Câu [DS10.C4.2.E01.c] [HSG Đồng Nai 2018 - 2019] Cho ba số thực dương a , b , c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c   2b  3c 2c  3a 2a  3b Lời giải Cách 1: a b2 c  a  b  c     x y z x  y  z với a , b , c   x  , y  , z  Ta chứng minh b a c Thật áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số x ; y ; z x ; y ; z ta có 2 2  a   a b2 c2  b c x y z       x  y  z   a  b  c   a  b  c     x y z  y z x y z x yz  x  a b c    x y z Dấu “ ” xảy  a  b  c a2 b2 c2 a b c     P   2b  3c 2c  3a 2a  3b 2ab  3ac 2bc  3ac 2ac  3ab  ab  bc  ca  Ta có P a  b  c  3  ab  bc  ca   Mà Từ suy Pmin  xảy a b c Vậy Cách 2:   a  35   x  y  z   x 2b  3c     y 2c  3a  b    y  z  x  35  z 2a  3b    c  35   z  y  x   Đặt P   6x  y  4z  y  9z  4x  6z  y  9x      35  x y z  Do  y 4z 9z 4x y 9x  P   6   6   6   35  x x y y z z  P   4z 4x   4x y   y 4z   y 5z 5x           18           35  z   y x   z y   x y z   x 4x y y 4z 4z 4x 4z 4x  8  8  2 8 x y z x z Áp dụng Cơsi ta có x ; y ; z y 5z 5x y 5z 5x   3 15 x y z x y z Do Vậy   18     15   P  35  xảy a b c P Pmin Câu [DS10.C4.2.E01.c] Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3  b2  c  a Lời giải Bất đẳng thức tương đương với: a 1 b 1 c 1 a 1   b 1   c 1  a  b  c   3 2 1 b 1 c  a2  a  1 b   b  1 c   c  1 a 3  c2  a2 Hay  b Bây ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho mẫu thức:  a  1 b   b  1 c   c  1 a  a  1 b   b  1 c   c  1 a  b2  c2  a2 2b 2c 2a  a  1 b   b  1 c   c  1 a   a  b  c  3  ab  bc  ca  3 ab  bc  ca  2 2 Vì Dấu “=” xảy a b c 1 Câu [DS10.C4.2.E01.c] Cho a , b, c số thực dương có tổng Chứng minh 1 1   10    a    b    c     b c a    Lời giải 1 1 1 1 1  M  a    b    c   abc     1 b c a abc a b c  Vì a  b  c 1 nên a bc   abc  abc  27 27 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có abc  Lại có Mặt khác Suy 1  272  1 27  730   abc    abc    abc  27 abc  272 abc 27 abc 27 27 1 1 1    9    9 a b c a b c  a  b  c   M 730 1000  1  27 27 1 1   10    a    b    c     b c a    (đpcm) Vậy  Dấu xảy Câu  a b c    sin t , nÕu  t  f (t )  1  cos t , nÕu   t    [DS10.C4.2.E01.c] Cho hàm số f ( A)  f ( B )  f (C )  Chứng minh rằng: ABC ta ln có: 3 Lời giải *) Bổ đề: Với tam giác ABC ta có x, y   0;   Với này, ta được: ta có sin A  sin B  sin C  sin x  sin y 2sin 3 Thật vậy: x y x y x y cos 2sin 2 Áp dụng bất đẳng thức A B  sin A  sin B 2sin  sin C  sin  2sin  C     6    A B   C    A B C   2  sin  sin     4sin    4sin 12      Từ bổ đề chứng minh *) Trở lại toán, ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Tam giác ABC khơng tù Khi  sin A  sin B  sin C  sin f ( A)  f ( B)  f (C ) sin A  sin B  sin C  3 Trường hợp 2: Tam giác ABC tù, khơng giảm tính tổng qt giả sử góc C tù Khi đó: f ( A)  f ( B )  f (C ) sin A  sin B   cos C Nhận xét:  cos C sin C với C góc tù, nên ta có: sin A  sin B   cos C sin A  sin B  sin C  Câu 3 [DS10.C4.2.E01.c] (HSG Toán 11 - THPT Lê Quý Đôn năm 1314) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1   1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 Lời giải  a b  a3b Ta có  a  b   ab    a  b  ab Tương tự  b  c  bc   c  a  ca   a2   ab  b  ab  a  b   ab   3 a b c  3 a b c  a3b3c  a3b  ab  3  a  b  abc  ab   abc  a3b3c c a  b  c 3 a  b  c 3 abc  a  bc a  b  c 3 a b3c abc b  3 3  ca a  b  c a3b3c    3    1 a3b3c   3 1 a3b3c Vậy a  b  b  c  c  a  Đẳng thức xảy a b c 1 Câu [DS10.C4.2.E01.c] (HSG Tốn 11 - THPT Sơng Lơ - Vĩnh Phúc năm 1213) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện 4  a  b  c   b  c  a    a  c  b  a  b  c  2  ab  bc  ca  Chứng minh rằng: Lời giải xy  yz  zx  Đặt a  x  y; b  y  z; c z  x; x , y , z  điều kiện toán đưa x4  y4  z  (**) 48 Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đưa bất đẳng thức 1 xy x4  y    144 144 (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số ta có: Tương tự: 1 yz y4  z4    144 144 (2) 1 zx z  x4    144 144 (3) Cộng vế (1); (2); (3) ta có (**) 1 x  y z  a b c  12 hay Dấu xảy Câu Câu  x, y , z   [DS10.C4.2.E01.c] (HSG Toán 11 – Quỳnh Lưu NA năm 1112) Cho  x  y  z  xyz 1    y2 1 z2 1 Chứng minh x  Lời giải xyz yz y z     x ( x  y  z )  xyz ( x  y )( x  z ) 2( x  y ) 2( x  z ) Ta có x  1 x z z y   ;   2 y  2( x  y ) 2( y  z ) z  2( x  z ) 2( y  z ) Tương tự Cộng vế lại ta có đpcm Dấu " " xảy x  y  z  [DS10.C4.2.E01.c] Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3  b2  c  a Lời giải Bất đẳng thức tương đương với: a 1 b 1 c 1 a 1   b 1   c 1  a  b  c   3 2 1 b 1 c 1 a2  a  1 b   b  1 c   c  1 a 3  c2  a2 Hay  b Bây ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho mẫu thức:  a  1 b   b  1 c2   c  1 a  a  1 b   b  1 c   c  1 a  b2  c2  a2  a 1 b   b 1 c   c 1 a  2 2b 2c 2a  a  b  c  3  ab  bc  ca ab  bc  ca   3 Vì Câu [DS10.C4.2.E01.c] (HSG Toán 10 - SGD Hà Tĩnh năm 1617) Cho a,b,c số thực không a +b + c +abc≥4 Lời giải âm có tổng Chứng minh rằng: Trong ba số a−1,b−1,c−1 có số có tích khơng âm, giả sử ( a−1 )( b−1 )≥0⇔ ab−a−b+1≥0⇒ ab≥a+b−1=2−c Suy abc≥c ( 2−c ) ( a+b )2 ( 3−c )2 2 a +b ≥ = ( 3−c )2 a2 +b2 + c +abc≥ + c +c ( 2−c ) (3−c )2 +c + c (2−c )≥4 ⇔ ( c −1 )2≥0 2 Ta chứng minh Dấu = xảy a=b=c=1 Câu 2 2 y [DS10.C4.2.E01.c] Cho ba số x , , z dương thỏa mãn x  y  z xyz Tìm giá trị lớn A biểu thức y x z   x  yz y  xz z  xy Lời giải 2 y Với x , , z ta có x  y  z xy  yz  zx x y z Đẳng thức xảy  1  1 , kết hợp giả thiết x2  y  z2 xyz : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức 1 1  y x z      A   z x x y  x yz y xz z xy  y z  1  yz  zx  xy      2 x y z xyz Câu 1 x2  y2  z2   xyz A  x y z 3 Nhận thấy max A   x y z 3 Vậy [DS10.C4.2.E01.c] (HSG Toán 11 - THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa năm 1415) Cho số thực x, y, z thỏa x  y  z xyz dương mãn Chứng minh rằng: xy  yz  zx 3  x   y   z  Lời giải Ta có: xyz  x  y  z 2 xy  z  z  xy   xy  z 0  1 1 z2 xy  z  Với 1 1 z2 xy  z (loại x , y  )  1 1 z2 1 1 z2 z ( x  y ) 2 z xy 2 z 2(1   z ) xy  z z , ta có Vậy z ( x  y ) 2(1   z ) ; tương tự ta được: x(z  y ) 2(1   x ) ; y ( x  z ) 2(1   y ) Câu 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta : xy  yz  zx 3  x   y   z   đpcm Ghi chú: HS chứng minh cách đặt x tan A , y tan B , z tan C với A , B , C độ dài cạnh tam giác nhọn Khi bđt trở thành: cos A  cos B  cos 2C cosA.cosB+cosB.cosC+cosC.cosA [DS10.C4.2.E01.c] (HSG Toán 11 - THPT Nga Sơn - Thanh Hóa năm 1718) Cho số thực 2 dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh a3 b 1  b3  c3 c 1 c 1 Lời giải  2 Đặt VT= P Ta có a3  b2 b3  c2 c3  a2      P = b2 1 c 1 a 1  a3 a3  b   b3 b3  c2   c3 c3  a2                2 2 2  b 1 b 1   c 1 c 1   a 1 a 1  9   P   2 8 Dấu ”=” xảy a b c 1 2 Câu [DS10.C4.2.E01.c] Cho hai số x , y thỏa mãn x  y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn M 4 x  xy  y Lời giải Cách 1)  x x     y 1 sin  2  2 Từ x  y 4 Đặt , y cos  M 16 sin   sin  cos   cos   sin 2  cos 2  Áp dụng BĐT Bunhiacopki ta có M đạt giá trị lớn  58 , M đạt giá trị nhỏ  58 Cách 2)  x  3xy  y  M  x2  y2 sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ta có kết 1  x, y, z      x2 1 y2 1 z2 1 Câu [DS10.C4.2.E01.c] Cho  x  y  z  xyz Chứng minh Lời giải xyz yz y z     x ( x  y  z )  xyz ( x  y )( x  z ) 2( x  y ) 2( x  z ) Ta có x  1  x z  2( x  y ) 2( y  z ) y 1 Tương tự VT z y   z  2( x  z ) 2( y  z ) Câu Suy đpcm dấu “=” x  y  z  [DS10.C4.2.E01.c] (HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012) 1  x, y , z      2 x 1 y 1 z 1 Cho  x  y  z xyz Chứng minh Lời giải xyz yz y z     x ( x  y  z )  xyz ( x  y )( x  z ) 2( x  y ) 2( x  z ) Ta có x  1  x z  2( x  y ) 2( y  z ) y 1 Tương tự VT z y   z  2( x  z ) 2( y  z ) Câu Suy đpcm dấu “=” x  y z  [DS10.C4.2.E01.c] Cho x , y, z số thực dương Chứng minh rằng: y x z 1      x  y y  z2 z3  x x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x , y, z ta được: x  y 2 x y 2 xy x y  z2 2 y z2 2 yz y z3  x 2 z3 x 2 zx z Khi BĐT cho trở thành: y y x z x z 1  2       2 x y y z z x xy x yz y zx z xy yz zx  1 1 1 1   2      xy xy  x y  x y Mặt khác, ta có: 1 1  1 1        yz  y z  zx  z2 x  CMTT: ; 1 1 1       2 y z Suy ra: xy yz zx x y x z 1  2  2 2 2 y z z x x y z Từ (1) (2) ta được: x  y Dấu “=” xảy  x y z 1 Câu x, y, z Chứng minh rằng: [DS10.C4.2.E01.c] (Sở GD-ĐT Bình Thuận) Cho số dương x2 y2 z2 xyz xy yz zx       yz zx x y x y yz zx Lời giải x2 yz y2 zx z2 x y   x;   y;  z y  z z  x x  y * Ta có: x2 y2 z2 xyz    Nên y  z z  x x  y , dấu “=” xảy x  y  z x  y 2xy y  z yz z  x zx  ;  ;  x y yz zx * Ta có: xyz xy yz zx    x  y y  z z  x , dấu “=” xảy x  y  z Nên