CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH Câu (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018) Giải phương trình sau: a) x  12 x  27 b) x  x  20 0 a) x  12 x  27  Lời giải 3x  x 3  3 x 3  x 1 S  1 Vậy b) x  x  20 0    81 4  x1      81 x2     1  4.1.(  20) 81  Phương trình có hai nghiệm phân biệt  S   5; 4 Vậy Câu (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018) Cho phương trình bậc hai ẩn x : x  (4m  1) x  2m  0 ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với tham số m x  x 17 b) Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 phương trình cho thỏa mãn điều kiện Lời giải 2   (4 m  1)  4.1.(2 m  8)  16 m  33  với giá trị m a) Ta có Nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với tham số m b) Vì phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với tham số m nên theo định lí Vi-et: b   x1  x2  a  4m    x x  c 2m   a x  x 17  ( x1  x2 )2 289  x12  x22  x1 x2 289  ( x1  x2 )  x1 x2 289 Ta có:  m 4  ( 4m  1)  4(2m  8) 289  16 m  256 0    m  Vậy m 4 thỏa mãn yêu cầu toán Câu (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Giải phương trình: x - 3x+ = Lời giải Cách 1: Do 1+(-3)+ = nên phương trình cho có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2 Cách 2: Δ= (-3) - 4.2 =  Δ = Phương trình cho có hai nghiệm x1 = -(-3) - -(-3)+1 = 1; x2 = = 2 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) x  x - 12x - 12  6. x =  + x+1  x+2  Giải phương trình: Lời giải Điều kiện x 1  x2  x2  6   12 0  x 1  x 1  Phương trình x2 t= x+1 Đặt:   t1 =  t = -  Phương trình trở thành 6t +t - 12 =  x 2 x2   3x  4x  0    x  x  t  ta Với x 3   2x  3x  0 t  ta x  Với (vô nghiệm)    S 2;   3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm: Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Cho phương trình x  (2m  5) x  2m  0 (1) với x ẩn số, m tham số m  (1) a) Giải phương trình b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức P | x1  x2 | đạt giá trị nhỏ Lời giải Phương trình x  (2m  5) x  2m  0 (1) với x ẩn, m tham số  x 0 1 x  x 0   m  x 4 , phương trình trở thành a) Khi 2 b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  (2 m  5)  4(2 m  1)   m  12m  21   (2 m  3)  12  Bất đẳng thức sau với giá trị m Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt  2m  0   m  P | x1  x2 |  2m  0 Để có nghĩa x1 x2 phải dương  x1  x2 2m   x x 2m  Khi theo định lý Vi-et ta có  ( với x1 x2 hai nghiệm (1) ) P x1  x2  x1 x2 2m   2m  Do   2m    3  P  Vậy P đạt giá trị nhỏ  2m  1  m 0 Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018) x   m  1 x  m  m  0 (1) Cho phương trình a) Giải phương trình với m  b) Chứng minh với m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Giả sử hai  x  x2  , tìm m để x2  x1 2 nghiệm x1 , x2 Lời giải (1) a) Thay m  vào phương trình ta được: x  x  0 c x   a Vì a  b  c 1   0 nên phương trình có hai nghiệm x1 1   16    m  1  4.1   m  m  1 5m  6m  5   m       25    b) , với m nên m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với   3 x1 x2  m2  m     m          Theo định lí Vi – ét: x1  x2 m  , với m x  x1 2 Theo đề: x2  x1 suy ra: x 2 2  x1  4  x12  x22  x1 x2 4   x1  x2   x1 x2  x1 x2 4   x1  x2  4  m  2  m 3     m  1 4  m    m  Vậy m  , m 3 giá trị cần tìm Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Ngun năm 2017-2018) Khơng dùng máy tính cầm tay, giải phương trình: x  x  0 Lời giải 2 x  x  0 ;  1  1.( 8) 9    3 Phương trình có nghiệm phân biệt: x1   1  1 2 x2   1 ; Vậy tập ghiệm phương trình là: S   4; 2 Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) Cho phương trình x  3x  0 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình x x  P 2     x2 x1  Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: Lời giải Phương trình: x  3x  0 Ta thấy a, c trái dấu nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt  x  x     x x  2 Theo định lí Vi-ét ta có:  x x   x  x22   x12  x1 x2  x22  x1 x2  2( x1  x2 )2  x1 x2 P 2    2      x1 x2 x1 x2  x2 x1   x1 x2     3  1         2 9   2 2        13 1 2    2 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho phương trình x2 - 2mx + m2 - = ( 1) , với m tham số ( 1) m = ( 1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x , x 2) Chứng minh phương trình ( 1) , lập phương trình bậc hai nhận x - 2mx + m x - hai nghiệm phương trình 1) Giải phương trình 3 2 2 x - 2mx + m x2 - nghiệm Lời giải 1) Với m = PT trở thành x - 4x + = Giải phương trình tìm nghiệm x = ; x = 2 2) Ta có D ' = m - m + = > 0, " m Do đó, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x2 - 2mxi + m2 - = 0, i = 1;2 Từ giả thiết ta có i xi3 - 2mxi2 + m2xi - ( ) = xi xi2 - 2mxi + m2 - + xi - = xi - 2, i = 1;2 Áp dụng định lí Viét cho phương trình Ta có ( x1 - 2) + ( x2 - 2) = 2m - 4; (x ( 1) ta có x1 + x2 = 2m x1.x2 = m2 - ; - 2) ( x2 - 2) = x1x2 - 2( x1 + x2 ) + = m2 - 1- 4m + = m2 - 4m + x3 - 2mx12 + m2x1 - 2, x23 - 2mx22 + m2x2 - Vậy phương trình bậc hai nhận x2 - ( 2m - 4) x + m2 - 4m + = nghiệm Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) (x Giải phương trình )( ) - x + x2 + 4x + = 6x2 Lời giải Dễ thấy x = khơng nghiệm phương trình nên ỉ ÷ ửổ ỗ ữ PT ỗ = çx + - 1÷ çx + + 4÷ ÷ ÷ ữ ữ ỗ ỗ x x ố ứố ứ ( t - 1) ( t + 4) = Û t2 + 3t - 10 = Û t =x+ x ta Đặt t = Þ x + = Û x2 - 2x + = Û x = x Với ét = ê êt = - ê ë 2 é - - 21 êx = ê 2 t = - Þ x + = - Û x + 5x + = Û ê ê x + 21 êx = ê ë Với Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2017-2018) Cho phương trình: x  2( m  1) x  (2m  1) 0  1 ( m tham số)  1 với m 2  1 ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Chứng minh phương trình  1 ln có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu c) Tìm m để phương trình Lời giải a) Thay m 2 vào ta có phương trình: x - x - = a) Giải phương trình D ¢= ( - 1) - 1.( - 5) = > é êx = - b ¢+ D ¢ ê1 a ê ê êx = - b ¢- D ¢ Û ê2 a Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ë b) Phương trình: x  2( m  1) x  (2m  1) 0 có: éx = + ê1 ê x = ê ë ù D ¢= é ë- ( m - 1) û +1.( 2m +1) = ( m - 2m +1) +( 2m +1) = m2 + > , " m ( 1) ln có hai nghiệm phân biệt với m ( 1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: c) Với m phương trình ïìï x1 + x2 = ( m - 1) í ïïỵ x1 x2 =- ( 2m +1) Vậy phương trình ïì x + x2 = Û ïí ïïỵ x1 x2 < u cầu tốn tương đương: x1 =- x2 ïì m = ìï ( m - 1) = Û ïï í Û ïí ïï m >- ïïỵ - ( 2m +1) < ïỵ Û m =  1 ln có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái Vậy với m = phương trình dấu Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2017-2018) Cho phương trình x  10mx  9m 0 (1) ( với m tham số) a Giải phương trình (1) m 1 Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 0 b Lời giải Cho phương trình x  10mx  9m 0 ( ) ( với m tham số) x  10 x  0 a Khi m 1 phương trình ( ) trở thành: a  b  c 1    10   0 nên phương trình có hai nghiệm: x1 1 , x2 9 b x  10mx  9m 0 ( ) ( với m tham số) Vì  '   5m   1.9m 25m  9m Ta có:  Để phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt:   '   25m  9m   m(25m  9)   m  hay  m Khi m  hay 25 m 25 phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2 10m    x x 9m  3 Theo hệ thức vi-et ta có:   Theo yêu cầu toán: x1  x2 0 ( ) Kết hợp ( ) với ( ) ta hệ phương trình:  x1  x2 10m   x1  x 0  x1 9m    x2 m Thay x1 9m , x m vào ( ) ta phương trình: 9m.m 9m  9m(m  1) 0  m 0 ( loại) hay m 1 (nhận) Vậy m 1 phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu x1  x2 0 Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2017-2018) Cho phương trình x – 2mx – 6m – 0 a) Giải phương trình m 0 b) 2 Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 trái dấu thỏa mãn x1  x2 13 Lời giải a) Khi m 0 phương trình trở thành: x  0  x 3 b) Với a 1 , b  2m , b’  m , c  6m –  b '2  ac m  6m  (m  3) 0, m Phương trình ln có nghiệm x1 , x2 với m Theo hệ thức Viet ta có:  x1  x2 2m   x 1.x2  6m  Phương trình có nghiệm trái dấu  x1 x2    m    m  3 2 Ta có : x1  x2 13   x1  x2   x1 x2 13  (2m)  2(  6m  9)  13 0  4m  12m  0  m Vậy 5 1 m (loại) (nhận) m 1 Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018) 2  1 , với m tham số Cho phương trình: x  2mx  m  0  1 m 2 a Giải phương trình  1 có hai nghiệm x1, x2 cho biểu thức b Tìm giá trị m để phương trình A  x1 x2  x1  x2  đạt giá trị lớn Lời giải  1 ta được: x  x  0  2( x  1)2 0  x 1 a Với m 2 thay vào phương trình  1 có nghiệm x 1 Vậy với m 2 phương trình b Phương trình  1 có hai nghiệm x1 , x2   0  m  0   m 2  x1  x2 m   m2  x x   2 Theo Vi – et ta có:  Theo đề ta có: A  x1 x2  x1  x2   m  m   ( m  3)(m  2) Do  m 2 nên m  0 , m  0 Suy 25 25 )   4 A (m  2)( m  3)  m  m   ( m  25 m Vậy A đạt giá trị lớn Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Bình Thuận năm 2017-2018) Giải phương trình x  x  0 Lời giải x  x  0 (a 1, b  4, c 3)  b  4ac ( 4)  4.1.3 4 Do   nên phương trình có nghiệm phân biệt: x1   b    b   3 ; x  1 2a 2a Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho phương trình: mx  x  0 (1), với m tham số a Giải phương trình (1) m 0 b Giải phương trình (1) m 1 Lời giải Cho phương trình: mx  x  0 (1), với m tham số a Giải phương trình (1) m 0 Khi m 0 , ta có phương trình: x  0  x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 b Giải phương trình (1) m 1 Khi m 1 , ta có phương trình: x  x  0 Ta thấy: a  b  c 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 1 ; x2  Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018) a) Giải phương trình x   x  ; b) Giải phương trình:   x2   2 x  0 Lời giải a) 3x  x   3x  x 2   x 7  x b)   x2   2 x  0  x2  x  2 x  0  x  x  1   x  1 0    x   x  1 0  x  0  x    x  0  x   Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018) Giải phương trình sau tập số thực: a) x  x  10 0 x  1 b)    x  1  0 Lời giải a) Giải phương trình x  x  10 0  1      4.2.10 1  1 có hai nghiệm phân biệt: Vì   nên phương trình 1  9 x2  2 x1   5 S 2;   2 Vậy tập nghiệm phương trình cho x  1 b)  x  1 Đặt    x  1  0  1 t  t 0  Khi phương trình  1 trở thành: t  8t  0        4.1    100   có hai nghiệm phân biệt: Vì   nên phương trình t1   100 9 (thoả mãn) t2   100  (không thoả mãn) Với t 9 ta có:  x  1 9  x  3  x 4    x    x  Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S   2; 4 Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018) x   m   x  2m  5m  0 m Cho phương trình ( tham số) Tìm giá trị nguyên m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt cho tích hai nghiệm  30 Khi đó, tính tổng hai nghiệm phương trình Lời giải x   m   x  2m  5m  0  1     m     4.1   2m  5m  3 m  8m  16  8m  20m  12 9m  12m   3m    m    1 có hai nghiệm phân biệt Vì   m   nên phương trình  1 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Theo hệ thức Viet ta có:  x1  x2 m    x1.x2  2m  5m  Theo đề ta có: x1.x2  30   2m2  5m   30   2m  5m  33 0  m   tm, m     m 11  ktm, m    Với m  ta có: x1  x2 m    1