Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp: 1) Lập phương trình mặt cầu:  Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm I (a; b; c) bán kính R Khi phương trình mặt cầu có daïng: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 (1)  Ngoaøi để lập phương trình mặt cầu ta tìm hệ số a, b, c, d phương trình : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  (2) Với tâm I (a; b; c) , bán kính R2  a2  b2  c2  d   Một mặt cầu hoàn toàn xác định biết tâm bán kính biết đường kính 2) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R mặt phaúng ( ) , h  d  I , ( )  , H hình chiếu I lên mặt phẳng ( )  h  R ( ) mặt cầu ( I ) không giao  h  R ( ) mặt cầu ( I ) tiếp xúc H  h  R ( ) mặt cầu ( I ) cắt theo giao tuyến đường tròn tâm H , bán kính r  R2  h2 3) Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R đường thẳng  , h  d  I ,   , H hình chiếu I lên mặt phẳng   h  R  mặt cầu ( I ) không giao  h  R  mặt cầu ( I ) tiếp xúc H Hay  tiếp tuyến mặt cầu ( I )  h  R  mặt cầu ( I ) cắt hai điểm phân biệt A, B H trung điểm dây cung AB , đó: R2  AB2  h2 Ví dụ 1.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm x2 y z3 A(0; 0;  2) đường thẳng  :   Tính khoảng 155 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả cách từ A đến  Viết phương trình mặt cầu tâm A , cắt  hai điểm B C cho BC  Lời giải  Đường thẳng  qua M   2; 2;  3 có u   2; 3;  vtcp; d  A,       AM , u     u 3 Gọi H hình chiếu A lên  AH  H trung điểm BC nên BH  Vậy bán kính mặt cầu AB  AH  BH  Nên phương trình mặt cầu laø x2  y2   z    25 Ví dụ 2.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : x y z   mặt Cho đường thẳng  có phương trình: phẳng ( P) : x  y  z  Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng ( P) Đề thi ĐH Khối D – 2011 Lời giải Gọi (S) mặt cầu cần tìm, I tâm  x 1  2t  Phương trình tham số đường thẳng  :  y   t z t  Vì I    I   2t;  4t; t  Ta có ( P) tiếp xúc với (S) nên d( I , ( P)) 1  2(1  2t)  (3  t)  2t 1  t  2, t   t   I (5;11; 2)  phương trình mặt cầu (S) : ( x  5)2  ( y  11)2  ( z  2)2 1 156 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  t   I ( 1;  1;  1) , suy phương trình (S) : ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 1 Ví dụ 3.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Đề vuông góc Oxyz cho I (1; 2;  2) mặt phẳng  P  : x  y  z   Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I cho giao (S) với mp(P) đường tròn (C) có chu vi 8 ; Chứng minh mặt cầu (S) nói phần tiếp xúc với đường thẳng  : x   y   z ; Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng  tiếp xúc với (S) Lời giải Gọi R, r bán kính mặt cầu (S) đường tròn (C) Ta có: 2 r  8  r  vaø d( I , ( P))  neân R  r2  d2 ( I , ( P))  Vậy phương trình mặt cầu (S) : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  2)2  25  Đường thẳng  có u  (1; 2; 2) VTCP qua A(1;  3; 0)     [u , AI ] 5 Suy AI  (0; 5;  2)  [u , AI ]  ( 14; 2; 5)  d( I, )   u Vaäy đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) Cách  x 1  t  Phương trình tham số  :  y   2t , thay vào phương trình  z  2t  mặt cầu (S) , 2 2 ta được: t  (2t  5)  (2t  2)  25  (3t  2)   t  157 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Suy mặt cầu (S)  giao điểm M ( ;  ; ) 3 Vậy đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) M Vì mp(Q) chứa  tiếp xúc với mặt cầu (S) nên M tiếp điểm mp(Q) mặt cầu (S)   11 10  Do (Q) mặt phẳng qua M nhận IM  ;  ;  laøm   VTPT Vậy phương trình mặt phẳng (Q) : x  11 y  10 z  35  Ví dụ 4.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm M (1;  5; 2) qua đường tròn (C) giao mp ( ) : x  y  z   vaø mặt cầu (S ') : x2  y2  z2  x  y  z  40  x t  Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa d :  y   t cho  z   2t  giao tuyến mặt phẳng ( P) mặt cầu (S) : x2  y2  z2  x  y  z   đường tròn có bán kính r 1 Lời giải Cách Mặt cầu (S ') có tâm I '( 1; 2; 2), R ' 7 , d( I ', ( ))  24 29 2   ( 1)   R ' nên đường tròn (C) tồn có bán kính r  10 Gọi H tâm (C)  x   2t  Ta coù I ' H  ( )  I ' H :  y   2t Suy tọa độ H z 2  t  nghiệm hệ 158 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  x   2t   y   2t   z 2  t 2 x  y  z    x    y   H ( 3; 0; 3)   z 3 Gọi d đường thẳng qua tâm H vuông góc với ( ) , suy  x   2t  phương trình d :  y  2t z 3  t  Gọi I tâm mặt cầu (S) , (S) qua đường tròn (C) nên I  d  Suy I (  2t; 2t;  t)  MI  (2t  4; 2t  5;1  t) , d( I , ( ))  9t 3 t Mặt khác, ta có: IM  r2  d2 ( I, ( ))  (2t  4)2  (2t  5)2  (1  t)2  40  9t2  t   I ( 5;  2; 4), R  IM  Vậy phương trình (S) : ( x  5)2  ( y  2)2  ( z  4)2  49 Cách Vì mặt cầu (S) qua đường tròn (C) nên phương trình (S) có dạng: x2  y2  z2  2x  y  z  40   (2 x  y  z  9)   x2  y2  z2  (2  2 ) x  (4  2 ) y  (4   ) z  40  9  Vì M (1;  5; 2)  (S)  44  10  40  9     Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2  y2  z2  10 x  y  z    A (0;  2;  6) d u Đường thẳng qua có  (1;1; 2) VTCP Phương trình (P) có dạng: ax  b( y  2)  c( z  6)  Hay ax  by  cz  2b  6c  Trong a2  b2  c2  vaø a  b  2c   a  b  2c (1) 159 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;1;  1) , bán kính R  Theo giả thiết, ta suy d( I , ( P))  R2  r2  Do đó:  a  3b  5c a2  b2  c2   4b  c  (b  2c)2  b2  c2  (4b  c)2  3(2b2  4bc  5c2 )  5b2  22bc  17 c2   b  c, b   b  c ta choïn c   b 1  a 1  ( P) : x  y  z   17  b  c ta choïn c   b  17  a   ( P) : x  17 y  z   Ví dụ 5.4.6 Lập phương trình mặt phẳng (P) biết: (P) chứa hai đường thẳng cắt có phương trình: x y 1 z 1 x 2 y  z 1 :   , 2 :   1 3 1 (P) chứa hai đường thẳng song song có phương trình: x 2 y  z x 2 y  z  2 :   , 3 :   3 1 2 3 (P) chứa đường thẳng 1 tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: (S) : x  y  z2  8x  2y  4z  0 (P) chứa đường thẳng 3 cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn (P) chứa đường thẳng 2 cắt mặt cầu (S) theo đường tròn 210 có bán kính Lời giải  Đường thẳng 1 qua M1 (0;  1;  1) vaø u 1 (1; 1; 1) Đường thẳng 2  qua M2 (  2; 2; 0) vaø u 2 (2;  3;  1)   Cặp véc tơ phương (P) u 1 (1; 1; 1) vaø u 2 (2;  3;  1), nên    véc tơ pháp tuyến (P) n(P)  u 1 ;u 2  (2; 3;  5) Phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng 1 2 2(x  0)  3(y  1)  5(z  1) 0  2x  3y  5z  0  Đường thẳng 3 qua M3 (  2; 1; 3) vaø u 3 (  2; 3; 1)   Cặp véc tơ phương (P) u 2 (2;  3;  1) vaø M2 M3 (0;  1; 3)    nên véc tơ pháp tuyến (P) n(P)  u 2 ; M2 M3   2(5; 3; 1) 160 17 c Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng 2 3 5(x  2)  3(y  1)  1(z  3) 0  5x  3y  z  0 Vì (P) chứa đường thẳng 1 nên (P) qua hai điểm thuộc 1 điểm M1 (0;  1;  1) N1 (1; 0; 0) Phương trình mặt phẳng (P) qua M1 có dạng a(x  0)  b(y  1)  c(z  1) 0, a  b2  c  Vì (P) qua N1 nên c  b  a Mặt cầu (S) có tâm I(4;  1;  2) bán kính R  14 (P) tiếp xúc với (S) d(I; (P)) R, hay 4a  b.0  (  b  a).(  1) 2  14  5a  b  14(2a  2ab  2b2 ) a  b  (  b  a)  a2  6ab  9b2 0  a  3b Choïn b  a 3; c  nên phương trình mặt phẳng cần tìm (P) : 3x  y  2z  0 Đường tròn giao tuyến có bán kính lớn đường tròn qua tâm mặt cầu Tức mặt phẳng (P) chứa 3   qua tâm I(4;  1;  2) Ta coù u 3 (  2; 3; 1) vaø IM3 (  6; 2; 5) neân      n  u (P) véc tơ pháp tuyến (P)  3 ; IM3  (13; 4; 14) Phương trình mặt phẳng cần tìm (P) : 13x  4y  14z  20 0 Vì (P) chứa đường thẳng 2 nên (P) qua hai điểm thuộc 2 điểm M2 (  2; 2; 0) vaø N (0;  1;  1) Phương trình mặt phẳng (P) qua M1 có dạng a(x  2)  b(y  2)  c(z  0) 0, a  b2  c  Vì (P) qua N2 nên c 2a  3b Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn có 210 bán kính r  nên 210 49 d2 (I; (P)) R2  r 14    d(I; (P))  36 6 6a  3b  (2a  3b).(  2)  Do ño ù a2  b2  (2a  3b)2  2a  3b 7 5a  12ab  10b2  221a2  660ab  435b2 0  a 2b; a  218 b 221 161 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Nếu a 2b chọn b 1 ta có a 2; c 1 nên phương trình mặt phẳng (P) : 2x  y  z  0 218 b chọn b 221 ta có a 218; c  227 nên phương Nếu a  221 trình mặt phẳng (P) : 218x  221y  227z  0 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn (P) : 2x  y  z  0 vaø (P) : 218x  221y  227z  0 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Lập phương trình mặt cầu (S) biết Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) bán kính R = Mặt cầu (S) có tâm nằm Ox qua A(1; 2;1), B(3;1;  2) Mặt cầu (S) có tâm I (3;  2; 4) tiếp xúc với mp( P) : x  y  z   Mặt cầu (S) qua C(2;  4; 3) hình chiếu C lên ba trục tọa độ Mặt cầu (S) có tâm nằm mp(Oxy) qua M (1; 0; 2), N ( 2;1;1), vaø P ( 1;  1;1) Có tâm I (6; 3;  4) tiếp xúc với Oy Bài Lập phương trình mặt cầu (S) , biết (S) : Có tâm I (1;1; 2) tiếp xúc với mp ( P) : x  y  z   ; Có bán kính R  tiếp xúc với mp ( P) : x  y  z   taïi ñieåm A(1;1;  3) ; x y z   tiếp 3 2 xúc với hai mặt phẳng ( P) : x  y  z   vaø (Q) : x  y  z   ; Có tâm nằm đường thẳng d : Đi qua bốn điểm A(0;1; 0), B(2; 3;1), C( 2; 2; 2) vaø D(1;  1; 2) ; Có tâm thuộc mp ( P) : x  y  z   qua ba điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0) , C(1;1;1) ; 162 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  x  Có tâm nằm đường thẳng d :  tiếp xúc với hai  y 0 mặt phaúng  P : x  z   vaø  Q  : x  z   Bài Trong khoâng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  3; 3;  , B  3; 0; 3 , C  0; 3; 3 , D  3; 3; 3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Lập phương trình mặt cầu S(I; R) biết Mặt cầu có tâm I(2;3;1) tiếp xúc với đường thẳng x  y  z 1 :   2 x  y 3 z   taïi hai điểm Mặt cầu có tâm I(1;3;5) cắt  : 1 1 A,B cho AB 12 x  y  z 1   , qua Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d : 1 x  y  z  19 M(2;3;20) tiếp xúc với d :   2 Bài Laäp phương trình mặt cầu S( I , R) biết x  y  z 1   Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  : 2 tiếp xúc với mặt phẳng (1 ) : 3x  y  z   mặt phẳng ( ) : x  y  z  x y3 z   hai Mặt cầu có tâm I (1; 3; 5) cắt  : điểm A, B cho AB 12 1 1 x y z   , ñi 1 x2 y2 z   qua M (1;1; 4) tiếp xúc với d : 1 4 Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình : x  y  z   vaø mặt cầu (S) : Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d : 163 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x2  y2  z2  x  y  z  11  Chứng minh mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn 2 Bài Cho mặt cầu (S) :(x  1)  y  (z  2) 9 Chứng minh Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) :2x  2y  z  0 Tìm tọa độ tiếp điểm M x 3 y  z   hai điểm phân Mặt cầu cắt đường thẳng  : 1 biệt Tìm tọa độ giao điểm Bài Lập phương trình mặt cầu S(I; R) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( 1 ) : 6x  3y  2z  35 0, ( 1 ) : 6x  3y  2z  63 0 Đồng thời mặt cầu Có tiếp điểm A(5;  1;  1) Qua hai điểm B(1; 3;  2), C(  1; 0;  3) CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài Lập phương trình đường thẳng  biết  song song với (P) : x  y  z 0 cắt đường thẳng 1 ;  laàn x y z x 1 y z    lượt A,B cho AB  với 1 :   , 2 : 1 2 1  thuộc mặt phẳng (Q) : x  y  z  0, vuông góc với đường x  y  z 1   thaúng d : đồng thời khoảng cách từ giao điểm 1 d (Q) đến  42  qua điểm C(0; 5; 0), vuông góc với đường thẳng d1 tiếp xúc x 1 y  z   vaø 2 (S) : x  y  z2  4x  6y  2z  0 với mặt cầu (S) với d1 : Bài 10 Cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  x  y  z  m  Tìm m cho Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x  y  z   Mặt cầu cắt mặt phẳng (Q) : x  y  z   theo giao tuyến đường tròn có diện tích 4 x 1 y z    hai điểm 1 2 phân biệt A, B cho tam giác IAB vuông ( I tâm mặt cầu) Mặt cầu cắt đường thẳng  : 164 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : x  y  z   0, ( ) : x  y  z   mặt cầu (S) có phương trình x2  y2  z2  x  y  m  Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B cho AB  2 Cho maët phaúng  P  : x  y  z  m  3m  mặt caàu  S :  x  1   y  1   z  1  Tìm m để mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m vừa tìm xác định tọa độ tiếp điểm Cho hai đường thẳng có phương trình  x 3  t x 2 y 3 z   1 :   ,  : y 1 (t  ) 1 z 10  t  A,B  ,  Gọi điểm cho AB vuông góc với 1 2 Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với 1 điểm A, tiếp xúc với 2 điểm B Bài 12 Cho đường tròn (C) giao tuyến ( ) : x  y  z   mặt caàu (S) : x2  y2  z2  x  y  z  17  Xác định tâm bán kính đường tròn (C) Viết phương trình mặt cầu (S ') chứa đường tròn (C) có tâm nằm ( P) : x  y  z   Bài 13 Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có phương trình tương ứng là: ( P1 ) : x  y  z   ; ( P2 ) : x  y  z   vaø điểm A( 1;1;1) nằm khoảng hai mặt phẳng Gọi (S) mặt cầu qua A tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P1 ), ( P2 ) Chứng tỏ bán kính hình cầu (S) số tính bán kính 165 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Gọi I tâm hình cầu (S) Chứng tỏ I thuộc đường tròn cố định Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn 166