

Cho hàm số liên tục trên đoạn và điểm tùy ý trên Ta có:

Ta có bất đẳng thức (*) – Bất đẳng thức Jensen

Thật vậy ta có giả thiết và viết lại bất đẳng thức dưới dạng:

Vế trái của bất đẳng thức này có dạng

Câu 71: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Gọi là tập hợp các giá trị của tham số để bất phương

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn B

Nhận xét phương trình có một nghiệm đơn nên biểu thức sẽ đổi dấu khi đi qua điểm

Do đó, để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì phương trình:

thỏa yêu cầu bài toán.

Thử lại với , ta có:

Vậy Số tập con của là 2

Câu 72: Cho biểu thức Với , thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và hoặc Hãy tính

Câu 73: Cho 2 số thực dương thỏa mãn Khi đó giá trị nhỏ nhất

của biểu thức được viết dưới dạng với là các số nguyên dương và tối giản.Hỏi giá trị của bằng bao nhiêu?

Biến đổi tiếp biểu thức

Chú ý tới 2 bất đẳng thức quen thuộc:

Dấu đẳng xảy ra khi và các hoán vị.

Ta có bảng biến thiên hàm số như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt trên

Vậy có 20 giá trị thỏa mãn

Câu 77: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình cónghiệm?

A B C D .

Lời giải: Chọn B

Đặt và ulnmsinx ta được hệ phương trình:

Từ hệ phương trình ta suy ra:

Suy ra max g a 1;1    g 1 e 1,min 1;1g a   g 0 1



Hệ phương trình ban đầu có nghiệm phương trình có nghiệm

Vì nguyên nên , suy ra có số nguyên

Câu 78: Cho lần lượt là các số thực dương thỏa mãn hệ phương trình sau:

Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của nằm trong khoảng nào?

Thay nghiệm theo vào (**)

Thế các nghiệm theo vào biểu thức cần tính, suy ra:

Câu 79: Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình

Từ bảng biến thiên, bất phương trình (*) có nghiệm

Câu 80: Biết rằng có cặp số dương ( với bất kỳ) để tạo thành 1 cấp số nhân

Vậy giá trị gần nhất của biểu thức nằm trong khoảng nào?

Gọi , ta nhận thấy nằm trên đường tròn có tâm và bán kính

Dễ dàng xác định được như hình vẽ

Ta cũng để ý rằng từ :

Suy ra

(*)Đặt , điều kiện

Để ý khi luôn cho ta duy nhất một bộ số và với mỗi cho ta hai bộ số

Ta có bảng biến thiên của trên

Với , phương trình (**) có đúng một nghiệm cho hai bộ số

Với , phương trình (**) có hai nghiệm cho hai bộ số

+ Với mà là số chính phương nên không tồn tại thỏa mãn.

Vậy có 24 cặp giá trị nguyên thỏa mãn đề bài

Câu 83: Cho hai hàm số: và Biết rằng tồn tạicác số thực dương sao cho hai đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trùng với nhau Tính giá trị của biểu thức

Vậy khi đẳng thức xảy ra tức là , do đó

Câu 84: Gọi là tập hợp các số nguyên thỏa mãn Cóbao nhiêu giá trị nguyên của để tập hợp có nhiều nhất 32 phần tử ?

Vậy có 19 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 85: Gọi m0 là giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình

có nghiệm Chọn đáp án đúng trong các khẳngđịnh sau: