I VECTƠ C H Ư Ơ N BÀI 4: TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I LÝ THUYẾT = = = TRỤC TỌA ĐỘ: I 1.1 Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục, hay trục số ) đường thẳng ta xác định điểm O   i 1 i vectơ đơn vị (tức )  Điểm O gọi gốc tọa độ, vec tơ i gọi vectơ đơn vị trục tọa độ Kí hiệu   O ; i  hay xOx đơn giản Ox 1.2 Tọa độ vectơ điểm trục:   O ; i   số a gọi tọa độ vectơ u trục + Cho vec tơ u nằm trục   O ; i  u ai  O;i   M + Cho điểm nằm số m gọi tọa độ điểm M trục     O ; i  OM mi  Như tọa độ điểm M tọa độ vectơ OM 1.3 Độ dài đại số vec tơ trục:  Cho hai điểm A , B nằm trục Ox tọa độ vectơ AB kí hiệu AB gọi độ  dài đại số vectơ AB trục Ox   Vậy: AB  AB.i Tính chất: + AB  BA   + AB CD  AB CD  A, B, C   O ; i  AB  BC  AC + : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 2.1 Định nghĩa:   Oy Ox i Hệ trục tọa độ gồm hai trục vng góc với hai vectơ đơn vị , j Điểm O gọi gốc tọa độ, Ox gọi trục hoành Oy gọi trục tung   O; i , j  Oxy Kí hiệu hay 2.2 Tọa độ điểm, tọa độ vectơ   O;i , j   x ; y  gọi tọa độ vectơ u + Trong hệ trục tọa độ , cặp số      u  x ; y  u  x ; y u  xi  yj Kí hiệu hay     O ; i , j  , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M , kí hiệu + Trong hệ trục tọa độ M  x ; y  hay M  x; y 2.3 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác  x  x y  yB  M A B ; A    + M trung điểm đoạn AB   x  x  x y  yB  yC  G A B C ; A 3  + G trọng tâm tam giác ABC    2.4 Biểu thức tọa độ phép toán vectơ   u  x ; y  u   x ; y Cho ; số thực k Khi ta có:  x  x   u u     y  y 1)   u u  x x ; y y 2)  k u  kx ; ky  3)  x kx        u k u u  4) phương ( ) tồn số cho  y ky  A  x A ; y A  B  xB ; y B  AB  xB  xA ; yB  y A  5) Cho , II VÍ DỤ MIN H HỌA = =  = O;i   Câu cho điểm I Trên trục  A , B , C có tọa độ ;  ; Tính độ dài đại số   BC AB AB vectơ ; Từ suy hai vectơ ; BC ngược hướng? Lời giải   BC 3     5 Ta có AB    , Do vectơ AB ngược hướng với vectơ i   vectơ BC hướng với vectơ i   b  j    Oxy a Câu Trong mặt phẳng tọa độ , cho 2i , , c 3i  j       a) Tìm tọa độ vectơ a , b , c , m 3a  b    b) Phân tích vectơ c theo hai vectơ a , b Lời giải    a  2;0  b  0;  3 c  3;   a) Ta có , ,      3a  6;   2b  0;6  m 3a  2b   0;0    6;6  Khi , nên   b) Ta có hai vectơ a , b không phương    c  xa  yb y Theo yêu cầu đề ta cần tìm số x , thỏa mãn   x    x  3  y 4  x  2;0   y  0;  3  3;    y    Suy  3 4 c  a b Vậy ta viết A  2;1 B   1;   C   3;2  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho , , a) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AC b) Chứng minh ba điểm A , B , C tạo thành tam giác c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Lời giải   1   1 3 M ; M ;    hay  2   a) Gọi M trung điểm AC   AB   3;  3 AC   5;1 b) Tính , dẫn đến hai vectơ khơng phương Nói cách khác ba điểm A , B , C tạo thành tam giác   1 1    1 G ; G ;   3  hay  3  c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC  A  2;1 B   1;   C   3;2  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho , , C a) Tìm tọa độ điểm E cho trung điểm đoạn thẳng EB b) Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải 2 xC  xE  xB  x   E  y  yE  y B  yE 6 a) Do C trung điểm đoạn thẳng EB nên  C E   5;  Vậy  D  xD ; yD   DC    xD ;  yD  b) Gọi     xD   x 0 AB DC    2  yD   y 5 Do tứ giác ABCD hình bình hành nên D  0;5  Ta thấy A , B , C , D không thẳng hàng Vậy đáp án toán A  1;3 B  4;0  Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm , Tìm tọa độ điểm M thỏa    AM  AB 0 ? Giả sử M  xM ; yM   suy Lời giải AM  xM  1; yM  3  AB  3;  3 3  xM  1  0  xM 0     3 y   0      M  yM 4  M  0;  Ta có: AM  AB 0 A  3;4  C  8;1 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có , Gọi M trung điểm cạnh BC , N giao điểm BD AM Xác định đỉnh cịn lại hình bình  13  N  ;2 hành ABCD , biết   Lời giải A B D N I M C Do I tâm hình bình hành ABCD , ta có I trung điểm đoạn thẳng AC nên  11  I ;   2 Xét tam giác ABC BI , AM hai đường trung tuyến nên N trọng tâm tam giác ABC 13  xB     x 2  B   yB 1 2   yB 1 B  2;1 Do  , D  xD ; y D  Do I trung điểm BD nên B  2;1 D  9;  Vậy , Gọi III = = =I HỆ THỐNG B ÀI TẬP 2  xD 11    y   D  xD 9   yD 4 nên D  9;  DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ TRÊN MẶT PHẲNG Oxy = = =I Câu BÀ I TẬ P T Ự L UẬN Trong mặt phẳng tọa độ M qua trục hoành? Oxy Cho điểm M  x; y  Tìm tọa độ điểm M1 đối xứng với Lời giải M đối xứng với M qua trục hoành suy M  x;  y  Câu Trong không gian  Ta có Câu Ta có: Câu Vectơ Oxy , cho hai điểm A  1;  , B   2;3  Tìm tọa độ vectơ AB ? Lời giải AB    1;3     3;1  a   4;    i; j  phân tích theo hai vectơ đơn vị      a   4;   a  4i  j  4i nào? Lời giải Oxy A(1;3) Trong hệ trục tọa độ , cho hình vng ABCD tâm I có Biết điểm B thuộc trục    Ox BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AC ? Lời giải Từ giả thiết ta xác định hình vng mặt y phẳng tọa độ Oxy hình vẽ bên A D Vì điểm A( 1; ) suy AB 3, OB 1 B  1;  , C  4;  , D  4;  Do  AC  3;  3 Vậy Câu O O B Cx  Oxy Trong mặt phẳng tọa độ Cho hình thoi ABCD cạnh a BAD 60 Biết A trùng với x 0 , yB 0 gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox B Tìm tọa độ đỉnh B C hình thoi ABCD Lời giải Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt phẳng tọa độ Oxy a  BI  AB sin BAI a sin 300  Gọi I tâm hình thoi ta có AI  AB  BI  a  a2 a  y B C A I D x a a  a a A  0;  , B  ;  , C a ; , D  ;   2 2    Suy   = = =I BÀ I TẬ P T R Ắ C NGHIỆM  Câu 1: [0H1-5.3-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ i    i  0;  i  0; 1 i  1;  A B C D  i  1; 1 Lời giải Chọn C  A  5;  B  10;  Câu [0H1-5.3-1] Trong hệ tọa độ Oxy, cho , Tìm tọa độ vectơ AB ? A  15; 10  B  2;  C  5;  D  50; 16  Lời giải Chọn C  AB  5;  Ta có  A  5;   , B  10;8  Oxy Câu [0H1-5.3-1]Trong mặt phẳng cho Tọa độ vectơ AB là:     AB  15;10  AB  2;  AB  5;10  AB  50;16  A B C D Lời giải Chọn C  A  5;   , B  10;8   AB  5;10  A  1;  B  3;5  Câu 4: [0H1-5.3-1] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm Khi đó:     AB   2;  1 BA  1;  AB  2;1 AB  4;9  A B C D Lời giải Chọn C  AB  2;1 Ta có : Câu 5: A  A  5;3 B  7;8  Oxy [0H1-5.3-1] Trong mặt phẳng tọa độ cho , Tìm tọa độ véctơ AB  15;10  B  2;5 C  2;  D   2;  5 Lời giải Chọn B  AB  2;5 Ta có : B  9;  , C  11;  1 Câu [0H1-5.3-2] Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có Gọi M , N lần  lượt trung điểm AB, AC Tìm tọa độ vectơ MN ? A  2;  8 B  1;  4 C  10;  D  5; 3 Lời giải Chọn B A N M C B  Ta có  1 MN  BC   2;    1;   2 Câu [0H1-5.3-2] Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có gốc O làm tâm hình vng cạnh song song với trục tọa độ Khẳng định đúng? A C   OA  OB  AB B x A  xC , y A  yC D    OA  OB, DC hướng xB  xC , yB  yC Lời giải Chọn A        OA  OB  CO  OB  CB  AB OA CO Ta có (do ) M  3;   M ,M Câu [0H1-5.3-2] Trong hệ tọa độ Oxy, cho Gọi hình chiếu vng góc M Ox, Oy Khẳng định đúng? A C OM    OM  OM   3;   B D Lời giải Chọn D Ta có M  3;  M  0;   , A Sai B Sai C Sai OM 3 OM     OM  OM M M  3;  OM 4   OM  OM  3;   Câu 10 [0H1-5.3-2] Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC , C  Ox Khẳng định sau đúng?  A AB có tung độ khác C C có hồnh độ khác B D A, B có tung độ khác x A  xC  xB 0 Lời giải Chọn C Ta có OABC hình bình hành    AB OC  xC ;    ABC a O BC Câu 11 cạnh , biết trung điểm , i    x j hướng với OC , hướng OA Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Gọi A , xB xC x x x , hoành độ điểm A , B , C Giá trị biểu thức A B C bằng:  O,i, j  , cho tam giác Trong hệ trục tọa độ a B A a C  D a Lời giải Chọn A ỉ a 3ư ỉa ổ a ữ Aỗ 0; - ; 0ữ ,C ç ; 0÷ ÷, B ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç x  x  x 0 è ø è ø è2 ø Ta có suy A B C   O,i, j ABC a O BC Câu 12 Trong hệ trục tọa độ  , cho tam giác cạnh , biết trung điểm , i   j hướng với OC , hướng OA Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC   a 3 G  0;    A   a 3 a  G  0; G  ;       B C Lời giải a  G  ;    D Chọn A  a 3 G  0;    Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm    AC 8, BD 6 OC ABCD Câu 13 tâm O có Biết i   j hướng, OB hướng Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC  O,i, j  , cho hình thoi Trong hệ trục tọa độ A G  0;1 B G   1;0  1   ;0   C  Lời giải Chọn A Ta có A ( - 4; 0) , C ( 4; 0) , B ( 0; 3) , D ( 0; - 3) Þ G ( 0; 1)  3  0;  2 D  DẠNG2: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC DẠNG    u  v, u  v, k u = = =I Câu Ta có Câu BÀ I TẬ P T Ự L Trong không gian UẬN Oxy     a  1;3 b  3;   a , cho hai vectơ , Tìm tọa độ vectơ  b ? Lời giải   a  b   3;3        2;7  Cho    a  x;  , b   5;1 , c  x;     x c Tìm để Vec tơ 2a  3b Lời giải Ta có Câu x 2.x      x 15 Cho hai điểm A  1;0  B  0;     Tọa độ điểm D cho AD  AB là: Lời giải Ta có Câu  xD     1  x 4  D   yD        yD 6  D  4;  Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  1;3 , B  4;0     Tọa độ điểm M thỏa AM  AB 0 Lời giải    3  xM  1    1 0  x 0 AM  AB 0    M  M  0;  y  y          M  M  Ta có: Câu Oxy Trong , cho điểm   mặt phẳng MA  BC 4CM là: A   3;3 , B  1;  , C  2;   Tọa độ điểm M thỏa mãn Lời giải     xM  2    xM     1 4  xM    5 2MA  BC 4CM     M  ;   6  y  2   yM       4  yM   M  Ta có:  = = =I BÀ I TẬ P T R Ắ C NGHIỆM     a   1;  b  5;   a Câu [0H1-5.3-1] Cho , Tìm tọa độ  b A  6;  9 B  4;  5 C Lời giải   6;  D   5;  14 