107 đề hsg toán 8 thường tín 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,5 điểm) Cho biểu thức và a) Biết Tìm điều kiện của a để giá trị của biểu thức M được xác định b) Rút gọn biểu[.]

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN THƯỜNG TÍN

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (4,5 điểm) Cho biểu thức

1

a



3

3 2 1

a Q

a a a





 

a) Biết

P M

A



Tìm điều kiện của a để giá trị của biểu thức M được xác định b) Rút gọn biểu thức M

c) Tìm các giá trị của a để giá trị của biểu thức M cũng là số nguyên

d) Tính giá trị của biểu thức M biết 2

2 6 12 20 30 42 56 72

a        

Bài 2 (3,5 điểm)

a) Tìm x để A5Bvới 2

2

1

x A

x



 

1 1

x B x







b) Giải phương trình : x51929x x2 123859x3 x21 1936  x11580

Bài 3 (3,0 điểm) Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 4 vào

bên phải số đó thì ta được số P có 5 chữ số, nếu viết thêm chữ số 4 vào bên trái số đó ta được số Q có 5 chữ số và Q P 22221

Bài 4 (7,5 điểm)Cho hình thang ABCD AB CD CD AB / / &   Gọi trung điểm các đường chéo AC và BD lần lượt tại P và Q Gọi trung điểm của AB BC CD, , và DA lần lượt là

, , ,

R N S M

a) Chứng minh rằng RQSP là hình bình hành Các cạnh bên AD và BC của hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để RQSPlà hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ?

b) Chứng minh rằng PQ/ /ABvà 2

CD AB

PQ 

c) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD tại E cắt CN tại G Chứng minh rằng AB CG CD BG BC EG.  .  .

d) Biết

AE p

DE q Chứng minh rằng

pCD qAB EG

p q







Bài 5 (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng a b5 29ab5chia hết cho 30 với mọi số nguyên a và b

b) Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 28a2 b2 44ab 12a b  2033

Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại giá trị nào của a b,

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,5 điểm) Cho biểu thức

1

a



3

3 2 1

a Q

a a a





 

e) Biết

P M

A



Tìm điều kiện của a để giá trị của biểu thức M được xác định

Do

P

M

Q



nên M xác định khi P, Q xác định và Q khác 0

Vây M xác định khi a1;a0;a1

f) Rút gọn biểu thức M

2 3

1 1

g) Tìm các giá trị của a để giá trị của biểu thức M cũng là số nguyên

2

M

Để giá trị của biểu thức M là số nguyên thì 2a 1

a 1 U(2)  1; 2 a 1(ktm a), 0(ktm a); 2( );tm a 3( )tm

h) Tính giá trị của biểu thức M biết 2

2 6 12 20 30 42 56 72

a        

2

2

8 2 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 1 8

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9 9

2.3

3 1 9

2.( 3) 3 3

3 1 2

a

a



   





Bài 2 (3,5 điểm)

c) Tìm x để A5Bvới 2

2

1

x A

x



 

1 1

x B x







ĐKXĐ: x1;x1 Ta có A=5B

2

3 3

x x





  Quy đồng khử mẫu ta được phương trình :

     

4

3

x

x







 

 Vậy

1 4;

3

x x

d) Giải phương trình : x51929x x2 123859x3x21 1936  x11580

2

1929 3858 1929 3859 1 1936 11580

1929 1929 1 1936 11580

1929 1936 11580 0 1930 1930 6 11580 0

3

1930

x

x









 

 Vậy S   1930; 2;3 

Bài 3 (3,0 điểm) Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phải số đó thì ta được số P có 5 chữ số, nếu viết thêm chữ số 4 vào bên trái

số đó ta được số Q có 5 chữ số và Q P 22221

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số ấy là x x N  ;999 x 10000

Thêm chữ số 4 vào bên phải số đó ta được số P x 4 10 x4

Thêm chữ số 4 và bên trái số đó ta được số Q4x40000x

Theo bài ta có phương trình :

40 000x  10x4 22221 9x17775 x1975( )tm

Bài 4 (7,5 điểm)Cho hình thang ABCD AB CD CD AB / / &   Gọi trung điểm các đường chéo AC và BD lần lượt tại P và Q Gọi trung điểm của AB BC CD, , và DA lần lượt là R N S M, , ,

d F H G

N M

S

R

E

e) Chứng minh rằng RQSP là hình bình hành Các cạnh bên AD và BC của hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để RQSPlà hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ?

Áp dụng định lý về đường trung bình của tam giác đối với các tam giác BAD CAD, ta

có : RP AD/ / và

1

2

RP AD QS AD

và

1 2

QS  AD

/ /

RP QS

 và RP QS  RQSPlà hình bình hành

Hình bình hành RQSPtrở thành hình chữ nhật khi PRQ90  PRRQ ABBC Vậy AB và BC nằm trên hai đường thẳng vuôn góc với nhau thì RQSP là hình chữ nhật +Hình bình hành RQSPtrở thành hình thoi khi PR RQ  AB BC

Vậy AB BC thì RQSPlà hình thoi

+Hình bình hành RQSPtrở thành hình vuông khi PR RQ và PRQ90

,

AB BC AB BC

Vậy AB và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau và AB BC thì RQSP là hình vuông

f) Chứng minh rằng PQ/ /ABvà 2

CD AB

PQ 

MNlà đường trung bình của hình thang ABCD MN/ /AB

MPlà đường trung bình của BAD MP AB/ /

NQ là đường trung bình của BAC NQ/ /AB

Theo tiên đề Ơ clit thì 4 điểm R S N M, , , thẳng hàng nên PQ/ /AB

AB CD

là đường trung bình của hình thang ABCD)



2

AB

MP MP

là đường trung bình của BAD)

AB

NQ 

(NQ là đường trung bình BAC)

AB CD AB AB CD AB

g) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD tại E cắt CN tại G Chứng minh rằng AB CG CD BG BC EG.  .  .

Gọi giao điểm của đường thẳng d với BC và AC lần lượt là F và H

Vì d/ /MN/ /AB EF/ /AB HG; / /AB

Áp dụng hệ quả định lý Talet vào các tam giác BADvà CABta có :

AB CG BC HG

Tương tự vì d/ /AB CD/ / Áp dụng hệ quả định lý Talet ta có  4

CG CH DE

CB CA DA

Từ (1), (2), (4) suy ra

HG EF

HG EF

AB AB 

BG FG

BG CD BC FG

BC CD  Từ (3), (5) suy ra

AB CG CD BG BC HG BC FG

AB CG CD BG BC HG FG AB CG CD BG BC HG FH HG

AB CG CD BG BC EF FH HG AB CG CD BG BC EG

h) Biết

AE p

DE q.Chứng minh rằng

pCD qAB EG

p q







Do EG/ /AB CD/ / Áp dụng hệ quả định lý Talet vào CADta có :

.

ADCD AD mà

AE p

ED q

 

6

Áp dụng hệ quả định lý Talet vào tam giác CAD&CABta có :

AE AH BG p

ED HC CG q và .

AB CB  CB

Tương tự như trên ta tính được : .  7

CB p q  p q

Từ (6), (7) suy ra



Bài 5 (1,5 điểm)

c) Chứng minh rằng a b5 29ab5chia hết cho 30 với mọi số nguyên a và b

5 29 5 5 5 30 5

a b ab a b ab  ab

Ta có: a b ab5  5 a b ab ab ab5    5 ab a 41 ab b 41

Với mọi số nguyen a và b

Xét :

a a a là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 nên 5ab a 1 a 1 30

a a a a a là tích 5 số nguyên liên tiếp nên

a a a a a   ab a 4  1 30

Tương tự: ab b 41 30 & 30 ab530  a b5  29ab5 a b ab5  5  30ab5  30

Vậy a b5 29ab5chia hết cho 30 với mọi số nguyên a và b

a) Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức C28a2b2 44ab12a b 2033

Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại giá trị nào của a b,

2 2

2 2 2

Dấu bằng xảy ra

0

1

2 0

a b

a b

a b

 



  

 Vậy Min C2021 a b 1