New think - New life ∗∗∗∗AMS ∗∗∗∗ TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI HÀ NỘI - 2023 Mục lục ĐỀ THI VÀO HỆ PHỔ THÔNG Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1988 - 1989 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1989 - 1990 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1990 - 1991 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1991 - 1992 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1992 - 1993 11 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1993 - 1994 12 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1994 - 1995 13 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1995 - 1996 14 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1995 - 1996 15 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1996 - 1997 16 11 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1996 - 1997 17 12 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1997 - 1998 18 13 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1997 - 1998 19 14 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1998 - 1999 20 15 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1999 - 2000 21 16 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2000 - 2001 22 17 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2002 - 2003 23 18 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2003 - 2004 24 19 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2004 - 2005 25 20 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2005 - 2006 26 21 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2006 - 2007 27 22 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2007 - 2008 28 23 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2008 - 2009 29 24 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2009 - 2010 30 25 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2010 - 2011 31 26 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2011 - 2012 32 27 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2012 - 2013 33 28 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2013 - 2014 34 29 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2014 - 2015 35 30 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2015 - 2016 36 31 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2016 - 2017 37 32 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2017 - 2018 38 33 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2018 - 2019 39 34 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2019 - 2020 40 35 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2020 - 2021 41 36 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2021 - 2022 42 37 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2022 - 2023 43 38 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2023 - 2024 44 ĐỀ THI VÀO HỆ CHUYÊN 45 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1997 - 1998 46 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1997 - 1998 47 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1998 - 1999 48 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1998 - 1999 49 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1999 - 2000 50 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1999 - 2000 51 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2000 - 2001 52 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2000 - 2001 53 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2001 - 2002 54 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2001 - 2002 55 11 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2002 - 2003 56 12 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2002 - 2003 57 13 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2003 - 2004 58 14 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2003 - 2004 59 15 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2004 - 2005 60 16 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2004 - 2005 61 17 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2005 - 2006 62 18 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2005 - 2006 63 19 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2006 - 2007 64 20 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2007 - 2008 65 21 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2008 - 2009 66 22 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2009 - 2010 67 23 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2010 - 2011 68 24 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2011 - 2012 69 25 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2012 - 2013 70 26 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2013 - 2014 71 27 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2014 - 2015 72 28 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2015 - 2016 73 29 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2015 - 2016 74 30 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2016 - 2017 75 31 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2016 - 2017 76 32 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2017 - 2018 77 33 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2017 - 2018 78 34 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2018 - 2019 79 35 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2018 - 2019 80 36 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2019 - 2020 81 37 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2019 - 2020 82 New think - New life 38 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2020 - 2021 83 39 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2020 - 2021 84 40 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2020 - 2021 85 41 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2021 - 2022 86 42 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2021 - 2022 87 43 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2022 - 2023 88 44 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2022 - 2023 89 45 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2023 - 2024 90 46 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2023 - 2024 91 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ Mở đầu Kính chào thầy giáo, cô giáo bạn học sinh Trên tay thầy giáo, cô giáo bạn học sinh tài liệu môn Toán soạn thảo theo chuẩn LATEX Tài liệu soạn thảo với hỗ trợ nhóm Tốn LATEX Đặc biệt với cấu trúc gói đề thi ex_test tác giả Trần Anh Tuấn, Đại học Thương Mại Quá trình biên tập dựa đề thi thầy giáo, cô giáo chia sẻ mạng không tránh sơ xuất tài liệu gốc không rõ Rất mong thầy giáo, giáo thơng cảm Để tài liệu hồn thiện đầy đủ thầy giáo, giáo có đề tài liệu cịn thiếu sai sót mong thầy giáo, cô giáo gửi Emai: quochoansp@gmail.com Trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2023 Tác giả Bùi Quốc Hoàn CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐN Câu (2,0 điểm) ˆ Tính giá trị biểu thức ˆ Rút gọn biểu thức ˆ Các toán liên quan Câu (2,0 điểm) ˆ Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình ˆ Khối hình trụ, hình nón hình cầu Câu (2,0 điểm) ˆ Hệ phương trình bậc hai ẩn ˆ Phương trình bậc hai tốn liên quan đến biểu thức nghiệm ˆ Đồ thị hàm số bậc hàm số bậc hai toán liên quan ˆ Các toán liên quan Câu (3,5 điểm) ˆ Chứng minh tứ giác nội tiếp điểm thuộc đường tròn ˆ Chứng minh tam giác đồng dạng; hệ thức tam giác ˆ Câu hỏi vận dụng tích hợp kiến thức suy luận ˆ Câu hỏi vận dụng bậc cao tích hợp kiến thức suy luận Câu (0,5 điểm) ˆ Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ˆ Phương trình vơ tỉ ˆ Hệ phương trình bậc cao Chương ĐỀ THI VÀO HỆ PHỔ THÔNG New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 1988 - 1989 Câu Cho biểu thức A = 2+x 2−x 4x2 − − 2−x 2+x x −4 ! : x−3 2x − x2 Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị A |x| = Câu Một xe tải từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h Sau 30 phút, xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h Hai xe gặp chúng nửa quãng đường AB Tính quãng đường AB Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây P C P D cắt AB E F Các dây AD P C kéo dài cắt I; dây BC P D kéo dài cắt K [ = CKD \ Chứng minh CID Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn Chứng minh IK ∥ AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AF D tiếp xúc với P A A
2 Câu Tìm giá trị x để biểu thức M = 2x − − New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 12 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2002 - 2003 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: A = √ x − 2001 + x+2 √ x − 2002 x Câu (2,0 điểm) Cho đa thức P0 (x) = x3 + 22x2 + 6x + 15 Với n ∈ Z∗ ta có Pn (x) = Pn−1 (x − n) Tính hệ số x P21 (x) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, trực tâm H Lấy điểm K đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm di chuyển cung nhỏ AC đường tròn (O) Chứng minh trung điểm I KM chạy cung tròn cố định Gọi E F hình chiếu vng góc M đường thẳng AB AC Chứng minh đường thẳng EF qua trung điểm đoạn thẳng HM Câu (1,5 điểm) Trong tập N∗ xét số P = · · · · · (n − 1) · n S = + + + · · · + (n − 1) + n Hãy tìm số n (n ≥ 3) cho P chia hết cho S Câu (1,5 điểm) Trên đường tròn cho sẵn 2000 điểm phân biệt Người ta gán số vào điểm, từ điểm theo chiều kim đồng hồ ta đếm tiếp điểm gán số vào điểm thứ 2, lại đếm tiếp điểm gán số 3, · · · đến điểm gán 2003 Trong 2000 điểm cho, có điểm gán số nhiều lần điểm khơng gán số, tìm số tự nhiên nhỏ gán vị trí với số 2003 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 57 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 13 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2003 - 2004 Câu (3,0 điểm) √ √ x2 − x 2x + x (x − 1) √ Cho biểu thức P = − √ + √ x+ x+1 x x−1 Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P √ x Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị số nguyên P Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) : y = −x2 đường thẳng (d) qua điểm I (0; −1), có hệ số góc k Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh với giá trị k, (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt A B Gọi hoành độ điểm A B x1 x2 , chứng minh x1 − x2 ≥ Chứng minh tam giác OAB vuông Câu (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 2a, có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường trịn (O) đường kính AB nửa đường trịn (O′ ) đường kính AO Trên (O′ ) lấy điểm M (M khác A O), tia OM cắt (O) C, gọi D giao điểm thứ hai CA với (O′ ) Chứng minh tam giác ADM cân Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E, xác định vị trí tương đối đường thẳng EA (O) (O′ ) Đường thẳng AM cắt OD H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M N thẳng hàng Tại vị trí M cho M E song song với AB, tính độ dài đoạn thẳng OM theo a ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 58 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 14 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2003 - 2004 Câu (1,5 điểm) Cho hai số tự nhiên a b, chứng minh a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho Câu (2,0 điểm)  2  2 1 Cho phương trình: + =m x x+1 Giải phương trình m = 15 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) Cho x, y số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2003 Tìm giá trị lớn biểu thức:

P = x x2 + y + y y + x Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R) điểm A cung lớn BC (A khác B, C điểm cung) Gọi H hình chiếu A lên BC, E F hình chiếu B C đường kính AA′ Chứng minh HE ⊥ AC Chứng minh hai tam giác HEF tam giác ABC đồng dạng Khi A di chuyển, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố định Câu (1,5 điểm) Lấy điểm miền tứ giác để với đỉnh ta điểm, khơng có điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác 1, chứng minh tồn tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh cho có diện tích khơng vượt q Tổng qt hóa tốn cho n đa giác với n điểm nằm miền đa giác 10 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 59 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 15 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2004 - 2005 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P = √   √ √ 2 x−1 x+1 x √ √ − −√ · x+1 x−1 x Rút gọn P P Tìm x để √ > x Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x2 − (m − 2) x − m2 + 3m − = (m tham số) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m Tìm m để tỉ số hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối Chứng minh tam giác OAB vuông Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình 2kx + (k − 1) y = (k tham số) √ Với giá trị k đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x Khi tính góc tạo đường(d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn Câu (4,0 điểm) Cho góc vng xOy hai điểm A, B cạnh Ox (A nằm O B), điểm M cạnh Oy Đường trịn (T ) đường kính AB cắt tia M A, M B điểm thứ hai C, E Tia OE cắt đường tròn (T ) điểm thứ hai F Chứng minh bốn điểm O, A, E, M nằm đường tròn, xác định tâm đường trịn Tứ giác OCF M hình gì? Tại sao? Chứng minh hệ thức OE · OF + BE · BM = OB Xác định vị trí điểm M để tứ giác OCF M hình bình hành, tìm mối quan hệ OA AB để tứ giác hình thoi ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 60 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 16 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2004 - 2005 Câu (2,0 điểm) Chứng minh số tự nhiên   1 1 P = · · · · · 2003 · 2004 · + + + · · · + + 2003 2004 chia hết cho 2005 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x + m − 3x2
2 =m Giải phương trình m = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình sau: p 3 25x (2x2 + 9) ≥ 4x + x Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ hai đường cao BE, CF \ = 60◦ , tính độ dài EF theo BC = a Biết góc BAC Trên nửa đường trịn đường kính BC khơng chứa E, F lấy điểm M Gọi H, I, K hình chiếu vng góc M BC, CE, EB Tìm giá trị nhỏ tổng S= CE EB BC + + MH MI MK Câu (1,0 điểm) Cho đa giác có chu vi 1, chứng minh có hình trịn bán kính r = ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 61 chứa tồn đa giác New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 17 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2005 - 2006 Câu (2,0 điểm) √ √ x x−1 x x+1 x+1 √ − √ + √ Cho biểu thức P = x− x x+ x x Rút gọn biểu thức P Tìm x để P = Câu (2,0 điểm) Cho bất phương trình (m − 1) x + > 2m + x (m tham số) √ Giải bất phương trình với m = − 2 Tìm m để bất phương trình nhận giá trị x > nghiệm Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y − a2 = parabol (P ) : y = ax2 (a tham số dương) Tìm a để (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt A, B Chứng minh A, B nằm bên phải trục tung Gọi u, v theo thứ tự hồnh độ A, B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = + u + v uv Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn tâm O có dây cung AB cố định điểm I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đường thẳng M I H cắt tia BM C Chứng minh tam giác AIB tam giác AM C tam giác cân Khi điểm M di động cung lớn AB, chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AM C đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) \ = α AM \ Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC trung tuyến AM , góc ACB B = β Chứng minh rằng: (sin α + cos α) = + sin β ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 62 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 18 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2005 - 2006 Câu (2,0 điểm) Cho P = (a + b) (b + c) (c + a) − abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :   (x + y)4 + 13 = 6x2 y + m
 xy x2 + y = m Giải phương trình với m = −10 Chứng minh không tồn giá trị m để hệ có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức + + = Xét hệ thức P = x + y + z x y z Chứng minh P ≥ x + 2y + 3z − Tìm giá trị nhỏ cuả P Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm D, E, F theo thứ tự cạnh BC, CA, AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm A P ) cho DA · DP = DB · DC Chứng minh tứ giác ABP C nội tiếp Chứng minh hai tam giác DEF tam giác P CB đồng dạng với S ≤ Gọi S S1 diện tích tam giác ABC tam giác DEF Chứng minh S1 Câu (1,0 điểm) Cho hình vng ABCD 2005 đường thẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ số diện tích 0,5 Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường đồng quy ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 63  EF 2AD 2 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN 19 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm học 2006 - 2007 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x:
x2 − x6 − − 2a + + 2a − = x3 x (∗) Giải phương trình (∗) a = Tìm a để phương trình có nhiều hai nghiệm dương phân biệt Câu (2,0 điểm) Cho dãy số tự nhiên 2, 6, 30, 210, · · · xác định sau: Số hàng thứ k tích k số nguyên tố (k = 1, 2, 3, · · · ) Biết tồn hai số hạng dãy số có hiệu 30000 Tìm hai số hạng Câu (2,0 điểm) Tìm số ngun x, y, z thỏa mãn :  √   2xy − z ≥   p √   −x2 y + 8xy + − x2 − ≥ x + x Câu (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Gọi C điểm tùy ý nửa đường trịn, D hình chiếu vng góc \ cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai E, tia phân giác góc C AB Tia phân giác góc ACD \ H ABC Chứng minh AE ∥ BH \ cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai F , cắt CE I Tính diện tích Tia phân giác giác CAB tam gaics F ID trường hợp tam giác Trên đoạn BH lấy điểm K cho HK = HD Gọi J giao điểm AF BH Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm)  Chứng minh 2007 số khác tùy ý lấy từ tập A = 1, 2, 3, · · · , 20062007 có hai số x, y √ √ thỏa mãn: < 2007 x − 2007 y