SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn: Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút(không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/04/2022 (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) Họ tên thí sinh:………………………… …………………Số báo danh:…………… Câu (5,0 im) ổ A =ỗ x + 1) + x2 ( ỗ ỗ ố a) Rỳt gn biu thc ( x - 1) ÷ 4x2 + + 4x4 + + x2 ÷ ÷ ÷ ø b) Cho số p = n - 11n + 49 với n Ỵ N Hãy tìm giá trị n để p số nguyên tố Câu (4,0 điểm) 27x3 + 3x x2 + = x2 + a) Giải phương trình sau ( 2x + 5y + 1) ( x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau Câu (2,0 điểm) ) + x2 + x + y = 105 Cho đa giác có 10 đỉnh hình vẽ bên (bốn đỉnh: A, B,C , D A J , A , B , C J B,C , D, E C , D, E , F … gọi bốn đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số I M = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} nguyên thuộc tập hợp (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) H Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số thuộc tập hợp M mà tổng số lớn 21 B C D E G F Câu (5,0 điểm) (O;R ) Trên cung nhỏ AD lấy điểm E ( E Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn khơng trùng với A D ) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M , N · · a) Chứng minh IAN = NBI b) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy tính độ dài đoạn AE theo R Câu (2,0 điểm) DE ,GH , IK Gọi M điểm tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với ( BC ,CA, AB D,G Ỵ AB;E , I Ỵ CA;K , H Ỵ BC SAGMI + SBDMK + SCEMH £ ) S ABC ( S diện tích) Chứng minh rằng: Câu 6(2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P = 3x + 3y + 2z ( ) ( ) x2 + + y2 + + z2 + Hết -Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 17/04/2022 (Hướng dẫn chấm có 04 trang) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Câu Ý Điể m Đáp án A1 = ( x + 1) ( x - 1) + x2 - + x2 = 2x2 + 2x + - 2x2 - 2x + 0,5 A2 = 4x2 + + 4x4 + = 4x2 + + 4x4 + 4x2 + 1- 4x2 ( ) = 4x2 + + 2x2 + - ( 2x) a) (2,5đ ) ( )( ) = 2x2 + 2x + + 2x2 + 2x + 2x2 - 2x + + 2x2 - 2x + ( = ) 0,5 ( )( 2x2 + 2x + - 2x2 - 2x + ) 2x2 + 2x + + 2x2 - 2x + = 2x + 2x + 1- 2x + 2x - = 4x (5,0đ ) ( 5n + 7) ( n + 5n + 7) ) ( ) = n4 + 14n2 + 49 - 25n2 = n2 + - ( 5n) Ta có: p = n - 11n + 49 ( = n - b) (2,5đ ) a) (2,0đ ) 0,5 2x2 + 2x + + 2x2 - 2x + = 2x2 + 2x + + 2x2 - 2x + Þ A = A1.A2 = (4,0đ ) 0,5 0,5 0,5 2 Với n = p = khơng phải số nguyên tố Do n = (loại) 0,5 2 Với n > 0; n Ỵ N n - 5n + < n + 5n + n + 5n + > 0,5 Để p số nguyên tố én = n2 - 5n + = Û n2 - 5n + = Û ( n - 2) ( n - 3) = Û ê ên = ê ë n = Þ p = 21 Với số nguyên tố Do n = (loại) Với n = Þ p = 31 số nguyên tố Vậy n = p số nguyên tố x2 + = 27x3 + 3x x2 + ( ) Û x2 + + x2 + = 27x3 + 3x 0,5 0,5 0,5 Û ( x2 + 4) x2 + + x2 + = 27x3 + 3x (*) ( *) trở thành: Đặt a = x + ; b = 3x phương trình ( 0,5 ) a3 + a = b3 + b Û ( a - b) a2 + ab + b2 + = Û a = b æ2 ổ 2ử 3 ỗ ữ ữ a + ab + b + = ỗ + b + = + b2 + > ỗa + ab + b ữ ỗa + bữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ứ è ø è Vì a =bÞ ìï x > ïï ïï é ìx>0 ìx>0 ï ï ïï êx = - 2 ïí x2 + = 3x Û ïí Û Û Û x= íê 2 ïï x + = 9x ïï 8x = ïï ê ỵ ỵ ïï ê x= ïï ê ë ïỵ ê Vậy nghiệm phường trình là: ( 2x + 5y + 1) ( x x= 0,5 0,5 2 ) + x2 + x + y = 105 x Vì 105 số lẻ nên 2x + 5y + + x + x + y phải số lẻ 0,5 Từ 2x + 5y + số lẻ mà 2x + số lẻ nên 5y số chẵn suy y chẵn x + x2 + x + y số lẻ mà x2 + x = x(x + 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên b) (2đ) x số chẵn, y chẵn nên số lẻ Điều xảy x = 0,5 Thay x = vào phương trình cho ta được: ( 5y + 1) ( y + 1) = 105 Û 5y2 + 6y - 104 = Û 5y2 - 20y + 26y - 104 = 0,5 Û 5y(y - 4) + 26(y - 4) = Û (5y + 26)(y - 4) = Û y= - 26 (loại) y = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm ngun (2đ) 0,5 ( x;y) = ( 0;4) A B J C I (2,0đ ) D H E G Gọi x1, x2, x3, , x10 F số khác đánh tùy ý vào 10 đỉnh đa giác trên, x , x , x , , x10 Ỵ M với 0,5 Giả sử ngược lại khơng tìm đỉnh thỏa mãn khẳng định tốn Khi ta có: ìï x + x + x + x £ 21 ïï ïï x + x + x + x £ 21 ïï ïí x + x + x + x £ 21 ïï ïï ïï ïïỵ x10 + x1 + x2 + x3 £ 21 Từ suy 0,5 4( x1 + x2 + x3 + + x10 ) £ 10.21 = 210 Mặt khác ta lại có: x1 + x2 + x3 + + x10 = 1+ + + + 10 = 10.11 = 55 0,5 Suy 4.55 < 210 Û 220 < 210 (vô lý) nên điều giả sử sai Vậy ta ln tìm đỉnh liên tiếp đánh số thuộc tập hợp M mà tổng số lớn 21 0,5 · · Ta có NAC = NCA ( BD đường trung trực AC ) · · DAC = DCA (tính chất đường chéo hình vng) · · · · · · Suy IAN = DAC - NAC = DCA - NCA = DCN · · · · mà DCN = NBI (cùng chắn cung DE ) suy IAN = NBI + D MDC vuông D nên 0,5 CD 5CD Þ MC = CD MC = CD + MD = CD + = 4 0,5 Chứng minh D MDC đồng dạng D MEA (g-g) 0,5 a) (2đ) b) (3đ) (5,0đ ) 2 2 CD CD CM AM CD = 5CD = Þ AE = = AE AM MC 5 CD => + D OCD vuông cân O có OC = OD = R ta tính CD = R 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 AE = Do đó, (2,0đ ) R 10 R = 5 (đvđd) S, S1, S2, S3 Ta có tam giác ABC ,GDM , MK H , IME đồng dạng Gọi ABC GDM MK H IME diện tích tam giác , , , (2đ) S1 + S2 + S3 = S1 S S DM + K H + ME = =1 BC Ta có Þ Ta có ( Vậy (2đ) S2 + S + S3 S = DM K H ME + + BC BC BC S1 - S2 ) ( ( + S2 - 0,5 S3 ) ( + S1 + S2 + S3 SAGMI + SBDMK + SCEMH £ 0,5 0,5 S1 + S2 + S3 = S 3( S1 + S2 + S3 ) ³ (2,0đ ) 0,5 ) S3 - S1 ) ³ khai triển ta Þ S1 + S2 + S3 ³ S 0,5 S ABC ( )( x2 + = x2 + xy + yz + xz = x + y z + x Từ giả thiết xy + yz + zx = ta có: ) 0,5 y2 + = y2 + xy + yz + xz = ( x + y) ( y + z) z2 + = z2 + xy + yz + xz = ( x + z) ( y + z) Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: ( ) x2 + = 6( x + y) ( z + x) £ Chứng minh tương tự, ta được: 3( x + y) + 2( z + x) ( ) y2 + £ ( ) ( ) 5x + 3y + 2z 0,5 3x + 5y + 2z x + y + 2z ; z2 + £ 2 Cộng theo vế bất đẳng thức, ta được: x2 + + y2 + + x2 + £ = 0,5 9x + 9y + 6z Þ P = Vậy 3x + 3y + 2z ( ) ( ) x2 + + y2 + + z2 + MinP = ³ 2( 3x + 3y + 2z) 9x + 9y + 6z = Û x = y = 1, z = Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ điểm tối đa - Điểm toàn khơng làm trịn Hết 0,25 0,25