KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Khái niệm và tính chất của vectơ
1.1.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp V 6= ∅ cùng với phép cộng vectơ V × V → V : (x, y) 7→ x + y và phép nhân vô hướng K × V → V : (α, x) 7→ αx được gọi là không gian vectơ trên trường K nếu với mọi x, y, z ∈ V và α , β ∈ K các điều kiện sau đây thỏa mãn
Tồn tại vectơ − → 0, gọi là vectơ không, có tính chất 0 + x = x + 0 = x.
Tồn tại vectơ x, gọi là vectơ đối của x , có tính chất x + (–x) = (–x) + x = 0.
Ta gọi phần tử của V là vectơ, phần tử của K là phần tử vô hướng. Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian vectơ V trên trường số thực K=C, cho hệ vectơ S={v 1 ;v 2 ; ;v n }
Hệ S gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu từ hệ thức c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c n v n = 0 (c i ∈R ) ta suy ra đượcc 1 = c 2 = = c n = 0.
Hệ S gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại (c 1 ;c 2 ; ;c n ) 6= (0; 0; ; 0) sao cho: c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c n v n = 0 (c i ∈R )
Một hệ con của một hệ độc lập tuyến tính cũng là một hệ độc lập tuyến tính Ngược lại, nếu một tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính, thì tập hợp đó sẽ phụ thuộc tuyến tính Hơn nữa, một hệ vectơ chứa vectơ không sẽ luôn là phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1.1.1 Cho không gian vectơ V = R 2 , xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ sau. a) {x 1 = (1, 2) , x 2 = (2, 4)} b) {x 1 = (1, 1) , x 2 = (1, –1)}
Vậy hệ vectơ {x 1 , x 2 } là phụ thuộc tuyến tính trong R 2 b) Xét đẳng thức λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = 0
Trong không gian vectơ V trên trường số thực K = C, hệ vectơ {x₁, x₂} được xác định là độc lập tuyến tính trong R² với điều kiện λ₁ + λ₂ = 0 và λ₁ - λ₂ = 0, dẫn đến λ₁ = 0 và λ₂ = 0 Định nghĩa 1.1.3 nêu rõ rằng một hệ S = {v₁, v₂, , vₙ} là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ v ∈ V có thể được biểu diễn dưới dạng v = c₁v₁ + c₂v₂ + + cₙvₙ với các số thực c₁, c₂, , cₙ Định nghĩa 1.1.4 khẳng định rằng S được gọi là một cơ sở của V nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến tính, trong đó số vectơ trong S tương ứng với số chiều của không gian vectơ V, ký hiệu là dim(V).
Ví dụ 1.1.2 Trong không gian R 2 , cho hệ vectơ E = {e 1 = (1, 0) ,e 2 = (0, 1) } Chứng minh hệ vectơ E là cơ sở của không gian vectơ R 2
Vậy E là hệ sinh của không gian vectơ R 2
⇔ λ 1 = λ 2 = 0. nên hệ E độc lập tuyến tính Vậy hệ E là một cơ sở của không gian vectơ R 2 và số chiều của R 2 là 2.
Trong chương trình toán cao cấp, khái niệm không gian vectơ có mối liên hệ rõ ràng với chương trình THPT Cụ thể, trong không gian R², phụ thuộc tuyến tính được hiểu là sự cùng phương của hai vectơ.
Khái niệm độc lập tuyến tính đề cập đến hai vectơ −→ a và −→ b không cùng phương Trong không gian R², việc biểu diễn tuyến tính cho phép phân tích một vectơ thông qua hai vectơ không cùng phương Đối với hai vectơ −→ a và −→ b, mọi vectơ −→ x đều có thể được phân tích một cách duy nhất theo chúng, với cặp số h và k tồn tại sao cho −→ x = h −→ a + k −→ b Trong R², cơ sở chính tắc bao gồm hai vectơ đơn vị của hai trục tọa độ: −→ i = (1, 0) và −→ j = (0, 1) Nhờ vào mối liên hệ này, chúng ta có thể tìm hiểu sâu hơn về các khái niệm vectơ trong mặt phẳng.
1.1.2 Khái niệm của vectơ trong mặt phẳng Định nghĩa 1.1.5 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Một vectơ kí hiệu là
CD, hoặc − → a, − → b , Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như − AA − → , −→
Vectơ BB được ký hiệu là vectơ −→ 0 Định nghĩa 1.1.6 nêu rõ rằng, với mỗi vectơ −→ AB (không phải vectơ −→ 0), đường thẳng AB được gọi là giá của vectơ −→ AB Đối với vectơ −→ AA (vectơ −→ 0), mọi đường thẳng đi qua vectơ này đều được xem xét.
A đều gọi là giá của nó.
Hai vectơ được coi là cùng phương nếu chúng song song hoặc trùng nhau Phương của vectơ −→ AB chính là phương của đường thẳng AB Để hai vectơ −→ AB và một vectơ khác cùng phương, chúng cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
CD cùng phương là −→ AB = k − CD − → , k ∈ R Hướng của
−→AB là hướng từ A đến B.
CD cùng hướng khi và chỉ khi hai vectơ −→ AB, − − →
CD cùng phương và hai tia AB,CD cùng hướng Kí hiệu: −→ AB↑↑ − − →
CD. Điều kiện để hai vectơ −→ AB, − − →
CD ngược hướng là −→ AB=k − CD − → (k