1 Nếu điều kiện tốn cho tổng bình phương số a  b  c  k  b  c b  c   Ta tìm c{ch đ{nh gi{ P a, b, c   P a, ,  2     b  c b  c  k  a k  a    P a, , ,   P a,    2  2   Khi ta cần thứ tự a  a, b, c  a  max a, b, c  Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a  b  c  a 2b  b c  c a Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c  a  1, b  c   b  c  b  c  Ta cần chứng minh: f (a, b, c )  a  b  c  a 2b  b c  c a  a  b  c  a b  c  b c  Xét   b  c  b  c b  c  b2  c   f (a, b, c )  f a, ,  b c     b  c  2      b  c  b  c   b  c   b  c  b  c     b  c    0  b  c    2  b  c  b  c     2 Vì b  c   b  c  b  c    Vậy ta cần chứng minh  b  c b  c   f a, ,   2    a  a    f a, ,   2  b  c   b  c  b  c    b  c  b  c   2  2.2  4 b  c  b  c    0  a2      3   (luôn đúng)  a 1  a  1   4  a  3  a     a  3  a   a 3  a   Vì 3 3 2  a  1   a  2a   0, a  0;1 a  1  4  a  3  a  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Dồn biến hàm số Dưới đ}y tơi trình b|y kỹ thuật dồn biến h|m số dạng đơn giản điều kiện b|i to{n cho tổng c{c số không đổi (a  b  c  k ) dấu đạt biến số Khi thứ tự lại biến số giả sử a  b  c lúc dấu đạt  b  c  c   bc  b  c  bc     t  b  c  t2 nên ta đặt  ,0  s     s  bc Đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng h|m số f(s) v| f(s) nghịch biến  t2  đồng biến  0;   4   + Nếu dấu đạt số ta cần f(s) nghịch biến tức f ( s )  f (0) , lúc đưa chứng minh bất đẳng thức với biến a v| t với a  t  k b|i to{n đưa chứng minh bất đẳng thức biến số t2 tức f(s) l| h|m đồng biến Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực khơng }m có tổng chứng minh a  b b  c c  a   32 Lời giải Không tính tổng qu{t giả sử a  b  c + Nếu dấu đạt số b  c  s  Gọi P l| biểu thức vế tr{i ta có 2 P  b  c   2bc  a  a b  c   2bc  b c       t  Đặt b  c  t , bc  s, s  0;  ta có  4     P  f ( s )  t  2s a  a t  2s   s   t2  Xét h|m số f ( s )  t  s  a  a t  2s   s với s   0;  ta  4     f '( s )  2 a  a t  2s   s   t  2s s  a  Chú ý s  t        a  s  a   f '( s )   4 3  t2  Do f(s) l| h|m nghịch biến đoạn  0;   4   Suy P  f ( s )  f (0)  t a  a t   a t a  t     t 1  t  t  1  t   32  2 2 Chú ý khảo s{t h|m biến g (t )  t 1 t  t  1 t  đoạn  0;  ta có kết   Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  , c  c{c ho{n vị 2   c c Cách 2: Giả sử c  a, b, c   b  c  b   ; a  c  a     2 2   2  c  c a  b  a    b      2 c c Đặt x  a  , y  b   x  y  1; P  x y  x  y  2 Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta P  x y x  y   xy  x  y  xy  x  y     2    xy  x  y       32 Bài tập tương tự Cho a,b,c l| c{c số thực khơng }m có tổng chứng minh a3  b b  c c  a   256 Ví dụ Cho a,b,c số thực dương có tổng chứng minh bc ca ab 21    abc  a b c 4 Lời giải Gọi P l| biểu thức vế tr{i v| giả sử a  max a, b, c  ta có P  b  c  bc s a t  s    abc    a   as a a s  bc  s a t  s  Xét h|m số f ( s )    as nửa khoảng a s  t2  0;  ta có   t2 2 s 9a    a t 16 9a    4a t at f '( s )    a   a s 4as 4as 2 2 2 9a    64 a 9a  4 t  64a  46a  t  t  t 0 2 64 as 64 as 64 as  t2  Vậy f(s) l| h|m nghịch biến 0;  suy   2 2 2 t  t 9a 3  a  9at 3  a  P  f ( s )  f     2a    2a  16 4a 16   4a Chú ý 3  a  4a  2a  9a 3  a  16 2 a 1 a  2 21 21    16a 4 Bất đẳng thức chứng minh  1 Đẳng thức xảy v| a; b; c   1;1;1;2; ;  c{c ho{n vị  2  Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh a  b  c   1  81     20  a b c  20 Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  max a, b, c  Đặt t  b  c ; s  bc , s  t Gọi P l| biểu thức vế tr{i ta có P  a  b  c  2bc   b  c  2bc     20  a bc  1 t  s   a  t  s     20  a s  Xét h|m số f ( s )  a  t  s  f '( s )  t  2s  t  s  20 s t  s   t  s     ta có 20  a s  20 s  t  s  20 s t  s 0 t 20 s  t  s   20 s  7.4 s  s 5s  7  0, s   Vì f(s) l| h|m nghịch biến t   2  P  f ( s )  f    a  2t       20  a t   2  81   t  2t     20   t t  20 Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực khơng }m có tổng chứng minh a3  b3  c a3b3  b3c  c 3a3   36 ab  bc  ca  Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c Viết lại bất đẳng thức cho dạng 3 P  a  b  c   3bc b  c  a b  c   3bc b  c   b 3c   36a b  c  36bc       t  Đặt b  c  t , bc  s, s  0;  ta có  4     P  a  t  3ts a 3t  3a 3ts  s  36at  36s  t2  Xét h|m số f ( s )  a  t  3ts a 3t  3a 3ts  s  36at  36s với s   0;  ta có  4   f '( s )  3t a 3t  3a 3ts  s   a  t  3ts 3s  3a 3t  36  Vì s  a t  với t  2, a  1, s   t2  Do f(s) l| h|m nghịch biến  0;  suy  4   3 3  f( s )  f(0)  a  t  a t  36at  a  t   3at a  t  a 3t  36at    27  9t 3  t  t 3  t   36t 3  t  Vậy ta cần chứng minh 27  9t 3  t  t 3  t   36  0, t  0;2 Đặt x  t 3  t   ta chứng minh 27  x  x  36  x  3x     x  2 x 1  (luôn đúng) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  2, b  1, c  c{c ho{n vị Ví dụ Cho x,y,z l| c{c số thực không }m chứng minh x  y  z   y z  x   z x  y   x  y  z  12 Lời giải Bất đẳng thức có dạng bậc ta chuẩn ho{ x  y  z  Ta phải chứng minh x  y  z   y z  x   z x  y   12 Gọi P l| biểu thức vế tr{i v| giả sử x  max x , y, z   x  ta có P  x  y  z   yz  y  z   x  y  z     x  y  z   yz  y  z   yz  y  z   x  y  z   y z   y  z  yz     tx  xt  2 x  3t  s  t t  x  s  t2  t  y  z  Với  , s  0;    4   s  yz    t2  Xét h|m số f ( s )  tx  xt  2 x  3t  s  t t  x  s đoạn  0;  ta có  4   t2 t3  t t  x     3xt   t2  Do f(s) l| h|m nghịch biến đoạn  0;   4   Vì P  f ( s )  f (0)  tx  xt  xt  x  t   x 1 x  x  1 x   12 Bất đẳng thức chứng minh         ;0;  Đẳng thức xảy v|  x ; y; z   0; ; ;  6   6  f '( s )  2 x  3t  s  t t  x   2 x  3t    ho{n vị số tương ứng Ví dụ Cho x,y,z l| c{c số thực không }m chứng minh 8x  yz 8 y  zx 8z  xy   x  y  z 6 Lời giải Bất đẳng thức có dạng bậc ta huẩn ho{ x  y  z  Ta phải chứng minh 8 x  yz 8 y  zx 8z  xy   Không tính tổng qu{t giả sử x  max x , y, z   x  Gọi P l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức ta có P  8 x  yz 64 y z  x  y  z   x yz       8 x  yz  64 y z  x  y  z   yz  y  z   x yz  8 x  s 64 s  xt  24 xts  x s   t2  t  y  z  , s  0;  Với    4   s  yz    t2  Xét h|m số f ( s )  8x  s 64 s  8xt  24 xts  x s  đoạn  0;   4   f '( s )  64 s  xt  24 xts  x s  8 x  s 128 s  x  24 xt  f ''( s )  128s  24 xt  x  128 s  x  24 xt  128 8 x  s  171  f '''( s )  384  f ''( s )  f ''(0)  1026 x  48 xt  48 x  x  t      t2  t2 Do f(s) l| h|m lồi đoạn  0;  f(s) đạt max  4    x   x 2     ; Ta có f (0)  64 x t  64  x 1  x   64        2  t   t  x t   f    8 x  4 t  xt         3   x 1  x    1  x    8 x  4 1  x   x 1  x        Vậy ta có max P Bất đẳng thức chứng minh 1 1  1  Dấu đạt  x ; y; z    ; ; ;0; ;  c{c ho{n vị số tương ứng  3   2  Bài tập tương tự Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện xy  yz  zx  Chứng minh x  yz  y  zx  z  xy  x  yz Chú ý B|i to{n n|y l| hệ bất đẳng thức Như qua việc dồn biến h|m số đơn giản qua tổng v| tích c{c b|i to{n xử lý kh{ đơn giản Bạn đọc thử so s{nh lời giải c{c b|i to{n với c{c c{ch dồn biến phương kh{c để thấy hiệu ưu việt phương ph{p A BÀI TẬP CHỌN LỌC Bài Cho tam gi{c ABC chứng minh 1  cos2 A1  cos2 B 1  cos C   125 64 Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử C  A, B,C    C    A  B  Ta chứng minh 1  cos2 A1  cos B   1  cos    Thật bất đẳng thức cho tương đương với sin AB 6 cos C  cos  A  B 1  Bất đẳng thức cos C  cos  A  B 1     Từ suy  AB 1  cos2 A1  cos2 B 1  cos2 C   1  cos2  1  cos2 C  10 Vậy ta cần chứng minh   1  cos A  B  1  cos C   125    64  C 125  1  sin  1  cos C     64   cos C  125  1   1  cos C     64  2 cos C 1 4 cos C  20 cos C  19    2 cos C 1 4 cos C 1  20 1  cos C   Bất đẳng thức cuối cos2 C 1  0;1 cos C  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| A  B  C  600 Bài Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh xy  yz  zx  12  x  y  z  x y  y z  z x  Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử x  max x , y, z   x  Ta cần chứng minh xy  yz  zx 12  x  y  z  x y  y z  z x   Gọi P l| biểu thức vế tr{i ta có P  x  y  z   yz 12  x   y  z   yz  y  z   x  y  z   x yz  y z       xt  s 12  x  t  3ts  x t  x s  s   t2  t  y  z  , s  0;  Với    4   s  yz    t2  Xét h|m số f ( s )  xt  s 12  x  t  3ts  x t  x s  s  liên tục đoạn  0;  ta  4   có f '( s )   36t  x t  x s  s   24  x  t  3ts  x  s   x  s   t2  Do f(s) l| h|m đồng biến đoạn  0;   4   Vì   f ( s )  f (0)  xt 12  x  t  x t  x 1  x  12 x  1  x  x 1  x   x 1  x  1 12 x 1  x 1  x 1  x    1   x 1  x  6 x 1  x  1  0, x   ;1   Bất đẳng thức chứng minh 11  x 1  x         x  1, y  z      x 1  x        3 3 Đẳng thức xảy v|   x  ,y  ,z   yz    6  x  y  z        x   , y  0, z     x    6   Bài tập tương tự Cho x,y,z l| c{c số thực không }m chứng minh x  y  z    x  y  z xy  yz  zx  9 Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương có tổng chứng minh x y z 1    1 yz 1 zx 1 xy Lời giải Bất đẳng thức vế tr{i l| hiển nhiên theo C –S x  y  z  x y z     1  yz  zx  xy x 1  yz   y 1  zx   z 1 xy  1 3xyz Ta chứng minh bất đẳng vế phải Gọi P l| biểu thức vế tr{i v| giả sử x  max x , y, z  ta có  y  z  x  y  z   yz x P   yz x yz  x  y  z    t  x t  s  x   1 s x s  xt   t2  t  y  z  Với  , s  0;       s  yz t  x t  s  x Xét h|m số f ( s )  liên tục  1 s x s  xt  f '( s )  x 1 s   x t  3x t  x  x s  xt 1  x 1 s    t2  0;  ta có   x  x t  3xt  2  x s  xt  1 0 3 Do x t  3xt    3xt    x  t      4  t2  Vậy f(s) l| h|m đồng biến 0;    t2  Do f ( s )  f       x t2 1  xt 2 x 2t  xt  4x  1  x   2 t  1  x   x 1  x  x 1  x   x 1  x   3x  5x  3x  x  3x  x  x  12 3x  5x  3x    3x 1  x  3x  6  x  3x  x  x  Bất đẳng thức Ta chứng minh 2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài tập tương tự Cho x,y,z l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh 1 27      xy  yz  zx  x  y  z 2 Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh a  bb  c c  a  a  b  c 1 Lời giải Khơng tính tổng qu{t ta giả sử a  b  c  a  v| ta cần chứng minh a  b a  c b  c  a  b  c 1   f (a, b, c )  a  a b  c   bc  b  c  a  b  c 1  Xét f (a, b, c )  f (a, bc , bc )  a b  c  bc  a b  c   4bc   bc b  c  bc  b  c  bc   2   b  c a  a b  c  bc  bc      Vì             a  a b  c  bc  bc   a  a  a b  c   bc   a  a  2a bc  bc   a  a  bc    bc  Do a  1  Vì ta cần chứng minh f (a, bc , bc )   f  , x , x   với x  bc  x  1     x   x   x   2 x  1   x  x    x   x 1   x  x  x   x  x  x  x 1    x 1  x  x  x 1  2   x 1  x 1  x  x   (luôn đúng)   Đẳng thức xảy v| x   a  b  c  Cách 2: Ta có: a  b b  c c  a  a  b  c ab  bc  ca  abc  a  b  c ab  bc  ca 1 Mặt kh{c: ab  bc  ca  3abc a  b  c   3a  b  c   ab  bc  ca  3a  b  c  Vậy b|i to{n chứng minh bất đẳng thức sau đúng: a  b  c  3a  b  c  1  a  b  c 1   Thật đặt t  a  b  c , t  xét h|m số f (t )  3t  4t  với t  13 Ta có f '(t )  3t  8t  0, t  nên f (t ) đồng biến   3;  hay  f (t )  f ( 3)  Do a  b  c  3a  b  c  1  a  b  c 1 Bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tích chứng minh 3 1 1 a  b  c   a  b  c      2 a b c Lời giải  1 1 Đặt P a, b, c   a  b  c   a  b  c      2 a b c Không tính tổng qu{t giả sử a  a, b, c   x  bc   Ta chứng minh P a, b, c   P a, bc , bc  Thật 3 1   P a, b, c   P a, bc , bc  b  c   b  c  bc     2 b c bc   3  b  c 2 b  c     bc          b c   b c  8   3     8bc      bc  Mặt kh{c 1  x  x  12 x  x  x  P a, bc , bc  P  , x , x    x  2x     x 1 x 2 0  x 1  x  2x Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực khơng }m có tổng chứng minh  a  a 1b  b 1c  c 1  Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  max a, b, c   a  1, b  c   t2   t  b  c Đặt  , s  0;  ta có   4   s  bc   P  a  a  1b c  bc b  c   b  c  bc  b  c   1    a  a  1 b c  b  c   b  c   bc 1  b  c    a  a  1 s  t  t  s t  1  1 Xét h|m số f ( s )  a  a 1s  t  t  s t 1 1 ta có f '( s )  a  a 12 s  t 1  s  t 1  t2 t  t  t t     t 1   0 2 14 c  a, b, c   c  a b c  2; a  b   c   a  b 2    2 Ta chứng minh a  2b  2          2 Thật bất đẳng thức tương đương với : 16 a b  2a  2b  4  a  b  16 a  b   64 4 2  a  b  16a b  16 a  b  2  a  b   4ab  a  b   4ab   16 a  b      2  a  b  a  b   4ab 16    Bất đẳng thức cuối a  b   16 2  a  b 2      2  c  2   c   2 Do P  c  2            2   c 2    2 đoạn 0;2  ta có Xét h|m số f (c )  c  2        f '(c)  c  20c  156c  552c  800c  352  c  2c 12c  44 c  6c    0, c  0;2  Do f(c) l| h|m đồng biến đoạn 0;2  Suy P  f (c )  f (2)  216 Đẳng thức xảy v| a  b  c  Vậy gi{ trị lớn P 216 đạt a  b  c  Nhận xét Chú ý đẳng thức 2   a  b   a  b    2  a 2  b  2       16 a  6ab  b 16   2 Với b|i to{n có tích đối xứng k  a k  b k  c  với k  ta đ{nh gi{ 2  a  b   k  a k  b  với  k       2 2   a  b   a  b  2 2   k  a k  b  k    Ta có :        a  b  6ab  8k  16   Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  ab a  b   bc b  c   ca c  a  Lời giải  t2  Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c đặt b  c  t , bc  s, s  0;   4   b c t Khi a  1 t    t  2 P  a b  c   a b  c   bc b  c   a b  c   a b  c   3bc b  c   bc b  c   2bc      3  a t  a t  3st   s t  s  16 Xét h|m số f ( s )  a 3t  a t  3st   s t  2s  ta có f '( s )  t  s  3at  t t  3a  s   t2  Do f(s) l| h|m nghịch biến đoạn  0;   4   Suy f ( s )  f (0)  a t  at  1 t  t  1 t t  2 Xét h|m số g (t )  1 t  t  1 t  t với t   0;  ta có   f '(t )  1 2t  ; f '(t )   t  1 Ta có f’(t) đổi dấu từ dương sang }m qua t  nên f(t) đạt cực đại t  hay 2   P  f (t )  f      Đẳng thức xảy v| a  b  , c  c{c ho{n vị Nhận xét Với a,b,c không âm a  b  c  k với chứng minh tương tự ta có có k4 Bài 10 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm gi{ trị lớn v| nhỏ biểu thức a b c P   3 b  c 1 c  a 1 a  b3 1 Lời giải Tìm giá trị lớn P Với a,b,c khơng }m ta ln có a b c  a,  b, c 3 b  c 1 c  a 1 a  b3 1 Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có P  a  b  c  ab a  b   bc b  c   ca c  a   Đẳng thức xảy v| số v| hai số Tìm giá trị nhỏ P Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có P  a  b  c  a b c    3 3 3 b  c  c  a  a  b  a b  c  1  b c  a  1  c a  b  1 a b  c   b c  a   c a  b   Vậy để tìm gi{ trị nhỏ P ta tìm gi{ trị lớn biểu thức M  a b  c   b c  a   c a  b   t2  Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c đặt b  c  t , bc  s, s  0;   4   b c t Khi a  1 t    t  2 M  a b  c   a b  c   bc b  c   a b  c   a b  c   3bc b  c   bc b  c   2bc      3  a t  a t  3st   s t  s  17 Xét h|m số f ( s )  a 3t  a t  3st   s t  2s  ta có f '( s )  t  s  3at  t t  3a  s   t2  Do f(s) l| h|m nghịch biến đoạn  0;   4   Suy f ( s )  f (0)  a t  at  1 t  t  1 t t  2 Xét h|m số g (t )  1 t  t  1 t  t với t   0;  ta có   f '(t )  1 2t  ; f '(t )   t  1 Ta có f’(t) đổi dấu từ dương sang }m qua t  nên f(t) đạt cực đại t  hay 2   M  f (t )  f      Đẳng thức xảy v| a  b  , c  c{c ho{n vị 1 Tìm GTLN M đạt a  b  , c  c{c ho{n vị 8 Suy P   1 8 Vậy gi{ trị nhỏ P đạt a  b  , c  c{c ho{n vị Nhận xét Với a,b,c không âm a  b  c  k với chứng minh tương tự ta có có ab a  b   bc b  c   ca c  a   k4 Bài tập tương tự Cho a,b,c l| c{c số thực không }m có tổng chứng minh a b c    2 2 2 1 b  c 1 c  a 1 a  b Bài 11 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  1 Chứng minh    a b b c c a Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  max a, b, c   t2  t  b  c  1 s , s  0;  ta có at  s   a  Đặt      t  s  bc  4 Gọi P l| biếu thức vế tr{i ta có 1 1 2a  b  c P     b  c a  b a  c b  c a  ab  bc  ca 1 s 2 t 2a  t 1 t 2 s  t  2 t       t a  t 1  s 2 t t   s 1     t  t 2 s  t  2 Xét h|m số f ( s )   đoạn t t   s 1  t2   0;  ta có  4   18   t 2 t    s   2t  s 1  t s   4   t a  s   f '( s )   0 2 2 2 t   s 1 t   s 1 t   s 1        t2  Do f(s) l| h|m đồng biến đoạn  0;   4   t t   Vì f ( s )  f (0)   t t 1 t t      t 1 2t  t  2  (luôn đúng) t t 1 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  1, c  c{c ho{n vị a b Cách 2: Khơng tính tổng qu{t giả sử c  max a, b, c   c   ab Thay c  v|o bất đẳng thức cần chứng minh ta có a b 1 1 Đặt P (a, b, c )         a  b b  c c  a a  b a   ab b   ab a b a b   Xét hiệu P (a, b, c )  P a  b, ,0  a  b  Ta cần chứng minh         1 1         a b    a  b  ab  ab   a  b a b   a  b     a b a b   a b   a b a b      a  b 1  2   a  b   1 a 1 b Ta chứng minh    a b a b      a  b     2 1 a2 1 b2   a  b   1   1  ab ab a  b   2ab  2    1 a2 1 b2  a  b   ab a  b   1 ab  (ln đúng) 2 Vì 1 ab   2c a  b   a  b   ab a  b  Vậy ta cần chứng minh 1 P ( a  b, ,0)   a b   a b a  b a b  a b  a b  a  b    a  b  a b Đặt x   a  b  2 a  b  2 a b Ta cần chứng minh x    x  5x    2 x 1 x  2  (luôn đúng) x Đẳng thức xảy v| a b   19    a b 1   a  c  1, b  ab  bc  ca    b  c  1, a        ab  ab a  b   2ab  2      B|i to{n chứng minh đẳng thức xảy v| a  b  1, c  c{c ho{n vị Cách 3: Đặt p  a  b  c , q  ab  bc  ca, r  abc Bất đẳng thức viết lại dạng: 1 p2    p  22 p 1  5r  p r + Nếu p  bất đẳng thức hiển nhiên + Nếu r  p  theo bất đẳng thức Schur bậc ta có p 4 q  p   p  p3 p  p3 0  p  p  2  2 p 1    2  p    Ta cần chứng minh  p  22 p 1   2  p 5 p  p  9  Bất đẳng thức ln ta có điều phải chứng minh Bài 12 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  1 1 Chứng minh    2 a b b c c a a b c Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  a, b, c  1   theo b|i to{n ta có a b c 1 1 1        2 a b b c c a a b b c c a a b c Bất đẳng thức chứng minh  t2  t  b  c  , s  0;  ,0  t  Ta xét với b  c  đặt    4   s  bc   1 s Ta có at  s   a  t Gọi biểu thức vế tr{i l| P ta có 1 1 2a  b  c P       b c a b a c a b c b c a b c a2 1 1 s t 2a  t 1 t       1 s t a  a  t t 1  s 2  t   1 t  t  + Nếu b  c    t   2s t   t  2 t t   s 1 s  t  1 t   2s t  Xét hàm số f ( s )   t đoạn t  s  t 1 t   s 1  t2   0;  ta có  4   20 2t  s 1  t s  t a  s  t t   f '( s )     0 2 2 2 2 s  t  1 t  s 1 s  t  1 t   s 1     Bởi a  s   t2  Do f(s) l| h|m nghịch biến đoạn  0;  Vì f ( s )   4    t  Ta cần chứng minh f      t  Ta có: f       t t   t  f     t2 2 t  2  2 t   t  1 t   1    2  t 6t 11t 10t 12t  8   t  (luôn đúng) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  1, c  c{c ho{n vị Cách 2: Đặt p  a  b  c , q  ab  bc  ca, r  abc Bất đẳng thức viết lại dạng: 1 p2    p  p  2  r 1  p   p r p + Nếu p  bất đẳng thức hiển nhiên + Nếu  p  theo bất đẳng thức Schur bậc ta có r  p 4 q  p   p  p3 Ta cần chứng minh p  p3 1  p    p 2  p  p 1  Bất đẳng thức ln ta có điều phải chứng minh Bài 13 Cho a,b,c l| c{c số thực không thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  p 2  p   Chứng minh rằg với số thực k  ta có a2  k b  k c  k   k 13 Lời giải Chú ý đẳng thức a2  k b  k c  k   k a  b  c  abc  Trước tiên ta chứng minh k   k ab  bc  ca  k  bất đẳng thức đúng, 2           a  b  c    ab  bc  ca    3      1                3  3 3 3 Với k '  k  ta có a  k 'b  k 'c  k '  a  k  k ' k b  k  k ' k c  k  k ' k    a  k b  k c  k   k ' k   1  k  k ' k 3  k ' 13 3 Bài 14 Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện xy  yz  zx  21 Chứng minh  xy 1  yz 2 z x Lời giải  t2  t  y  z  Khơng tính tổng qu{t giả sử x  max x , y, z  đặt  , s  0;    4   s  yz   1 s Ta có xt  s   x  t Gọi P l| biểu thức vế tr{i ta có P x  y  x z  yz x  xy  xz  yz 1 s t t    1  s  t   1  t  Xét h|m số f ( s )  t 2 1  s   1  t  t   2s t  1  s  f '( s )  2t 1 s   t s t  2  1  s    yz   t x 1  t t   2s  t  1  s  2t t  1  s   t2  đoạn  0;  ta có  4   t  1  s  2t 2t 1  s   x  y  z  x 1  t  1  s    2t  x  s  t  2  1  s   2t 1  s   t  1  s   0  t2  Do f(s) l| h|m đồng biến đoạn  0;   4    t2 2 2t t  Vì f ( s )  f (0)  t    t   t 1 t   t   t  t 2 t 1 t Bài 15 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  1 minh    2 a  b c 4a  bc 4b  ca 4c  ab Do P  chứng Lời giải Giả sử a  max a, b, c  chứng minh 4a  bc  4b  ca  2 4t  tc ,t  a b Thật theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1   2 4a  bc 4b  ca 4a  bc 4b  ca   2 1 Và 4t  tc  4a  bc 4b  ca   a  b   c  a  b  6ab  3c a  b     Theo AM – GM ta có 4c  ab  4c  t Vậy ta cần chứng minh 22  2  4  a  b  c 2t  c t  tc 4c  t  1  1             t  tc t   c  t t  2t  c t t 4 c 2    2t  c t  tc 2t  t  tc 4c  t t  4c  t      4c   0 2 2 t 2 t  c  t  tc 2t  t  tc t 4c  t t  4c  t     Bất đẳng thức l| tổng hai bất đẳng thức sau 1   (1) 3t 2t  c  t  tc 2t  t  tc 4c   (2) 3t 2t  c  t c  t t  4c  t     Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b, c  c{c ho{n vị Bài 16 (Việt Nam TST 2006) Cho x,y,z l| c{c số thực thuộc đoạn 1;2  chứng 1 1  x y z minh      x  y  z       x y z  y  z z  x x  y  Lời giải Ta cần chứng minh  1 1  x y z   f ( x , y, z )  ( x  y  z )          x y z   y  z z  x x  y  Khơng tính tổng qu{t giả sử x  max x , y, z  Xét hiệu:  y  z y  z  ( x  y  z )( y  z )2 6( x  y  z )( y  z ) f ( x , y, z )  f  x , ,     2  yz ( y  z ) ( x  y )( x  z )(2 x  y  z )  ( x  y  z )( y  z )2 [( x  y )( z  x )(2 x  y  z )  yz ( y  z )] ( x  y )( y  z )( z  x )(2 x  y  z ) x l| số lớn ba số nên ( x  y )( z  x )(2 x  y  z )  yz ( y  z ) yz 1 Vì ta cần chứng minh f ( x , t , t )  nên f ( x , y, z )  f ( x , t , t ) với t  Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với:  2  x 2t  (t  x ) (2t  x ) ( x  2t )       0   0,    x t   2t t  x  tx (t  x ) Bất đẳng thức cuối 2t   x Đẳng thức xảy v| x  y  z ; x  2, y  z  B|i to{n chứng minh B BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c l| độ d|i cạnh tam gi{c thoả mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh a  b  c   abc Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện a  b  c  23 Chứng minh 2  ab 2  bc 2  ca  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tích chứng minh 1 13 25     a b c a  b  c 1 Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương thỏa mãn a, b, c  a  b  c  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  1  a 1  b 1  c  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn a  b  c  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  1  a 1  b 1  c  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn a  b  c  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  a  b b  c c  a  Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương có tích chứng minh x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tích chứng minh 1 1 1 a  b  c  a  b  c      a b c Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương có tổng chứng minh x y z  21  54  x  y  z        xyz  yz zx xy  Bài 10 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m có tổng chứng minh a3  b b  c c  a   256 Bài 11 Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tích chứng minh 1   3 a  a 1 b  b 1 c  c 1 Bài 12 Cho a,b,c l| c{c số thực khơng }m có tổng chứng minh a b c    2 2 2 1 b  c 1 c  a 1 a  b Bài 13 Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh 3x  53 y  53 y  5  512 Bài 14 Cho x,y,z l| c{c số thực không }m chứng minh x  y  z    x  y  z xy  yz  zx  9 Bài 15 Cho x,y,z l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh 1 27      xy  yz  zx  x  y  z 2 Bài 16 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  1 Chứng minh    2 a  bc b  ca c  ab a  b  c C HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với P a, b, c   a  b  c  abc   Khơng tính tổng qu{t gỉa sử a  max a, b, c  ta có 24 3  a  b  c  a  b  c   a   a  2  b  c b  c   , Ta chứng minh P a, b, c   P a,   2  Thật  b2  c  b  c b  c   2 P a, b, c   P a, ,  bc    b  c  b  c   a     2     a b  c  2  b  c  b  c  b  c   b  c      a  2   b  c  b  c      b  c     a     a  3  a    b  c     a  a 3  a    0, a  1;  Mặt kh{c  a 3  a  b  c b  c   P a, , 2   a  3  a   2       a  a    a  1   a  2       a2 0 Chú ý  a  a2  a    a 3  a   2  a   a 18  a  a   Luôn Bất đẳng thức chứng minh đẳng thức xảy v| a  b  c 1 Cách 2: Giả sử a  max a, b, c   a  v| a,b,c l| độ d|i ba cạnh tam gi{c nên a  b c  Khi P  a  b  c   abc  a  b  c  2bc   abc  a  t  2s   as  t Với t  b  c , s  bc , s  0;     t Xét h|m số f ( s )  a  t  2s   as với s  0;  ta có   1 f '( s )   a; f ''( s )   0 t  2s t  s  Vì f '( s )  f '(0)  t a   a2  a  0, a  1;2  25  t Vì f(s) nghịch biến đoạn  0;  suy   t  at f ( s )  f    a  2t      a  3  a 2 a 3  a     a   a   1   a  2  a    Bài Khơng tính tổng qu{t giả sử a  a, b, c   a  ta có P a, b, c   2  ab 2  ac    2a b  c   a 2bc  b  c b  c   , Ta chứng minh P a, b, c   P a,   2  Thật bất đẳng thức tương đương với 2a b  c   a bc  2a b  c   a 2  b2  c 2  a 2 b  c   b  c   b  c  2  b  c  b  c 2  a b  c   b c   a b  c   a b  c  Ta có  a b  c   a b  c    2a b  c    2a 3  a  1  a 2  a   a 3  a  0 Vậy ta cần chứng minh 2 2  2     2  b  c 2  a b  c    a  12  a  a          Ta có a  1 a  1  a 1   a   2 a 1 Vậy ta cần chứng minh    a   a    a  1 2  a    a  12  a        a a  2a  2a  6a  5  a    a 2  a  1   0     a2  a  1  a a 1 a  a  5  Luôn Bất đẳng thức chứng minh đẳng thức xảy v| a  b  c 1 Bài Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 1 13 25 P a, b, c       0 a b c a  b  c 1 26 Không tính tổng qu{t giả sử a  max a, b, c   a  1, x  bc  Ta chứng minh   P a, b, c   P a, bc , bc Thật 1 13 13 P a, b, c   P a, bc , bc      b c bc a  b  c  a  bc          b c  bc  13 b c  a  b  c  1a  bc  1   1 13  b  c    bc a  b  c  1 a  bc       13   b  c 1   3  13  1     1  Mặt kh{c P a, bc , bc  P  , x , x   x    x  x    13 x 1  x2  25  x 1 8 x  20 x 18 x  x  8  0, x  0;1 x  x  12 x  x  1  Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài Ta có   a  b 2  2  a  b     1       16 a  b 2 a  6ab  b  8    với a, b    a  b 2    Do 1  a 1  b   1          2 2   a  b 2     1  c   1    c   1  c   125 Suy P  1              Đẳng thức xảy v| a  b  c  Vậy gi{ trị lớn P 125 đạt a  b  c  Bài Không tính tổng qu{t giả sử    c  ,a b  c 1   2 c  max a, b, c      a  b    ab     4    a  b 2    Khi 1  a 1  b   1        2   a  b 2  a  b       Thật 1  a 1  b   1   a  6ab  b  8     16   2 Đẳng thức xảy v| a  b 27 2 2   a  b 2      1  c  1    c    125 Khi P  1  c  1          64     Đẳng thức xảy v| a  b  c  Cách : Ta có 1  a 1  b 1  c   a  b  c  a 2b  b c  c a  a 2b c  2  a  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca   2abc a  b  c   a b c  13  ab  bc  ca   ab  bc  ca   a b c  3abc 2     11 125  ab  bc  ca 1  abc                64   a  b  c  Do ab  bc  ca  a  b  c   ; abc       Đẳng thức xảy v| a  b  c   t2  Bài Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c đặt t  b  c , s  bc , s  0;  ta  4   a  1 t Khi P  a  a b  c   b c  b  c    3  a  a b  c   3a 3bc b  c   b c  b  c   3bc b  c       a  a t  3a ts  s t  3ts  có Xét h|m số f ( s )  a  a t  3a ts  s t  3ts  ta có f '( s )  3s  3a t t  3ts  3t a  a 3t  3a 3ts  s  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a  a3t  3a3ts  s  Theo điều kiện suy  t4   3s  3a3t t  3ts   3t s  a 3t t  3s   3t s  t  3s    3 Do f '( s )   P  f ( s )  f (0)  t a  a 3t   t 1 t  t  1 t       3 Xét h|m số g (t )  t 1 t  t  1 t   với t   0;  ta có     t   2  g '(t )  3t t 1 2t 1 ; f '(t )    (do t   0;  ) t   3  2 nên g(t) đạt cực đại 1 1 t  hay P  g (t )  g    Đẳng thức xảy v| a  b  , c     256 2 c{c ho{n vị 1 Vậy gi{ trị lớn P đạt a  b  , c  c{c ho{n vị 256 Nhận xét Với a,b,c không }m thỏa mãn a  b  c  k chứng minh tương tự ta có Ta có g’(t) đổi dấu từ dương sang }m qua t  k9 a3  b b  c c  a3   256 28 Bài Ta cần chứng minh P  x , y, z   x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx   Không tính tổng qu{t giả sử x  x, y, z   x  1, yz     Xét hiệu P  x , y, z  P x , yz , yz  y z   y  z  x 1  2  yz  1  Ta cần chứng minh P x , yz , yz  P  , t , t   với t  yz  t    Thật bất đẳng thức tương đương với t 1 2t  4t  2t  1 1   2t    0 t t4 t2 t4 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 P (a, b, c )  a  b  c  a  b  c       a b c Không tính tổng qu{t giả sử a  a, b, c   t  bc  Ta chứng minh P (a, b, c )  P (a, t , t )  1  Thật P (a, b, c )  P (a, t , t )  ( b  c ) ( b  c )  1      bc   ( b  c ) (4  (1  1))  (t 1) (3t  4t  5t  4t  2) , t , t )  0 t2 2t Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài Ta cần chứng minh x y z  21 P ( x , y, z )   54  x  y  z        yz zx xy  xyz Mặt kh{c P (a, t , t )  P ( Chú ý P ( x , y, z )  x  y  z   x  y  z  54  x  y  z   xyz 1 1  21      27  x  y  z    x y z  21 Khơng tính tổng qu{t giả sử x  max x , y, z  ta chứng minh  y  z y  z  P ( x , y, z )  P  x , ,   2     y  z y  z   y  z   81yz  y  z  , 0 Xét hiệu P ( x , y, z )  P  x ,   2  yz  y  z     y  z  y  z  y  z   yz yz  2   4 Bởi yz  y  z   y.z   2     y  z 4 2        81 29 Ta cần chứng minh yz yz 1 x 1 x P ( x, , )  P ( x, , )0 2 2      1  x   21  2   27  x      x  x    3x  2 9 x  12 x  x  1  0 x 1  x  Bất đẳng thức cuối Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  , y  z  c{c ho{n vị Bài 12 Gọi P l| biểu thức vế tr{i v| sử dụng bất đẳng thức C –S ta có P  a  b  c  a 1  b  c   b 1  c  a   c 1  a  b   a b  c   a b  c   bc b  c  Ta tìm gi{ trị lớn biểu thức với giả thiết a  max a, b, c  Q  a b  c   a b  c   bc b  c   a t  a t  2s   ts  t2  Xét h|m số f ( s )  a t  a t  2s   ts đoạn  0;  ta có  4    a  t  f '( s )  t  2a   f ( s )  f (0)  a t  at  at      Do P   1 Q Đẳng thức xảy v| a  b  , c  c{c ho{n vị Bài 13 Giả sử x  max x, y, z   y  z  2, x  ta có   x  y 2  3 y  53z  53   5  16  x  y 2 40  3 x  y  xy     2   x  y 2    5  512 Vậy ta chứng minh 3x  53        2    x 2    5  512   3 x  53        x 1 3 x  30 x  144 x  306 x  317  Bất đẳng thức B|i to{n chứng minh đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài 16 HD: Đưa chứng minh 64 a  bc b  ca c  ab   a  b  c  30