TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI VIỆN ĐÀO TẠO QUỐC TẾ BỘ MÔN TOÁN ĐẠI CƯƠNG Chủ đề: Tìm hiểu về vấn đề chi tiêu hàng tháng của sinh viên trường đại học Thương Mại... Trong bài thảo luận này,
Ước lượng
Khi nghiên cứu một dấu hiệu X trên một đám đông, các đại lượng đặc trưng của X được gọi là tham số lý thuyết, bao gồm trung bình đám đông μ = E(X) và phương sai σ = Var(X) Những tham số này thường chưa được biết đến vì mục tiêu không phải là điều tra toàn bộ đám đông.
Ta ký hiệu chung cho các tham số cần ước lượng là X Có hai phương pháp ước lượng là ước lượng điểm và ước lượng khoảng tin cậy.
Giả sử cần ước lượng tham số hoặc p của đại lượng ngẫu nhiên gốc X (gọi chung là tham số đặc trưng, kí hiệu là θ )
+ Tham số θ nói chung chưa biết
+ Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W= ( X1, X2, X3, Xn)
+ Xây dựng thống kê θ * = f( X1, X2, X3, Xn) tương ứng
+ Dựa vào tham số θ * để ước lượng tham số θ
+ Khi n khá lớn, ta có thể lấy ước lượng điểm: θ * = θ
X ´ là ước lượng điểm của μ.
S 2 ( hoặc S’ 2 ) là ước lượng điểm của σ 2
f là ước lượng điểm của p.
2 Ước lượng bằng khoảng tin cậy
Các phương pháp ước lượng điểm, mặc dù đơn giản, nhưng không cung cấp thông tin về sai số và khả năng mắc lỗi trong ước lượng Đặc biệt, với kích thước mẫu nhỏ, ước lượng điểm có thể rất sai lệch so với giá trị thực của tham số Do đó, để đánh giá khả năng mắc lỗi, người ta thường sử dụng phương pháp ước lượng khoảng đáng tin cậy Để ước lượng tham số θ của đại lượng ngẫu nhiên X, trước tiên cần lấy mẫu ngẫu nhiên với kích thước n: W = (X1, X2, X3, , Xn).
Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê G = f( X1, X2,
X3, ,Xn, θ là các biến số sao cho quy luật phân phối xác suất của G được xác định hoàn toàn và không phụ thuộc vào tham số θ, trong khi thống kê G lại hoàn toàn phụ thuộc vào θ.
Với xác suất γ = 1- α cho trước ta xác định cặp giá trị α1, α2 thỏa mãn các điều kiện α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 và α1 + α2 = α Từ quy luật phân phối xác suất của G
Từ đó xác định được phân vị g1-α1 và gα2 sao cho:
Cuối cùng bằng biến đổi tương đương ta có:
P(θ * 1 < θ < θ * 2) = 1- α = γ Trong đó: γ = 1- α được gọi là độ tin cậy.
Khoảng (θ * 1, θ * 2) được gọi là khoảng tin cậy. Độ dài I= θ * 2 - θ * 1 được gọi là độ dài của khoảng tin cậy
3 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng
Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu E(θ*)= θ. Ngược lại nếu E(θ*) ≠ θ thì ta nói θ* là ước lượng chệch của θ
Ta có: X ´ là ước lượng không chệch của μ.
S’ 2 là ước lượng không chệch của σ 2
Nếu θ* là ước lượng chệch của θ song thỏa mãn điều kiện:
Thì θ* được gọi là ước lượng tiệm cận không chệch của θ.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi ε>0 ta có:
Theo định lí Trebusep thì là ước lượng vững của μ.
Theo định lí Bernoulli thì tần suất mẫu f là ước lượng vững của tỉ lệ đám đông p.
Nếu θ* là ước lượng không chệch của θ và
Thì θ* là ước lượng vững của θ.
Thống kê θ* là ước lượng hiệu quả của tham số θ trong phân phối xác suất gốc X, với đặc điểm là ước lượng này không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với các ước lượng không chệch khác được xây dựng từ cùng một mẫu.
- Ta có: X ´ là ước lượng hiệu quả của μ
Tần suất mẫu f được sử dụng để ước lượng tỉ lệ đám đông p Nếu θ*1 và θ*2 là hai ước lượng không chệch của θ, với Var(θ*1) nhỏ hơn Var(θ*2), thì θ*1 sẽ được coi là ước lượng hiệu quả hơn.
Ước lượng kì vọng toán
Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn nhưng ta chưa biết kỳ vọng E(X) = μ của X.
Ta tìm khoảng tin cậy của μ.
* Trường hợp 1: Biết phương sai σ 2 hay biết độ lệch tiêu chuẩn σ.
Khoảng tin cậy của μ với độ tin cậy β =1 −α là (´´ x − ε , ´ x+ ε ¿ trong đó u α 2 là giá trị tới hạn chuẩn mức α 2 của phân bố chuẩn tắc, ε
- Khoảng tin cậy phải (ước lượng giá trị tối thiểu) :
Phương pháp: Khoảng tin cận phải của μ là ( X −u ´ α σ
√ n ; + ∞ ) và giá trị tối thiểu của μ là X −u ´ α σ
√ n Chú ý: Nếu μ đã biết thì ước lượng giá trị tối đa của X ´ là μ+ u α σ
- Khoảng tin cậy trái (ước lượng giá trị tối đa )
Phương pháp: Khoảng tin cận trái của μ là ( − ∞ ; X ´ +u α σ
√ n ) và giá trị tối đa của μ là X ´ +u α σ
√ n Chú ý: Nếu μ đã biết thì ước lượng giá trị tối thiểu của X ´ là μ −u α σ
* Trường hợp 2: n 30, phương sai chưa biết
Khoảng tin cậy của μ với độ tin cậy β =1 −α là (´´ x − ε , ´ x+ ε ¿ trong đó u α 2 là giá trị tới hạn chuẩn mức α 2 của phân bố chuẩn tắc, ε u α
* Trường hợp 3: n 4 tr là hợp lí nằm trong khoảng 23,48% - 47,72% b, Giả thiết f có phân phối chuẩn
Ta có sai số ε =√ pq n u α 2 => n= pq u ε 2 2 α 2
Vì chưa biết p, n lớn ta lấy: p ≈ f =¿ 0,356 q ≈ 1 − f =0.644 vì 1 – α = 0.99 nên u α 2 =u 0,005 =2.58
Nhận xét : Vậy cần kiểm tra thêm 153 - 60 = 93 sinh viên nữa để đảm bảo khi ước lượng đạt độ tin cậy 99% và sai số không vượt quá 0,1
Khảo sát 60 sinh viên Đại học Thương Mại cho thấy 58.3% trong số họ có mức chi tiêu trung bình hàng tháng từ 1 triệu đến 2 triệu đồng cho việc ăn uống và tụ tập bạn bè Với độ tin cậy 95%, ta ước lượng tỷ lệ sinh viên cho rằng mức chi tiêu này là hợp lý Để đạt được độ tin cậy 99% và sai số không vượt quá 0.1, cần thiết phải khảo sát thêm một số lượng sinh viên nhất định.
Tỷ lệ sinh viên Đại học Thương mại có mức chi tiêu trung bình hàng tháng từ 1 triệu đến 2 triệu đồng cho việc ăn uống và tụ tập bạn bè là f, dựa trên khảo sát 60 sinh viên Trong tổng số sinh viên của trường, tỷ lệ p cho thấy số lượng sinh viên cho rằng họ chi tiêu trong khoảng này cũng là một yếu tố đáng chú ý.
Vì n= 60 khá lớn nên: f = N( p, pq n ) → U f − p
Khi đó tìm được u α 2 sao cho:
Thay biểu thức của U vào công thức trên, ta có:
Vì chưa biết p, n lớn ta lấy: p ≈ f =¿ 0,269 q ≈ 1 − f =0 731
Khoảng tin cậy của p là: (0,2348 ; 0,4772)
Kết luận: Với độ tin cậy 95% có thể nói rằng tỉ lệ sinh viên Đại học
Thương mại cho rằng mức chi tiêu trung bình một tháng từ 1tr -> 2tr là hợp lí nằm trong khoảng 23,48% - 47,72% b, giả thiết f có phân phối chuẩn
Ta có sai số ε =√ pq n u α 2 => n= pq u α 2
Vì chưa biết p, n lớn ta lấy: p ≈ f =¿ 0,269 q ≈ 1 − f =0 ,731 vì 1 – α = 0.99 nên u α 2 =u 0,005 =2.58
Nhận xét : Vậy cần kiểm tra thêm 131 - 60 = 71 sinh viên nữa để đảm bảo khi ước lượng đạt độ tin cậy 99% và sai số không vượt quá 0,1
Chương III, Cơ sở lý thuyết kiểm định giả thuyết thống kê
Các khái niệm
Biến ngẫu nhiên với hàm phân phối F(x,θ) có tham số θ chưa biết cho phép chúng ta phát biểu nhiều giả thuyết thống kê khác nhau về θ.
Trong nghiên cứu tổng thể qua một dấu hiệu X, việc kiểm tra sự tồn tại của X gặp khó khăn do thiếu thông tin đầy đủ Do đó, thông tin từ mẫu sẽ được áp dụng để đánh giá tính chất của X thông qua một phương pháp toán học, được gọi là kiểm định giả thuyết thống kê Kiểm định này bao gồm ba loại khác nhau.
Kiểm định về dạng phân phối
Kiểm định về tham số đặc trưng
Kiểm định về tính độc lập của các biến ngẫu nhiên
Các mệnh đề cần kiểm định sẽ được đặt dưới dạng cặp giả thuyết:
Giả thuyết của tham số đưa ra kiểm định gọi là giả thuyết gốc, kí hiệu
Giả thuyết khác với giả thuyết gốc gọi là đối thuyết, kí hiệu H 1
Nguyên lý xác suất nhỏ cho rằng khi một biến cố có xác suất xuất hiện rất thấp, ta có thể coi như biến cố đó không xảy ra trong quá trình thực hiện phép thử liên quan.
Mức xác suất được coi là nhỏ tùy thuộc vào từng bài toán và gọi là mức ý nghĩa
Nguyên lý xác suất nhỏ là nền tảng cho phương pháp kiểm định, trong khi nguyên lý xác suất lớn khẳng định rằng nếu một biến cố có xác suất rất cao, thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ xảy ra.
Mức xác suất đủ lớn gọi là độ tin cậy
Nguyên lý xác suất lớn là cơ sở của phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy
Tiêu chuẩn kiểm định là một thống kê G với mẫu ngẫu nhiên
Tiêu chuẩn kiểm định: a, Một mẫu
* Trung bình tổng thể đã biết phương sai theo phân phối chuẩn
* Trung bình tổng thể chưa biết phương sai tổng thể theo luật Student T(n-1): t = ( ´ x − μ 0 )/ √ n s
* Phương sai tổng thể phân phối chuẩn χ2(n–1)
*Tần suất tổng thể theo phân phối Không – Một N(0; 1)
* Hiệu hai trung bình của hai tổng thể theo phân phối chuẩn đã biết phương sai hai tổng thể ~ N(0; 1):
* Hiệu hai trung bình của hai tổng thể với mẫu lớn chưa biết phương sai tổng thể thì phân phối Student xấp xỉ quy luật Chuẩn hóa N(0; 1):
* Hiệu hai trung bình của hai tổng thể với mẫu nhỏ chưa biết phương sai tổng thể phân phối theo quy luật Student T(k): t ´ x 1 − ´ x 2
(*) k = n 1 + n 2 −2 nếu biết phương sai hai tổng thể bằng nhau.
2 n 2 − 1 nếu biết phương sai hai tổng thể không bằng nha
* Hiệu hai trung bình cho hai mẫu phối hợp từng cặp (1 dấu hiệu ở hai thời kì khác nhau) theo phân phối chuẩn: t = ( ´ a − μ) ´ √ n s d
( x 1i − x 2 i ) là chênh lệch trung bình của hai mẫu.
(a i − a) ´ 2 là độ chênh lệch phương sai của hai mẫu.
* Phương sai hai thể phân phối chuẩn thì tiêu chuẩn kiểm định
2 s 2 2 ~ F( n 1 − 1, n 2 − 1) sẽ phân phối theo quy luật Fisher – Snedecor với hai bậc tự do n 1 −1 và n 2 −1
* Tần suất hai tổng thể
1 +n 2 là tần suất kết hợp hai mẫu.
3 Quy tắc kiểm định
Xác định miền giá trị W α - là miền bác bỏ H 0 với mức ý nghĩa α đủ nhỏ (thường lấy giá trị α ≤ 0.05)
Nếu giá trị của G ∈ W α thì bác bỏ H 0
Nếu giá trị của G ∉ W α thì chấp nhận H 0 a Các loại sai lầm
Sai lầm loại 1: bác bỏ một điều đúng - bác bỏ H 0 khi H 0 đúng Xác suất mắc sai lầm loại 1 bằng mức ý nghĩa là α
Sai lầm loại 2 xảy ra khi chấp nhận giả thuyết không (H0) mặc dù nó là sai Xác suất mắc phải sai lầm này được ký hiệu là β, trong khi 1 - β được gọi là lực kiểm định Các dạng miền tới hạn cũng cần được xem xét trong bối cảnh này.
Người ta chọn miền tới hạn W α của tiêu chuẩn G phụ thuộc vào giả thuyết
+ Nếu H 0: θ = θ 0, H 1:θ ≠ θ 0 thì ta thực hiện kiểm định hai phía với:
+ Nếu H 0: θ = θ 0, H 1: θ < θ 0 (đối thuyết lệch trái) thì ta chọn G 1 thỏa:
+ Nếu H 0: θ = θ 0, H 1: θ > θ 0(đối thuyết lệch phải) thì ta chọn G 2 thỏa: P(G
Bài toán 1: Khảo sát về số tiền chi tiêu trung bình 1 tháng của sinh viên trường đại học Thương Mại:
Với mức ý nghĩa 0.05 có thể nói rằng số tiền trung bình một tháng mà sinh viên chi tiêu là ít hơn 3 triệu hay không?
X: số tiền chi tiêu 1 tháng của sinh viên trường Đại học Thương mại ´ x : số tiền trung bình chi tiêu 1 tháng của sinh viên trường Đại học
Với mức ý nghĩa 0.05 cần kiểm định: { H 1 : μ u tn ∈ W ∝ => Bác bỏ H 0 chấp nhận H 1
=> Kết luận: số tiền chi tiêu trung bình 1 tháng của sinh viên trường đại học Thương Mại là ít hơn 3 triệu
Một nhóm sinh viên trường Đại học Thương Mại đã tiến hành kiểm định sự khác biệt trong chi tiêu hàng tháng giữa hai tháng đầu và hai tháng sau Họ ghi lại số tiền chi tiêu của mình trong 4 tháng liên tiếp để phân tích dữ liệu.
Sử dụng phương pháp kiểm định để xác định sự khác biệt trong chi tiêu hàng tháng của sinh viên giữa hai tháng đầu và hai tháng sau Nếu phát hiện có sự khác biệt, cần đề xuất các giải pháp nhằm giảm chi tiêu và đảm bảo sinh viên không rơi vào tình trạng thiếu tiền trong suốt thời gian học tập.
- Trung bình nhóm 1 (2 tháng đầu):
- Trung bình nhóm 2 (2 tháng sau):
Trong hai tháng đầu và hai tháng sau, sinh viên có sự khác biệt rõ rệt trong chi tiêu hàng tháng Để giảm bớt chi phí và tránh tình trạng thiếu tiền trong quá trình học tập, sinh viên nên tìm kiếm các nguồn thu nhập bổ sung, cắt giảm những khoản chi không cần thiết, và tham gia vào các chương trình hỗ trợ tài chính từ trường hoặc các tổ chức khác.
Bài tập
Bài toán 1: Khảo sát về số tiền chi tiêu trung bình 1 tháng của sinh viên trường đại học Thương Mại:
Với mức ý nghĩa 0.05 có thể nói rằng số tiền trung bình một tháng mà sinh viên chi tiêu là ít hơn 3 triệu hay không?
X: số tiền chi tiêu 1 tháng của sinh viên trường Đại học Thương mại ´ x : số tiền trung bình chi tiêu 1 tháng của sinh viên trường Đại học
Với mức ý nghĩa 0.05 cần kiểm định: { H 1 : μ u tn ∈ W ∝ => Bác bỏ H 0 chấp nhận H 1
=> Kết luận: số tiền chi tiêu trung bình 1 tháng của sinh viên trường đại học Thương Mại là ít hơn 3 triệu
Một nhóm sinh viên trường Đại học Thương Mại đã tiến hành kiểm định sự khác biệt trong chi tiêu hàng tháng của họ giữa hai tháng đầu và hai tháng sau Họ ghi lại số tiền chi tiêu hàng tháng trong suốt 4 tháng liên tiếp để phân tích dữ liệu.
Sử dụng phương pháp kiểm định để xác định sự khác biệt trong chi tiêu hàng tháng của sinh viên giữa hai tháng đầu và hai tháng sau Nếu phát hiện có sự khác biệt, cần đề xuất giải pháp giảm chi tiêu nhằm đảm bảo sinh viên không rơi vào tình trạng thiếu tiền trong quá trình học tập.
- Trung bình nhóm 1 (2 tháng đầu):
- Trung bình nhóm 2 (2 tháng sau):
Trong hai tháng đầu và hai tháng sau, chi tiêu hàng tháng của sinh viên có sự khác biệt đáng kể Để giảm chi phí và đảm bảo tài chính trong quá trình học tập, sinh viên nên xem xét các giải pháp như tìm kiếm nguồn thu nhập bổ sung, cắt giảm các khoản chi không cần thiết, và tìm kiếm các chương trình hỗ trợ tài chính từ trường hoặc các tổ chức khác.
