Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT GV: Phạm Văn Tuyên VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ VIÈTE VÀO VIỆC GIẢI CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP CĨ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lí Viète b a c a Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a 6= 0) có hai nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = − , x1 x2 = Ngược lại, hai số u, v có tổng u + v = S tích uv = P có S Ê 4P u v nghiệm phương trình X − S X + P = Ý nghĩa định lí Viète + Cho phép nhẩm nghiệm trường hợp đơn giản + Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm xét dấu nghiệm khơng cần giải phương trình II MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Dạng Vận dụng định lí Viète vào số tốn tính giá trị biểu thức Bài Cho x1 , x2 nghiệm phương trình x2 + 2017 x + = x3 , x4 nghiệm phương trình x2 + 2018 x + = Tính giá trị biểu thức M = ( x1 + x3 ) ( x2 + x3 ) ( x1 − x4 ) ( x2 − x4 ) Lời giải Dễ thấy phương trình cho ln có hai nghiệm, nên theo định lí Viète ta có x1 + x2 = −2017; x3 + x4 = −2018; x1 x2 = x3 x4 = Do ¤ £ ¤ ¡ ¢ ¡ ¢ £ M = x1 x2 + ( x1 + x2 ) x3 + x32 · x1 x2 − ( x1 + x2 ) x4 + x42 = − 2017 x3 + x32 · + 2017 x4 + x42 ¢ ¢ ¡ ¡ = x32 + 2018 x3 + − 4035 x3 · x42 + 2018 x4 + − x4 = (−4035 x3 ) (− x4 ) = 4035 x3 x4 = 4035 Nhận xét Qua ví dụ vừa nêu trên, ta giải trực tiếp hai phương trình bậc hai cho để tìm nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 sau thay giá trị nghiệm vừa tìm vào biểu thức M việc tính giá trị M trở nên phức tạp Nếu khéo léo vận dụng định lí Viète lời giải tốn trở nên ngắn gọn, dễ hiểu Bài Giả sử phương trình ax2 + bx + c = (a 6= 0) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = Tính giá trị biểu thức M = a2 c + ac2 + b3 − 3abc (Đề thi TS vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 2005 - 2006) b c =0 a a b c Theo định lí Viète ta có: x1 + x2 = − ; x1 x2 = a a Từ (*) có: x1 − x2 ( x1 + x2 ) + x1 x2 = ⇔ x1 − x22 = ⇒ x1 = x22 Do đó: · ¸ ³ c ´2 b ả3 h i Ă Â3 Ă Â b c c M=a + + −3· · = a3 x23 + x26 − x22 + x2 + x22 + x2 · x23 = a3 · = a a a a a Lời giải Từ ax1 + bx2 + c = ⇒ x1 + x2 + (*) Dạng Vận dụng định lí Viète vào tốn tìm tham số để nghiệm phương trình cho thỏa mãn hệ thức ¡ ¢ Bài Tìm m để phương trình: x2 − ( x + 4) ( x + 6) = m có bốn nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn 1 1 + + + =− x1 x2 x3 x4 Lời giải Phương trình cho tương đương với ¡ ¢¡ ¢ ( x + 1) ( x + 4) ( x − 1) ( x + 6) = m ⇔ x2 + x + x2 + x − = m (1) Trang GV: Phạm Văn Tuyên Bi ụn thi vo lp 10 THPT ả 25 Ê 0, (1) có dạng Đặt t = x + x + = x+ 2 (4 t − 9) (4 t − 49) = 16 m ⇔ 16 t2 − 232 t + 441 − 16 m = (2) Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2   ∆0 = 256 m + 6400 >     29 S= >0    441 − 16 m  P= >0 16 ⇔ −25 < m < 441 16 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x2 + 20 x + 25 − t1 = Gọi x3 , x4 hai nghiệm phương trình: x2 + 20 x + 25 − t2 = (3) (4) (5)  x1 + x2 = x3 + x4 = −5     25 − t 25 − t ; x3 x4 = Áp dụng định lí Viète cho (4), (5) (2) ta có x1 x2 =  4   29 441 − 16 m   t1 + t2 = ; t1 · t2 = 16 Khi 1 1 x1 + x2 x3 + x4 20 20 − = + + + = + =− − x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 25 − t 25 − t · ¸ 50 − ( t + t ) 10 = −20 = 625 − 100 ( t + t ) + 16 t t −24 − m Từ suy m = (thỏa mãn (3)) Nhận xét Với dạng toán ta thường khơng giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đối biểu thức cho theo tổng tích nghiệm, sau vận dụng định lí Viète Biểu thức thường biến đổi dạng toán ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 ; x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 ; x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) ; Ê Ô2 x14 + x24 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 − x12 x22 ; Bài Cho phương trình: x2 − x + m2 + = (*) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x14 − x24 = x13 − x23 Nhận xét Ta thấy hệ thức đề đưa phức tạp gây khó khăn đưa x1 + x2 x1 x2 ta biến đổi x1 , x2 thơng qua phương trình (*) để sử dụng hệ thức Viète Lời giải Ta có ∆0 = − 8m2 Để phương trình (*) có hai nghiệm ∆0 Ê ⇔ −1 É m É Khi ¡ ¢ theo hệ thức Viète có: x1 + x2 = 1; x1 x2 = m2 + : 8  x − x = − ¡ m + 1¢ 1 Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình (*) nên (I)  x − x = − ¡ m + 1¢ 2 ¡ ¢ ¡ ¢ Ta có x14 − x24 = x13 − x23 ⇔ x12 x12 − x1 − x22 x22 − x2 = (1) ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ 2 Thay (I) (1) ta được: x1 − x2 −m − = ⇔ ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) −m − = ⇔ x1 − x2 = (vì x1 + x2 = − m2 − 6= 0) Trang Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT GV: Phạm Văn Tuyên m2 + mà x1 x2 = , suy m = ±1 (thỏa mãn toán) Bài Cho phương trình x2 − mx + m2 − m + = (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + mx2 = Lời giải ∆0 > ⇔ m − > ⇔ m > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 theo hệ thức Viète có: x1 + x2 = m; x1 x2 = m2 − m + Vì x1 nghiệm phương trình (1) nên: x12 − 2mx1 + m2 − m + = ⇔ x12 = 2mx1 − m2 + m − Do x1 = x2 = Kết hợp với đề ta có: x12 + mx2 = ⇔ mx1 − m2 + m − + mx2 = ⇔ m ( x1 + x2 ) − m2 + m − 10 =   m = −2 (loại) ⇔ m2 + m − 10 = ⇔  m = (thỏa mãn) Bài Cho phương trình: x2 − (m + 1) x + m2 + = ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + (m + 1) x2 É 3m2 + 16 (*) phương trình có hai nghiệm x1 , x2 đó: x1 + x2 = (m + 1); 2 x1 x2 = m + x1 = ( m + 1) x1 − m2 − Theo đề Lời giải ∆0 Ê ⇔ m Ê x12 + ( m + 1) x2 É m2 + 16 ⇔ ( m + 1) ( x1 + x2 ) − m2 − 20 É ⇔ [2 ( m + 1)]2 − m2 − 20 É ⇔ m − 16 É ⇔ m É (do x1 + x2 = ( m + 1)) É m É 2 Bài Cho phương trình: x2 − (m − 1) x + 2m − = Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn Kết hợp với (*) ta có: ¡ (1) ¢¡ ¢ x12 − mx1 + m − x22 − mx2 + m − < (2) Lời giải ∆0 = (m − 2)2 + > ln với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Khi đó: x1 + x2 = (m − 1); x1 x2 = m − Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) nên   x2 − ( m − 1) x + m − = 1  x2 − ( m − 1) x + m − = 2   x2 − mx + m − = − x 1 ⇔  x2 − mx + m − = − x 2 Từ (2) suy ra: (4 − x1 ) (4 − x2 ) < ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 16 < ⇔ (2 m − 5) − · ( m − 1) + 16 < ⇔ m > Dạng Vận dụng định lí Viète vào tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN GTNN Bài Cho   ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a > 0, bc = 3a , a + b + c = abc Chứng minh p 1+2 a Ê Lời giải Ta có bc = 3a2 , b + c = abc − a = 3a3 − a Trang GV: Phạm Văn Tuyên Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT Theo định lí Viète đảo b, c nghiệm phương trình: x2 − 3a3p− a x + 3a2 = (*) ¡ ¢ 1+2 Phương trình (*) có nghiệm ∆ = a2 9a4 − 6a2 − 11 Ê ⇒ a2 Ê , kết hợp với a >   p ¡ ¢ 1+2 Bài Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn a 6= 4a + 9b + 24 c = Tính khoảng cách (GTTĐ) nhỏ hai nghiệm phương trình 2ax2 + 3bx + c = 4a + b Lời giải Từ 4a + 9b + 24 c = ⇒ c = − 24 µ ¶ µ ¶ 4a + b 2a a2 2 Phương trình cho có ∆ = b − 32ac = 9b + 32a = b+ + > (do a 6= 0) nên 24 3 phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 2c 4a + b 3b =− Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = − ; x1 x2 = 2a a 12a aÊ Do khoảng cách hai nghim ca phng trỡnh ó cho l: ả ¶  µ ¶ » 4a + b 3b b + 2a | x1 − x2 | = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = 2a +4 12a = 2a + p p 3 Suy | x1 − x2 | Ê Vậy khoảng cách hai nghiệm phương trình cho 3 p ± 15 2a = −3b = −24 c Khi phương trình cho trở thành 6ax2 − 6ax − a = ⇔ x = Bài 10 Cho phương trình ax2 + bx + c = (a 6= 0) có hai nghiệm m, n thỏa mãn É m É n É 5a2 − 6ab + b2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2a − 2ab + ac Lời giải Từ giả thiết É m É n É ⇒ m2 É mn n2 É ⇒ (m + n)2 − 2mn É mn + ⇒ (m + n)2 É mn + c a b a Theo định lí Viète có: m + n = − ; mn = Do ú ả2 6b b + + ( m + n) + ( m + n)2 + ( m + n) + mn + a a P= = É = 2b c + ( m + n) + mn + ( m + n) + mn + 2− a a   c = − b = 2a m = n =         hay  b = −a Đẳng thức xảy  m =   n=1 c=0  c = − b = 2a    Vậy max P = ⇔   b = −a  c=0 Bài 11 Cho phương trình x2 + (m − 1) x − = (1) ¡ ¢¡ ¢ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 mà B = x1 − x1 − đạt GTLN Lời giải Ta thấy (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m có ac = −6 < Theo hệ thức Viète: x1 · x2 = −6 ⇔ x2 = B= Trang ¡ x12 − ¢¡ −6 x1 + x2 = − m x1 x22 − ¢ = x12 · x22 − ! à ¡ ¢ 324 2 x1 + x2 + 36 = 36 − x1 + + 36 x1 Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT   x12 · B É 36 − 324 x12 GV: Phạm Văn Tuyên + 36 = Đẳng thức xảy x12 = 324 x12 ⇔ x14 = 81 ⇔ x1 = ±3 * Khi x1 = x2 = −2 suy m = * Khi x1 = −3 x2 = suy m = Vậy B = m = m = Nhận xét Với dạng toán kết hợp BĐT cổ điển hay dùng (BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacovski, BĐT tam giác, ) tính chất BĐT với việc vận dụng định lí Viète nhuần nhuyễn giúp ta tìm lời giải toán ngắn gọn, độc đáo Dạng Vận dụng định lí Viète vào số tốn số học Bài 12 Cho phương trình x2 + mx + n + = ( x ẩn số; m, n số nguyên) Giả sử phương trình có nghiệm số ngun Chứng minh m2 + n2 hợp số (Đề thi TS vào lớp 10 THPT chuyên TP Hồ Chí Minh, năm học 2010 - 2011) Lời giải Gọi x1 , x2 ∈ Z hai nghiệm phương trình m Áp dụng định lí Viète vào phương trình cho, ta x1 + x2 = − ; x1 x2 = n + Khi ¡ ¢¡ ¢ m2 + n2 = (2 x1 + x2 )2 + ( x1 x2 − 4)2 = x12 + x22 + x12 x22 + 16 = x12 + x22 + , hợp số x12 + x22 + số nguyên lớn Bài 13 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − (m − 1) x + 2m − = Tìm m nguyờn x1 dng A = x2 ả2 x2 + x1 ả2 cú giỏ tr nguyờn Li gii Phương trình cho có ∆0 = (m − 1)2 − (2m − 6) = (m − 2)2 + > 0, ∀m Ta có A= x14 + x24 ( x1 x2 )2 = Ê Ô2 ( x1 + x2 )2 − x1 x2 − ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 Áp dụng định lí Viète vào phương trình cho, ta được: x1 + x2 = (m − 1); x1 x2 = m − Thay (*) vào A , sau khai triển rút gọn lại ta ¡ A= Để A ngun m ∈ Z+ ¢2 m2 − 12 m + 16 (2 m − 6)2   16 (2 m − 6)  m ∈ Z+ µ − = 2m + 16 2m − (*) ¶2 −   m − ∈ {±1; ±2; ±4; ±8; ±16} ⇔  m ∈ Z+ Suy m ∈ {1; 2; 4; 5; 7; 11} Dạng Vận dụng định lí Viète vào số toán liên quan hàm số y = ax2 (a 6= 0) Bài 14 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = 2mx − m + ( m 6= 0) Tìm m cho đường thẳng (d ) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A , B có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn | x1 − x2 | = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) (d ) x2 = mx − m + ⇔ x2 − mx + m − = Có ∆ = m − µ ¶2 + (*) > 0, ∀ m Vậy phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 hay (d ) cắt (P ) hai điểm Trang GV: Phạm Văn Tuyên Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT phân biệt A , B   x + x = 2m Theo hệ thức Viète, ta có  x x = m − 1 2 Do | x1 − x2 | = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ m2 − (m − 1) = ⇔ m = (do m 6= 0) Bài 15 Cho parabol (P ) : y = ax2 (a > 0) đường thẳng (d ) : x − y − a2 = a) Tìm a để đường thẳng (d ) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A , B b) Gọi x A , xB hoành độ hai điểm A , B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= + x A + xB x A · xB Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) (d ) ax2 = x − a2 ⇔ ax2 − x + a2 = (1) Điều kiện cần đủ để (d ) (P ) hai điểm phân biệt A , B phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x A , xB ⇔ ∆0 = − a3 > ⇔ < a < (do a > 0).  x A + xB = a b) Áp dụng hệ thức Viète cho phương trình (1) ta có  x A · xB = a 1 Thay vào T thu T = + = 2a + x A + xB x A · xB a … p 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2a , ta có T Ê 2a · = 2 a a 1 Đẳng thức xảy 2a = ⇔ a = p a p Vậy giá trị nhỏ T 2 đạt a = p Bài 16 Viết phương trình đường thẳng qua điểm I (0; 1) cắt parabol (P ) : y = x2 p hai điểm phân biệt M , N cho độ dài đoạn thẳng MN = 10 Lời giải Vì đường thẳng x = qua điểm I (0; 1) tiếp xúc với parabol (P ) điểm I (0; 0) nên phương trình đường thẳng thỏa mãn đề (d ) : y = ax + Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) (P ) x2 = ax + ⇔ x2 − ax − = (*) Đường thẳng (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ = a2 + > (luôn đúng) ¡ ¢ ¡ ¢ Khi tọa độ giao điểm M x1 ; x12 , N x2 ; x22 Ta có q p p ¡ ¢2 ( x2 − x1 )2 + x22 − x12 = 10 Ê ÔÊ Ô ( x1 + x2 )2 − x1 x2 + ( x1 + x2 )2 = 40 (1)  x +x =a Áp dụng hệ thức Viète cho phương tình (*), ta  x x = −1 ¡ ¢¡ ¢ Thay vào (1) thu a + + a = 40 ⇔ a + 5a − 36 = ⇔ a = ±2 Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = x + y = −2 x + 1 Bài 17 Trên mặt phẳng tọa độ Ox y cho parabol (P ) : y = − x2 , điểm I (0; −2) điểm M (m; 0) MN = 10 ⇔ Trang Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT GV: Phạm Văn Tuyên (với m tham số, m 6= 0) Viết phương trình đường thẳng (d ) qua hai điểm M , I Chứng minh đường thẳng (d ) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt (P ) hai điểm phân biệt A , B với độ dài đoạn thẳng AB lớn Lời giải Phương trình đường thẳng (d ) qua hai điểm I (0; −2) M (m; 0) y = x − m Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) (P ) − x2 = x − ⇔ mx2 + x − m = m (*) Có ∆0 = + 4m2 > 0, ∀m Vậy phương trình (*) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt, chứng tỏ (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A , B à ! à ! Khi đó, tọa độ giao điểm A , B A x1 ; − x12 ; B x2 ; − x22 Từ Ã Ô ( x1 x2 )2 ( x1 + x2 )2 £ ( x1 + x2 )2 AB = ( x2 − x1 ) + = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + 4 2 (1)   x1 + x2 = − m Áp dụng hệ thức Viète cho phương trình (*), ta có  x1 · x2 = Thay vo (1) thu c ả ảà ả Ãà ả áà 16 4 16 + 16 + > 16, ∀ m AB = − − · (−4) + = m m m2 m Suy AB > (đpcm) Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho parabol (P ) : y = − x2 Gọi (d ) đường thẳng qua điểm I (0; −2) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (d ) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A , B k thay đổi b) Gọi H , K theo thứ tự hình chiếu vng góc A B lên trục hồnh Chứng minh tam giác I HK vng góc I Lời giải a) Phương trình đường thẳng (d ) có hệ số góc k qua điểm I (0; −2) y = kx − Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) (P ) − x2 = kx − ⇔ x2 + kx − = (*) Có ∆0 = k2 + > 0, ∀k Vậy phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Chứng tỏ (d ) cắt (P ) hai phân biệt A , B b) Theo hệ thức Viète, ta có x1 x2 = −4 Giả sử tọa độ điểm A , B A ( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Vì H , K theo thứ tự hình chiếu vng góc A , B lên trục hoành nên tọa độ điểm H , K H ( x1 ; 0), K ( x2 ; 0) Do I H = x12 + 4; IK = x22 + 4; HK = ( x1 − x2 )2 Suy I H + IK = x12 + x22 + = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 − x2 )2 = HK Chứng tỏ tam giác H IK vng I (theo định lí Pythagore đảo) Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho parabol (P ) : y = − x2 đường thẳng (d ) : y = mx− m−2 Trang GV: Phạm Văn Tuyên Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT ( m tham số) a) Chứng minh m thay đổi (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 p b) Tìm m để | x1 − x2 | = 20 Lời giải a) Xét phương trình − x2 = mx − m − ⇔ x2 + mx − m − = (1) ∆ = m2 + m + = ( m + 2)2 + > với m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Vì vậy, m thay đổi, (d ) ln cắt (P ) hai điểm phân biệt có hồnhđộ x1 , x2 nghiệm phương trình (1)  x + x = −m b) Theo hệ thức Viète, ta có  x x = − m − 2   m = −6 p Do | x1 − x2 | = 20 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = 20 ⇔ m2 + m − 12 = ⇔  (tm) m2 = Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho đường thẳng (d ) : y = mx + parabol (P ) : y = x2 a) Vẽ parabol (P ) đường thẳng (d ) m = b) Chứng minh với giá trị tham số m, đường thẳng (d ) qua điểm cố định cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A B c) Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác O AB (đơn vị diện tích) Lời giải a) Tự làm b) Đường thẳng y = mx + cắt trục tung điểm có tung độ nên qua điểm cố định C (0; 1) với m Hoành độ giao điểm đường thẳng y = mx + parabol y = x2 nghiệm phương trình x2 = mx + ⇔ x2 − mx − = (1) Ta có ∆ = m2 + > nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt, tức đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt A B y K B C A x1 H O x2 x c) Gọi hoành độ A B theo thứ tự x1 x2 , giả sử x1 < p x2 x1 < < x2p(vì x1 · x2 = −1) m − m2 + m + m2 + ; x2 = 2 Kẻ AH BK vng góc với O y, ta có AH = | x1 | = − x1 , BK = x2 Do x1 x2 nghiệm phương trình (1) nên x1 = S AOB = S BOC + S AOC = Trang (OC · BK + OC · AH ) Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT GV: Phạm Văn Tuyên 1 = OC · (BK + AH ) = · · ( x2 − x1 ) 2p p m + m + − m + m2 + = · 2 p = · m + p Ta có S AOB = ⇔ p p m2 + = ⇔ m2 + = ⇔ m2 + = 16 ⇔ m = ±2 Cách khác c) Do ac < nên phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu x1 < < x2 Giả sử A ( x1» ; y1 ), B( x2 ; y2 ) Do A , B thuộc (P ) nên y1 = x12 ; y2 = x22 » » » x12 + y12 = ¡ ¢ x22 + x22 y2 y1 Các đường thẳng O A , OB có hệ số góc là: k1 = = x1 , k2 = = x2 x1 x2 Do k1 · k2 = x1 · x2 = −1 nên O A vng góc với OB Suy Ta có O A = ¡ ¢ x12 + x12 ; OB = x22 + y22 = ¢¡ ¢ 1» 1» 2 ¡ 1p · O A · OB = x1 x2 + x12 + x22 = + x12 + x22 = m + 2 2 p Do SO AB = ⇔ m = ±2 Bài 21 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = 2ax + (a 6= 0) Tìm a ∈ N để (d ) cắt (P ) p hai điểm phân biệt M , N độ dài đoạn thẳng MN = 15 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) (d ) là: S O AB = x2 = 2ax + ⇔ x2 − 2ax − = (*) Ta thấy ∆0 = a2 + > 0, ∀a nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 hay (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt M , N ¢ ¢ ¡ ¡ Gọi M x1 ; x12 , N x2 ; x22 , ta có MN = p Ô Ê Â Ă 15 MN = 15 ⇔ ( x2 − x1 )2 + x22 − x12 = 15 ⇔ ( x2 − x1 )2 + ( x2 + x1 )2 = 15 Ê ÔÊ Ô ( x2 + x1 )2 − x1 x2 + ( x2 + x1 )2 = 15 (**) Thay vào (**), sau khai triển rút gọn lại ta thu 4a4 + 9a2 − 13 = ⇔ a2 = 13 a2 = − < (loại) ⇔ a = ±1 Vì a ∈ N nên a = giá trị cần tìm Bài 22 Cho parabol (P ) : y = 2ax2 (a 6= 0) đường thẳng (d ) : x − y − 2a2 = Tìm a để (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt M , N có hồnh độ x M , x N + có giá trị nhỏ xM + xN xM xN Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) (d ) là: Áp dụng định lí Viète vào phương trình (*) ta có: x1 + x2 = a; x1 x2 = − 2ax2 = x − 2a2 ⇔ ax2 − x + a2 = (*) ( d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt M , N ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x M , x N ⇔ ∆ = − a3 > ⇔ < a < (do a > 1) Áp dụng định lí Viète cho phương trình (*) ta có: x M + x N = ; xM · x N = a (**) a 1 Thay (**) vào T = + thu T = 4a + xM + xN xM xN 2a Trang GV: Phạm Văn Tuyên Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT … p 1 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số 4a ta có T Ê 4a · = 2 2a 2a p 1 Ta thấy T = 2 ⇔ 4a = < a < ⇔ a = p 2a 2 Vậy giá trị cần tìm a = p 2 Bài 23 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = x − m + Tìm m để (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt có tọa độ ( x1 ; y1 ) ( x2 ; y2 ) cho x1 · x2 ( y1 + y2 ) = −48 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (d ) (P ) là: x2 − x + m − = (1) Để (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 > ⇔ m < Khi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1), ta có:    y = 2x − m + x +x =4 1  y = 2x − m +  x · x = ( m − 1) 2 Ta có x1 x2 ( y1 + y2 ) = −48 ⇔ x1 x2 (2 x1 − m + + x2 − m + 1) = −48 ⇔ x1 x2 [2 ( x1 + x2 ) − m + 2] = −48 ⇔ ( m − 1) [8 − m + 2] = −48   m = −1 (thỏa mãn) ⇔ m2 − m − = ⇔  m = (loại) Bài 24 Cho parabol (P ) : y = − x2 đường thẳng (d ) : y = (3 − m) x + − 2m Tìm m để (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A ( x A ; yA ) B ( xB ; yB ) cho | yA − yB | = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) (P ) là: x2 + (3 − m) x + − 2m = (1) Phương trình (1) có ∆ > ⇔ m 6= −1 Ta thấy x A , xB hai nghiệm phương trình (1), lại có   x + x = m−3 B A  x · x = − 2m A B   y = (3 − m) x + − m A A  y = (3 − m) x + − m B B Do ú Ê Ô | yA yB | = ⇔ |(3 − m) ( x A − xB )| = ⇔ (3 − m)2 ( x A + xB )2 − x A · xB = ⇔ ( m − 3)2 ( m + 1)2 = p p Tìm m = ± 6; m = ± Bài 25 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = (k − 1) x + Tìm k để (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt Gọi tọa độ giao điểm ( x1 ; y1 ) ( x2 ; y2 ) Tìm k để y1 + y2 = y1 · y2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) (P ) là: x2 − (k − 1) x − = ( k số) Phươngtrình có a · c = − 4 < nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x + x = k−1 Khi  x · x = −4  y = x2 1  y = x2 2 Do y1 + y2 = y1 · y2 ⇔ x12 + x22 = x12 · x22 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = x12 · x22 Trang 10 Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT GV: Phạm Văn Tuyên p ⇔ ( k − 1)2 + = 16 ⇔ k = ± 2 Dạng Vận dụng định lí Viète vào tốn giải hệ phương trình hai ẩn    54 x2 − 78 x y + 24 y2 = Bài 26 Giải hệ phương trình  =3  3x + y + 3x − y Lời giải ĐK: x − y 6= 0, hệ phương trình cho tng ng vi à ả ả 3x + y 3x + y     (3 x + y)2 − (3 x + y) (3 x − y) + 14 (3 x − y)2 =  −9 + 14 = 3x − y 3x − y ⇔ 1   =3  3x + y +   3x + y + =0 3x − y 3x − y     3x + y       3x − y =   (3 x + y) · x − y =   (1)     1     = = 3 x + y + x + y +     3x − y 3x − y    ⇔ ⇔   3x + y         3x − y =   (3 x + y) · x − y =   (2)     1   =3 =3  3x + y +  3x + y + 3x − y 3x y ả2 1 H phng trỡnh (1) vơ nghiệm x + y + − (3 x + y) · = − 28 < 3x − y 3x − y nghiệm Từ hệ phương trình (2) theo định lí Viète đảo suy x + y 3x − y phương trình X − X + = ⇔ X = X = Từ       x=  3x + y =     1       y=   3x − y =   ⇔ (thỏa mãn ĐK) (2)⇔       x=   3x + y =     1   =   y= 3x − y µ ¶ µ ¶ 1 1 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y) ; , ; 4 2 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN p 83 Bài Không giải phương trình, gọi x1 , x2 ( x1 > x2 ) nghiệm phương trình x − x+ 19 = Tính x13 − x23 16 Bài Gọi x1 , x2 , x3 , x4 bốn nghiệm phương trình ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) = Tính giá trị biểu thức x1 x2 x3 x4 Bài Cho phương trình ( x − 1) ( x − 2) ( x − 4) ( x − 8) = mx2 , giả sử m nhận giá trị cho phương trình có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 khác Chứng minh T = 1 1 + + + x1 x2 x3 x4 khơng phụ thuộc m Bài Cho phương trình x2 − (m − 1) x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x2 − x1 = Bài Cho phương trình x2 − (3m − 2) x − = Tìm m để phng trỡnh cú hai nghim phõn ả x1 − x2 1 2 biệt x1 , x2 ( x1 − x2 ) + + − có giá trị nhỏ 2 x1 x2 Trang 11 GV: Phạm Văn Tuyên Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT Bài Cho hai phương trình x2 + 2ax + = x2 + 2bx + 31 = có nghiệm chung |a| + | b| nhỏ Tìm a b Bài Cho phương trình x2 − 4mx − 2m = ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức P = m2 + x12 + mx2 + m m2 x22 + mx1 + m ¯ ¯ ¯ ¯ Bài Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn |a (b − c)| > ¯ b2 − ac¯ + ¯ c2 − ab¯ phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm thực Chứng minh phương trình có nghiệm thực nhỏ p − Bài Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình x2 + 2kx + = Tìm tất giá tr ca ả2 ả2 x2 x1 + ấ k cho có bất đẳng thức x2 x1 Bài 10 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x y + yz + zx = Chứng minh 7 É x É , É y É , É z É 3 Bài 11 Tìm tất a ∈ N để phương trình x2 − a2 x + a + = cú ànghimảnguyờn 11 Bi 12 Tỡm tất giá trị thực a để phương trình x2 − 4a + x + 4a2 + = có nghiệm ngun p ¢7 ¡ Bài 13 Tìm số ngun lớn khơng vượt q + 17 Bài 14 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = x − m + ( m 6= 0) Tìm giá trị m cho đường thẳng ( d ) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A , B có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn | x1 − x2 | = Bài 15 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = mx + ( m tham số) a) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A , B với giá trị m b) Tìm giá trị m để đoạn thẳng AB có độ dài ngắn Bài 16 Viết phương trình đường thẳng qua điểm I (0; −4) cắt parabol (P ) : y = x2 p hai điểm phân biệt M , N cho độ dài đoạn thẳng MN = Bài 17 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = x + m ( m tham số) a) Tìm giá trị m để đường thẳng (d ) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A , B b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB theo tham số m Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = bx + b + a) Tìm b để đường thẳng (d ) qua điểm B (3; 0) b) Tìm b để đường thẳng cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt E ( x1 ; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) thỏa mãn hệ thức: x1 y2 + x2 y1 + 15 = Bài 19 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = mx + a) Chứng minh với giá trị m (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt b) Gọi A , B giao điểm (d ) (P ) Tính diện tích tam giác O AB theo m (O gốc tọa độ) Bài 20 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = −mx + m + ( m 6= 0) Tìm m cho (d ) p cắt (P ) hai điểm phân biệt A , B có hồnh độ x A , xB thỏa mãn | x A − xB | = 29 x + ( m 6= 0) Chứng minh m p ( d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A , B có độ dài đoạn thẳng AB lớn Bài 21 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d ) : y = − Trang 12 Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT Bài 22 Giải hệ phương trình Bài 23 Giải hệ phương trình GV: Phạm Văn Tuyên ¡  x2 − x¢ (3 x + y) =  x2 + x + y =   x − 4y − =  x2 + y2 − x − y − 22 + m = p Trong trường hợp hệ có nghiệm ( x1 ; y1 ) ( x2 ; y2 ) tìm m để ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 = Bài 24 Cho phương trình x2 + (m − 1) x − m − = (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm số đo tam giác vng có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vng (đơn vị độ dài) Hướng dẫn Bản chất toán gồm bước:    ∆Ê0   Bước Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 dương ⇔ x1 + x2 >    x ·x >0 Bước Hai nghiệm x1 , x2 số đo cạnh tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ 1 (đơn vị độ dài) thỏa mãn: + = x1 x2 h Bài 25 Cho phương trình x − 3mx − m = ( m tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt x12 + mx2 + m m2 x1 , x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thứ A = + m2 x2 + mx1 + m Hướng dẫn Phương trình có hai nghiệm phân biệt m2 + 4m > ⇔ m > m < − (*) Theo định lí Viète, ta có x1 + x2 = 3m x1 x2 = −m, đỉnh góc vng m2 x22 + mx1 + m = m2 x22 + ( x1 + x2 ) x1 − x1 x2 = m2 x12 + x22 − x1 x2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: A = A = ⇔ m2 ( x1 − x2 )2 = m2 ( x1 − x2 ) + = m2 ( x1 − x2 )2 > ( x1 − x2 )2 Ê 2, m2 ( x1 − x2 )2 ⇔ m4 = ( x1 − x2 )4 ⇔ m2 = ( x1 − x2 )2 ⇔ x12 x22 = ( x1 − x2 )2 m2 ⇔ x12 x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 ⇔ x1 x2 ( x1 x2 + 4) = m2 ⇔ − m (− m + 4) = m2   m = (loại) ⇔ m2 + m = ⇔  m=− 2 Vậy với m = − A = Bài 26 Cho phương trình x2 − x − m = (với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x12 − x22 = 12 Hướng dẫn ∆ = 36 + m > ⇔ m > −9 * Áp dụng định lí Viète, ta có x1 + x2 = 6; x1 x2 = −m * Ta có x12 − x22 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) = 12 ⇒ x1 − x2 = Suy x1 = 4, x2 = Từ suy m = −4 · = −8 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = −8 phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x12 − x22 = 12 Bài 27 Tìm tất giá trị m cho phương trình x4 − x3 + x + m = có nghiệm phân biệt Trang 13 GV: Phạm Văn Tuyên Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT Hướng dẫn Cách Ta có x4 − x3 + x + m = (1) ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) + m + = (2) Đặt y = ( x − 1)2 , y Ê phương trình có dạng: y2 − y + m + = Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt    − ( m + 5) >   ⇔ 6>0     m+5 >    ∆0 >   ⇔ S>0    P >0 ⇔   4−m >  m > −5 ⇔ −5 < m < Cách Ta có x4 − x3 + x + m = (1) ¡ ¢2 ¡ ¢ ⇔ x − x − x − x + m = Đặt y = x2 − x phương trình có dạng: y2 − y + m = (3) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt  lớn −1    ∆0 >    ( x1 + 1) ( x2 + 1) >     x1 + x2 > −1   4−m >   ⇔ x1 x2 + x1 + x2 + >     x + x > −2   m     > −2 ⇔ −5 < m < Bài 28 Chứng minh a b hai nghiệm phương trình x2 + px + = (1) c d hai nghiệm phương trình x2 + qx + = (2) ta có hệ thức: (a − c) ( b − c) (a + d ) ( b + d ) = q2 − p2 Hướng dẫn Theo hệ thức Viète, ta có: a + b = − p; c + d = − q ab = cd = Xét ¡ ¢¡ ¢ (a − c) ( b − c) (a + d ) ( b + d ) = ab − ac − bc + c2 ab + ad + bd + d ¡ ¢¡ ¢ = + pc + c2 − pd + d = − pd + d + pc − p2 cd + pcd + c2 − pc2 d + c2 d = − pd + d + pc − p2 + pd + c2 − pc + = c2 + + d − p2 = ( c + d )2 − p2 = q2 − p2 Suy (a − c) ( b − c) (a + d ) ( b + d ) = q2 − p2 (đpcm) Nhận xét Nếu chọn p q hai số nguyên cho q2 − p2 số phương ta có kết quả: (a − c) ( b − c) (a + d ) ( b + d ) số phương Chẳng hạn, cho số nguyên m, chứng minh a b hai nghiệm phương trình x2 + 15 mx + = (1) c d hai nghiệm phương trình x2 + 17 mx + = (2) ta có (a − c) ( b − c) (a + d ) ( b + d ) số phương Bài 29 Cho phương trình x2 + px + q = (1) Hãy tìm giá trị nguyên p q cho phương trình (1) có hai nghiệm nguyên phân biệt nghiệm gấp đôi nghiệm Hướng dẫn Giả sử phương trình có hai nghiệm nguyên phân biệt x2 = x1 , ta có    p2 − q >      x1 + x2 = x1 = − p   x1 x2 = x22 = q      p; q ∈ Z Trang 14  p   x1 = − ⇒ p2   = q 25 Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT GV: Phạm Văn Tuyên Suy p2 25 ⇒ p2 = 25k2 (k ∈ Z) ⇔ p = ±5 k · 25 k2 = k2 Do q = 25 Âê  à âĂ Vy ( p; q) ∈ 5k; k2 ; −5k; k2 với k ∈ Z phương trình (1) có hai nghiệm ngun phân biệt nghiệm gấp lần nghiệm Bài 30 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = Đặt S n = x1n + x2n với n nguyên dương a) Chứng minh rằng: aS n+2 + bS n+1 + cS n = 0; b) Không khai triển, khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức 1 A=¡ p ¢5 + ¡ p ¢5 1+ 1− Hướng dẫn a) x1 nghiệm phương trình nên ax12 + bx1 + c = 0; x2 nghiệm phương trình nên ax22 + bx2 + c = Suy ra: ax1n+2 + bx1n+1 + cx1n = (1); ax2n+2 + bx2n+1 + cx2n = (2) ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Từ (1), (2) cộng vế với vế, ta được: a x1n+2 + x2n+2 + b x1n+1 + x2n+1 + c x1n + x2n = Từ suy ra: aS n+2 + bS n+1 + cS n = p p b) Đặt:  x1 = + 3; x2 = − 3; S n = x1n + x2n Suy x +x =2  x x = −2 Vậy x1 , x2 nghiệm phương trình x2 − x − = Áp dụng câu a), ta có: (*) S n+2 − 2S n+1 − 2S n = ⇔ S n+2 = 2S n+1 + 2S n Ta có: S1 = 2, S2 = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = + = Áp dụng công thức (*), ta có S = 2S + 2S = · + · = 20; S = 2S + 2S = · 20 + · = 56; S = 2S + 2S = · 56 + · 20 = 152 p ¢5 ¡ p ¢5 ¡ 1+ + 1− 1 152 −19 Ta có A = ¡ p ¢5 + ¡ p ¢5 = ¡ p ¢5 ¡ p ¢5 = = −32 1+ − 3¡ + 3¢ · 1¡− ¢ Bài 31 Cho phương trình m2 + 2m + x2 − m2 − 2m + x − = Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho a) Tìm giá trị m để x12 + x22 = x1 x2 (2 x1 x2 − 1); b) Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức S = x1 + x2 Hướng dẫn a) Vì a = m2 + m + = (m + 1)2 + > với m nên phương trình cho phương trình bậc hai với m Mặt khác, c = −1 < nên phương trình cho có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 với m    x1 + x2 = m − m + m2 + m + Theo định lí Viète, ta có −1  x ·x = 2 m + 2m +   x1 + x2 = x1 x2 Ta có x12 + x22 = x1 x2 (2 x1 x2 − 1) ⇔ ( x1 + x2 )2 = ( x1 x2 )2 ⇔  (1) x1 + x2 = −2 x1 x2 (2) Trang 15 GV: Phạm Văn Tuyên Ta có: Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT (1) ⇔ · (−1) m2 − m + = ⇔ m2 − m + = (vô nghiệm) m + 2m + m + 2m +  (2) ⇔ m2 − m + (−2) · (−1)  m=0 = ⇔ m2 − m = ⇔  m + 2m + m + 2m + m=2 m2 − m + ⇔ (S − 1) m2 + (S + 1) m + (S − 1) = m2 + m + + Nếu S = m = + Nếu S 6= (với m 6= 0) phương trình (*) phương trình bậc hai ln có nghiệm nên b) S = x1 + x2 = (*) ∆0 Ê ⇔ (S + 1)2 − (S − 1)2 Ê ⇔ S − 6S + = ⇔ (S − 3)2 É p p ⇔ − 2 É S É + 2 So sánh với S = 1, ta có p p −b S + max S = + 2 m = = = − 2a − S p −b S + p = = S = − 2 m = 2a − S Bài 32 Cho phương trình x2 − mx − = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị m Tìm giá trị lớn biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x12 + x22 b) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình số nguyên Hướng dẫn Ta có ∆ = m2 + 16 > với m nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 a) Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = m; x1 x2 = −4 ( x1 + x2 ) + 2m + ( x1 + x2 ) − x1 x2 m2 + m + ( m − 1)2 Xét hiệu: − A = − = Ê với m m +8 m2 + Suy GTLN A m = b) Vì x1 , x2 nguyên x1 x2 = −4 = (−4) · = (−2) · = (−1) · nên m = x1 + x2 ∈ {−3; 0; 3} Do A = = Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm số nguyên m ∈ {−3; 0; 3} Nhận xét - Ta sử dụng bất đẳng ¡ thức ¢Cauchy để tìm GTLN A sau: Ta có: m2 + Ê | m| Ê m ⇒ m2 + + m2 + Ê 2m + ⇒ Ê A m2 + Dấu đẳng thức xảy m = - Ta tìm đồng thời tìm GTLN GTNN A phương pháp miền giá trị 2m + ⇔ Am2 − m + A − = m2 + * Nếu A = m = * Nếu A 6= phương trình bậc hai ẩn m ln có nghiệm, đó: sau: A = ∆0 Ê ⇔ −8 A + A + Ê ⇔ ( A − 1) (1 − A ) Ê − Trang 16 É A É Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT GV: Phạm Văn Tuyên Khi A = m = A = − m = −8 - Do đó, tùy thuộc vào biểu thức nghiệm mà ta vận dụng linh hoạt cách giải (miền giá trị, biến đổi bình phương, áp dụng bất đẳng thức kinh điển, ) để cách giải nhanh ( m + 7) ( m + 8)2 - Ta tìm thêm GTNN A sau: Xét A + = +1 = Ê với m2 + m2 + m Suy GTNN A − , đạt m = −8 Bài 33 Cho x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − x + = a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 − x2 x2 − x1 ; b) Tính giá trị biểu thức B = |2 x1 − x2 | + |2 x2 − x1 | Hướng dẫn a) Theo định lí Viète, ta có:  x +x =7 x x =3   (2 x − x ) + (2 x − x ) = 2 ⇒  (2 x − x ) · (2 x − x ) = x x − ( x + x )2 = −71 2 1 2 (đúng 72 > · (−71)) Theo định lí Viète đảo, ta có y1 = x1 − x2 y2 = x2 − x1 hai nghiệm phương trình y2 − y − 71 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − p333 ¯ ¯ + p333 ¯ p ¯ ¯ ¯ ¯ b) Ta có: B = |2 x1 − x2 | + |2 x2 − x1 | = | y1 | + | y2 | = ¯ ¯+¯ ¯ = 333 ¯ ¯ ¯ ¯ Bài 33 Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x − = Chứng minh x15 + x25 số nguyên Hướng dẫn Theo định lí Viète, ta có x1 + x2 = 4, x1 x2 = −1, x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = 14; x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = 52; ¢¡ ¢ ¡ x15 + x25 = x12 + x22 x13 + x23 − ( x1 x2 )2 ( x1 + x2 ) = 724 (đpcm) Nhận xét - Ta đặt S n = x1n + x2n S n+2 − 4S n+1 + S n = Do S n số nguyên với số nguyên dương n - Với S n số ngun ta gắn tốn số học vào đây, ví dụ tốn chứng minh chia hết, tốn tìm số dư chia S n cho số chẳng hạn tìm số dư chia x12005 + x22005 cho 5, Bài 34 Tìm m để phương trình x2 + x + m = (*) có hai nghiệm lớn m Hướng dẫn Cách Đặt t = x − m, ta có x = t + m x Ê m ⇔ t Ê Phương trình (*) ⇔ t2 + (2 m + 1) t + m2 + m = (1) Phương trình (*) có hai nghiệm x lớn m phương trình (1) có hai nghiệm t lớn Điều xảy    ∆ Ê0   S1 >    P >0  ¡ ¢   (2 m + 1)2 − m2 + m Ê   ⇔ − (2 m + 1) >     m ( m + 2) > ⇔ m < −2 Trang 17 GV: Phạm Văn Tuyên Bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT Cách Phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 lớn m    ∆Ê0   ⇔ ( x1 − m) ( x2 − m) >     ( x − m) + ( x − m) >    ∆Ê0   ⇔ x1 x2 − m ( x1 + x2 ) + m2 >     ( x + x ) − m > Thay x1 + x2 = −1, x1 x2 = m vào hệ ta tìm m < −2 phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 Sử dụng công thức nghiệm ta tính x1 , x2 theo m giải đồng thời hai bất phương trình x1 > m x2 > m thu m < −2 Bài 35 Cho a, b, c, d bốn số thực đôi khác thỏa mãn đồng thời hai điều kiện Cách Với điều kiện m É sau: i) Phương trình x2 − cx − 5d = có hai nghiệm a, b; ii) Phương trình x2 − 2ax − 5b = có hai nghiệm c, d Chứng minh rằng: a − c = c − b = d − a  a + b + c + d = 30 Hướng dẫn Theo định lí Viète, ta có  a + b = 2c  ab = −5 d  c + d = 2a  cd = −5 b Suy a + b = c a + b + c + d = 2a + c ⇒ a − c = c − b c − b = d − a ⇒ a − c = c − b = d − a   c = a−m   Đặt m = a − c = c − b = d − a ⇒ b = c − m = a − 2m     d = a+m ⇒ a + b + c + d = 4a − m (vì a 6= c nên m 6= 0) Từ ab = −5 d ta có: a (a − 2m) = −5 (a + m) ⇒ a2 − 2am = −5a − 5m (1) 2 Từ cd = −5b ta có: (a − m) (a + m) = −5 (a − 2m) ⇒ a − m = −5a + 10m (2) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta m (m − 2a) = −15m ⇒ m − 2a = −15 (vì m 6= 0), suy đpcm Bài 36 Tìm số a, b, c, d cho phương trình x2 + ax + b = có nghiệm c, d cịn phương trình x2 + cx + d = có nghiệm a, b   Hướng dẫn Theo định lí Viète, ta có  c + d = −a  cd = b  a + b = −c  ab = d Suy a + b + c = a + c + d = 0, b = cd d = ab ⇒ a + b + c = b = d = cd = ab Từ ta có: * Nếu b = d = 0, c = −a với a số nguyên tùy ý Ta hai phương trình x2 + ax = x2 − ax = 0, thỏa mãn yêu cầu toán * Nếu b 6= a = c = b = d = −2 Ta hai phương trình x2 + x − = 0, thỏa mãn u cầu tốn Bài 37 Có hay không số nguyên b, c cho phương trình x2 + bx + c = (1) x2 + ( b + 1) x + c + = (2) có nghiệm số nguyên Hướng dẫn Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình (1) theo định lí Viète ta có: x1 + x2 = −b (3) x1 x2 = c (4) Nếu x3 , x4 nghiệm phương trình (2) theo định lí Viète ta có: ( x3 + x4 ) = − (b + 1) (5) x3 x4 = c + (6) Từ (5) (6) ta có b, c số lẻ Kết hợp với (4) ta có x1 , x2 số lẻ Từ (3) khơng thỏa mãn Vậy khơng có số ngun b, c thỏa mãn yêu cầu toán Trang 18