Sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu phương trình và bất phương trình (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN XUÂN GIANG MÃ HỌC VIÊN: C00441 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN XUÂN GIANG

MÃ HỌC VIÊN: C00441

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG

LỜI CẢM ƠN

Qua quá trình học tập và nghiên cứu, luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng long dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH Sĩ Đức Quang

Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn đến trong Ban giám hiệu, các thầy

cô trong khoa toán, phòng sau đại học và các phòng ban liên quan trường đại học thăng long và trường THPT Lục Ngạn số 1 đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Đặc biệt tác giả xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn khoa học của mình là PGS.TSKH Sĩ Đức Quang đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong toàn bộ quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Xin được gửi lời cảm ơn đến toàn thể gia đình, người thân và các bạn lớp cao học toán K3 trường Đại học Thăng long đã động viên, giúp đỡ tác giả trong toàn bộ quá trình học tập và nghiên cứu

Vì điều kiện công tác và thời gian không nhiều, cùng với khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót Tác giả kính mong quý thầy cô cùng các bạn đọc tiếp tục góp ý và giúp đỡ, để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

MỤC LỤC

Lời cảm ơn ……… 1

Mục lục……… 2

Mở đầu ……… 5

Chương 1 Cơ sở lý thuyết và thực tiễn……… 7

$1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản ……… 7

$2 Một số khó khăn khi nghiên cứu phương trình và bất phương trình bằng các phương pháp giải khác……… 16

Chương 2 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu phương trình một ẩn ……… 20

2.1 Phương pháp sử dụng tính chất tương giao của hai đồ thị 20

Bài toán 2.1.1: Giải và biện luận phương trình f(x) = g(m) ……… 20

Bài toán 2.1.2: Tìm tham số m để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm thuộc khoảng (a; b)……… 23

2.2 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số liên tục Bài toán 2.2: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm thuộc (a; b) ………

31 2.3 Phương pháp sử dụng tính chất của đạo hàm ……… 31

2.3.1 Phương pháp sử dụng định lý Rolle ……… 36

Bài toán 2.3.1.1: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( a; b ) ……… 36

Bài toán 2.3.1.2: Giải phương trình: f(x) = 0 ……… 36

2.3.2 Sử dụng định lý Lagrange ……… 40

Bài toán 2.3.2.1: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

43

Bài toán 2.3.2.2: Giải phương trình f(x) = 0 …… 49

2.4 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 53

Bài toán 2.4.1: Giải phương trình f(x) = k ……… 53

Bài toán 2.4.2: Giải phương trình f(x) = g(x) ……… 56

Bài toán 2.4.3: Giải phương trình f[u(x)] = f[v(x)] ……… 61

2.5 Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số ……….……… 66

Bài toán 2.5.1: Giải phương trình f(x) = a ……… 66

Bài toán 2.5.2: Tìm m để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm thuộc (a; b) ……… 72

Chương 3 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu bất phương trìnhmột ẩn ……… 78

3.1 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số ………… 78

Bài toán 3.1.1: Giải bất phương trình f(x) > k hoặc f(x) < k …… 78

Bài toán 3.1.2: Giải bất phương trình f[u(x)] > f[v(x)] ………… 81

Bài toán 3.1.3: Chứng minh bất phương trình f(x) > k hoặc f(x) < k nghiệm đúng với mọi x ……… 84

3.2 Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số ……… 88

Bài toán 3.2.1: Tìm tham số m để bất phương trình f(x) < g(m) hoặc f(x) > g(m) có nghiệm ……… 88

Bài toán 3.2.2: Chứng minh bất phương trình f(x) > g(m ) hoặc f(x) < g(m) nghiệm đúng với mọi x ……… 92

Chương 4 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để giải phương trình hàm ……… 98

4.1 Phương pháp sủ dụng các tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh, tính chẵn lẻ của hàm số ……… 98

4.2 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số liên tục ………… 101

4.3 Phương pháp chuyển qua gới hạn hàm số……… 104

4.4 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số……… 108

4.5 Phương pháp khai thác điểm bất động của hàm số……… 112

4.6 Phương pháp sử dụng đạo hàm, nguyên hàm, tích phân ……… 115

4.7 Phương pháp dùng hàm tuần hoàn 118 Kết luận và khuyến nghị 121 $1 Một số kết quả đã đạt được ……… 121

$2 Hướng phát triển của đề tài……… 122

Danh mục tài liệu tham khảo……… 123

cơ sở hàm số Ở Việt Nam, chương trình môn toán ở Trung học Phổ thông xem việc nghiên cứu hàm số là nhiệm vụ xuyên suốt Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và các công cụ khảo sát chúng Những điều đó cho thấy Hàm số là một chủ đề rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông

1.2 Vị trí vai trò của vấn đề phương trình và bất phương trình

Chủ đề phương trình - bất phương trình cũng có vị trí và vai trò rất quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THPT Kiến thức và kỹ năng của chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp và đóng vai trò như là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán trong Đại số, Giải tích và

Hình học

1.3 Mối liên hệ giữa hàm số với phương trình và bất phương trình

Hàm số với phương trình và bất phương trình có mối liên hệ khoa học mật thiết Phương trình và bất phương trình có thể được định nghĩa thông qua việc tìm cực trị, không điểm hoặc miền giá trị của hàm số Tuy nhiên hiện nay, việc vận dụng các tính chất của hàm số vào nghiên cứu nghiệm của phương trình và bất phương trình chưa được quan tâm và khai thác trong chương trình sách giáo khoa, nhưng nó lại nằm trong phạm vi kiến thức của các đề thi môn Toán ở trường THPT

Vì các lý do trên tôi chọn đề tài của luận văn là: Sử dụng tính chất hàm số để nghiên cứu phương trình và bất phương trình

2 Mục tiêu của luận văn:

Mục tiêu của luận văn là cung cấp hệ thống lý thuyết, thiết lập mối liên hệ giữa vấn đề hàm số và phương trình – bất phương trình, trang bị các phương pháp, hệ thống các dạng toán sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu phương trình và bất phương trình trong việc giảng dạy và học tập môn toán ở trường THPT mà các phương pháp thông thường khó có thể giải quyết được Chúng tôi hi vọng, luận văn sẽ góp phần giúp người đọc phát triển tư duy logic, tư duy hàm và kỹ năng giải phương trình - bất phương trình, khả năng nắm bắt, khai thác và vận dụng kiến thức vào thực tế Điều này sẽ giúp nâng cao hiệu quả trong công tác giảng dạy của giáo viên và học tập môn toán của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong các trường THPT

3 Phương pháp nghiên cứu:

+) Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập

+) Đưa ra ví minh họa dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng

+) Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô và đồng nghiệp

+) Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo về kiến thức

cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài

4 Cấu trúc của luận văn:

Phần I: Mở đầu

Phần II: Sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu phương trình và bất phương trình

Chương 1 : Cơ sở lý thuyết và thực tiễn

Chương 2: Sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu phương trình một ẩn Chương 3: Áp dụng vào nghiên cứu bất phương trình một ẩn

Chương 4: Áp dụng vào giải phương trình hàm

Phần III: Kết luận và khuyến nghị

$1 Một số kết quả đã đạt được

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỀ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ THỰC TIỄN

Nội dung của chương một được nghiên cứu từ các nguồn như sách khoa môn toán ở trường trung học phổ thông và tham khảo từ tài liệu [3], [4] với sự trân trọng và biết ơn

$1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

1.1 Ánh xạ:

1.1.1 Định nghĩa ánh xạ:

Cho hai tập X và Y khác rỗng, một quy tắc f đặt tương ứng với mỗi phần tử x của tập X với một và chỉ một phần tử y của tập Y được gọi là một ánh xạ từ X đến Y

y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

x được gọi là tạo ảnh của y qua ánh xạ f

Tập X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích

Ánh xạ f từ X đến Y được gọi là một toàn ánh nếu mọi phần tử thuộc Y đều có tạo ảnh thuộc X

Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y được gọi là một song ánh nếu nó vừa

là đơn ánh, vừa là toàn ánh

Cho hai tập hợp số X và Y, một quy tắc đặt tương ứng với mỗi phần tử

x thuộc tập X với duy nhất một phần tử y thuộc tập Y được gọi là một hàm số xác định trên X và nhận giá trị trên Y

Kí hiệu: f :X Y hoặc f x:  f x  hoặc y  f x 

Trong đó:

x là biến đọc lập hay còn gọi là đối số

y là giá trị phụ thuộc vào x được gọi là giá trị của hàm số hay hàm số f(x) được gọi là giá trị của hàm số tại x

Tập X được gọi là tập xác định Tập Y được gọi là tập giá trị của hàm

số

* Chú ý: Hàm số là một ánh xạ có tập nguồn và tập đích là các tập số

Là hình vẽ trực quan thể hiện được quy tắc tương ứng f của hàm số trên

hệ tọa độ

* Với hàm số y = f(x) thì đồ thị là tập hợp các điểm có tọa độ ( x ; f(x) ) trên mặt mặt phẳng tọa độ Oxy

* Tính chất( tương giao của đồ thị hai hàm số): Số giao điểm của đồ thị

hai hàm số y = f(x) và y = g(x) là số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)

Cho hàm số f :X R , điểm a được gọi là điểm bất động ( điểm kép,

điểm cố định ) của hàm số f :X R nếu f a a Việc nghiên cứu điểm bất động cũng cho ta một số thong tin về hàm số đó Điểm bất động a cuẩ hàm số

f chính là chu trình bậc 1 của điểm a qua ánh xạ f a: x0 f x1 a

1.3 Giới hạn hàm số:

1.3.1 Định nghĩa 1: Ta định nghĩa lân cận   0 của điểm x 0 là khoảng

x0   ;x0   hay tập các giá trị x thỏa mãn xx0  

1.3.2 Định nghĩa 2:

Cho hàm số f(x) xác định trên lân cận của điểm x 0 , ta nói f(x) có giới hạn là a

khi x dần đến x 0 nếu   0 bé tùy ý,    0 : xx0   thì ta có: f x  a 

Cho hàm số f(x) xác định trên lân cận của điểm x 0 , ta nói f(x) có giới

hạn là a khi x dần đến x 0 nếu với mọi dãy   x n  x0   ;x0   ta có:

limx n x thì lim f x . a.

1.4 Hàm số liên tục:

1.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm:

Cho hàm số f xác định trên (a ; b ) và x0  a b; ,ta nói hàm số f(x) liên

tục tại điểm x = x 0 nếu    

Hàm số không liên tục tại x 0 gọi là gián đoạn tại điểm x 0

1.4.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) đó nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a;b)

Hàm số y= f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim    , lim    .

Định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục:

Giả sử f là một hàm số liên tục trên [ a ; b ] Nếu f a  f b  thì với

mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c sao cho f(c) =

M

Tính chất 1.4.3.2:

Định lý Bonxano – Cau chy thứ nhất :

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [ a; b ] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại

+) Nếu f :a b;  thì bị chặn trên đoạn [ a; b ]

+) Nếu f liên tục và là đơn ánh thì f là hàm đơn điệu

+) Nếu f :  là hàm liên tục thì ta kí hiệu f C a b ; là tập hợp các hàm liên tục trên R

1.5 Đạo hàm của hàm số:

1.5.1 Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b) Ta gọi   x x x0 là số gia của biến số tại điểm x0 và số gia của hàm số tương

ứng là  y f x 0   x f x 0  f x  f x 0

Giới hạn hữu hạn ( nếu có) của tỉ số y

x



 khi  x 0 được gọi là đạo

hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và kí hiệu là f’(x 0 )

1.5.2 Đạo hàm riêng hàm hai biến:

Cho hàm hai biến y = f(x,y) và một điểm M ( x0 ; y0 ) cố định Xét

hàm số một biến F(y) = f(x 0 ,y) theo biến y Đạo hàm của hàm một biến F(y)

+) Hệ quả: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] có đạo hàm trên

khoảng (a;b) và phương trình f x'  0có n nghiệm thì phương trình

 

f x 0có không quá n + 1 nghiệm thực

Tính chất 1.5.3.2:

Định lý Lagrange:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và tồn tại f’(x) trên

khoảng ( a ; b) thì luôn tồn tại c a b; sao cho:       

+) Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến( hay đơn điệu giảm) trên khoảng (a; b) nếu x1  x2  f x 1  f x 2

* Chú ý: - Hàm số đồng biến trên khoảng nào thì đồ thị là đường luôn đi lên

từ trái qua phải trên khoảng đó

- Hàm số nghịch biến trên khoảng nào thì đồ thị là đường luôn đi xuống từ trái qua phải trên khoảng đó

1.6.2 Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng:

Định lý:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a; b)

+) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)  f ' x    0, x  a b;

+) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)  f ' x    0, x  a b;

Dấu “ = “ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a; b)

1.6 3 Một số tính chất của hàm đơn điệu:

Tính chất 1.6.3.1:

Nếu y = f(x) là hàm số luôn đơn điệu trên khoảng ( a; b ) và y = k là hằng số thì phương trình f(x) = k có nhiều nhất một nghiệm thực thuộc khoảng (a;b )

Tính chất 1.6.3.2:

Nếu y = f(x) là hàm số luôn đồng biến và y = g(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một

nghiệm thực thuộc khoảng ( a; b )

+) Nếu f cộng tính và đơn điệu trên R hoặc R+ thì f(x) = ax

+) Nếu f đơn điệu ngặt thì f là đơn ánh

1.7 Giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

+) Bất phương trình f(x) > g(m) có nghiệm khi và chỉ khi g m  .

+) Bất phương trình f(x) < g(m) có nghiệm khi và chỉ khi g m .

- Số xx0 thuộc tập xác định D của phương trình được gọi là một nghiệm của phương trình khi và chỉ khi f x 0 g x 0 là mệnh đề đúng

- Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm của nó

1.9 Định nghĩa bất phương trình một ẩn:

Cho y = f(x) và y = g(x) là các hàm số của biến x xác định trên tập

DD D Phương trình một ẩn là mệnh đề chưa biến có dạng: f(x) < g(x)

- Số xx0 thuộc tập xác định D được gọi là một nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi f x 0 g x 0 là mệnh đề đúng

- Giải bất phương trình là đi tìm tập nghiệm của nó

1.10 Định nghĩa phương trình hàm:

Phương trình hàm là một phương trình mà biến số là các hàm số Cấu trúc của một phương trình hàm thường gồm ba phần:

- Miền xác định, miền giá trị

- Phương trình hoặc hệ phương trình

- Một số điều kiện kèm theo của hàm số( liên tục, đơn điệu, khả vi )

Giải phương trình hàm là đi tìm các hàm số thỏa mãn phương trình đó

$ 2 MỘT SỐ KHÓ KHĂN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC 2.1 Đối với yêu cầu giải phương trình hoặc bất phương trình:

+) Như ta đã biết việc giải phương trình và bất phương trình là đi tìm tập nghiệm của nó bằng việc sử dụng các phép biến đổi hoặc áp dụng các tính chất của logic và toán học trên cơ sở về định nghĩa tập nghiệm của phương trình và bất phương trình Trong chương trình môn toán ở trường THPH, việc giải phương trình và bất phương trình thường được tiến hành bằng các

bản, phương pháp đặt ẩn phụ hoặc phương pháp đánh giá… Điều này dấn đến một số khó khăn khi thực hành giải toán vì các phương pháp này thường chỉ

áp dụng được cho các phương trình ở một số dạng cơ bản, thường gặp, có dạng tổng quát, hoặc trong phương trình chứa một hàm hợp của biến còn với các bài toán nâng cao không thì việc sử dụng các phương pháp đó trở lên khó khăn và không hiệu quả Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ sau để thấy rõ hơn về nhận định trên:

đó trong hệ này phương trình có bậc cao nhất chỉ là bậc hai

Nhưng với phương trình 1 3  x x 5x3 4 vẫn ở dạng f x g x 

nếu ta dung phép biến đổi trên thì sẽ dẫn đến mộ phương trình có bậc là 10 và việc giải phương trình này là không thể Tuy vậy phương trình này vẫn được

ra trong đề thi môn toán ở THPT bởi phạm vi kiến thức được phép sử dụng có thể giải được nó nhờ một số tính chất của hàm số được trình bày trong sách giáp khoa

Ví dụ 1.2: Với phương trình 4x  6x  2.9x học sinh cũng dễ dàng giải được nhờ phép biến đổi về cùng cơ số và sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Nhưng với phương trình tương tự 3x 4x 2.5x thì ta lại không thể biến đổi về cùng một cơ số hay sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ hoặc logarit hóa hai vế được, mà muốn giải nó lại cần nhờ đến tính chất đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1.3: Với bất phương trình:sin2x cosx 1+log inx,  2s trong đó

tương đương, đặt ẩn phụ là không thực hiện được nhưng nhờ khai thác tính chất của hàm số ta lại có thể giải quyết chúng một cách khá dễ dàng ( xem ví

dụ 2.4 chương 2 )

2.2 Đối với yêu cầu giải phương trình, bất phương trình chứa tham số

Như ta đã biết việc tìm điều kiện của tham số trong yêu cầu của phương trình và bất phương trình chúa tham số được giới thiệu trong sách giáo khoa THPT thì phần lớn là sử dụng các định lý như: định lý viét hay định lý về dấu của nhị thức bậc nhất hay định lý về dấu của tam thức bậc hai Điều này dẫn tới việc giải quyết các yêu cầu với loại toán này chỉ được giới hạn với các phương trình và bất phương trình có bậc cao nhất bằng hai Tuy nhiên trong các đề thi thì không phải lúc nào cũng là phương trình, bất phương trình bậc nhất, bặc hai mà còn ra những dạng khác nữa

Ví dụ 1.4: Đề thi đại học khối A năm 2008 Tìm tham số m để phương trình

sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

4 2x  2x 2 64  x 2 6 x m.Với phương trình này việc biến đổi về phương trình bậc hai và sử dụng các định lý liên quan là không thể được Tuy vậy nhờ tính chất thương giao của đồ thị hai hàm số ta lại dễ dàng giải quyết được bài toán ( Xem ví dụ 2.3) Đặc biệt trong những năm gần đây, trong chương trình môn toán ở trường trung học phổ thông người làm toán không được sử dụng định lý đảo

về dấu của tam thức bậc hai để giải quyết các phương trình và bất phương trình chứa tham số đã làm cho giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn khi gặp các bài toán tìm tham số đề phương trình, bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( a ; b ) cho trước Vì vậy việc vận dụng các tính chất của hàm

số được xem là lối thoát cho giáo viên và học sinh trong việc giải quyết các yêu cầu của phương trình và bất phương trình chứa tham số

* Trên đây là một vài phân tích và ví dụ cho ta thấy sự khó khăn và hạn chế khi nghiên cứu phương trình và bất phương trình bằng các phương pháp thông thường mà không sử dụng các tính chất của hàm số Còn rất nhiều các

ví dụ khác nữa mà ta sẽ gặp trong luận văn Điều này cho ta thấy tính ưu việt

và hữu ích của luận văn sử dụng tính chất của hàm số vào nghiên cứu phương trình và bất phương trình

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Vì các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số và phương trình - bất phương trình đã được các sách giáo khoa cũng như tài liệu tham khảo trình bày và chứng minh Nên trong chương này tác giả chỉ trình bày và thừa nhận các khái niệm và tính chất được sử dụng trong quá trình nghiên cứu xem như

là cơ sở của phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để nghiên cứu phương trình và bất phương trình

Những khó khăn thường gặp khi nghiên cứu phương trình và bất phương trình, được phân tích để thấy sự cần thiết của đề tài, và tính ưu việt của các phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để giải phương trình và bất

phương trình

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Nội dung của chương 2 gồm 5 phương pháp, 12 bài toán và 47 ví dụ Được thực hiện trên ý tưởng thiết lập tương ứng giữa các tính chất của hàm số

và các dạng toán về phương trình ở trường phổ thông Kết quả có được là nhờ kinh nghiệm giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông, và tham khảo

từ các tài liệu [1], [4], [5] và [6] với sự trân trọng và biết ơn

2.1 Phương pháp sử dụng tính chất tương giao của hai đồ thị

Bài toán 2.1.1: Giải và biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

dạng: f(x) = g(m)

a Phương pháp:

Thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: - Thực hiện cô lập tham số m chuyển phương trình về dạng:

f(x) = g(m)

- Lập luận: Số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) là số giao điểm của

đồ thị (C) hàm số y = f(x) và đường thẳng (d): y = g(m)

+) Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = f(x)

+) Bước 3: Căn cứ vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số để đưa biện luận

theo các trường hợp về số nghiệm của phương trình đã cho

Phân tích và lời giải: Ta quan sát thấy trong phương trình có thể cô lập được

tham số m về dang f(x) = g(m) nên có thể sử dụng đồ thị của hàm số để giải quyết nhờ bài toán tương giao của đồ thị hai hàm số như sau:

3 1

2

.4

x

x m

Bằng cách đặt ẩn phụ 2x, 0

t t ta được phương trình:

2

31

t m t

thì phương trình vô nghiệm

- Nếu 1  m 3 thì nhất phương trình có một nghiệm đơn duy nhất

- Nếu 3  m 10 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

- Nếu m 10 thì phương trình có một nghiệm kép

Bình luận: Trong ví dụ này ta thấy rằng: Sau một vài phép biến đổi,

phương trình có thể được đưa về dạng bậc hai Nhưng việc sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để giải bài toán là rất khó khăn khi ta phải giải và biện

luận theo m số nghiệm của phương trình ẩn t trên khoảng0;  Nên việc lựa chọn cách giải dựa vào đồ thị hàm số thể hiện tính tối ưu hơn cho bài toán

Ví dụ 2.2: Giải và biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

2

4x  2 3 21 4  xx m.

* Phân tích và lời giải:

+) Nếu biến đổi phương trình tương đương với: 2

m x

Mặc dù được một phương trình bậc hai nhưng việc giải và biện luận phương

trình này kèm theo điều kiện 2

 



 

 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu    30 m 10 hoặc m15 thì phương trình có một nghiệm

- Nếu 10 m 15 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài toán 2.1.2: Tìm tham số m để phương trình dạng f(x) = g(m) có k nghiệm

thuộc ( a ; b)

a Phương pháp:

Thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: - Thực hiện cô lập tham số m chuyển phương trình về dạng:

f(x) = g(m)

- Lập luận: Số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) là số giao điểm của

đồ thị (C) hàm số y = f(x) và đường thẳng (d): y = g(m)

+) Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = f(x)

+) Bước 3: Căn cứ vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số để đưa ra điều

kiện tương đương cho g(m) từ đó giải điều kiện tìm được tham số m và kết luận

* Chú ý: Đường thẳng (d): y = g(m) luôn vuông góc với trục oy và cắt oy tại

điểm có tọa độ ( 0 ; g(m) )

b Áp dụng:

Ví dụ 2.3( ĐH – A - 2007): Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm

thực:

3 x  1 m x  1 24 2x  1. (1)

Cách 1:

Phân tích và lời giải: Ta quan sát thấy trong phương trình có thể cô lập được

tham số m ở một vế của phương trình về dang f(x) = g(m) nên có thể nghĩ tới việc dùng đồ thị của hàm số để giải quyết bài toán bằng tương giao của đồ thị

hai hàm số y = f(x) và y =g(m) như sau:

Khi đó số nghiệm x 1 của phương trình (1) là số nghiệm t0;1 của

phương trình (2) và là số giao điểm của đồ thị hàm số   2

0 -1 +) Từ bảng biến thiên suy ra:

Phương trình (1) có nghiệm thực  1 1.

3

m

  

Phân tích và lời giải:

+) Sau khi thực hiện biến đổi tương tự cách 1 ta được phương trình bậc hai, nên có thể giải bài toán bằng phương pháp tam thức bậc hai như sau:

* Bình luận: Việc sử dụng các giải thứ 2 có nhiều hạn chế đó là nó chỉ thực

hiện được khi phương trình chỉ là bậc hai và việc sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai đã được chứng minh là thiếu cơ sở khoa học cho nên lối

thoát tối ưu hơn trong các bài toán dạng này là việc lựa chọn cách giải thứ

nhất nhờ tương giao của đồ thị hàm hai hàm số

* Phân tích và lời giải:

+) Ta biến đổi phương trình tương đương với:

 (2)

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số nghiệm t  1;1 của phương

trình (2) và là số giao điểm của đồ thị hàm số   2 2 5 11

Từ bảng biến thiên ta có:

a) Phương trình có nghiệm khi khi và chỉ khi 7/2  m 8

Bình luận: Trong ví dụ 2.3 và ví dụ 2.4 ta thấy phương trình có thể biến đổi

đến một phương trình bậc hai Nên tuy rất khó khăn nhưng có thể giải quyết bài toán bằng phương pháp tam thức bậc hai Ví dụ sau đây ta sẽ thấy việc sử dụng phương pháp tam thức bậc hai và các phương pháp khác là không thể thực hiện được để thấy tính ưu việt của phương pháp sử dụng tương giao của

đồ thị hai hàm số

Ví dụ 2.5( ĐH A – 2008 ): Tìm tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 4

2x  2x 2 6 x 2 6 x m

* Phân tích và lời giải:

+) Quan sát phương trình ta thấy việc đưa về phương trình bậc hai để sử dụng phương pháp tam thức bậc hai là không thể Nhưng trong phương trình đã cô lập được tham số dạng f(x) = g(m) nên có thể nghĩ tới việc dùng đồ thị của hàm số để giải quyết bài toán bằng tương giao của đồ thị hai hàm số y = f(x)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt  2 6  2 6 4  m 3 2  6.

+) Vậy 2 62 64  m 3 26 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Các ví dụ trên cho ta thấy việc phát hiện ra cách giải này là do

phương trình đề có thể cô lập được tham số m Tuy nhiên trong trường hợp

sau đây ta sẽ giải quyết bài toán mà không cần cô lập tham số Khi đó ta hãy

đưa phương trình về dạng f x ax+g m  hoặc

     

f x g m x x0 y0sau đó căn cứ vào đồ thị để giải quyết như sau:

Ví dụ 2.6: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực:

+) Do đường thẳng (d): y m x 1 1    luôn đi qua I( 1; 1) nên để phương

trình có nghiệm thì (d) phải nằm trong góc nhọn tạo bởi hai đường tiệm cận là: x = 1 có hệ số góc k1 và y = x có hệ số góc k2 1 hay m > 1

+) Vậy m > 1 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

* Chú ý: Trong ví dụ 2 6 ta thấy việc cô lập tham số m có thể tiến hành được

và nó chỉ dấn tới việc khảo sát hàm số

2 2

4 3 1 0có 4 nghiệm phân biệt

* Phân tích và lời giải:

+) Quan sát phương trình thấy việc sử dụng các phương pháp giải khác là không thể tiến hành được, đồng thời ta thấy phương trình có thể cô lập được

tham số m trở thành:   



m x

3

1 nhưng việc khảo sát hàm số

1 là rất khó khăn và phức tạp Vì vậy ta đưa phương trình về

dạng f x   g m x x 0y0và giải quyết như sau:

+) Ta biến đổi phương trình tương đương với:

- Căn cưa vào đồ thị ta có: Đường thẳng ( ):d m y m x  1luôn đi

điểm A(1; 0 ) thuộc đồ thị (C), điểm B(0; -1) suy ra đường thẳng AB có phương trình là y = x – 1 có hệ số góc là: k1 1 là một đường thẳng của họ

- Phương pháp sử dụng tính chất tương giao của đồ thị hai hàm số là một

phương pháp hay, một lối thoát cho giáo viên và học sinh trong việc giải quyết các bài toán về phương trình chứa tham số Phương pháp này thường được vận dụng với trường hợp có thể cô lập được tham số m đưa phương

trình về dạng f(x) = g(m) Và đây cũng chính là khâu đóng vai trò then chốt của phương pháp sử dụng tính chất tương giao của đồ thị hai hàm số

2.2 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số liên tục:

Bài toán 2.2: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm thực thuộc đoạn [ a ; b ]

a Phương pháp: (Sử dụng định lý Bonxano – Cauchy thứ nhất)

Thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Chứng minh f(x) là hàm số liên tục trên [ a; b ]

+) Bước 2: Chọn các sô i, ( i1 k1 ) chia đoạn [ a; b ] thành k khoảng

không giao nhau a1 b thỏa mãn:    

0

Bình luận: Cách giải trên đây có được là do tính chất của đề bài đã ngầm

chứa dấu của hàm f(x) tại hai đầu mút của mỗi khoảng là trái dấu nên việc tìm lời giải cho bài toán là không mấy khó khăn Tuy nhiên nếu bỏ qua tính đặc biệt đó của bài toán ta cung có thể giải quyết được bằng cách sau:

Cách 2: Với điều kiện:

* Bình luận: Việc giải quyết các ví dụ trên cho ta thấy việc tìm các cặp điểm

mà giá trị của hàm số tại đó trái dấu thường được tiến hành bởi sự mò mẫm tại các điểm đầu mút của khoảng hoặc các điểm đặc biệt khác Tuy nhiên việc

dò tìm này mang tính thủ công và không phải lúc nào cũng tiến hành được Khi đó ta lên nghiên cứu các tính chất của hàm và các điều kiện của bài toán

đê tìm ra các phương án khác có thể giải quyết được yêu cầu

Ví dụ 2.9: Cho hàm số f(x) liên tục trên [ 0; 1 ] và f(0) = f(1) và n là nguyên

dương Chứng minh phương trình     

1 0; ta có:

( Điều phải chứng minh )

Ví dụ 2.10 ( Olimpic SV – 1998 ): Cho hàm f(x) liên tục trên [ 0; 1 ] thỏa mãn:

* Phân tích và lời giải:

Tương tự các ví dụ trên ta biến đổi phương trình đã cho tương đương với

f x( ) x1997 0

+) Xét hàm số: g x  f x x1997là hàm liên tục trên [ 0; 1 ] ta dễ dàng

tính đươc g 0  f 0  0 nhưng lại không xác định được dấu g 1  f 1 1 

là âm hay dương, việc dò tìm giá trị  0;1 thỏa mãn g   0 bằng phương án mò mẫm thủ công là không thể Tuy nhiên ta căn cứ vào đề bài cho có một tính chất liên quan đến tích phân nên hãy nhớ rằng: Nếu

Suy ra luôn tồn tại số 0;1 để sao cho g   0.

+) Như thế ta có:g x  là hàm liên tục trên [ 0; 1 ] và g   0 g   0 với

 

  0;1 Nên theo định lý Bonxano – Cauchy thứ nhất thì luôn tồn tại số

   

x0 0; 0;1 sao cho g x 0  0 hay phương trình đã cho luôn

ít nhất một nghiệm x00;1 ( Điều phải chứng minh )

* Kết luận: Phương pháp sử dụng ddingj lý bonxano – Cau chy thứ nhất cho

ta một phương án mới trong bài toán chứng minh phương trình có ít nhất k

nghiệm thuộc khoảng (a;b) Điểm then chốt của phương pháp là chia được

khoảng (a;b) thành k khoảng không giao nhau sao cho giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút là trái dấu

2.3 Phương pháp sử dụng tính chất của đạo hàm

là hàm số liên tục trên [ 0; 1 ], có đạo hàm trên khoảng ( 0; 1) và ta có:

a x a x1 1 a0 0 luôn có nghiệmx x 0 thuộc khoảng (0; 1)

( Điều phải chứng minh )

Ví dụ 2.12: cho số thực c và số nguyên dương n thỏa mãn:

2 2

Chứng minh phương trình: c1  2c x2 3c x3 2   nc x n n1  0

luôn có nghiệm thuộc khoảng 0;2

* Phân tích và lời giải



n n

Nghĩa là phương trình: c12c x2 3c x3 2  nc x n n1 0.

luôn có nghiệmx x 3thuộc khoảng x x1; 2  0;2.( Điều phải chứng

minh )

Ví dụ 2.13 ( Olimpic sinh viên – 1994): Cho n là số nguyên dương và hai số

thực a b k, k ( k = 1,2, ,n ) chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm

sin 0luôn có nghiệm x x 0   ; 

( Điều phải chứng minh)

Ví dụ 2.14: Cho 3 số thực a, b, c và số nguyên dương thỏa mãn:

asin x bcos x c inx+c=0.s

* Phân tích và lời giải: