CHỦ ĐỀ XÁC SUẤT I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Phép thử Không gian mẫu * Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) phép thử mà - Kết khơng đốn trước - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử * Khơng gian mẫu tập hợp kết xẩy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử ký hiệu  2) Biến cố • Một biến cố A (còn gọi kiện A) liên quan tới phép thử T biến cố mà việc xẩy hay khơng xẩy cịn tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi cho A • Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu A Để đơn giản, ta dùng chữ A để kí hiệu tập hợp kết thuận lợi cho A Khi ta nói biến cố A mơ tả tập A • Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập  ký hiệu  • Biến cố khơng thể biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mơ tả tập  3) Các phép tốn với biến cố Tập  \ A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có: • Tập A  B gọi hợp biến cố A B • Tập A  B gọi giao biến cố A B • Nếu A  B =  ta nói A B xung khắc 4) Xác suất biến cố (định nghĩa cổ điển) Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu  tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất A số, kí hiệu P ( A) , xác định công thức: P ( A ) = A  = n ( A) n () Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta có bước để tính xác suất biến cố sau: • Bước 1: Xác định khơng gian mẫu  tính số phần tử  , tức đếm số kết phép thử T • Bước 2: Xác định tập A mơ tả biến cố A tính số phần tử A, tức đếm số kết thuận loại cho A Trang • Bước 3: Lấy kết bước chia cho bước Nhận xét: Việc tính số kết (bước 1) thường dễ dàng nhiều so với việc tính số kết thuận lợi cho A (bước 1) Để giải tốt toàn xác suất ta cần nắm phần tổ hợp trước Chú ý: - Từ định nghĩa, suy  P ( A)  1, P ( ) = 1, P () = - Các kí hiệu n ( ) ; n ( A) hiểu tương đương với  ; A số phần tử không gian mẫu tập hợp thuận lợi cho biến cố A 5) Các quy tắc tính xác suất * Quy tắc cộng (áp dụng cho biến cố xung khắc) − Nếu hai biến cố A, B xung khắc P ( A  B ) = P ( A) + P ( B ) − Nếu biến cố A1, A2 , A3 , An xung khắc P ( A1  A2   An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( An ) * Quy tắc nhân (áp dụng cho biến cố độc lập) − Nếu A B hai biến cố độc lập P ( AB ) = P ( A) P ( B ) − Nếu có n biến cố A1, A2 , A3 , An độc lập P ( A1 A2 A3 An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) Chú ý: Nếu A B độc lập A B độc lập, B A độc lập, B A độc lập ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Do A B độc lập ta cịn có đẳng thức: P AB = P ( A ) P B P AB = P A P ( B ) P AB = P A P B 6) Xác suất biến cố đối ( ) Xác suất biến cố A biến cố A tính P A = − P ( A ) II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Tính xác suất định nghĩa cổ điển Ví dụ Người ta gieo hai xúc xắc đồng chất, có màu khác Tìm xác suất để được: a) Hai số khác b) Tổng hai số c) Tổng hai số lớn Lời giải: Người ta gieo hai xúc xắc đồng chất, có màu khác Ta có:  = ( i, j ) :1  i, j  6 (trong đó, i, j kết xuất xúc xắc) Khi đó,  = 62 = 36 a) Gọi A biến cố “Xuất số khác nhau”  A = 6.5 = 30 Trang A Do  P ( A ) =  = 30 = 36 b) Gọi B biến cố “Tổng số 6” Ta có: = + = + = +  B = ( 5,1) ; ( 4,2 ) ; ( 3,3) ; ( 2,4 ) ; (1,5) B Do đó:  P ( B ) =  = 36 c) Gọi C biến cố “tổng số lớn 9”  C = ( 6,4 ) ; ( 4,6 ) ; ( 5,5) ; ( 6,5) ; ( 5,6 ) ; ( 6,6 ) Do  P ( C ) = C  = = 36 Ví dụ Lớp 11A có 25 đồn viên 10 nam 15 nữ a) Chọn ngẫu nhiên đoàn viên làm thư ký đại hội chi đồn Tìm xác suất để chọn thư kí đồn viên nữ b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên chi đoàn để tham dự trại 26/3 Tìm xác suất để hai đồn viên chọn có nam nữ Lời giải: a) Chọn ngẫu nhiên đoàn viên làm thư ký đại hội chi đoàn  1 = 10 + 15 = 25 Gọi A biến cố “chọn thư kí đoàn viên nữ”  A = C15 = 15 Do đó, P ( A ) = A 1 = 15 = 25 1 b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên chi đoàn  2 = C102 + C10 C15 + C152 = 300 1 Gọi B biến cố “chọn đoàn viên có nam, nữ”  B = C10 C15 = 150 Do đó, P ( B ) = B 2 = 150 = 300 Ví dụ Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Lời giải: Số cách chọn học sinh lớp là: C25 = 12650 1 Số cách chọn học sinh có nam nữ là: C15 C103 + C152 C102 + C153 C10 = 11075 Xác suất để học sinh gọi có nam nữ là: P = 11075 = 0,8755 12650 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác Gọi A biến cố “Số tự nhiên chọn gồm chữ số 3, 4, 5, 6” Hãy tính xác suất biến cố A Lời giải: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác   = A93 = 9.9.8.7 = 4536 Trang Gọi A biến cố “Số tự nhiên chọn gồm chữ số 3, 4, 5, 6”  A = A44 = 4.3.2 = 24 Xác suất biến cố A là: P ( A ) = A  = 24 = 4536 189 Ví dụ Một tổ có học sinh, có nam nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất cho bạn nam phải đứng kề Lời giải: Một tổ có học sinh xếp thành hàng dọc   = 9! Gọi A biến cố “5 bạn nam đứng kề nhau”  A = 5!.5! (Cố định bạn nam (5 bạn nam đứng kề có 5! cách xếp), coi bạn nam người xếp với bạn nữ kia, ta lại có 5! cách xếp) Do đó, P ( A ) = A  = 5!.5! = 9! 126 Ví dụ Một tổ có học sinh, có nam nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất cho khơng có hai bạn nam đứng kề Lời giải: Một tổ có học sinh xếp thành hàng dọc   = 9! Gọi A biến cố “khơng có hai bạn nam đứng kề nhau” Theo thứ tự đề Nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam Khi đó,  A = 4!.5! (Cứ xếp nam riêng, nữ riêng Sau chèn bên lại) Do đó, P ( A ) = A  = 4!.5! = 9! 126 Ví dụ Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Lời giải: Trong 30 số có: 15 số lẻ; số chia hết cho 10 (là 10, 20 30) 12 số chẵn cịn lại nên: • 10 Có C30 cách chọn 10 30 • Có C155 cách chọn thẻ mang số lẻ số 15 • Có C31.C124 cách chọn thẻ số chẵn mà có thẻ mang số chia hết cho 10 C155 C31.C124 99 = Vậy nên xác suất tìm là: 10 C30 667 Ví dụ Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn Lời giải: Trang Mỗi gieo súc sắc, xác suất xuất mặt a) Tổng mặt là ( 4;4 ) ; (3;5) ; ( 5;3) ; ( 2;6 ) ; (6;2 ) nên xác suất 1 = 6 36 b) Tích hai mặt số lẻ  mặt số lẻ mà xác suất gieo súc sắc để mặt lẻ = nên xác suất để mặt lẻ 1 = 2 c) Gọi xác suất tích mặt xuất số lẻ a xác suất để tích hai mặt xuất số chẵn = 1− a = 1− = 4 Ví dụ Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm Lời giải: Phép thử gieo súc sắc: (1;1) ; (1;2 ) ; ; (1;6 )    ( 2;1) ; ( 2;2 ) ; ; ( 2;6 )  Không gian mẫu:  =    n (  ) = 36   ( 6;1) ; ( 6;2 ) ; ; ( 6;6 )    a) Biến cố A: tổng hai mặt xuất nên ta dễ dàng liệt kê được:  A = (1;6 ) ; ( 6;1) ; ( 2;5) ; ( 5;2 ) ; (3;4 ) ; ( 4;3)  n (  A ) =  xác suất xảy biến cố n (A ) n () = = 36 b) Biến cố B: mặt xuất có số chấm nên ta liệt kê được:  B = (1;1) ; ( 2;2 ) ; ( 3;3) ; ( 4;4 ) ; ( 5;5) ; (6;6 )  n (  B ) = Khi xác suất xảy biến cố n (B ) n () = = 36 Ví dụ 10 Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để: a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình Lời giải: = 4060 Chọn em số 30 em dự đại hội nên không gian mẫu  = C30 a) Biến cố A: em học sinh giỏi   A = C83  PA = A  = C83 = C30 145 Trang + C83 C22 = 2520  PB = b) Biến cố B: có học sinh giỏi nên  B = C81.C222 + C82 C22 = 1771  PC = c) Biến cố C: khơng có học sinh trung bình nên C = C23 2520 18 = 4060 29 1771 253 = 4060 580 Ví dụ 11 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số chẵn Lời giải:   Ta có:  = abc;1  a, b, c  Khi đó:  = A73 = 7.6.5 = 210 Gọi A biến cố “Chọn ngẫu nhiên số từ S, số chọn số chẵn”   A = 3.6.5 = 90 Do đó, xác suất để chọn số chẵn P = 90 = 210 Ví dụ 12 Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: a) Số số lẻ b) Số chia hết cho c) Số chia hết cho Lời giải: X tập hợp số có chữ số khác có dạng ab Khơng gian mẫu:  = 6.7 = 42 a) ab số lẻ nên: • b 1;3;5;7  b có cách chọn • a có cách chọn  có 4.6 số lẻ nên xác suất để số số lẻ 24 = 42 b) ab số chia hết cho nên: số 15, 25, 35, 45, 65, 75 nên có số chia hết cho suy = xác suất 42 c) ab chia hết cho ( a + b )  ab = 27;36;45;54;63;72  có số thỏa mãn nên xác suất = 42 Ví dụ 13 Một hộp đựng 15 viên bi, có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ A B 418 455 C 13 D 12 13 Lời giải: Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C153 = 445 Trang Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: • TH1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C81.C72 • TH2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C82 C71 • TH3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C83 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A A = C81.C72 + C82 C71 + C83 = 420 C81.C72 + C82 C71 + C83 12 Vậy P ( A ) = = C153 13 Chọn D Ví dụ 14 Một tổ gồm em, có nữ chia thành nhóm Tính xác suất để nhóm có nữ A 56 B 27 84 C 53 56 D 19 28 Lời giải: Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ có số khả xảy C93 Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ hai có số khả xảy C63 Cịn em đưa vào nhóm cịn lại số khả xảy cách Do  = C93.C63.1 = 1680 Bước 2: Tìm số kết thuận lợi cho A Phân nữ vào nhóm có 3! cách Phân nam vào nhóm theo cách có C62C42 cách khác   A = 3!.C62 C42 = 540 → P ( A ) = A  = 540 27 = 1680 84 Chọn B Ví dụ 15 Một hộp đựng cầu trắng, 12 cầu đen Lần thứ lấy ngẫu nhiên cầu hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên cầu cầu cịn lại Tính xác suất để kết hai lần lấy cầu màu A 14 95 B 48 95 C 47 95 D 81 95 Lời giải: Không gian mẫu lấy cầu hộp cách ngẫu nhiên 1 Suy số phần tử không gian mẫu  = C20 C19 Gọi A biến cố “2 cầu lấy màu” Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố A sau: • TH1: Lần thứ lấy màu trắng lần thứ hai màu trắng Do trường hợp có C81.C71 cách Trang • TH2: Lần thứ lấy màu đen lần thứ hai màu đen 1 Do trường hợp có C12 cách .C11 1 Suy số phần tử biến cố A  A = C81.C71 + C12 C11 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = A  = C81.C71 + C121 C111 47 = C20 C191 95 Chọn C Ví dụ 16 Một hộp chứa 12 viên bi kích thước nhau, có viên bi màu xanh đánh số từ đến 5; có viên bi màu đỏ đánh số từ đến viên bi màu vàng đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp, tính xác suất để viên bi lấy vừa khác màu vừa khác số A 33 B 14 33 C 29 66 D 37 66 Lời giải: Không gian mẫu số cách lấy tùy ý viên từ hộp chứa 12 viên bi Suy số phần tử không gian mẫu là:  = C122 = 66 Gọi A biến cố “2 viên bi lấy vừa khác màu vừa khác số” • Số cách lấy viên bi gồm: bi xanh bi đỏ 4.4 = 16 cách (do số bi đỏ nên ta lấy trước, có cách lấy bi đỏ Tiếp tục lấy bi xanh không lấy viên trùng với số bi đỏ nên có cách lấy bi xanh) • Số cách lấy viên bi gồm: bi xanh bi vàng 3.4 = 12 cách • Số cách lấy viên bi gồm: bi đỏ bi vàng 3.3 = cách Suy số phần tử biến cố A A = 16 + 12 + = 37 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = A  = 37 66 Chọn D Ví dụ 17 Một hộp chứa 11 viên bi đánh số từ đến 11 Chọn viên bi cách ngẫu nhiên cộng số viên bi rút với Xác suất để kết thu số lẻ A 226 462 B 118 231 C 115 231 D 103 231 Lời giải: Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu Chọn ngẫu nhiên viên bi 11 viên bi số cách chọn  = C116 = 462 Bước 2: Tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố Gọi A biến cố “Chọn viên bi cộng số viên bi thu số lẻ” Trong 11 viên bi có viên bi mang số lẻ 1;3;5;7;9;11 viên bi mang số chẵn 2;4;6;8;10 • TH1: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C61.C55 cách Trang • TH2: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C63.C53 cách • TH3: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C65 C51 cách Suy n ( A) = C61.C55 + C63.C53 + C65.C51 = + 200 + 30 = 236 A   A = 3!.C62 C42 = 540 → P ( A ) =  = 236 118 = 462 231 Chọn B Ví dụ 18 Trong hộp có 50 viên bi đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp, tính xác suất để tổng ba số viên bi chọn số chia hết cho A 816 1225 B 409 1225 289 1225 C D 936 1225 Lời giải: Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp chứa 50 viên bi Suy số phần tử không gian mẫu  = C50 = 19600 Gọi A biến cố “3 viên bi chọn số chia hết cho 3” Trong 50 viên bi chia thành loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho dư 17 viên bi cịn lại có số chia cho dư Để tìm số kết thuận lợi cho biến cố A, ta xét trường hợp: ( ) • TH1: viên bi chọn loại, có C163 + C173 + C173 cách • 1 TH2: viên bi chọn có viên loại, có C16 cách .C17 C17 ( ) 1 C17 C17 = 6544 Suy số phần tử biến cố A  A = C163 + C173 + C173 + C16 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = A  = 6544 409 = 19600 1225 Chọn B Ví dụ 19 Cho tập hợp A = 0;1;2;3;4;5 Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu A B 23 25 C 25 D Lời giải: a, b, c  A  Gọi số cần tìm tập S có dạng abc Trong đó: a  a  b; b  c; c  a  Khi đó: • Số cách chọn chữ số a có cách chọn a  • Số cách chọn chữ số b có cách chọn b  a Trang • Số cách chọn chữ số c có cách chọn c  a c  b Do tập S có 5.5.4 = 100 phần tử Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu  = C100 = 100 Gọi X biến cố “Số chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu” Khi ta có số 1b b thỏa mãn biến cố X b có cách chọn nên có tất số thỏa yêu cầu Suy số phần tử biến cố X X = Vậy xác suất cần tính P ( X ) = X  = = 100 25 Chọn C Ví dụ 20 Cho tập hợp A = 2;3;4;5;6;7;8 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn mà số ln ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ A B 35 C 17 35 D 18 35 Lời giải: Số phần tử tập S A74 = 840 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu  = C840 = 840 Gọi X biến cố “Số chọn ln ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ” • Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; C42 = cách • Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba số 3; 5; C32 = cách • Từ bốn chữ số chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với hốn vị phần tử nên có 4! cách Suy số phần tử biến cố X X = C42 C32 4! = 432 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = X  = 432 18 = 840 35 Chọn D Ví dụ 21 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số 1; 2; 3; 4; Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn chia hết cho A 10 B C D 15 Lời giải: Số phần tử S A = 60 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Trang 10 Câu 20: có C52 cách TH1: cầu chọn màu xanh TH2: cầu chọn màu đỏ Vậy xác suất cần tính P = có C62 cách C52 + C62 = Chọn C C112 11 Câu 21: Lấy cầu 15 cầu có C153 cách  n ( ) = C153 Gọi X biến cố “lấy cầu màu xanh” Số cách lấy cầu màu xanh cầu màu xanh C43 Do đó, số phần tử biến cố X n ( X ) = C43 = Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 4 = Chọn D C15 455 Câu 22: Chọn ngẫu nhiên viên bi có  = C22 cách chọn Gọi A biến cố: để lấy viên bi màu Khi A biến cố “Khơng có bi màu” ( ) Ta có:  A = C71.C61.C51.C41 = 840 suy P A = ( ) Do P ( A ) = − P A = 840 24 = C224 209 185 Chọn B 209 Câu 23: Số phần tử không gian mẫu  = 20.19 = 380 Gọi A biến cố: kết hai lần lấy cầu màu TH1: màu trắng có 8.7 = 56 cách TH2: cầu màu đen có 12.11 = 132 cách Do  A = 56 + 132 = 188  P ( A ) = 188 47 = Chọn C 380 95 Câu 24: Không gian mẫu số cách chia tùy ý đội thành bảng Suy số phần tử không gian mẫu n ( ) = C93.C63.C33 Gọi X biến cố “3 đội bóng Việt Nam bảng khác nhau” Bước 1: Xếp đội Việt Nam bảng khác nên có 3! cách Bước 2: Xếp đội lại vào bảng A, B, C có C62 C42 C22 cách Suy số phần tử biến cố X n ( X ) = 3!.C62 C42 C22 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 3!.C62 C42 C22 540 = = Chọn C 3 C9 C6 C3 1680 28 Câu 25: Không gian mẫu số cách chia tùy ý người thành bảng Trang 38 Suy số phần tử không gian mẫu n ( ) = C84 C44 Gọi X biến cố “2 bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu” Bước 1: Xếp bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu nên có C21 cách Bước 2: Xếp bạn lại vào bảng A, B cho đủ bảng bạn có C62 C44 cách Suy số phần tử biến cố X n ( X ) = C21.C62 C44 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = C84 C44 = Chọn D C2 C6 C4 Câu 26: Số cách lấy viên bi từ hộp C122 = 66 cách Số cách lấy viên bi gồm viên bi xanh, viên bi đỏ khác số 4.4 = 16 cách Số cách lấy viên bi gồm viên bi xanh, viên bi vàng khác số 3.4 = 12 cách Số cách lấy viên bi gồm viên bi đỏ, viên bi vàng khác số 3.3 = cách Vậy số cách lấy vừa khác màu vừa khác số 16 + 12 + = 37 Vậy xác suất cần tìm P = 37 Chọn D 66 Câu 27: Chọn viên bi có C50 cách chọn Gọi A biến cố: tổng ba số viên bi chọn số chia hết cho Trong 50 viên bi chia thành ba loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho dư 17 viên bi lại có số chia cho dư Để tìm số kết thuận lợi cho biến cố A, ta xét trường hợp ( ) TH1: viên bi chọn loại, có C163 + C173 + C173 cách 1 TH2: viên bi chọn có viên loại, có C16 cách .C17 C17 ( ) 1 C17 C17 = 6544 Suy số phần tử biến cố A  A = C163 + C173 + C173 + C16 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = 6544 409 Chọn B = C50 1225 Câu 28: Số số có chữ số lập từ chữ số tập A 5.5.4 = 100 số Như chọn ngẫu nhiên số từ S ta  = 100 Gọi X biến cố: số chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu Số thỏa mãn điều kiện có dạng 1a a , dạng có số thỏa mãn nên suy  A = 2.4 = số Vậy P ( A ) = = Chọn C 100 25 Câu 29: Số số có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số tập A A74 Trang 39 Suy  = A74 = 840 , gọi A biến cố: số chọn mà số ln ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số Chọn chữ số lẻ chữ số chẵn từ tập A có C42 C32 cách, xếp chữ số thành số ta có C42 C32 4! cách Do P ( A) = C42 C32 4! 18 = Chọn D 840 35 Câu 30: Không gian mẫu  = A53 + A54 + A55 = 300 số Gọi A biến cố: số chọn có tổng chữ số 10 Để tổng chữ số số 10 từ tập hợp A = 1;2;3;4;5 nhiều số có chữ TH1: Số có chữ số số thuộc tập 1;2;3;4 suy hốn vị chữ số đó: 4! số TH2: Số có chữ số lập từ A = 1;2;3;4;5 sau: 1;4;5,2;3;5 , suy số cách 3!+ 3! Vậy tổng số cách thỏa mãn đề là: 4!+ 3!+ 3! = 36 cách Vậy xác suất để bốc số thỏa mãn đề là: P ( A ) = 36 = Chọn B 300 25 Câu 31: Không gian mẫu  = A103 Gọi A biến cố: chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho TH1: Có chữ số số thuộc tập 1;2;3;4;6;7;8;9 có C82 2! = 56 số TH2: Có chữ số số thuộc tập 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có C92 2.2.1 = 144 số Suy  A = 56 + 144 = 200  P ( A) = 200 = Chọn A A103 18 8 Câu 32: Chọn ngẫu nhiên thẻ 20 thẻ có C20 cách  n ( ) = C20 Gọi X biến cố “có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho 10” Ta xét trường hợp sau: TH1: thẻ mang số 10, thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn (do thẻ mang số 10 số chẵn) → có C103 C84 cách chọn TH2: thẻ mang số 20, thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn (do thẻ mang số 20 số chẵn) → có C103 C84 cách chọn Do đó, số phần tử biến cố X n ( X ) = 2.C103 C84 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 2.C103 C84 560 = Chọn A C20 4199 10 10 Câu 33: Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ 30 thẻ có C30 cách  n ( ) = C30 Trang 40 Gọi X biến cố “có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho 10” Ta xét trường hợp sau: TH1: thẻ mang số 10, thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn (do thẻ mang số 10 số chẵn lấy thẻ chẵn 12 thẻ chẵn trừ hai số 20, 30) → có C153 C124 cách chọn TH2: thẻ mang số 20 TH3: thẻ mang số 30 (tương tự TH1) Do đó, số phần tử biến cố X n ( X ) = 3.C155 C124 n( X ) 3.C155 C124 99 = = Vậy xác suất cần tính P = Chọn A 10 n () C30 667 Câu 34: Số số có chữ số 9.10 = 90 số Chọn ngẫu nhiên số từ tập S C90 cách Gọi A biến cố: hai số chọn có chữ số hàng đơn vị giống Xét số có chữ số hàng đơn vị giống Có số có chữ số hàng đơn vị 0, có số có chữ số hàng đơn vị 1… có số có chữ số hàng đơn vị Do có A = 10.C92 cách chọn số có chữ số hàng đơn vị giống Vậy P ( A ) = 10.C92 = Chọn A C902 89 Câu 35: Số số tự nhiên có chữ số khác 9.A98 số Xếp số thỏa mãn đề bài: Có C54 cách chọn chữ số lẻ Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, chữ số đứng đầu cuối nên có cách xếp Tiếp theo ta có A42 cách chọn xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số Cuối ta có 6! cách xếp chữ số cịn lại vào vị trí cịn lại Gọi A biến cố cho đó, A = C54 A42 6! = 302400 Vậy xác suất cần tìm P ( A) = 302400 Chọn B = A98 54 Câu 36: Xét số abcd số chẵn có chữ số khác TH1: d =  abc có A93 cách chọn TH2: Nếu d = 2;4;6;8 abc có 8.A82 cách chọn Suy có A93 + 4.8 A82 = 2296 Chọn số từ tập S có 4536 cách chọn Gọi A biến cố: số chọn lớn 2018 Trang 41 Khi A biến cố: số chọn nhỏ 2018 Xét số abcd thỏa mãn biến cố A TH1: Nếu a =  b =  c =  d = 4;6;8 có số TH2: Nếu a =  bcd  d = 0;2;4;6;8 có 5.A82 cách chọn ( ) Vậy  A = + A82 = 283  P A = ( ) 283 2013  P ( A) = − P A = Chọn C 2296 2296 Câu 37: Số phần tử không gian mẫu  = C114 Gọi A biến cố: tổng số ghi thẻ số lẻ Trong 11 số từ đến 11 có số chẵn số lẻ Để tổng số ghi thẻ số lẻ ta có trường hợp sau: TH1: Trong số có số chẵn số lẻ có: C63 C51 cách TH2: Trong số có số chẵn số lẻ có: C61.C53 cách Suy C61.C53 + C63.C51 = 160  Xác suất cần tìm 160 16 = Chọn B C114 33 Câu 38: Số phần tử không gian mẫu  = C116 Gọi A biến cố: tổng số ghi thẻ số lẻ Trong 11 số từ đến 11 có số chẵn số lẻ Để tổng số ghi thẻ số lẻ ta có trường hợp sau: TH1: Trong số có số chẵn số lẻ có: C65 C51 cách TH2: Trong số có số chẵn số lẻ có: C63.C53 cách TH3: Trong số có số chẵn số lẻ có: C61.C55 cách Suy C65.C51 + C63.C53 + C61.C55 = 236  Xác suất cần tìm 236 118 Chọn B = C116 231 Câu 39: Gọi số có ba chữ số abc Số số có ba chữ số tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, n ( ) = 43 = 64 Vì abc chia hết c = 2;4 TH1: ab2  a; b (1;3) , ( 2;2 ) , ( 3;4 )  có số thỏa mãn TH2: ab4  a; b  (1;1) , (1;4 ) , ( 2;3) , ( 4;4 )  có số thỏa mãn Do số phần tử biến cố n ( X ) = 11 Vậy P = 11 Chọn C 64 Câu 40: Số số tự nhiên gồm chữ số khác lấy từ tập A 6.6.5.4.3 = 2160 Do chữ số 1, 2, ln có mặt đứng cạnh nên ta coi chúng phần tử X Trang 42 Bài tốn trở thành có số có chữ số ln có mặt X chia hết cho TH1: Nếu số có dạng XI I có cách chọn  3.3! = 18 số TH2: Nếu số có dạng IX I có cách chọn  2.3! = 12 số TH3: Nếu số có dạng XI IX I có cách chọn  2.3.3! = 36 số Do có 18 + 12 + 36 = 66 số lập thỏa mãn yêu cầu toán Vậy xác suất cần tính P = 66 11 = Chọn D 2160 360 Câu 41: Số phần tử không gian mẫu n ( ) = A94 Giả sử số tự nhiên cần tìm có dạng abcd Vì abcd chia hết cho 11 nên a + c = b + d Lại có a + b + c + d 11 mà a, b, c, d 1 → 9 nên  a + b + c + d  36 Do a + b + c + d = 11;22;33 mà a + b = c + d  a + c = b + d = 11 Suy ( a; c ) ( b; d ) cặp số ( 2;9) , (3;8) , ( 4;7 ) , ( 5;6 ) Có C42 cách chọn cặp, ứng với a có cách chọn, b có cách chọn Và c, d người có cách chọn → n ( X ) = C42 4.2 Vậy xác suất cần tìm P = n( X ) n () = C42 4.2 = Chọn D A94 63 Câu 42: Các số chia hết cho dãy 1000008,10000017,10000026, ,9999999 lập thành cấp số cộng có u1 = 1000008 cơng sai d = nên có tất 1000000 số Suy số phần tử không gian mẫu n ( ) = 1000000 TH1: Số cần tìm khơng có số 0, ta loại chữ số a, b phân biệt mà a + b Đó 1;8,2;7,3;6,4;5 nên số thỏa mãn yêu cầu 4.7! số TH2: Số cần tìm có chữ số 9, ta loại chữ số a, b, c phân biệt mà a + b + c Do số thỏa mãn yêu cầu 10.7!− 10.6! số Vậy xác suất cần tính P = 4.7!+ 10.7!− 10.6! 198 = Chọn B 106 6125 Câu 43: Số có chữ số thỏa mãn số Số có chữ số dạng ab thỏa mãn ( a, b ) = ( 0;9 ) , (1;8) , ( 2;7 ) , (3;6 ) , ( 4;5) Suy có + 4.2! = số Số có chữ số dạng abc thỏa mãn a + b + c = ta xét trường hợp sau: TH1: Số có chữ số giống có số số 333 Trang 43 TH2: Số có chữ số số giống ( a; b; c ) ( 0;0;9 ) ; (1;1;7 ) ; ( 2;2;5) ; ( 4;4;1) nên có + 3.3 = 10 số TH3: Số có chữ số khác ( a; b; c ) (1;2;6 ) ; (1;3;5) ; ( 2;3;4 )  (0;1;8) ; (0;2;7 ) ; (0;3;6 ); (0;4;5) nên trường hợp có 3.3!+ ( 2.2!) = 34 số Vậy số phần tử không gian mẫu  = + + + 10 + 34 = 55 Gọi A biến cố: số lấy có chữ số hàng trăm Ta liệt kê trường hợp thuận lợi cho A 441;414;423;432;405;450  A = Xác suất cần tìm P = Chọn A 55 Câu 44: Số phần tử không gian mẫu  = A98 Gọi A biến cố “số chọn chia hết cho 3” Gọi số thỏa mãn biến cố A abc ( a  0)  ( a + b + c ) Mặt khác + + + + + + + + = 45 nên số có chữ số thỏa mãn tập X chứa số tập sau: 1;2;3;4;5;6;7;8;9,0;1;2;4;5;6;7;8;9, 0;1;2;3;4;5;7;8;9,0;1;2;3;4;5;6;7;8 TH1: X = 1;2;3;4;5;6;7;8;9 suy có 9! số TH2: X tập lại có 3.8.8! số Do A = 9!+ 8.8! nên xác suất cần tìm P ( A) = 9!+ 3.8.8! 11 = A98 27 Câu 45: Số có chữ số khác tạo từ tập A 6.5.4.3 = 360 số Suy số phần tử không gian mẫu n ( ) = C360 Gọi X biến cố “trong số vừa chọn có số có mặt chữ số 3” Số số có mặt chữ số 5.4.3.4 = 240 số 120 số khơng có mặt chữ số Do đó, số phần tử biến cố n ( X ) = 240.120 = 28800 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 28800 160 = Chọn C C360 359 Câu 46: Số số tự nhiên có chữ số 9.104 = 90000 số Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị abcd1 Ta có: abcd1 = 10abcd + = 3abcd + 7abcd + chia hết cho 3abcd + chia hết cho Đặt 3abcd + = 7k  abcd = k + k −1 k  , suy abcd số nguyên k = 3l + Trang 44 Khi ta abcd = 7l +  1000  7l +  9999  998 9997 l  có 1286 giá trị l nên có 1286 7 số Xác suất cần tìm P = 1286 643 = Chọn A 90000 45000 Câu 47: Số phần tử không gian mẫu  = A65 Đặt S tổng chữ số, theo đề ta có 3S  6.7 = 21 , dễ thấy S 5;6;7 Với S = ta có cặp ( 0;5) , (1;4 ) , ( 2;3)  Số số lập ( 5.1) ( 4.1) ( 2.1) = 40 số Với S = ta có cặp (0;6 ) , (1;5) , ( 2;4 )  tương tự, số số lập ( 5.1) ( 4.1) ( 2.1) = 40 số Với S = ta có cặp (1;6 ) , ( 2;5) , (3;4 )  Số số lập ( 6.1) ( 4.1) (3.1) = 48 số Xác suất cần tìm: P = 40 + 40 + 48 Chọn D = A6 135 Câu 48: Số số có chữ số đôi khác 9.A94 Xét chữ số dạng a1a2 a3a4 a5 thỏa mãn a1  a2  a3 a3  a4  a5 Coi chữ số đứng đầu có nghĩa Có C105 cách chọn chữ số Với chữ số chọn, có cách chọn a3 , có C42 cách chọn a1a2 , cịn lại có cách chọn a4 a5 Khi có C105 C42 số thỏa mãn yêu cầu Xét số có dạng 0a2 a3a4 a5 với = a1  a2  a3 a3  a4  a5 Có C94 cách chọn thêm chữ số (khác 0) Với cách chọn đó, có cách chọn a3 , C31 cách chọn a2 cách chọn a4 a5 Khi có C94 C31 số có dạng 0a2 a3a4 a5 với = a1  a2  a3 a3  a4  a5 Vậy có C105 C42 − C94 C31 số có dạng a1a2 a3a4 a5 thỏa mãn yêu cầu C105 C42 − C94 C31 = Xác suất cần tìm: P = Chọn C A94 24  d = 2;4;6;8 Câu 49: Gọi số cần tìm có dạng abcd , abcd chia hết   a + b + c + d Khi đó, chọn d có cách chọn, b c có cách chọn từ đến Nếu b + c + d a = 3;6;9  a có cách chọn Nếu b + c + d chia dư a = 2;5;8  a có cách chọn Nếu b + c + d chia dư a = 1;4;7  a có cách chọn Suy a có cách chọn suy có 4.9.9.3 = 972 số chia hết cho Trang 45 Vậy xác suất cần tìm P = 972 = Chọn B 94 27 Câu 50: Số phần tử không gian mẫu n ( ) = 6.6.6 = 216 Gọi X biến cố “tích ba số ba lần gieo số không chia hết cho 6” TH1: Cả ba lần gieo không xuất mặt mặt  có 4.4.4 = 64 khả TH2: Có xuất mặt (ít lần) khơng xuất mặt chẵn  có 3.22 + 3.2 + = 19 Do đó, số phần tử biến cố X n ( X ) = 64 + 19 = 83 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 83 Chọn D 216 Câu 51: Số phần tử không gian mẫu n (  ) = C100 Gọi X biến cố “chọn ba phần tử lập thành cấp số cộng” Số cách chọn số tạo thành cấp số cộng có cơng sai d = 98 cách (vì u1 = → 98 ) Số cách chọn số tạo thành cấp số cộng có cơng sai d = 95 cách (vì u1 = → 95 ) ……… Số cách chọn số tạo thành cấp số cộng có cơng sai d = 49 cách (vì u1 = 1,2 ) Do đó, số phần tử biến cố X n ( X ) = 98 + 95 + + = 2450 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 2450 = Chọn D C100 66 Câu 52: Số phần tử không gian mẫu n ( ) = C1000 Gọi X biến cố “chọn hai thẻ cho tổng số ghi hai thẻ nhỏ 700” Gọi số thứ a, số thứ hai b  a + b  700 Vì vai trị a, b nên ta xét trường hợp sau: • a = → b = 2;3; ;698 suy có 697 cách • a = → b = 3;4; ;698 suy có 695 cách …… • a = 698 → b = suy có cách Do đó, số phần tử biến cố X n ( X ) = 697 + 695 + 693 + + = 121801 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 121801 Chọn B C1000 Câu 53: Số số có chữ số đôi khác 9.A95 số Gọi A biến cố: số lấy số lẻ thỏa mãn a  b  c  d  e  f Rõ ràng a  nên a, b, c, d, e, f 1;2;3;4;5;6;7;8;9 Trang 46 TH1: Nếu f = chọn số lại có C85 cách ta số thỏa mãn biến cố A TH2: Nếu f = chọn số cịn lại có C65 cách ta số thỏa mãn biến cố A Vậy có  A = C85 + C65 = 62  P ( A) = 62 31 Chọn A = A9 68040 Câu 54: Mỗi bạn có 17 cách viết nên số phần tử không gian mẫu n ( ) = 173 = 4913 Gọi X biến cố “ba số viết có tổng chia hết cho 3” Ta chia số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 thành ba loại gồm: số chia hết cho 3; số chia cho dư số chia cho dư Để tìm số kết thuận lợi cho biến cố X, ta xét trường hợp: TH1: số viết lên bảng loại, có 53 + 63 + 63 = 557 cách TH2: viên bi chọn có viên loại, có 3! ( 5.6.6 ) = 1080 cách Suy số phần tử biến cố X n ( X ) = 557 + 1080 = 1637 Vậy xác suất cần tính P = n( X ) n () = 1637 Chọn D 4913 Câu 55: Kí hiệu: Nam • Nữ Ta có trường hợp nam, nữ xen kẽ trường hợp hai bạn nữ ngồi cạnh TH1: Nam, nữ ngồi xen kẽ gồm: Nam phía trước • • • • • Nữ phía trước • • • • • TH2: Hai bạn nữ ngồi cạnh nhau: • • • • • (3 TH tương tự) Các bước xếp sau: • B1: Xếp bạn nam • B2: Xếp cặp Tự - Trọng • B3: Xếp bạn nữ cịn lại Khi đó, số kết xếp cho trường hợp sau: • Nam, nữ xen kẽ có 2.9.4!.4! cách • Hai bạn nữ ngồi cạnh có 4.8.4!.4! cách Vậy xác suất cần tính P = 50.4!.4! = Chọn D 10! 126 Câu 56: Chọn ngẫu nhiên người 12 người có  = C123 cách Gọi A biến cố: “3 người chọn khơng có người cạnh nhau” Gọi a1, a2 , a3 vị trí chọn người suy  a1  a2  a3  12 a1  a2 −   a1  a2 −  a3 −  10 Theo ta có:  a2  a3 − Trang 47 Suy có C103 cách chọn vị trí a1 ; a2 − 1; a3 − 2  có C103 cách chọn số a1 ; a2 ; a3 Vậy xác suất cần tính P = C103 = Chọn D C12 11 Câu 57: Không gian mẫu số cách chọn phần thưởng từ 12 phần thường suy  A = C122 = 66 Gọi A biến cố “Bạn Thảo Hiền có phần thưởng giống nhau” Để tìm số phần tử A, ta làm sau: Gọi x cặp số gồm Tốn Vật Lí, y số cặp gồm Tốn Hóa z số cặp gồm  x + y + z = 12 x = x + y =    y = Vật Lý Hóa học, ta có hệ phương trình:  y + z = z =   z + x = Suy số phần tử biến cố A A = C32 + C42 + C52 C32 + C42 + C52 19 Do xác suất cần tìm P ( A ) = = Chọn C C122 66 Câu 58: Ta có khơng gian mẫu  = C103 = 120 A: “3 nút tăng dần, có tổng 10” Ta thấy: 10 = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + Do có cách chọn nút theo thứ tự tăng dần có tổng 10  A = Xác suất để bấm đúng: P ( A ) = A  = ( ) 14  P A = − P ( A) = 120 15 TH1: Lần bấm suy P1 = 120 TH2: Lần bấm sai, lần hai bấm  P2 = 14 15 119 TH3: Lần 1, lần bấm sai, lần bấm suy P3 = Vậy P ( B ) = P1 + P2 + P3 = 14   1−  15  119  119 189 Chọn A 1003 Câu 59: Xét tam giác tạo thành từ 10 điểm cho TH1: Tam giác có đỉnh thuộc d1 đỉnh thuộc d2 có: C62 C41 = 60 TH2: Tam giác có đỉnh thuộc d1 đỉnh thuộc d2 có: C61.C42 = 36 Như xác suất cần tìm P = 60 = Chọn D 60 + 36 Câu 60: Bán kính đường trịn nội tiếp hình vng R = Xác suất P tỷ lệ diện tích hình trịn chia cho diện tích hình vng Trang 48 Do P =  12 22 = 0,785 Chọn C Câu 61: Lấy ngẫu nhiên đoạn thẳng có: C53 cách Các đoạn thẳng tạo thành tam giác là: (3;5;7) ;(3;7;9) ;( 5;7;9) Gọi X biến cố “chọn đoạn thẳng lấy tạo thành tam giác” C31 Ta có xác suất cần tìm tốn là: PX = = Chọn D C5 10 0  x  100 Câu 62: Điểm A ( x; y ) nằm bên (kể cạnh) OMNP   0  y  10 Có 101 cách chọn x, 11 cách chọn y Do số phần tử không gian mẫu tâm hợp điểm có tọa độ ngun nằm hình chữ nhật OMNP  = 101.11 Gọi X biến cố: “Các điểm A ( x; y )  S thỏa mãn x + y  90 ”  y =  x = 0;1;2; ;90  Vì x 0;100, y 0;10 x + y  90 nên   y =  x = 0;1;2; ;89  Khi có 91 + 90 + + 81 = Vậy xác suất cần tìm P = (81 + 91) 11 = 946 cặp số ( x; y ) thỏa mãn 946 86 = Chọn D 101.11 101 Câu 63: Số tam giác tạo thành  = C2018 Gọi A biến cố: tam giác có góc lớn 140 độ Giả sử tam giác ABC có A  140 Đa giác nội tiếp đường tròn tâm O góc tâm chắn cạnh có số đo Suy góc nội tiếp chắn cạnh có số đo 360 2018 360 90 = 2018 2018 Để góc A  140 góc A phải chắn nhiều 140 : 90  1569 , cạnh nên góc A phải chắn 1009 1570 cạnh 2 Khi có 2018 cách chọn đỉnh A có C2018 −1−1569 = C448 cách chọn điểm B, C Suy A = 2018.C448 suy xác suất cần tìm P ( A ) = 2018.C448 298 = Chọn D C2018 2017 Câu 64: Gọi n số đỉnh đa giác số đường chéo đa giác Cn2 − n = 170  n ( n − 1) − n = 170  n = 20 Trang 49 Gọi A biến cố: “chọn ba đỉnh cho ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông không cân” Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh từ đỉnh đa giác có  = C20 cách chọn Số đường chéo qua tâm 10 Cứ hai đường chéo qua tâm ta hình chữ nhật nên số tam giác vng 4C102 Có cặp đường chéo qua tâm vng góc nên có 4.5=20 tam giác vuông cân tạo thành Số tam giác vuông không cân tạo thành A = 4C102 − 20 = 160 Xác suất cần tìm là: P = 160 = Chọn B C20 57 Câu 65: Số cách chọn đỉnh  = C48 cách Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Gọi biến cố A “Chọn đỉnh đa giác để chọn tam giác nhọn” Lấy điểm A thuộc đường trịn ( O ) , kẻ đường kính AA '  A ' thuộc đường tròn ( O ) Khi AA’ chia đường trịn ( O ) thành hai nửa, nửa có 23 đỉnh 2 Chọn đỉnh B, C thuộc nửa đường trịn có C23 cách chọn  có C23 tam giác ABC tam giác tù Tương tự nửa cịn lại nên ta có 2C23 tam giác tù tạo thành Đa giác có 48 đỉnh nên có 24 đường chéo  có 24.2.C23 tam giác tù Ứng với đường kính ta có 23.2 tam giác vng Vậy số tam giác vng là: 23.2.24 = 1104 tam giác  A = C48 − 48C23 − 1104 = 4048 Vậy xác suất cần tìm P ( A) = 4048 11 Chọn C = C48 47 Câu 66: Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác có  = C20 cách Gọi A biến cố “tứ giác chọn hình chữ nhật” Đa giác có 20 đỉnh có 10 đường chéo qua tâm, với cách chọn đường chéo ta hình chữ nhật suy A = C102 Vậy xác suất cần tìm P ( A ) = C102 = Chọn B C20 323 Câu 67: Không gian mẫu  = ( x; y ) , x  4, y  4, x, y   Có cách chọn x cách chọn y nên số phần tử không gian mẫu  = 9.9 = 81 Tập hợp điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hình trịn tâm O bán kính Gọi A biến cố: chọn điểm khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ Suy A = ( x; y ) , x  + y2   −2  x  Trang 50 Với x =  y = 0; 1; 2  có điểm Với x = 1  y = 0; 1  có 2.3 = điểm Với x = 2  y =  có điểm Vậy  A = + + = 13  P ( A ) = 13 Chọn A 81 Câu 68: Số tam giác có đỉnh 18 điểm  = C183 − = 810 Gọi MN cạnh song song với BC hình vẽ Số tam giác có cạnh MN thỏa mãn yêu cầu là: tam giác PMN, QMN, Số tam giác thỏa mãn yêu cầu 4.9.6 = 216 Vậy xác suất cần tìm P = 216 = Chọn B 810 15 Câu 69: Số phần tử không gian mẫu  A = C23n Tam giác vuông chọn tam giác chứa cạnh đường kính đường tròn tâm O Đa giác 2n đỉnh chứa n đường chéo đường kính đường trịn tâm O, đường kính tạo nên 2n − tam giác vng Do số tam giác vng n ( 2n − ) = 2n ( n − 1) Xác suất chọn tam giác vuông P= 2n ( n − 1) 2n C = 2n ( n − 1) 2n ( n − 1) 3 = = =  n = 15 Chọn A 2n ( 2n − 1)( 2n − ) 2n − 29 ( 2n ) ! ( 2n − 3)!.3! Câu 70: Số phần tử không gian mẫu C163 Theo giả thiết, đa giác có 16 cạnh nên có 16 đỉnh có đường chéo qua tâm Cứ hai đường chéo qua tâm cho tam giác vuông Vậy số cách chọn tam giác vng có đỉnh đỉnh đa giác 4.C82 4.C82 Suy xác suất cần tìm P = = Chọn D C16 Câu 71: Số đường chéo đa giác 20 đỉnh C20 − 20 = 170 Chọn ngẫu nhiên đường chéo số 170 đường chéo có  = C170 Gọi A biến cố: “chọn hai đường chéo cắt giao điểm hai đường chéo nằm bên đường tròn” Trang 51 Cứ đỉnh 20 đỉnh có đường chéo cắt giao điểm hai đường chéo nằm bên đường trịn  A = C20 Vậy xác suất cần tìm P ( A ) = C20 57 = Chọn B C170 169 Câu 72: Trước hết xét toán phụ sau: Cho n điểm thẳng hàng A1, A2 , , An (theo thứ tự đó) Tính số cách chọn k điểm cho khơng có điểm có số thứ tự liên tiếp? Gọi x1 số điểm trước điểm chọn, x2 số điểm nằm điểm chọn điểm thứ hai chọn,… xk số điểm nằm điểm thứ k − chọn điểm k chọn, xk +1 số điểm sau điểm thứ k chọn x1 + x2 + + xk + xk +1 = n − k ( x1, xk +1  0, x2 , x3 , , xk  1) hay x1 + y2 + y3 + + yk + xk +1 = n − 2k + 1( x1, y2 , y3 , yk , yk +1  ) Số cách chọn số nghiệm khơng âm phương trình cuối Cnk−k +1 Trở lại tốn xét: Có trường hợp: TH1: Đỉnh A1 chọn: Khi đỉnh A2 A60 không chọn Ta xem 57 điểm lại (từ 3 A3 đến A59 thẳng hàng phải chọn thêm điểm Số cách C57 −3+1 = C55 TH2: Đỉnh A1 không chọn: Khi ta xem 59 điểm cịn lại thẳng hàng phải chọn điểm Số cách C56 Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn C55 + C564 = 393525 Xác suất cần tính P = 393525  80,7 Chọn D C604 Trang 52