BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– BÙI ANH HIẾU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HÓA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— BÙI ANH HIẾU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HÓA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Cúc THANH HÓA, 2021 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 2183/QĐĐHHĐ ngày 15 tháng 11 năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, họ tên Cơ quan công tác Chức danh Hội đồng PGS TS Nguyễn Tiến Quang Trường ĐHSP Hà Nội Chủ tịch HĐ TS Trần Nam Trung Viện Toán học UV, Phản biện TS Lê Xuân Dũng Trường ĐH Hồng Đức UV, Phản biện TS Hồng Đình Hải Trường ĐH Hồng Đức Ủy viên TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức UV, Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 05 tháng 12 năm 2021 (ký, ghi rõ họ tên) TS Phạm Thị Cúc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Cúc Các kết trình bày luận văn trung thực, nội dung luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Bùi Anh Hiếu i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Phạm Thị Cúc Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc lịng u q tới Cơ Tơi xin cảm ơn tới tất quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc biệt thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số lý thuyết số K12 - Trường Đại học Hồng Đức Mặc dù lớp học viên cho trải nghiệm, tự học, tập dượt nghiên cứu khoa học mà phương pháp luận, giới quan khoa học niềm lạc quan, lĩnh nghiên cứu trình học tập rèn luyện Tôi xin gửi lời cảm ơn tới phòng QLĐT Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức, giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến góp ý nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 12 năm 2021 Bùi Anh Hiếu ii iii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỞ ĐẦU 1 CHÉO HÓA MA TRẬN 1.1 Ma trận phép toán ma trận 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.1.3 Ma trận nghịch đảo 1.1.4 Hạng ma trận Vectơ riêng, giá trị riêng 1.2.1 Ánh xạ tuyến tính 1.2.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.2.3 Ma trận đồng dạng 1.2.4 Vectơ riêng, giá trị riêng Chéo hóa ma trận 12 1.3.1 Ma trận chéo hóa 12 1.3.2 Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa 12 1.3.3 Thực hành chéo hóa ma trận 13 Chéo hóa trực giao 15 1.4.1 Không gian Euclide 15 1.4.2 Cơ sở trực chuẩn 16 1.4.3 Ma trận trực giao 16 1.2 1.3 1.4 1.4.4 Phép biến đổi trực giao 18 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HĨA MA TRẬN 19 2.1 Tìm dãy truy hồi tuyến tính 19 2.1.1 Tính lũy thừa ma trận vng 19 2.1.2 Tìm dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp với hệ 2.1.3 2.2 số không đổi 23 Tìm dãy truy hồi tuyến tính cấp p với hệ số không đổi 28 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số 32 2.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số 2.2.2 2.3 32 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số 33 Phân loại đường mặt bậc hai 39 2.3.1 Phân loại đường bậc hai mặt phẳng 39 2.3.2 Phân loại mặt bậc hai không gian ba chiều 42 Tài liệu tham khảo 48 iv MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Ma trận không ứng dụng rộng rãi tốn học mà cịn nhiều lĩnh vực khoa học khác vật lý, kinh tế, Trong Đại số tuyến tính, ma trận ánh xạ tuyến tính có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, ma trận công cụ để nghiên cứu ánh xạ tuyến tính, ngược lại Các giá trị riêng vectơ riêng ánh xạ tuyến tính xác định thông qua ma trận Chúng công cụ để đưa ma trận dạng đơn giản (nếu được), dạng chéo Khi cho ma trận tự đồng cấu sở đó, ta muốn tìm sở mà ma trận cho có dạng đơn giản - dạng chéo, ta nói ma trận cho chéo hóa Nếu ma trận chéo hóa việc nghiên cứu tính chất (bảo toàn qua quan hệ đồng dạng) ma trận dẫn đến nghiên cứu tính chất ma trận chéo, vấn đề trở nên đơn giản nhiều Việc đưa ma trận dạng chéo gọi chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn: tính lũy thừa ma trận vng, xác định lớp dãy truy hồi tuyến tính, giải lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính, phân loại đường mặt bậc hai, Vì vậy, để tìm hiểu sâu phép chéo hóa ma trận số ứng dụng nó, lựa chọn đề tài “Một số ứng dụng phép chéo hóa ma trận.” Mục đích đề tài Tìm hiểu số vấn đề lý thuyết chung ma trận: vectơ riêng, giá trị riêng, phép chéo hóa ma trận, Trình bày số ứng dụng phép chéo hóa ma trận, là: tính lũy thừa ma trận vng, tìm dãy truy hồi tuyến tính, giải hệ phương trình vi phân cấp 1, phân loại đường mặt bậc hai Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết: đọc, nghiên cứu, phân tích tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng kỹ thuật tính tốn, chứng minh đặc thù Đại số tuyến tính để giải tốn có đề tài Kết đạt Trình bày tổng quan số vấn đề chung liên quan đến phép chéo hóa ma trận Trình bày số ứng dụng phép chéo hóa ma trận Với ứng dụng, đưa lớp tốn liên quan giải cách sử dụng phép chéo hóa ma trận phương pháp giải cho loại đó, kèm theo ví dụ minh họa Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Chéo hóa ma trận Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề ma trận, ma trận ánh xạ tuyến tính, vectơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận, điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa được, khơng gian Euclide, sở trực chuẩn, phép biến đổi trực giao, ma trận trực giao, Chương 2: Ứng dụng phép chéo hóa ma trận Chương trình bày số ứng dụng phép chéo hóa ma trận: Tính lũy thừa ma trận vng, tìm dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp với hệ số khơng đổi, tìm dãy truy hồi tuyến tính cấp p với hệ số khơng đổi, giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số, phân loại đường bậc hai mặt phẳng mặt bậc hai không gian ba chiều Chương CHÉO HĨA MA TRẬN Chương trình bày số vấn đề sở chuẩn bị cho nội dung Chương Đó là: ma trận phép toán ma trận, vectơ riêng giá trị riêng, vấn đề chéo hóa ma trận chéo hóa trực giao Nội dung chương chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [4] [5] 1.1 1.1.1 Ma trận phép toán ma trận Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên dương m,n ta gọi ma trận m hàng (dòng) n cột với hệ số trường K (K trường số ) bảng gồm m × n phần tử j K, với ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n ký hiệu    a11 a12 a1n    a   21 a22 a2n  A=        am1 am2 amn ta viết A = (ai j )m×n Ta gọi A ma trận cấp (cỡ) (m, n), phần tử j phần tử dòng thứ i cột thứ j Nếu m = n ma trận A gọi ma trận vuông cấp n Ma trận không, ký hiệu 0, ma trận có tất phần tử Ma trận vuông cấp n mà tất phần tử ngồi đường gọi ma trận đường chéo Đặc biệt ma trận đường chéo gọi ma trận đơn vị − k −1 − k =