SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: Tốn - Bảng B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 01/12/2011 - Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: x  (1  x )3 3x  x  x Câu (3,0 điểm) Chứng minh biểu thức sau chia hết cho 250: M   (1  5) 2011  (1  5) 2011   20110 Câu (3,0 điểm) Cho x, y hai số thực thoả mãn x  xy  y 1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: P  x3 y  x y  3( x3 y  y x) Câu (4,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 0 un  n un   2009 n  2, 3,  v  với Đặt n   un   2011 k 1 uk  2009 a) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) n   n  2011 b) Tính lim Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực:  x  x y  2 x 2 x  x3  xy   y  10 x 14  xy Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC P điểm thuộc đoạn OH Chứng minh rằng: PA  PB  PC 3R HẾT -  Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay  Giám thị coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU Câu (3 điểm) Mơn: Tốn - Bảng B (Hướng dẫn chấm gồm trang) ĐÁP ÁN ĐIỂM 0,50 Điều kiện:   x 1 Đặt x cos t , t   0;  Ta phương trình: 4cos3 t  (1  cos t )3 3cos t  cos t  cos t 0,75  4cos3 t  sin t 3cos t.sin t  cos t (vì sin t 0, x   0;  ) Vì cos t 0 khơng thỏa phương trình (1), nên xét cos t 0 (1) Chia vế phương trình (1) cho cos3 t , ta phương trình: 0,75 tan t  tan t  3tan t  0  (tan t  1)(tan t  3) 0  tan t 1       tan t   t   k ; t   m; t   n (k , m, n  ) 3  tan t   Câu (3 điểm) 0,50 1   2 Vì t   0;  nên t  ; t  ; t  Suy x  ; x  ; x  3 2 Áp dụng khai triển nhị thức sau: 2010 2011 (1  x) 2011 C02011  C12011x  C22011x   C 2010  C 2011 2011 x 2011x 0,50 0,75 2010 2011 (1  x) 2011 C02011  C12011x  C 22011x   C 2010  C 2011 2011 x 2011x 2011 2011 3 2011 2011  (1  x)  (1  x) 2 C 2011x  C 2011x   C 2011x   2010  x  (1  x)2011  (1  x) 2011  2x C12011  C32011x   C 2011 2011x  Thay x =  (*) vào (*) ta  2011  (1  5) 2011  (1  5)2011  2.5 C2011  C2011 ( 5)   C2011 ( 5) 2010  Do M 2.5 C2011  5  C2011  5 2011   C2011  5 2010   0,75 (**) 2011 ( 5)   C2011 ( 5) 2010 chia hết cho 25, nên vế phải (**) số Vì C2010 Câu (3điểm) 1,0 0,50 nguyên chia hết cho 250, M chia hết cho 250 Ta có P x3 y  x y  3( x3 y  y x ) x y  3x y  3xy ( x  y ) 1,0  x y  3xy ( xy  x  y ) x3 y  xy Đặt t  xy , ta P t  3t Từ giả thiết x  xy  y 1  x  y 1  xy (2) 1,0 Từ (2) ta có: ( x  y ) 1  xy 0  xy  (3) Với x, y ta có ( x  y )  xy 0 nên ( x  y)  4xy 1  xy 0  xy  (4) Xét hàm số f (t ) t  3t , từ (3) (4) suy tập xác định hàm số 1  D   1;  3  f '(t ) 3t  3; f '(t ) 0  t   D 26  1 Ta có f ( 1) 2, f    27  3 Vậy : P   3 26 ; đạt t   ( x ; y )   3  27  1,0  3 ( x ; y )   ;    Câu (4 điểm) m ax P 2 đạt t   ( x ; y ) (1;  1) ( x ; y ) ( 1;1) a) Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) (2,0 điểm) un  2009 2un    1 Ta có un    un   2011  un   2011 u  2009 2010(un   2009) un  2009  n   2009   un   2011  un   2011 Suy 1,0 un  1  un       un  2009 1005  un  2009  Đặt yn  un  1  yn  yn y1  un  2009 1005 2009   Khi dãy (yn) có số hạng tổng quát yn    2009  1005  n cấp số nhân) Suy n 1,0   2009    2009 2009   (1005) n   1005  un   n 1  2009(1005) n     2009    1005  (vì dãy (yn) n   n  2011 b) Tính lim (2,0 điểm) Ta có 2009.2008(1005) k  1   uk  2009      k 1  2009(1005) uk  2009 2009.2008  1005  Do k1  2008 n     1 1 n                 2009.2008   1005   1005   1005   2008 k 1 uk  2009 0,50 n 0,50   n  1005      1005     n = 2009.2008.1004 2008   n  1005      1005   Suy Khi n     n  2011 2009.2008.1004(n  2011) 2008(n  2011) 1,0 n       1005          1005   n     lim  lim     n   n  2011 n   2009.2008.1004( n  2011) 2008( n  2011) 2008       Câu (3 điểm)  x  x( xy  y )  2 x x  x3 Hệ cho trở thành   xy  y 10 x  14 2 3  x  10 x  14 x  2 x x  x   xy  y 10 x  14 Ta nhận thấy x 0 không nghiệm hệ, xét x 0 Từ phương trình (5), chia hai vế cho x3 ta phương trình 2 Đặt 10 14   2  x x x x t , t 0 Khi ta thu phương trình: x 8t  14t  10t  2 2t  0,50 (5) (6) 0,50  (2t  1)  2(2t  1) (2t  1)  2t  (*) Xét hàm số f (u ) u  2u , u   Ta có f '(u ) 3u   0, u   0,50 Suy f(u) đồng biến  Từ (*) ta thấy f (2t  1)  f   2t  Do f(u) đồng biến, suy 2t  2t   2t  (2t  1)  2t (4t  7t  3) 0  t 1    t 3   x 1   x 4  0,50 + với x 1 , từ (6) suy  17  17 y  y  y  0  y  2 + với x  , từ (6) suy 1,0  10  10 y  y  y  0  y  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm: Câu (4 điểm)   17    17    10    10   1;  ,  1;  , ;  , ;  2 3        3   Đăt PO t HO, t  [0;1] Khi đó:        PA PO  OA t HO  OA (1  t )OA  t HA      PA  PA  (1  t )OA  t HA (1  t ) OA  t HA Tương tự suy ra: PA  PB  PC 3(1  t ) R  t ( HA  HB  HC )  3(1  t ) R  Rt (cosA+cos B +cos C) Chứng minh được: HA = 2RcosA, HB = 2RcosB, HC = 2RcosC r Lại có cos A  cos B  cos C 1  (**) R 2r (***) nên R 1,50 (*) 0,50 0,50 PA  PB  PC 3(1  t ) R  t (2 R  2r ) 3(1  t ) R  t (2 R  R ) 3R  Dễ dàng chứng minh cos A  cos B  cos C 1  4sin A B C sin sin 2 ∆ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r, (I ; r) tiếp xúc BC M 0,50 (7) B C r sin B C a BC BM  MC r cot  r cot  2 sin B sin C 2 A A r cos r cos A A  4R sin cos   r  Hay 2R sin A  B C 2 sin B sin C R sin sin 2 2 4sin A B C sin sin 2 0,50 (8) r (**) chứng minh R r S/ p 4S2 4(p  a)(p  b)(p  c)     Ta lại có R abc / 4S abcp abc Thay (8) vào (7) ta cos A  cos B  cos C 1   (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) 2abc TrongABC ta có : a2  a2 – (b  c)2 = (a + b  c)(a  b + c) b2  b2 – (ac)2 = (b + a  c)(b  a + c) c2  b2 – (a  b)2 = (c + a  b)(c  a + b)  a2.b2.c2  (a + b  c)2(b + c  a)2(c + a  b)2  abc  (a + b  c)(b + c  a)(c + a  b) Vậy r  (***) chứng minh R Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, cho điểm tối đa theo bước 0,50