ĐỀ THI CHỌN HSG MƠN TỐN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút Trường THPT Chuyên Hưng Yên Tổ Tốn - Tin Câu 1: Tìm nghiệm hệ phương trình với x 2x 2y 2x y 2xy 1 3y 8x 2y Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC, phân giác góc A cắt BC D Gọi E, F hình chiếu vng góc D AB AC, K giao điểm CE BF, H giao điểm BF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK Chứng minh DH vng góc với BF x1 Câu 3: Cho dãy số (xn) thỏa mãn: x x xn ; n 1 n n1 n2 Chứng minh dãy số có giới hạn Câu 4: Cho hàm số f: thỏa mãn: 1) f(x + y) = f(x) + f(y) với x, y 2) f(x) bị chặn [0; 1] 3) f(1) = 2010 Tính f( 2010 ) Câu 5: Điền 29 số tự nhiên dương vào bảng 65 bảng Thay đổi số bảng theo quy tắc: lần lấy số nằm ô liền kề với ô trống chuyển vào ô trống Hỏi sau hữu hạn lần chuyển chuyển từ bảng thành bảng hay không? 11 15 20 25 12 16 21 26 17 22 27 Bảng 13 18 23 28 10 14 19 24 29 29 11 15 20 25 12 13 16 17 18 21 22 23 26 27 28 Bảng =============== Hết =============== 10 14 19 24 Đáp án Câu Nội dung Điểm 2x 2y 2x y 2xy 1 (1) 3y 8x 2y (2) (1) x 1 y 1 x 1 y 1 0 1,5 ĐK: (2x + 1)(y + 1) 2 x Mà x y 0 (1) 2x 1 2x 1 y 2 x Thay vào (2): y 1 x y 0 y 0 1,5 x 8 x x x 1 x x x Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R (2) x 2 x x3 3x NX: x >1 không nghiệm phương trình Xét x 1: Đặt x = cos với cos3 2 k (k) k 2 Do Vậy hệ có nghiệm cos ;2cos 9 *) Gọi I = AK BC Ta có AI, BF, CE đồng quy FA IC EB 1 FC IB EA Mà AE = AF IC FC DC cos C Nên IB EB DB cos B IC b cos C sin B.cos C IB c cos B sin C.cos B IC sin B.cos C a sin A IC b cos C AK BC A F E B K H D I *) A, E, H, K thuộc đường tròn BE.BA = BH.BK A, E, D, I thuộc đường tròn BE.BA = BD.BI BH.BK = BD.BI HKID nội tiếp Mà góc DIK vng nên góc DHK vng Vậy DH BF *) Ta chứng minh xn + n2 n n 1 với n (1) Thật vậy: n = Giả sử (1) với n = k 1: xk + k2 xk 1 k 1 xk k k 1 2 k x k 1 k xk x k k 1 k k k k k 1 1 k 1 k = k 1 k k 1 2 k 1 k k k 1 k (đpcm) 2 C *) Ta chứng minh (xn) có giới hạn NX: (xn) tăng xn > với n 1 Ta có xn xn1 xn n n n 1 1 1 1 x1 xn n xn với n 2 Vậy (xn) có giới hạn Từ ĐK với r , f(rx) = rf(x) với x (1) Theo ĐK 2: N > 0: f ( x) N với x 0;1 Theo ĐK 1, f(x) hàm lẻ f ( x) N với x 1;1 (2) Lấy x , tồn số hữu tỉ dương r cho x r 1 x 1 r x Từ (2) f N f x N r r f x rN (3) Do (3) với số hữu tỉ dương r x nên ta có: f x x.N (4) f ( x) 0 (5) Do (4) với x , theo nguyên lí kẹp lim x Từ ĐK 3: f(1) = 2010 r : f (r ) f (r.1) r 2010 (6) Lấy x0 , dãy số hữu tỉ (rn): lim rn x0 Ta có: rn – x0 nên theo (5) lim f rn f x0 Theo (6) f x0 lim rn 2010 x0 2010 f ( x) x 2010 (thỏa mãn) Vậy f 2010 = 2010 *) Giả sử nhờ phép chuyển số theo quy tắc bài, từ bảng ta nhận bảng (1) *) Ta coi ô trống bảng ô điền số Với bảng số nhận trình chuyển số, ta liệt kê tất số bảng theo thứ tự từ trái qua phải, từ xuống Khi đó, ứng với bảng ta hoán vị 30 số tự nhiên Do với giả sử (1), từ hoán vị (1; 2; 3; … ; 11; 12; 0; 13; 14; ….; 28; 29) (gọi hoán vị I), sau thực phép chuyển số ta nhận hốn vị (29; 2; 3; ….; 11; 12; 0; 13; 14; …; 27; 28; 1) (gọi hoán vị II) *) Giả sử (a1; a2: …; a30) hoán vị 30 số tự nhiên Ta gọi cặp số (ai; aj) (1 i, j 30 ) cặp số ngược hoán vị > aj i < j Như vậy, sau lần thực phép chuyển vị trí số thỏa mãn số cặp ngược hốn vị tăng giảm số lẻ đơn vị (2) *) Ta có số cặp ngược hoán vị I 12 số cặp ngược hốn vị II 67 Từ đó, kết hợp với (2) từ hoán vị I nhận hoán vị II sau lẻ lần thực phép đổi chổ số (3) *) Tô màu tất ô bảng màu xanh, đỏ cho ô kề tô hai màu khác Như sau lần chuyển ô số chuyển từ màu sang màu Do ô số bảng bảng nằm ô màu, nên việc chuyển từ bảng sang bảng thực sau chẵn lần di chuyển (4) Từ (3) (4) mâu thuẫn Vậy chuyển từ bảng sang bảng sau hữu hạn lần chuyển số theo quy tắc đầu 1