CHƯƠNG IX QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC Bài QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC A LÝ THUYẾT 1) Góc đối diện với cạnh tam giác  Ví dụ 1: Cho ΔABCABC , góc A gọi đối diện với cạnh BC ( Hình 1) A Ví dụ 2: Cho ΔABCABC có AB  AC ( Hình 2)   Cạnh AB đối diện với C , cạnh AC đối diện với B   Nhận thấy B  C B C Hình A B C Hình Kết luận:  Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn  Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Chú ý:  Trong tam giác vng, góc vng góc lớn nhất, nên cạnh huyền cạnh lớn  Trong tam giác tù, góc tù góc lớn B LUYỆN TẬP B A Bài 1: Cho Hình  a) Tính A b) So sánh ba cạnh ΔABCABC Bài 2: Cho Hình  a) Tính B b) So sánh ba cạnh ΔABCABC Bài 3: Cho Hình  a) Góc A góc gì? b) So sánh AC AB Bài 4: Cho Hình  a) Tính A b) So sánh BC AB B 500 600 300 A Hình C C Hình A A 1100 B 300 B C 500 C Hình Hình A A 11m 10m 4cm   Bài 5: Cho Hình So sánh C A B Bài 6: Cho Hình   a) So sánh A với B   b) So sánh B với C   Bài 7: Cho Hình So sánh B C Bài 8: Cho Hình 10 So sánh AB cạnh BC C 6cm B 12m Hình Hình A 7cm B C C 7cm Hình C A Hình 10 B Bài 9: Cho ΔABCABC vuông A, điểm K nằm A C So sánh BK BC ( Hình 11) B  Bài 10: Cho ΔABCABC có B  90 , điểm D nằm B C Chứng minh AB  AD  AC ( Hình 12) A A  Bài 11: Cho ΔABCABC có A góc tù Trên cạnh AB lấy D ( Hình 13) C K Hình 11 B B C D D Hình 12 a) So sánh CA, CD, CB b) Trên cạnh AC lấy điểm E So sánh DE BC  Bài 12: Cho ΔABCABC vuông A , tia phân giác B C A E Hình 13 B cắt AC D So sánh AD DC ( Hình 14) ( Gợi ý: Lấy điểm E BC cho BA BE ) A C D Hình 14 Bài 13: Cho ΔABCABC có AB  AC Gọi M trung   điểm BC So sánh BAM MAC ( Hình 15) A ( Gợi ý: Lấy điểm D cho M trung điểm AD) Bài 14: Cho ΔABCABC , Lấy D cạnh BC Từ D kẻ DH  AB, DK  AC Chứng minh DH  DK  BC ( Hình 16) B A C M Hình 15 K H B D C D Hình 16 A  Bài 15: Cho ΔABCABC có AB  AC  BC Tia phân giác A  cắt BC D Tia phân giác B cắt AC E Hai tia phân giác cắt I So sánh: a) IA IB ( Hình 17)  b) AEB CEB E I B C D Hình 17 Bài 16: Cho ΔABCABC nhọn, D nằm B C cho AD khơng vng góc với BC A Gọi H K chân đường vuông góc từ B, C đến AD ( Hình 18) a) So sánh BH  CK với AB  AC b) So sánh BH  CK với BC H B D K Hình 18 C Bài QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN A LÝ THUYẾT 1) Khái niệm đường vng góc đường xiên Ví dụ 1: Cho đường thẳng d điểm A  d Từ A kẻ AH  d Khi AH gọi đường vng góc kẻ từ A đến đường thẳng d ( Hình 1) Lấy điểm M  d cho M  A A Khi AM gọi đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d d H M H Nhận thấy ΔABCAHM vng H nên góc lớn Hình  M   AM  AH H Khi Kết luận:  Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn  Vì AH độ dài ngắn từ A đến H nên AH gọi khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d B BÀI TẬP Bài 1: Cho Hình a) Chỉ đâu đường vng góc, đâu đường xiên b) So sánh OB OH O E a x Bài 2: Cho Hình Biết EF ∥ BC a) Chỉ đường vng góc, đường xiên b) So sánh EF với EO BC với CO B C H Hình F O B Hình Bài 3: Cho Hình A C a) Xác định khoảng cách từ A đến BC b) Xác định khoẳng cách từ B đến AC A B C Hình Bài 4: Cho Hình a) Chỉ khoảng cách từ A đến BC b) So sánh đường xiên AK AC B C K A Hình Bài 5: Cho Hình a) Chỉ đường vng góc b) Chứng minh BH ∥ CK H A B K E B Hình C Hình C D D c) So sánh BH  CK với BC Bài 6: Cho Hình So sánh BD  CE với AB  AC H Bài 7: Cho ΔABCABC cân A M trung điểm BC ( Hình 8) a) Chứng minh AM đường vng góc kẻ từ A đến BC A b) Chứng minh khoảng cách từ M đến hai cạnh AB, AC Bài 8: Cho ΔABCABC M , N trung điểm AB, AC Vẽ MH  BC , NK  BC AI  MN Biết MN ∥ BC B M Hình a) Chứng minh ΔABCAIN ΔABCNKC ( Hình 9) b) Chứng minh khoảng cách từ M N đến BC A A M B I H M N N H K C Hình B K D C Hình 10 Bài 9: Cho ΔABCABC cân A D trung điểm BC Trên AB, AC lấy hai điểm N , M cho AN  AM ( Hình 10) a) Chứng minh ΔABCABM ΔABCACN b) Chứng minh khoảng cách từ D tới BM , CN C Bài QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH TRONG MỘT TAM GIÁC A LÝ THUYẾT a) Bất đẳng thức tam giác Ví dụ 1: Vẽ ΔABCABC biết BC 5cm, AB 2cm, AC 1cm Nhận thấy ta vẽ ΔABCABC Nhận xét, giả sử ΔABCABC biết BC 5cm, AB 2cm, AC 3cm 2cm 1cm B C 5cm Khi điểm A nằm cạnh BC Hình Kết luận:  Trong tam giác , độ dài cạnh ln nhỏ tổng độ dài hai cạnh cịn lại Cụ thể: ΔABCABC ( Hình 2) BC  AB  AC A  Ngược lại, tam giác độ dài cạnh ln lớn hiệu hai cạnh cịn lại Cụ thể: ΔABCABC AC  BC  AB  Để kiểm tra độ dài ba đoạn thẳng có ba cạnh tam giác hay không ta cần kiểm tra cạnh lớn với tổng hai cạnh lại  Với ba điểm A, B, C ta ln có AB  BC  AC C B Hình B LUYỆN TẬP Bài 1: Hãy kiểm tra xem độ dài ba đoạn thẳng sau có cạnh tam giác hay không? a) 2cm, 3cm, 6cm b) 2cm, 4cm, 6cm c) 3cm, 4cm, 6cm Bài 2: Hãy kiểm tra xem độ dài ba đoạn thẳng sau có cạnh tam giác hay không? a) 5cm, 10cm, 12cm b) 2cm, 4cm, 3cm c) 1cm; 2cm; 3,5cm Bài 3: Cho ΔABCABC cân Tính chu vi biết AB 5cm, AC 12cm Bài 4: Cho ΔABCABC cân Tính chu vi biết AB 6cm, AC 13cm Bài 5: Cho ΔABCABC cân Tính chu vi biết AB 4cm, AC 9cm Bài 6: Tính chua vi ΔABCABC biết AB 1cm, BC 5cm AC số nguyên Bài 7: Cho ΔABCABC , BC cạnh lớn Gọi AH đường vng góc kẻ từ A A đến BC ( Hình 3) a) So sánh AB  AC với BH  CH b) Chứng minh AB  AC  BC Bài 8: Cho ΔABCABC có BC cạnh lớn Vẽ đường cao AH ( Hình 4) A giác Từ D vẽ DE  BC  E  BC  a) Chứng minh DA DE ( Hình 5) b) Gọi ED cắt AB F C H Hình   a) Vì B , C khơng thể góc tù vng b) Chứng minh BC  AB  AC  AH Bài 9: Cho ΔABCABC vuông A Vẽ tia phân BD  D  AC  B F B H C Hình A D B E Hình C Chứng minh ΔABCADF  ΔABCEDC suy DF  DE Bài 10: Cho ΔABCABC Điểm D nằm B C AB  BC  CA AD  Chứng minh ( Hình 6) A B Bài 11: Cho ΔABCABC Gọi M điểm nằm ΔABCABC AB  BC  CA MA  MB  MC  a) Chứng minh ( Hình 7) b) ΔABCMA  MB  MC  AB  BC  CA D C Hình A M B Hình C Bài SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC A LÝ THUYẾT 1) Sự đồng quy ba đường trung tuyến tam giác Ví dụ 1: Cho ΔABCABC , M trung điểm BC Khi đoạn thẳng AM gọi đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A đường trung tuyến ứng với cạnh BC ( Hình 1) A C B M Đường thẳng AM gọi đường trung tuyến ΔABCABC Hình Kết luận:  Đường trung tuyến tam giác đường thẳng qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện  Trong tam giác có ba đường trung tuyến  Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm, điểm cách đỉnh độ dài đường trung tuyến ( Hình 2) AG  AM Cụ thể:  Điểm G gọi trọng tâm ΔABCABC  Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông nửa cạnh huyền ( Hình 3) AM  A G B C M Hình B BC BM CM M Cụ thể:  Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên ( Hình 4) A C Hình Cụ thể: ΔABCABC cân A  BM CN Và ngược lại tam giác có hai đường trung tuyến Thì tam giác tam giác cân  Trong tam giác đều, ba đường trùng tuyến 2) Sự đồng quy ba đường phân giác tam giác  Ví dụ 2: Cho ΔABCABC , tia phân giác A cắt BC D A N B M Hình C Khi đoạn thẳng AD gọi đường phân giác xuất phát từ đỉnh A ΔABCABC A Đường thẳng AD gọi đường phân giác ΔABCABC ( Hình 5) Kết luận:  Trong tam giác có ba đường phân giác  Ba đường phân giác tam giác cắt điểm, điểm cách ba cạnh tam giác ( Hình 6) A K I B D Hình Cụ thể: IH IK B C H  Trong tam giác cân, hai đường phân giác xuất phát từ hai cạnh đáy Hình C ngược lại tam giác có hai đường phân giác tam giác cân ( Hình 7) Cụ thể: ΔABCABC có hai đường trung tuyến BM , CN BM CN  ΔABCABC cân A A N  Một tam giác có đường phân giác đường trung tuyến Thì tam giác tam giác cân ( Hình 8) M C B Hình Cụ thể: ΔABCABC có AM tia phân giác trung tuyến  ΔABCABC cân A B BÀI TẬP Bài 1: Cho Hình a) Chỉ đường trung tuyến b) BG  BM , CG  CN Bài 2: Cho Hình 10 a) Chỉ đường trung tuyến b) EG  AE , DG  CD Bài 3: Cho Hình 11 a) Chỉ đường trung tuyến b) ΔABCABC tam giác gì? c) MG  BG , GC  GN Bài 4: Cho Hình 12 a) Chỉ đường phân giác  b) AI đường BAC  Bài 5: Cho Hình 13 biết ACB 110 a) Chỉ đường phân giác  b) Tính ACI Bài 6: Cho Hình 14 a) Chỉ đường phân giác b) Chỉ cạnh Bài 7: Cho Hình 15 Biết ΔABCABC a) Chỉ đường phân giác   b) Tính AIB , BIC A A M N B C M G Hình C B A Hình D A G B M N C E Hình 10 G B A C Hình 11 A D E I C B I Hình 12 B C Hình 13 B H A E I A Hình 14 I B C K A C Hình 15 Bài 8: Cho ΔABCABC vng A , có BC 5cm Tính khoảng cách từ A đến trọng tâm G tam giác ( Hình 16) Bài 9: Cho ΔABCABC cân A có hai đường trung tuyến BM CN a) Chứng minh ΔABCNBC  ΔABCMCB ( Hình 17) G A M B C Hình 16 N M B C Hình 17   b) Chứng minh BNC CMB D Bài 10: Cho ΔABCDEF cân D , kẻ DH  EF  H  EF  a) Chứng minh ΔABCDEH ΔABCDFH ( Hình 18)   b) Tính số đo hai góc DHE , DHF c) M trung điểm DF M E F H Biết DE DF 13cm Tính HM Hình 18 Bài 11: Cho ΔABCABC vuông A , K trung điểm BC tia đối tia KA lấy D cho KD KA ( Hình 19) a) Chứng minh CD ∥ AB b) Gọi H trung điểm AC , BH cắt AD M , DH cắt BC N Chứng minh ΔABCABH  ΔABCCDH A c) Chứng minh ΔABCHMN cân B D A E K K N M N D I B E C H M A H C B Hình 19 M C Hình 21 D Hình 20 Bài 12: Cho ΔABCABC , đường trung tuyến BD , tia đối tia DB lấy điểm E cho DE DB Gọi M , N theo thứ tự trung điểm BC CE Gọi I , K theo thứ tự giao điểm AM , AN với BE Chứng minh BI IK KE ( Hình 20) Bài 13: Cho ΔABCABC cân A , đường cao AH Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD HA Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE CB ( Hình 21) a) Chứng minh C trọng tâm ΔABCADE b) Tia AC cắt DE M Chứng minh AE ∥ HM E Bài 14: Cho ΔABCABC vuông A Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho A trung điểm BE ( Hình 22) A a) Chứng minh ΔABCABC  ΔABCAEC b) Vẽ đường trung tuyến BH ΔABCBEC cắt cạnh AC M Chứng minh M trọng tâm ΔABCBEC tính độ dài CM H M B K Hình 22 c) Từ A vẽ đường thẳng song song với EC đường thẳng cắt BC K Chứng minh E , M , K thẳng hàng Bài 15: Cho ΔABCABC có AC 21cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AB  AD C a) Chứng minh ΔABCDBC cân ( Hình 23) b) Gọi K trung điểm cạnh BC Đường thẳng DK cắt AC M Tính CM c) Từ trung điểm N đoạn AC kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt DC I Chứng minh B, M , I thẳng hàng  Bài 16: Cho ΔABCABC vuông A , tia phân giác ABC BC  E  BC  cắt AC D Kẻ DE vng góc với Gọi F giao điểm tia BA tia ED D A I M N B C K Hình 23 a) Chứng minh ΔABCABD ΔABCEBD ( Hình 24) b) Chứng minh ΔABCDFC cân c) CD cắt CF H Trên tia đối tia DF lấy điểm K cho DK DF Vẽ điểm I nằm đoạn CD cho CI 2.DI Chứng minh DH  CF K , I , H thẳng hàng F D A A H D G N B I B E Hình 24 K C B M D Hình 25 C K E I A M Hình 26 Bài 17: Cho ΔABCABC cân A , có cạnh BC cạnh lớn nhất, đường trung tuyến AM BN ΔABCABC cắt G Trên tia đối tia MG lấy điểm D cho M trung điểm GD ( Hình 25) a) Chứng minh ΔABCBMG ΔABCCMD Từ chứng minh BG ∥ CD b) Chứng minh 3.CD 2.BN c) Chứng minh CN  CD Bài 18: Cho ΔABCABC có AC 2 AB Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM  AB Tia  phân giác BAC cắt BM I ( Hình 26) a) Chứng minh ΔABCABI ΔABCAMI Từ suy AI  BM b) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho B trung điểm AD Chứng minh DC ∥ BM c) Kéo dài AI cắt cạnh BC K cắt CD E Chứng minh D, K , M thẳng hàng Bài 19: Cho ΔABCABC vuông A có AB  AC , kẻ đường phân giác BD ABC  D  AC  Kẻ DM vng góc với BC M ( Hình 27) a) Chứng minh ΔABCDAB  ΔABCDMB C b) Chứng minh BD đường trung trực AM K c) Gọi K giao điểm đường thẳng DM đường thẳng AB , đường thẳng BD cắt KC N A N D Chứng minh BN  KC ΔABCKDC cân B B C M Hình 27 d Bài 20: Cho ΔABCABC cân A Qua điểm A kẻ đường thẳng   song song với BC Các d đường phân giác góc B góc C cắt đường thẳng   D E Chứng minh: ( Hình 28) a) AD tia phân giác góc ngồi đỉnh A ΔABCABC b) ΔABCECD vng A E C B   Bài 21: Cho ΔABCABC có B 2.C Kẻ đường phân giác BD E  AB  từ D kẻ DE ∥ BC  Chứng minh ( Hình 29) a) BD DC EB ED b) Để có DA DC DB ΔABCABC tam giác gì? Hình 28 A D E B Bài 22: Cho ΔABCABC vuông A biết cạnh Tia phân giác  góc B cắt AC E Từ E kẻ ED vng góc với BC D a) Chứng minh ΔABCABE  ΔABCDBE ( Hình 30) b) Chứng minh BE đường trung trực đoạn AD AH  BC ,  H  BC  c) Kẻ  Chứng minh AD tia phân giác HAC D C Hình 29 A E B H D Hình 30 C Bài SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC A, LÝ THUYẾT 1) Sự đồng quy ba đường trung trực tam giác Ví dụ 1: Cho ΔABCABC , vẽ đường thẳng d đường trung trực BC Khi đường thẳng d gọi đường trung trực ΔABCABC Kết luận:  Trong tam giác có ba đường trung trực  Ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Cụ thể: O giao điểm đường trung trực ΔABCABC d A C B Hình Nên OA OB OC ( Hình 2)  Vì O ba đỉnh ΔABCABC nên O tâm đường tròn qua ba đỉnh A, B, C A  Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đường trung tuyến, phân giác B 2) Sự đồng quy ba đường cao tam giác Ví dụ 2: Cho ΔABCABC , từ A kẻ AI  BC Khi AI gọi đường cao xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ΔABCABC Đường thẳng AI gọi đường cao ΔABCABC O C Hình A Kết luận:  Trong tam giác có ba đường cao  Ba đường cao tam giác đồng quy điểm, điểm Này gọi trực tâm ΔABCABC     C B I ΔABCABC tam giác vng trực tâm trùng với đỉnh vng Hình ΔABCABC tam giác tù trực tâm nằm bên ngồi tam giác Trong tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên Trong tam giác cân đường cao từ đỉnh cân trung tuyến, phân giác, trung trực B BÀI TẬP A Bài 1: Cho Hình Hãy đường cao ΔABCABC Bài 2: Cho Hình a) Cho biết đường cao ứng với cạnh BC B b) Chỉ trực tâm ΔABCABC B C Hình H Bài 3: Cho Hình a) Chỉ đường cao ΔABCABC b) Chỉ trực tâm ΔABCAKC M N B A K C Hình H C A Hình Bài 4: Cho Hình Biết ΔABCABC cân A a) Chỉ đường cao ΔABCABC A Q b) Chỉ đoạn thẳng Bài 5: Cho Hình Biết ΔABCABC cân A , AM trung tuyến Hỏi AM đường ΔABCABC P H B C Hình A B B O D E E F B C M A A C C Hình 10 Hình Hình  Bài 6: Cho ΔABCABC có A 110 , đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự  E F Tính EAF ( Hình 9)  Bài 7: Cho ΔABCABC có A  90 Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC theo thứ tự D E a) Chứng minh ΔABCABD, ΔABCACE cân ( Hình 10) b) Đường trịn tâm O bán kính OA qua điểm hình vẽ  c) Chứng minh AO phân giác DAE  xOy    900   điểm M  nằm góc Ở ngồi xOy lấy hai điểm E F cho Ox đường trung trực đoạn ME , Oy trung trực MF ( Hình 11) a) Chứng minh OE OF y F  b) Tính EOF theo  M c) Nếu  90 điểm O nằm vị trí đoạn EF ? Vì sao? Bài 8: Cho  Bài 9: Cho ΔABCABC có A 60 M điểm nằm B C Vẽ điểm E cho AB trung trực ME , Điểm F cho AC trung trực MF ( Hình 12) a) Chứng minh trung trực EF qua A b) Chứng minh BE  CF BC c) Tính góc ΔABCAEF d) EF cắt AB, AC I K  Chứng minh MA phân giác IMK E O x E Hình 11 B I A M C K Hình 12 F e) Để A trung điểm EF ΔABCABC cần có thêm điều kiện gì? Bài 10: Cho ΔABCABC cân A có đường cao BD, CE  cắt I Biết BIC 110 Tính góc ΔABCABC ( Hình 13) A I B Hình 13 C Bài 11: Cho ΔABCABC nhọn cân A Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B C  cắt M Hãy tìm góc ΔABCABC Biết BMC 140 ( Hình 14) Bài 12: Hai đường cao AH BK ΔABCABC nhọn cắt D  A  a) Tính HDK C 50 ( Hình 15) b) Chứng minh DA DB ΔABCABC cân B E Hình 15 I B Hình 16 N E F K C B C A A H C Hình 14 M D B K H   HK Chứng minh KAB KCB ( Hình 16) K M D Bài 13: Cho ΔABCABC nhọn, hai đường cao BD CE giặp H Vẽ điểm K cho AB trung trực A A C B Hình 17 C M Hình 18 Bài 14: Cho ΔABCABC vuông A Lấy điểm M tia BA cho BM BC Phân giác ΔABCABC cắt AC K , cắt MC I Trên cạnh BC lấy điểm N cho CN MA Chứng minh K , M , N thẳng hàng ( Hình 17) Bài 15: Cho ΔABCABC cân A Trung tuyến AM , đường cao BE Trên tia BA lấy điểm F cho BF CE Chứng minh BE , CF , AM đồng quy ( Hình 18) ΔABCABC A  AB  AC  Bài 16: Cho vuông A đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm E cho AH  AE Qua E kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt BC D ( Hình 19) a) Chứng minh ΔABCAHD  ΔABCAED b) So sánh DH DC E B C D H M Hình 19 K c) Gọi DE cắt AH K Chứng minh ΔABCDKC cân D d) Gọi M trung điểm KC Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng Bài 17: Cho ΔABCABC vuông A Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AB  AD a) Chứng minh ΔABCADC ΔABCABC ( Hình 20) b) Từ A kẻ AK vng góc với BC K , kẻ AH  DC H Chứng minh AK  AH c) Kéo dài KA cắt tia CD M , kéo dài HA cắt tia CB N Gọi I trung điểm MN Chứng minh C , A, I thẳng hàng M D I N A B K Hình 20 H C  Bài 18: Cho ΔABCABC vng A có C 30 Đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD HB a) Chứng minh ΔABCAHB ΔABCAHD ( Hình 21) A F C D b) Chứng minh ΔABCABD E c) Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh DE HB d) Từ D kẻ DF vng góc với AC I giao điểm Hình 21 CE AH Chứng minh I , D, F thẳng hàng ΔABCABC  AB  AC  Bài 19: Cho nhọn Vẽ tia phân giác AD  D  BC  Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE  AB a) Chứng minh BD DE ( Hình 22) I A E C b) Đường thẳng DE AB cắt F Chứng minh ΔABCDBF ΔABCDEC B D I F c) Qua C kẻ tia Cx ∥ AB cắt tia AD K Gọi I giao điểm AK CF Chứng minh I trung điểm AK Hình 22 K Bài 20: Cho ΔABCABC vuông A Vẽ đường phân giác BD ΔABCABC  D  AC  Vẽ DE  BC E ( Hình 23) a) Chứng minh ΔABCABD  ΔABCEBD b) Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AK EC   Chứng minh BKC BCK c) Tia BD cắt KC I Chứng minh IA IE Bài 21: Cho ΔABCABC vuông A , tia BA lấy điểm M  cho BM BC Phân giác ABC cắt AC I , cắt MC K Tia MI cắt BC H ( Hình 24) B H K A I D B C E Hình 23 M a) Chứng minh BI trung trực AH AH ∥ MC b) Chứng minh AK  KH CM 0   c) Nếu KAH 60 Tính ABC 60 A K I B C H Hình 24 H  BC  Bài 22: Cho ΔABCABC cân A , đường cao AH  a) Chứng minh ΔABCAHB ΔABCAHC ( Hình 25) A b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB D Chứng minh ΔABCADH cân từ suy AD DH c) Gọi E trung điểm AC , CD cắt AH G Chứng minh B, G, E thẳng hàng d) Chứng minh chu vi ΔABCABC  AH  3.BG D E G B H Hình 25 C AB  AC  Bài 23: Cho ΔABCABC vuông A  Kẻ BD tia phân giác   D  AC  B Trên cạnh BC lấy điểm E cho AB BE ( Hình 26) a) Chứng minh ΔABCABD ΔABCEBD b) So sánh AD DC c) Đường thẳng ED cắt AB F Gọi S trung điểm FC Chứng minh ba điểm B, D, S thẳng hàng F A S D B Hình 26  Bài 24: Cho ΔABCABC vng A có C 30 Tia phân giác  góc B cắt AC D Kẻ DE  BC E ( Hình 27) a) Chứng minh AB BE b) Chứng minh BD trung trực AE M A D c) Gọi M giao điểm ED BA Chứng minh DM DC DE  ME d) Chứng minh Bài 25: Cho ΔABCABC cân A Đường phân giác AH B C E Hình 27 A Gọi D trung điểm AC BD cắt AH G Từ H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB K ( Hình 28) K Chứng minh a) ΔABCAHB ΔABCAHC AH  BC b) G trọng tâm ΔABCABC E G B C H c) Ba điểm C , G, K thẳng hàng Hình 28 Bài 26: Cho ABC vuông A Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho A trung điểm đoạn BD ( Hình 29) D d a) Chứng minh ΔABCBCD cân b) Gọi K trung điểm cạnh BC Đường thẳng DK cắt AC M Tính MC c) Đường trung trực d đoạn AC cắt đường thẳng DC Q Chứng minh B, M , Q thẳng hàng C E A Q M B Bài 27: Cho ΔABCABC vuông A, M trung điểm AB ( Hình 30) a) Trên tia đối tia MC lấy điểm D cho MD MC Chứng minh ΔABCMAC ΔABCMBD AC BD A AK  AM b) Gọi K điểm nằm AM cho Gọi N giao điểm CK AD , I giao điểm C CD BN CD  ID Chứng minh C K Hình 29 N K M D I B Hình 30 AH  H  BC  Bài 28: Cho ΔABCABC cân A Đường cao   a) Chứng minh H trung điểm BC BAH HAC ( Hình 31) b) Kẻ HM  AB M HN  AC N M Chứng minh ΔABCAMN cân A c) Vẽ điểm P cho H trung điểm đoạn NP Chứng minh BC trung trực đoạn MP MP cắt BC K , NK cắt MH D B K A N D C H P Hình 31 Chứng minh AH , MN , DP đồng quy Bài 29: Cho ΔABCABC cân A Gọi M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy A điểm D cho MD MB Chứng minh ( Hình 32) a) ΔABCBMC ΔABCDMA AD ∥ BC b) AB DC ΔABCACD tam giác cân c) Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CA CE Chứng minh DC qua trung điểm I BE D M C B I Hình 32 E