BÀI 6: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG  Mục tiêu + Nắm dấu hiệu nhận biết trường hợp đồng dạng tam giác vuông + Nắm kiến thức hai tam giác đồng dạng  Kiến thức + Vận dụng khái niệm định lý đồng dạng tam giác vng hay tam giác nói chung để giải tốn I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng  Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng  Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng  Nếu cạnh huyền cạnh góc vng BC BC    ABC ” ABC  AB AB tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng + Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng + Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC vng A , đường cao AH  H  BC  Chứng minh ABH ” CAH Hướng dẫn giải Trang Có thể sử dụng cách sau: Cách Áp dụng trường hợp đồng dạng hai Cách Xét hai tam giác ABH CAH , ta có: tam giác thường vào tam giác vng AHB  AHC 90 , HAB   (cùng phụ với HCA Cách Sử dụng dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai  ) nên ABH ” CAH (g.g) HAC tam giác vuông đồng dạng Cách Xét hai tam giác vng HAB HCA    ta có HAB (vì phụ với HAC ) HCA  ABH ” CAH Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có đường cao BD CE cắt H Chứng minh: a) BEH ” CDH b) EHD” BHC Hướng dẫn giải a) Xét hai tam giác vng BEH CDH , ta có:     HEB HDC (hai góc đối đỉnh)  90  (gt), EHB DHC Suy BEH ” CDH b) Xét hai tam giác EHD BHC có:   (hai góc đối đỉnh) EHD BHC Mặt khác BEH ” CDH (chứng minh trên) nên HE HD HE HB    HB HC HD HC Do EHD” BHC (c.g.c) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình thang vng ABCD  A D 90  , M  trung điểm AD BMC 90 Cho biết AD 2a Chứng minh Trang a) AB.CD a b) ABM ” MBC Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A , AB  AC , đường phân giác AD Đường vng góc với DC D cắt AC E Chứng minh rằng: ABC ” DEC Hướng dẫn giải Câu a) Xét hai tam giác vng ABM DMC , ta có    BAM MDC 90 , DMC  ABC (cùng phụ với góc AMB ) nên ABM ” DMC Do AB DM   AB.DC  AM DM  AB.DC a AM DC b) Xét hai tam giác vng MBC ABM , có AB MB    BAM BMC 90 , AM MC (vì ABM ” DMC ) nên MBC ” ABM Câu a) Xét hai tam giác vng ABC DEC , có   C chung nên BAC EDC 90 , góc ABC ” DEC Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vng để giải tốn Phương pháp giải Sử dụng trường hợp đồng dạng hai tam Ví dụ: Cho ABC vng A có đường cao AH giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác a) Chứng minh AB BC.BH đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng b) AB 3cm , AC 4cm Tính độ dài đoạn cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ suy điều cần chứng minh thẳng BH Hướng dẫn giải a) Xét hai tam giác vng ABC HBA có Trang ABH chung nên ABC ” HBA Do AB BC   AB HB.BC HB BA (điều phải chứng minh) b) Xét tam giác ABC vuông A , ta có: BC  AB  AC (Py-ta-go)  BC 32  42 25  BC 5  cm  Ta có AB HB.BC  HB  AB 32  HB  1,8  cm  BC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có AC  BD Kẻ CE  AB E , CF  AD F , BH  AC H DK  AC K Chứng minh: a) AB AH  AC AE b) AD AF  AK AC Hướng dẫn giải  a) Xét hai tam giác vng HAB EAC có BAH (góc chung) nên HAB” EAC Do AB AH  (điều phải chứng minh) AC AE b) Xét hai tam giác vuông KAD FAC , ta có:  chung DAK nên KAD” FAC Do AD KA   AD.FA KA AC AC FA Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình thang ABCD  A D 90  , AD 15cm , CD 9cm Gọi M điểm cạnh AD , biết MB 5cm , MC 15cm a) Chứng minh ABM ” DMC b) Gọi N trung điểm BC Tính độ dài MN Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A Hạ AD vng góc với BC Phân giác BE cắt AD F AC E Chứng minh DF AE  FA EC Hướng dẫn giải Câu Trang a) Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vng DMC , ta có MD  MC  DC 12  cm  , nên MA 3cm b) Xét hai tam giác vuông ABM DMC , ta có MB CM   nên ABM ” DMC (điều phải chứng MA CD minh)  M  C  M  90  BMC  c) Ta có M 90 2 BC MB  MC 52  152 250  BC  250  cm  Vậy MN  250 10   cm  (tính chất đường trung tuyến tam giác vng) 2 Câu Xét hai tam giác vuông DBA ABC , ta có:    chung nên DBA” ABC BDA BAC 90 , B Do BD BA  BA BC Ta lại có BF BE tia phân giác góc B , nên suy BD FD BA EA FD EA     , BA FA BC EC FA EC (điều phải chứng minh) Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác Phương pháp giải Sử dụng định lí tỉ số diện tích hai tam giác Ví dụ: Cho hình vng ABCD Gọi E , F đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng trung điểm AB BC , I giao điểm DF CE Tính tỉ số diện tích hai tam giác CIF CBE Hướng dẫn giải Ta dễ dàng chứng minh   CDF BCE (c.g.c), ECB FDC     Mà FDC  DFC 90 nên FCI  IFC 90   CIF 90 Trang Xét hai tam giác vuông IFC BEC , ta có:   (góc chung), suy IFC ” BEC ICF BCE Nếu ta gọi độ dài cạnh hình vng a ta có: a a a  2 CF  , CE  BC  BE  a     2  2 Vậy SCIF  CF     SCBE  CE  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm , AD 6cm , hai đường chéo cắt O Qua D kẻ đường thẳng d vng góc với BD , d cắt BC E a) Chứng minh BDE ” DCE b) Kẻ CH vng góc với DE H Chứng minh DC CH DB c) Gọi K giao điểm OE CH Chứng minh K trung điểm CH tính tỉ số diện tích hai tam giác EHC EDB Hướng dẫn giải a) Xét hai tam giác BDE DCE , ta có:    chung BDE DCE 90 , góc BED Suy BDE ” DCE (g.g) b) Ta có CH / / DB (cùng vng góc với ED )   nên DCH (hai góc so le trong) BDC Xét hai tam giác DCB CHD , có:     (chứng minh trên) DCB CHD 90 , DCH BDC Suy DCB” CHD (g.g)  DC DB  CH DC  DC DB.CH (điều phải chứng minh) c) Vì CH / / BD nên (định lí Ta-lét)  EK HK EK KC   , EO OD EO OB HK KC  OD OB Mà OD OB  HK KC Vậy K trung điểm HC (điều phải chứng minh)  Xét ABD có BAD 90 (tứ giác ABCD hình chữ nhật) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng ABD có BD  AB  AD  62  82  BD 10  cm  Trang Ta lại có DC BD.CH  CH  DC AB 82 64    6,  cm  BD BD 10 10 ( AB DC ABCD hình chữ nhật)    Xét hai tam giác EHC EDB , ta có EHC chung EDC 90 , góc DEB Suy EHC ” EDB (g.g) Vậy S EHC S EDB  64  2 256  CH   10   64   16           625  BD   10   100   25    Bài tập tự luyện dạng Câu Cho tam giác ABC vuông A có M trung điểm BC , N hình chiếu M AC , K hình chiếu N BC Tính diện tích tam giác ABC , biết MN 15cm , NK 12cm Câu Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm AB, AD Gọi E F giao điểm BN với MC AC Cho biết AB 30cm Tính diện tích tam giác BEM AFN Hướng dẫn giải Câu Ta có MN / / AB , M trung điểm BC nên MN đường trung bình ABC Do AB 2 MN 30  cm  Xét hai tam giác vng ABC KMN , có    (hai góc so le trong) BAC  NKM 90 , ABC KMN nên ABC ” KMN  1 Xét MNK có MK  MN  NK 9  cm  1 Do S KMN  NK MK  9.12 54  cm  2 100  AB  Từ  1 ta có: S ABC  54 600  cm   S KMN   KM  Câu  Ta có ABN BCM (c.g.c) ABN BCM Dẫn tới BN  CM ABN vuông A , AB 30cm , AN 15cm nên BN 1125 S 225  BM  BEM ” BAN  BEM     SBAN  BN  1125 1 Mà S BAN  30.15 225  S BEM 225 45  cm  Trang AFN ” CFB  FN AN 1    FN  BF  BN FB BC 2 1 Do S AFN  SABN  225 75  cm  3 Trang