TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN, BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN LỚP 10 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ 2022 2023 (Thời gian làm bài 180 phút) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm Bài 1 (4đ) Cho[.]
TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN, BÌNH ĐỊNH Bài Bài (4đ) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MƠN TỐN LỚP 10 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ 2022-2023 (Thời gian làm bài: 180 phút) HƯỚNG DẪN CHẤM Đáp án Điểm P x xQ x x x hệ số nguyên thỏa mãn P 2023 Q 2023 Chứng minh 2022 ước chung 3 P x P 1 x P x P 1 x x Đầu tiên ta thấy , nên Q x Q 1 x x Tương tự ta có Khi đó: P x xQ x3 x x Cho đa thức P x ,Q x P x P 1 x Q x Q 1 P 1 xQ 1 x x P 1 xQ 1 x x 0,5 0,5 1 P 1 Q 1 0 Bài (4đ) Từ đây, suy ra: P 2023 P 2023 P 1 2022 , Q 2023 Q 2023 Q 1 2022 Ta có điều phải chứng minh Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh 10 x y z 10 y 3x 3z 10 z 3x y 3 2x2 y z y2 x z 2z x y Vì x y z 3 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 13 x 13 y 13 z 3 2 x x 1 y y 1 z z 1 (*) 13 x 1 x 1 Với số thực dương x ta ln có x x (vì tương đương với 0,5 0,5 1đ 2đ x 1 x 0 ) VT x 1 y 1 z 1 3 Từ * Bài (4đ) 1đ Cho tam giác nhọn ABC có B C , đường cao BE CF giao H Gọi M trung điểm cạnh BC , K L trung điểm ME , MF Đường thẳng qua A cắt đường thẳng KL T Chứng minh TA TM 0,5 Gọi I trung điểm AH , I tâm đường trịn qua điểm A, E , F , H Để ý rằng, tam giác IHE cân I , tam giác MEF cân M , IHE ACB phụ với HAE Từ ta có biến đổi sau: IEM IEH HEM IHE HBM ACB HBM 90o AEF Suy ME IE Do ME tiếp xúc với AEF Tương tự ta có MF tiếp xúc với Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đường trịn tâm M bán kính r0 0 , ta có: KE KM (gt) Phương tích điểm K hai đường tròn LF LM (gt) Phương tích điểm L hai đường tròn Do KL trục đẳng phương hai đường trịn nói Suy điểm T có phương tích hai đường trịn Vì AT || BC , AH BC nên AT AH , suy AT tiếp xúc với , tức phương tích điểm T TA Hơn nữa, phương tích điểm T 2 2 TM , TA TM (đpcm) a1 a2 as Với số nguyên dương n , gọi p1 p2 ps phân tích thừa số nguyên tố n , n a1 a2 as đặt Chứng minh rằng, tồn 2023 số nguyên dương liên tiếp, n 11 cho có 2007 số nguyên n thỏa mãn Bài (4đ) f n k n, n 2023 k 11 f n f n 1 Đặt Dễ thấy không đơn vị k log 2023 11 f 1 2024 Với k 2023 , Gọi q1 , q2 , , q2024 dãy số nguyên tố tăng dần từ Theo định lý phần dư Trung Hoa, tồn số nguyên dương n0 cho 1 n0 n0 n0 n 0 mod q111 1 mod q11 mod q311 2023 mod q11 2024 n0 0 mod q111 n0 0 mod q11 n0 0 mod q311 n 2023 0 mod q11 2024 f n 0 Điều có nghĩa f n f n 1 Từ kiện: không đơn vị, f 1 2022 f n n , có số nguyên dương cho Suy tồn số f n1 2007 n 1; n nguyên dương cho (đpcm) Bài Cho5 trước điểm A, B, C , D, E , F , G, H , K , L mặt phẳng Bạn Hùng muốn vẽ hình bên (4đ) nét vẽ (Tức từ lúc bắt đầu vẽ đến lúc kết thúc, không nhấc bút lên không đồ lên nét vẽ) Bạn Hùng thực mong muốn khơng? Nếu bạn nêu cách vẽ, khơng giải thích sao? Giả sử ta vẽ hình theo mong muốn bạn Hùng Ta gọi đường nối hai đỉnh cạnh liên thuộc hai đỉnh Khơng tính tổng qt, giả sử nét vẽ đỉnh X X , Y A, B, C , D, E , F , G, H , K , L kết thúc đỉnh Y , Z A, B, C , D, E , F , G, H , K , L Trường hợp X Y : Xét đỉnh mà Z X , Z Y Vì nét vẽ xuất phát từ X kết thúc Y , nên nét vẽ cạnh liên thuộc X nét vẽ rời khỏi X nét vẽ cạnh liên thuộc cuối X nét vẽ rời khỏi X , số cạnh liên thuộc X phải số lẻ Lập luận tương tự, số cạnh liên thuộc Y số lẻ Vì Z X , Z Y nên nét vẽ cạnh liên thuộc Z tiến vào Z nét vẽ cạnh liên thuộc cuối Z rời khỏi Z , số cạnh liên thuộc với Z số chẵn Tóm lại trường hợp này, số cạnh liên thuộc X Y số lẻ, số cạnh liên thuộc đỉnh lại số chẵn Z A, B, C , D, E , F , G, H , K , L Trường hợp X Y : Xét đỉnh mà Z X Vì nét vẽ xuất phát từ X kết thúc X , nên nét vẽ cạnh liên thuộc X rời khỏi X nét vẽ cạnh liên thuộc cuối X tiến vào X , số cạnh liên thuộc X phải số chẵn Vì Z X nên nét vẽ cạnh liên thuộc Z tiến vào Z nét vẽ cạnh liên thuộc cuối Z 1 rời khỏi Z , số cạnh liên thuộc với Z số chẵn Tóm lại trường hợp này, số cạnh liên thuộc tất đỉnh số chẵn Ta quan sát hình vẽ thấy đỉnh A, C , G , K có số lẻ cạnh liên thuộc ĐIều mâu thuẫn với hai trường hợp nói Như bạn Hùng khơng thể vẽ hình nói nét bạn mong muốn LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng chấm điểm cho phần