Phép biến đổi wavelet và ứng dụng

Tuy nhiên trong một số trường hợp, chẳng hạn như đối với việc phân tích thời gian, tần số của tín hiệu thì phép biến đổi Fourier đã làm mất đi các thông tin về thời gian, dẫn tới việc tí

wee 44 ¿ị

BO GIAO DUC VA DAO TAO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO -

TRUGNG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

PHEP BIEN DOI WAVELET VA UNG DUNG

Chuyên ngành : GIẢI TÍCH

Người hướng đẫn: — TS ĐINH NGỌC THANH

Người thực hiện : NGUYÊN QUANG HƯNG

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2001

Lời Cảm Ơn

Em xin chân thành cảm cn Tién ef Dinh Ngoc Thanh mac dit rit bện rộn với

nhiều Ông việc vẫn tận tỉnh hướng dẫn, sửa chữa và giúp choem các ý tưởng khi

thực hiện đẻ tài này

Em xin bay tố kòng biết ơn đến các Thấy Cơ trong Khoa Tốn Trưởng DIi$P TD.Hỏ Chí Minh đã day dé em trong những năm qua

MUCLUC 1 Dat van dé 2 Kiến thức chuẩn bị 2.1 Không gian L` (R) 2.1 Không gian LỶ (R)

2.3 Biến đổi Fourier

2.4 Biến đổi Fourier ngược

2.5 Tích chập của hai hàm số 3 Biến đổi wavelet

3.1 Biến đổi wavelet liên tục

3.1.1 Định nghĩa và ví dụ

3.1.2 Các tính chất

3.2 Biến đổi wavelet rời rạc

4 Phân tích đa phân giải

4.1 Phân tích đa phân giải (MRA) của LỶ (R)

4.1.1 Định nghĩa

4.1.2 Tính chất

4.1.3 Xây dựng đa phần giải từ hàm chuẩn ø

4.1.4 Thuật toán

4.2 Wavelet có giá compact

Phép biến đối wavelet và ứng dụng _

1 Đặt vấn đề

Hiện nay xử lý tín hiệu đang là một vấn để được quan tâm và ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật như : điện, điện tử, tự động hóa, viễn thông, tin học và một công cụ được biết đến nhiều nhất để phân tích và xử lý tín hiệu là Giải tích Fourier Tuy nhiên trong một số trường hợp,

chẳng hạn như đối với việc phân tích thời gian, tần số của tín hiệu thì phép

biến đổi Fourier đã làm mất đi các thông tin về thời gian, dẫn tới việc tính

toán hết sức vất vả Đây chính là mặt hạn chế của Giải tích Fourier, đòi hỏi sự ra đời một cơng cụ tốn học mới hiệu quả hơn trong phân tích và xử lý tín hiệu là phân tích Wavelet

Wavelet là 1 công cụ toán học được sử dụng để phân tích tín hiệu thành nhiều thành phần tần số khác nhau và chúng ta sẽ nghiên cứu từng thành phan này với độ phân giải tương ứng với cấp độ của nó Wavelet được phát triển

một cách độc lập trong các lĩnh vực toán học, vật lý lượng tử, điện tử, tin học,

địa chấn học và trong khoảng 10 năm trở lại đây, sự liên kết giữa các lĩnh

vực này đã đem lại nhiều ứng dụng mới của wavelet trong xử lý ảnh, rađa, xử

lý âm thanh, dự báo động đất Đối với toán học, wavelet có nhiều ứng dụng trong giải thích số, lý thuyết xấp xỉ, ly thuyét fractal

Trong để tài này chúng ta sẽ khảo sát cơ sở toán học của phân tích wavelet, từ đó đưa ra kết quả ứng dụng của việc xây dựng wavelet trên một

Pháp biến đổi wavelet và ứng dụng `

Bố cục của luận văn :

Luận văn được trình bày thành 5 chương và một phần Kết luận: - Chương 1: Đặt vấn dé

- Chương 2 : Kiến thức chuẩn bị - trình bày các vấn để trong các

không gian L1(R) và LXR); và một số nội dung cơ bản của Giải tích Fourier, là cơ sở của việc xây dựng các định lý, công thức trong để tài này

- Chương 3 : Biến đổi Wavelet - trình bày các phép biến đổi

wavelet liên tục và biến đổi wavelet rời rạc, một số tính chất quan trọng của

phép biến đổi wavelet

- Chương 4: Phân tích đa phân giải - trình bày một cái nhì mới về không gian L2 (R) như là hợp của một đây các không gian cơn đóng lỗng vào

nhau, được xây dựng dựa trên một hàm chuẩn, từ đó xây đựng cơ sở wavelet

cho LXR), thuật toán phân tích và khôi phục một hàm số; cơ sở wavelet trực

chuẩn có giá compact

- Chương § : Wavelet trên một đoạn - trình bày việc xây dựng một

cơ sở wavelet trên đoạn [0,1] dựa trên cơ sở wavelet trực chuẩn có giá

Pháp biến đổi wavelet và ung dung 2 Kiến thức chuẩn bi 2.1 Không gian L` (R) Định nghĩa : L` (R) là không gian cách hàm ƒ giá trị phức thỏa VỊ, = Í~l7(|& < = Tính chất : L' (R) với chuẩn | || là không gian Banach 2.2 Không gian L°(R)

Định nghĩa ï: L? (R) là không gian cách hàm ƒ giá trị phức thỏa

Uf]? = [7 [few de <a

Dinh nghia 2: Cho f, g e L? (R) Tích vô hướng của f va g dude định nghĩa :

Ứ.8)= [” f4) gứ) &

Tính chất ï : L? (Đ) là một khơng gian Hilbert

Định nghĩa 3 : Một tập đếm được {2} „ trong L2 (R) gọi là một cơ sở

Riesz néu Vfe L? (R), f được biểu diễn một cách duy

nhất S= Valk và tổn tại các hằng số A và B thỏa :

Alffsde| <8 Uf

Tính chất 2 : Cho một cơ sở trực chufin (@,), ala L? (R) khi dé

VfeL*R), {= > (Se) 9

Công thức này được gọi là đẳng thức Parseval, có khi

được viết đưới dạng :

Phép bién d&i wavelet va tig dung

2.3 Biến đổi Fourier

Định nghĩa 4: Cho ƒe L?(R) Biến đổi Fourier của ƒ là

o— =

ƒ(@) = Tag Lee &

Tính chất 3: f@-h)=e™* fw)

2.4 Biến đấi Fourier ngược

Néu f, f € L'(R) thi fi = + [Sede hk

Phép biến đổi wavelet và ting dung _

3 Biến đổi wavelet

3.1 Biến đổi Wavelet liên tục 3.1.1 Định nghĩa và ví dy Định nghĩ : Biến đổi wavelet liên tục (còn gọi là biến đổi tích phân wavelet) của một hàm số ƒ e LX⁄R) là t - b : JZ roe Ja abe RazxoO b[

trong 46 ye L7(R) hỏa = "y(t dt=0

y được gọi là wavelet ;

Wf (a,b) =

Pháp biến d&i wavelet va tng dung 3.1.2 Các tính chất : Định lý I : Nếu ƒ, g e L?(R) thì với wavelet ự, ta có : ͈ [” E/(a,8).#g(a,ð)|a|” dad = C(fg) trong đó C= Í” wee) dé -o ¿ Ching minh :

Theo tính chất của phép biến đổi Fourier , ta có :

War © = lal ey (ae )

Phép biến đổi wavelet va ung dung

Ss [` ø.()# +|/lz (h) + | f(x) Ua (t)dt

Ta có Í ø,()#<l, g,(h) + 0 khi o + 0*

va Sion Be (Dat > 0 khi o > 0*

Vì vậy sé tén tai 5 , sao cho néu o > 6, thi Kf * 8, Xx)- f(x] < 26 Vi € >O1A tùy ý nên bổ để được chứng minh Ching minh djnh ly 2 : Theo định nghĩa ta có: (ƒ*g, Xx)= [” ƒŒ)g, (x~ f)4t Đặt T,£„ = £.{x - ) La suy ra (f * gXx) =< f.7,8, > Theo định lý | ta cé: Í :¿« ze da db < [58 >= olf (2,b)<W,„.8 > BỊ Thay g bởi 7,£„: Ì ;á:¿á da db < 1.7.2, > = =l.|.W/(a,b)<W„„,T,8, > ia da d Suy ra (ƒ *8„)(%) = =! [wria,b)y,,*8, Xx) Cho o — 0° ta nhan được : ] = ¿.= da db #9 = —~|_.[ Wƒ/(a,b)y,„(x)——— C la| Định lý 2 giúp chúng ta nhận lại được một hàm số từ biến đổi Wavelet của nó

Đối với phép biến đổi Fourier, ta biết rằng một hàm số càng “trơn” thì

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng _

tính chất tương tự được thể hiện như thế nào ? Chúng ta sẽ xem xét vấn để

này qua định lý :

Định lý 3 : Giả sử Wavelet ự có rực L' (R) và ƒeL? bị chặn trên R và

liền tục Hölder tại b, nghĩa là 3œec (0,1] sao cho với mọi t

thuộc lân cận của b thì |ZŒœ)- Z()|< Ckt- ð[

khi đótacó Ù#/@ ð)|< C'|a[*i

Chứng mình : Không mất tính tổng quát, ta giả sử a>0 Vì ƒ bị chặn trên R nên ta có thể xem giả thiết: |#Œ)-— /Z(b)|< C|t- bƑ là đúng voi moi te R Vì [Ƒw()& = 0 nên ta có : Wƒ(a,b) = -y [.Ư@)- f(b)] v(‘ |e a a C ee t-b)| Suy ra Wffa, OE ge leen al jv ( 4 a Đặt t=b+ay (-©<y<œ), ta có: Wia,b)| < cla['” E Iy[ lự()|& Vì ø <lnên \y[°` <1+ || % ƒ_lyflw)lw <«œ

Vậy Ma b)|< C'lla[“ với C'=C.ƒ” |y[ wiley

Chúng ta có một hệ quả trực tiếp của định lý này :

Hệ quả : Giả sử Wavelet ự có tự e L' Nếu hàm ƒ e LẺ là Lipschitz trên R thì tổn tại hằng số € sao cho

Ws (a,b)|< Cal”

(Áp dụng định lý 3 khi œ = 1)

Phép biến đổi wavelet và từng dụng

3.2 Biến đổi Wavelet rời rạc :

Ta đã biết biến đổi Wavelet liên tục của một hàm feLXR) được định nghĩa bởi :

l ~ t-b

W f(a,6) = — fey (Ja, abe R,azQO0

ae a

trong đó we L’(R) thỏa [ov (ae = 0

Néu dat ¥0= Tze (]

la

Thi Wa, b) =f" f(thy (Od =(fova)

Về phương diện vật lý, phép biến đổi Wavelet có tính chất địa

phương về thời gian-tẩn số của một tín hiệu là rất tốt Trong phẩn này

chúng ta sẽ khảo sát một tập con rời rạc cửa tập các wavelet {ự› /

(ab)eR”xR] là một cơ sở của L%R) và vẫn giữ nguyên được tính địa

phương vềể thời gian - tấn số của họ liên tục các wavelet {ựW;y

(ab)eR”xR| ban đầu Bản chất của vấn để chỉ là sự “rời rạc hóa” phép biến đổi wavelet liên tục mà trong đó một hàm số feL*(R) được biểu thị

qua một tập hợp rời rạc các hệ số wavelet của nó Diéu nay có nghĩa LXR)

được "sinh” bởi một tập hợp rời rạc các wavelet { ự„x/j,ke2Z } với wavelet

Pháp biến đổi wavelet và ứng dụng

Trong chương kế tiếp chúng ta sẽ chứng minh một kết quả

Phép biến đổi wavelet va ing dung

4 Phân tích đa phân giải

Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát một lớp các wavelet trong cấu trúc của L2{R) là Phân tích đa phân giải Các wavelet này tạo ra một họ các

phép co giãn và tịnh tiến và là một cơ sở trực chuẩn cla LR)

4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis— MRA) của LXR) 4.1.1 Định nghĩa :

Một phân tích đa phân giải (MRA) của L2(R) là một dãy các không

gian con đóng (V,}¿„; của LXR) thỏa các điểu kiện sau :

(a) Vic V,, Vez

(b) UV, =L(R)

(c) NV, = {0} ez

(4) fô)eV, â ƒ(2x)eV, ,WeEZ (e) /(x)e V, « ƒ(x-n)e V,,Vnc Z

Phép biến đổi wavelet và ứng đựng PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI {(0}C c Voc Vìc Vac _c L?(R) Hình 2: Phân tích đa phân giải trong L”(R) 4.1.2 Tính chất:

Định lý 1: Nếu một dãy các không gian con đóng { V,} „; thỏa các điểu kiện a, b, c, trong định nghĩa 4.1.1 và các không gian cơn

tương ứng W, là trực giao đôi một thì

@W =LU() yet

Ching minh :

Trước hét ta chi ¥ ring néu j #j’ thi W\1 W,.-

Ta sẽ chứng minh định lý bằng cách chứng minh nếu ƒ e L3R) va

ƒ1W,, Vị Z thi f=0

Cho s >0 tùy ý Do điều kiện b, nên tổn tại j, và h, 6V,

sao cho |ƒ-h„|<e Khi đó tổn tạ heV, va g,eW, |

sao cho fh, =h, +@,

Phép bién d6i wavelet va ing dung

Tương tự tổn tại he Vio vA g,€ Wa sao choh, =h, +g,

Tiếp tục n bước như vậy ta sẽ được : hạ=h, +2 ”£, h, €Ÿ ,.,#,€W v; suy ra: tt pl =P + 2M va Diéu nay chitngtd” >>|, | là hội tụ rel Từ đóta có 5` ø, hội tụ trongL? (R)và vì vậy tổn tại h=limh, ket a

với je2 Vn> js - j tacó j> j, -nhay h,eV, ,cCYV,

Do Vị đóng nên he Vị Điểu này đúng với mọi j nên đo điểu kiện c) ta có h=0 Khiđó hạ=3&, t-é Do giả thiết f là trực giao với mọi g, eW, , nên: <f,h, >=) <fig, >=0 k-0 Ta lại có lf -h, |! = <f-h,f-h,> = t[ +lh.| (do <f,h, >= 0) ì ì ì Suy ra fff’ = |f-h,|° =Jh,j” <e `

Doe là tùy ý nên ta phải có f = 0 (đpcm)

Chúng ta ký hiệu P, là phép chiếu trực giaotừ L?*(R) lên V và Q,

là phép chiếu trực giao từ L?(R)lên W

Khi đó ta có P.,,=P,+Q, Đối với phép chiếu P,, ta có

P/=3 <ƒf 0, >Ø,, và tasẽ tìm được mét wavelet y sao

kez

cho họ các y,,(x) = 2 w(2'x - k) là một cơ sở trực chuẩn của

L%R) và Q, có thể biểu diễn qua các ự„, này

Pháp bién dt wavelet vd ing dung

Định lý sau đây sẽ chứng tỏ điều đó:

Định lý 2 :

Nếu dãy các không gian cơn đóng {V,} „; là một đa phân giải của

LXR) thì tổn tại wavelet /e LXÑ) sao cho họ ( ¿(x) =2 ự(2k -k), jkeZ) là một cơ sở trực chuẩn của LX⁄R) thỏa: Ta a P + 2 <"*,W,¿;>W yas VS eZ Chứng minh : Trước hết ta có nhận xét : Nếu (wx]¿v.z¿ là một cơ sở trực chuẩn của L3⁄{R) thì từ P,; L2 —> V, là phép chiếu và P,, ¡ = P, + Q; ta suy ra : Q,/= 2< f,V,x > V,x› V/eL*{R)

Và như vậy { x}x.; là một cơ sở trực chuẩn của W, Dựa vào một tính

chất của W, là nếu f(x)eW, thì f(2x)ceW,.; (được suy ra từ đk d, của định

nghĩa).Ta có :

(W¿xÌvez là cơ sở trực chuẩn của W; â {sxè}ôz l c sở trực chuẩn của W¿ và chúng ta sẽ chỉ ra sự tổn tại của wavelet ựeWW; sao cho { ox) kez

là một cơ sở trực chuẩn của W¿ Xây dựng V:

Ta đã có @øeV, cV, va oe là một cơ sở trực chuẩn của V,,

Phép biến đổi wavelzt và ung dung [- @(x).p(x — k) dx =f l&(£) en dé =[` Ye + 2nz)|’ e“ dé = ð,„ VkeZ aez Suy ra 5" lơ(¿ + 2nz)Ì = (2) “ hầu khấp nơi ael ˆ = š ˆ š ° Vì øŒ)= mạ(>)@Œ) nền ta có : S| @Œ + 2s )Ï =2 + ĐÓ + km) = (2n) " hàn Dat ¢ =, ta CÓ : >|m,(£ + ka ) ọ(Ệ + kn) [ = (2x ) Aka, nghĩalà 5°|m,(£ + 2x).@(£ + 24x }Ï + tel + |m,(£ + 2 + 2kz).@(€ + œ + 2km)|Ì =(2x)ˆ` hkn kel Vi m,((+2+)=m,(C) và 5 |l@(C+2kx)|Ì =()` hkn nên suyra |m,(CJ ` +|m,(C+x]'= 1 hẻn Ta có với ƒ e Wọ thì ƒ/e Vị và / L Vạ Vi fev, nen f= ƒ,ø,„ với ƒ,=< ƒ,0,„>,Vne7 ned wie EF ¬=)41 với m, @)=— Efe" và ta còn có: m,Œ+2m) = m,@) Vi fLiV, nén <f,p,,> =0, Weed Suy ra [fe lô \e* de =0, VkeZ

= [LIE + 2mm) GE + 2m }e* & =0, VkeZ

Như vậy >7 +2m )ðK + 2m )= 0, hin

Pháp biến đổi wavelet va ứng dụng

sos4ffs}1) - v5y Trcnr[Se(E)ethrena nel = /(x)= v2» (- I)"'h.,,ø(2x- n)e V, yew, vi: ã 2 2s, )= ộŒ )e"”' = m (5 2 ? và dừ)- ”(Š++) | or nt) a(S) ete =2 [` m.(C)m,(£ +#)|ô(£ + 2nz)|`e"*® ae oeZ ee =— — fr" m(¢).m (6 +n) e'S™ de i > |@(£ + 2m?) |’ = 5) neZ = W = <= (- i)" h he emer ae (Do m,(¢)= at he "€) n.ữ neZ mez set 1)" > > hh, i’ ¿”889v 8 0

Suy ra(Ứ,Ø@,„)=0 hay (W,Øs,)=0, VkeZ

Vivay wlV, nêntacó weW, (doweV,)

Pháp biến đổt wavelet và ung dung Ta 06 [ly (x)w(x-k)de =f" |W (E)|.e* ae 2 {" > lwe + 2nz)|`e"*t dt ned m(Ÿ+sz+>| l(§+azÌ m( +2a+Ux] aE xớa +1 | + bo E+202) Nà 1a ae] ( Ï#6-=] Ta lại có: 5 l?(£ + 2nx)| => ael = 2m +e ('+zmz+z] ‘Haas -ae + HEM Eom) + 2 -z|»-| ssế+»||-} m 2x 2 2 on Ta có: (6,,uy, 0= [m(ŠÌh|Š+*@@l ch ng =0 V/,keZ

Vì vậy ( wxÌxez © Wo

Cuối cùng ta sẽ chứng minh { ¿x} là một cơ sở của W¿ nghĩa là

VƒeWo

f= Zh Vox VOI Lh! <©

Diéu này tương đương với ƒŒ )=2( £)./(£)

Phép biến đấi wavelzt và ứng dụng

Ta dacd fe )= °& WE) voi

[" Jae Vag = 20 | ale a và [|m,€ | & = x>|⁄2| * nf fl <= Mặt khác : ["|m (Ef ae = fF" |u (EP lm @ +n fae = {i |aceoF (m7 + |m,Œ + + f jie = f, |# (ef ae Như vậy ta cd: is J, [ACP ae = 20 [sh <o

Khi định nghĩa phân tích đa phân giải, ta phải có sự tổn tại của một

hàm @œVọ sao cho {@,},.„ là một cơ sở trực chuẩn của Vọ (điểu kiện ƒ,)

Trong thực tế chúng ta chỉ cẩn { gsx} ,.„ là một cơ sở Riesz của Vọ

Sau đây chúng ta sẽ chỉ ra cách xây dựng một cơ sở trực chuẩn

(Ø*osx]vez của Vạ từ một cơ sở Riesz { @ox]vczcủa Vạ Giả sử { @œx}xez là một

Pháp biến đổi wavelet và ung dung

Định nghĩa ` € L{R) bdi:

of )= | She + ken y | 66) tel

Khi đó 5`lô'Œ + kx) = —— hh nghĩa là các ø;, là trực chuẩn

Ta định nghĩa không gian V¿sinh bởi É;, } ta có:

V„ ={/: ƒ=}/2ø„với (/?),„„ ePF(Z))

=[ƒ: =vệ` với ve LA{0,2z]) và tuân hoàn có chu kỳ 2x} = ƒ: =v, ô với v, e L^((0,2z]) và tuần hoàn có chu kỳ 2a} =(ƒ: f= LS VOCS, az e I2)

= V, (do(ø,,),„„là một cơ sở Riesz của V, )

4.1.3 Xây dựng đa phân giải từ một hàm chuẩn ø:

Như đã để cập, một phân tích đa phân giải bao gồm một đãy các không gian co (V,);„; và một hàm øeVạ thỏa các điểu kiện trong định nghĩa 4.1.1

Phép biến đất wavelet và ứng dung

Sau đó định nghĩa V, là không gian con đóng sinh bởi gy, keZ

vdi Py = 2? @(2/x-k)

Cac diéu kién trén 1a các điều kiện cẩn và đử để (ø,y, keZ} là một cơ sở Riesz trong mỗi V,, các V, thỏa mãn các điểu kiện a-d-c-f

Phép bién dot wavelet va img dung

P.f= > Bone Por

kez

với đạy Z (f Pox) = [_ ƒ(x)ø(x - k)dx

Và Pig: = > Qitt Pirie VO Gi = (F.@ 54a) t«7 Ta có : 4,, = (/,0,,)= (7.3 h, Ø ¿1x x) - h ACS, PP am ‹ ` keZ Suy ra ain = > ALG sire et keZ Ta lại có PJ = P,/+Q,/ Vì, là cơ sở trực chuẩn của W, nén : Q,/ = » qiWVus keZ Ma ne (> 8P ko c) * 2 8 8.Ấ/, Puamsk) Suy ra d, = vn đ vì +k Vậy ta có sơ đồ thuật toán phân tích wavelet như sau : a; _— ai a; i-2e an estes di Gia TH dụ, Mặt khác ta có : Piast = ",+Q 7 = , Git P je Tà, dy Vu: kcZ keZ

YE Oye Biak Ouse}

cm Die Pre Pred De FeV see P ine)

Phép biến déi wavelet va ứng dung Ty kétqua j@_ = 5`h.Ø,,„ tacó her (Pre " F sei, n ) = hy Tương tự lw, Prise \ v= Ẩxx-n Như vậy : TRỢ đa =2 hạ, ay + Fa ds teZ te7

Từ đó ta có sơ đổ thuật toán tổng hợp wavelet như sau : Ris ay es a hk Ss eece oil

x 7

⁄? ⁄* YB AB

dy dy i? sina di,

42 Wavelet cé gid compact :

4.2.1 Cơ sở wavelet trực chuẩn có gía compact:

Giả sử hàm chuẩn øvà wavelet có giá cơmpact Khi đó họ { W4xÌ ;¡x«z với " V „(x)=2 (2’x- k) là một cơ sở wavelet trực chuẩn có giá compact Ta trở lại với hệ thức : p(x) = V2 h,ø(2x - k) voi h, =[ p(x) p(2x-k) de

Vì ø có giá compact nén chỉ có một số hữu hạn hy khác không Đây là

một tính chất quan trọng của wavelet có giá compact Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát việc xây dựng hai loại wavelet có giá compact được sử dụng tương

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng 4.2.2 Haar wavelet : Chúng ta bắt đầu từ hàm chuẩn 1 0<x<l we k xe R\ (0,1)

Khi đó ta xây dung dude da ph4n gidi {Vj} j-z trong d6

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng Từ đó ta có được wavelet ự định bởi : 1 1 0<x<— 2 ự(x)= ø(2x)-ø(2x-l)= 4-1 ssx«l 0 - xe|01) Tiếp theo ta xây dựng được hệ cơ sở trực chuẩn có giá compact d {Withivez trong 46 W(X) = 2? w(2’ x—k) Hình vẽ 2 biểu diễn một hàm ƒ trong một đa phân giải liên kết với Haar waveleL 4.2.3 Daubechies wavelet :

Daubechies [2] đã xây dựng các wavelet bắt đầu bing ham m, cho Số

tự nhiên N> 2 Khi đó m„ có dang:

l+e**

2

m.(©*| MS)

Trong đó 2(š) là một đa thức lượng giác thỏa lA(£} = Pf sin’ ‘)

Phép biến đổi wavelet và ứng dung

Pháp biến đổi wavelet và ứng dụng

5 Wavelet trên một đoạn

Trong phần này chúng ta sẽ xây dựng một cơ sở trực chuẩn trong không gian

L”(I0,1]) dựa trên một cơ sở wavelet trực chuẩn { ự/y),x„ „ có giá compact liên kết với một hàm chuẩn ø e L(R) Tiếp theo chúng ta định nghĩa một chuẩn

mới cho không gian Sobolev HÌ({0,1]) thơng qua các hệ số wavelet Cuối cùng

là ứng dụng phân tích đa phân giải của không gian L({0,1]) để xấp xỉ một

hàm số ƒ e H'({0,1]) 5.1 Wavelet trén [0,1]

Giả sử trên L(R) có một đa phân giải và hàm chuẩn œ@ có giá compact

Khi đó tổn tại {hy} sao cho :

a ø(x) = v25 h,p(2x~ te? k)

Ta lưu ý rằng chỉ một số hữu hạn hạ là khác không

Dat M(x) = 2 p(2x ~ k) và định nghĩa wavelet :

w(x) = V25 (—1)*h.,.ø@(2x- k)

Khi đó cũng có gid compact

Dat yx) = 2” p(2x — k) > ya cd gid compact, Vj, k

Trén doan [0,1] ta dinh nghia : Ø;,(Œ)= 2,0,,(x~ m)

mez

Va yw (x)= 3)w,,„(x- m) với 0<k<2!' và j>0

mez

(dog, =9,, vay, =yW,, néu k#k'(mod 2')

Định nghia nay 1a "t6t" do pva yeoé gid compact

Phép biến đổt wavelet và lng dung

Định lý : Nếu {Ø,x},„ là một cơ sở trực chuẩn của L”(R) thì Pir ; Zã

là một cơ sở trực chuẩn của L”([0,1]) 2/20

Định nga: < ƒg>= [ ƒ()g(x)&

Phép bién d6i wavelet va ing dung _ =3 < L°@ ys > @ a(x) be =24„ø,,x) Suy ra{Ø`,}„ là một cơ sở của LỶ(0/]) 2? >t20 Vậy {@/,},;; là một cơ sở trực chuẩn của L? ({0,1)) 2’ >k20 Hé qua :

Néu {Pin ì uy một cơ sở trực chuẩn với giá compact của L?(R) thì

tự ¿Ã Ì yxo là một cơ sở wavelet trực chuẩn của L({0,1])

2/>t20

5.2 Xap xi một hàm số ƒ e HỶ ({0,1])

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát vấn để xấp xỉ một hàm số ƒ e€

H'({0,1]) bởi cơ sở wavelet trực chuẩn {W/, „} ,„; mà ta đã xây dựng ở trên

2/xk>0

Trên không gian L({0,1]) với hàm chuẩn g’, ta xây dựng được một đa

phân giải {V,},.; Các phẩn bù trực giao của V, trong V,., ký hiệu tương ứng

là W; cũng là các không gian con của L((0,1]) Phép chiếu trực giao từ L((0,1]) lên V, và W, lần lượt được ký hiệu là P,và Q,

Ta da biết:

H'({0,1) ={f € L? (0,1): +47)’ FEL? ((0,))}

Ly

va V «em = | +o°y sf L?đø.1])

Để giải quyết vấn để đặt ra, chúng ta định nghĩa chuẩn ft I,

thông qua các hệ số wavelet:

I/l„„¿ =( E.Œ+2?2)< />0 f2 v7, >1

1/»‡tz0

Phép biến đổi wavelet và ứng dụng © [ÐĐ(+2”)<ƒ,ựw,,>.<g,y,¿>Ï j20 2’ >k20 < 2 2 (+2")< LV >+2”)< 8.V,„ >'] z 1 2'»k20 1'xtzo Ấp dụng bất đẳng thức Cauchy rồi lấy giđi hạn ta nhận được bất đẳng thức sau cùng này là đúng

Vậy | + hci Ss WLeqosp + ley -aoup

Và khái niệm chuẩn II l”,! qoap; được định nghĩa như trên là hoàn toàn hợp lý

Chúng ta còn có một kết quả sau đây được phát biểu mà ta sẽ không chứng

minh (xem [2}):

Ménh 46 ; fe H '((0,1]) <> l/Í-4 sp bc

Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng các kết quả trên để xấp xỉ một hàm số

Phép biến đổi wavelet và ứng dung

Kết luận

1 Luận văn đã khảo sát một số nội dung cơ bản của Lý thuyết về

Phép biến đổi wavelet và đã để cập tới vấn để xấp xỉ một hàm số

bởi các hệ số wavelet thông qua khái niệm "wavelet trên một

đoạn"

2 Tuy vậy Luận văn còn một số mặt hạn chế có thể được bổ sung như

sau:

- Nội dung Lý thuyết còn cô đọng, có thể tiếp tục khai triển để có được những tính chất mới và thú vị của Phép biến đổi wavelet - Vấn để ứng dụng wavelet để xấp xỉ một hàm số là một nội dung

mới của Giải tích toán học Luận văn mới giải quyết được một bài toán nhỏ trong vấn để này Đây cũng là một hướng mà Luận văn

có thể được mở rộng và phát triển thêm về sau

- Để tài được thực hiện trong một thời gian ngắn với những khó

khăn về tài liệu tham khảo nên không thể tránh khỏi thiếu sót Rất

mong nhận được ý kiến phê bình, đóng góp của Thấy Cô và các

bạn

Phép bién d&i wavelet va ung dung

TAI LIEU THAM KHAO [1] [2] l3] L4] [5] |6] C BLATTER, Wavelets — A Primer AK Peters Natick Massachusetts 1998

I DAUBECHIES, Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, SIAM

Philadelphia 1992

Y MEYER, Wavelets — Algorithms & Applications SIAM Philadelphia 1993

M MISITI, Y MISITI, G OPPENHEIM, J.M POGGI, Wavelet Toolbox For Use with MATLAB, The Math Works, Inc., Natick,

MA 01760-1500, USA 1997

L.PRASAD & SIYENGAR, Wavelet analysis with Application to Image Processing CRC Press Boca Raton New York 1997

WALTER RUDIN, Functional Analysis, McGraw-Hill, lac.1991