Phát huy trí l c h c sinh trong gi i Toán b t đ ng th c và c c trự ọ ả ấ ẳ ứ ự ị PH N I PH N M Đ UẦ Ầ Ở Ầ I 1 LÝ DO CH N Đ TÀIỌ Ề Toán h c là b môn khoa h c trí tu cao nh t đ ng th i là chìa khoá mọ ộ[.]
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học là bộ mơn khoa học trí tuệ cao nhất đồng thời là chìa khố mở cửa, tạo nền cho tất cả các ngành khoa học khác. Song tốn học mà chúng ta đã, đang và tiếp tục nghiên cứu nó phần lớn trên cơ sở lý thuyết nhưng nó cũng đã góp phần nhiều cho thành tựu khoa học thực nghiệm như Lí học, Hố học, thiên văn học và Tin học Ngay từ thời kì tiền của lồi người, tốn học đã hình thành từ những vật cụ thể để đi đến phép đếm rồi so sánh. Trải qua qú trình lao động sáng tạo con người khơng những chiếm lĩnh khoa học ngày một hiện đại và sáng tạo, tìm ra những quy luật của các con số, phép tốn, cơng thức tốn học và cả những chân lý Ngày nay bộ mơn Tốn chiếm một ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là trong dạy học, học tập, nó địi hỏi ở người thầy giáo một sự lao dộng nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh học và giải các bài tốn, đó cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy giáo dạy Tốn Ai cũng biết rằng muốn giải tốn phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải các bài tốn đa dạng, gải các bài tốn một cách khoa học, kiên nhẫn và tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp sốcủa chúng. Như nhà tâm lí học, tốn học cổ Xơ Clat đã nói “Những hiểu biết mà ta thu được một cách khơng khó khăn thì sẽ khơng lâu bền, chúng ta chỉ (có thể do sự giúp từ bên ngồi) những gì mà ta tìm hiểu được cũng giống như cây cối chỉ sự dụng thứ nước do rễ của chúng hút được từ trong lịng đất” (Đối thoại tốn học). Để đạt được nhiệm vụ trong giảng dạy muốn vậy người thầy dạy tốn, học sinh phải kiên trì biết vận dụng kiến thức đã học trong nhiều tình huống khác nhau. Một bài tốn thường có Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị nhiều cách giải, mỗi bài tốn nằm trong mỗi dạng tốn khác nhau, nó địi hỏi phải vận dụng kiến thức đã học trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, do đó phải xếp bài tốn nào vào vấn đề nào là một việc rất khó, và cũng khó ở một số bài tốn được gặp ở hai hoặc nhiều vấn đề khác nhau Trong chương trình phổ thơng cấp 2 hiện nay các loại bài tập thật đa dạng, phong phú và khơng ít phức tạp, mà học sinh gặp khó khăn. Trong khn khổ của đề tài này, xin nêu một số phương pháp đề cập đến giải tốn về “Bất đẳng thức và cực trị”. Phải nói rằng các loại tốn này là khó, đa dạng mặc dù trong chương trình cấp 2 (từ lớp 8 9) đã đề cập song học sinh gặp nhiều bế tắc khi đứng trước loại tốn này I.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ mơn đại số nói chung. Rèn luyện khả năng tư duy, giúp học sinh có những hứng thú tốn học, khắc phục tình tạng thụ động, dập khn, máy móc trong q trình giải bài tập. Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức về bất đẳng thức bài tốn tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của một số dạng tốn thường gặp I.3. THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM I.3.1. THỜI GIAN Thời gian để tơi nghiên cứu đề tài là 2 năm I.3.2. ĐỊA ĐIỂM Địa điểm để thực nghiệm đề tài là học sinh các lớp khối 8 khối 9ủ trường THCS Mạo Khê II Đơng Triều Quảng Ninh I.4. ĐĨNG GĨP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Trong tình hình đổi mới sự nghiệp giáo dục, đặc biệt quan tâm tới những học sinh có năng khiếu, ham học tập, thì địi hỏi người thầy đặc biệt quan tâm, giúp đỡ các em về phương pháp giải tốn. Cũng các loại bài tập này Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị hiện nay hay được đề cập đến và trong các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp huyện thị trở lên, cũng có thể nói rằng loại tốn bất đẳng thức cực trị khơng chỉ ở trong bộ mơn đại số và cả trong hình học, khơng những trong lý thuyết tốn, mà có thể áp dụng trong thực tiễn Từ những vấn đề nêu trên, những khó khăn, tác dụng, u cầu của tốn học, đó cũng là lí do chính để chọn đề tài: Phát huy trí lực học sinh trong giải tốn “Bất đẳng thức cực trị” ở lớp 8 9 PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG II.1. CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN Nắm được định nghĩa bất đẳng thức, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đại số, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng. Nêu số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Một số dạng toán cực trị và phương pháp giải chúng II.2. CHƯƠNG 2 : NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU II.2.1. BẤT ĐẲNG THỨC Ta đều biết để so sánh hai số a, b R chỉ có thể xảy ra ba trường hợp: a > b a b > 0 a b+ m a, b, m II.2.1.2.2 a > b am > bm nếu m > 0 am c => a > c II.2.1.2.4 a > b và c > d => a + c> b + c II.2.1.2.5 a > b và ab > 0 => a b II.2.1.2.6 a > b > 0 và c > d > 0 => ac > bd II.2.1.2.7. a > b 0 và m Z+ => am > bm II.2.1.2.8. a > b 0 và n Z+ => n a n b Đó là những tính chất rất cơ bản cần trang bị cho học sinh khi tiếp nhận vấn đề này song các tính chất trên khơng có tính chất hai chiều Trong giải tập đòi hỏi việc biến đổi đồng hay tương đương là vơ cùng quan trọng, nó địi hỏi phải nắm kỹ kiến thức cơ bản và kĩ năng kĩ xảo. Cũng cần trang bị cho các em những vốn kiến thức cơ bản như chứng minh và cơng nhận những bất đẳng thức đúng để các em giải nhanh và góp phần cho sự tư duy để giải các bài tốn khó Ví dụ: Trong khi giải các bài tốn ta có thể lấy những bất đẳng thức đáng nhớ như: (a b)2 0 (a + b c + d +)2 0 Tổng quát hoá (a b + +)2k 0 Hoặc ai mà ai là những số dương => ai 0 Hoặc: trong biểu thức có tổng độ dài của các yếu tố về đoạn thẳng hoặc các tính chất về mối quan hệ cạnh (góc) của tam giác Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị II.2.1.3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng II.2.1.3.1. Dựa vào định nghĩa tức để chứng minh: A > B ta xét: A B nếu A B > 0 thì khẳng dịnh A > B là đúng Nếu A B B ta biến A > M; B > N rồi so sánh M với N: M > N => A > B Hoặc biến đổi tương đương dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức II.2.1.3.3. Dụa vào các bất đẳng thức đúng đã biết như các hằng đẳng thức đã nói ở (2) II.2.1.3.4. Dùng phép làm trội: thường chứng minh với bất đẳng thức là một dãy số. Tách dãy đó thành những nhóm có giá trị tổng đặc biệt nào đó theo một quy luật nhất định để tính được giá trị tổng gồm nhiều hạng tử Giả sử: M1 + M2 + M3 + +Mn > P Khi đó ta tính i k M i ; II.2.1.3.5. Dùng phép phản chứng để chứng minh: Để chứng minh A > B ta giả sử A B từ đó dẫn đến những điều trái giả thiết Ví dụ: Chứng mih: Giả sử: a2 b2 ab a2 b2 ab a2 b2 ( a b) Vậy a2 b2 2ab 0 (vơ lý) ab II.2.1.3.6. Dùng phép trung tốn (hay quy nạp tốn học) Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị II.2.1.3.7. Dùng phối hợp các phương pháp trên một cách hợp lí và lơgic Nói chung các bài tập về bất đẳng thức là rất đa dạng và khá phức tạp. Thơng thường những bài tốn vận dụng phương pháp dùng định nghĩa, phép biến đổi tương đương phản chứng đỡ khó khăn hơn và gần gũi với học sinh hơn hoặc kết hợp các phương pháp Bài tốn về bất đẳng thức thường là cho dưới dạng khi biết một số điều kiện nào đó hãy chứng minh một biểu thức, bất đẳng thức ở nhiều (hay đề cập) ở đại số song có cả ở trong hình học cũng thường gặp Việc giải bài tốn về bất đẳng thức là khó bởi lẽ đương nhiên ngồi kiến thức cơ bản liên quan tới bất đẳng thức, địi hỏi phải vận dụng một cách đúng đắn trong trường hợp nào cho phù hợp. Kĩ năng biến đổi tốt giúp cho trong khi giải đỡ dài dịng và tránh được những sai lầm góp phần cho sự tư duy, sáng tạo một cách chắc chắn II.2.1.4. Thực tiễn trong giải tốn và hướng dẫn (các ví dụ) II.2.1.4.1. Chứng minh rằng a > b > 0 thì a 2 > b2 Dùng định nghĩa để chứng minh: Xét a2 b2 = (a b) (a + b) Vì a > b => a b > 0 à a > b > 0 => a + b > 0 => (a b) (a + b) > 0 a2 b 2 > 0 a2 > b2 Như vậy trên cơ sở điều phải chứng minh dùng định nghĩa và kết hợp điều kiện cho biết để lí luận điều phải chứng minh Nếu ta thay đổi điều kiện ngược lại như sau: Nếu a > 0, b > 0 => a > b a2 > b2 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị đây nếu dùng định nghĩa việc chứng minh xét a b đến đây ta khơng thể biến đổi tiếp được, vì vậy ta khai thác điều kiện ta có: Vì a2 > b2 a2 b2 > 0 (a b) (a + b) > 0 Đến đây học sinh phải nắm được việc xét tích m.n > 0 m, n cùng dấu để vận dụng vào bài tốn Vì a > 0; b > 0 và => a + b > 0 mà (a b) (a + b) > 0 => a b > 0 a > b Trong những bước đầu hình thành kĩ năng cơ bản cho học sinh, giáo viên thường xun cho các em chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản, rồi sau khi đã chứng minh được thì cơng nhận chúng để vận dụng vào các bài tốn phức tạp hơn II.2.1.4.2. Chứng minh (a + b)2 4ab. Khi nào thì dấu bằng xảy ra? Dùng định nghĩa xét: (a + b)2 4ab a2 + b2 2ab = (a b)2 0 => Dấu bằng xảy ra khi a b = 0 a = b II.2.1.4.3. Cho a, b khơng âm. Chứng minh a b ab Với điều kiện của bài tốn a 0, b 0 nên ta có thể vận dụng: a = ( a )2; b = ( b )2 Dùng phép biến đổi tương đương ta có: a b ab a b Xét vế trái: VT ab a b ab a + b 2 ab = ( a b )2 0 nên => điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị Thơng qua bài tốn này giáo viên giới thiệu bất đẳng thức trên (bất đẳng thức Cơsi với 2 số khơng âm) Có thể giới thiệu cơng thức (định lí CơSi) Với 3 số khơng âm: a, b, c Ta ln có a + b + c 3 abc Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Tổng quát a1 + a2 + +an n n a1a a n với các ai (i = i, n ) khơng âm Cần nhấn mạnh điều kiện để có thể vận dụng được định lí Cơsi và với các số khơng âm * Chứng minh bất đẳng thức: (a +b + c) ( a b ) 9 với a, b, c > 0 c Cách 1: Xét (a +b + c) ( a b a ) = 1 + c b = 3 + ( a c a b b b a c b b ) ( a c c a c b c c ) ( b a a ) c Từ bất đẳng thứ đúng: (a b)2 0 ta có: a2 + b2 2ab Do a, b > 0 nên a.b > 0 ta có: ( a b b ) a b c c ) b => 3 + ( c a a ) c Tương tự: ( ( Hay (a +b + c) ( a b a b b b ) ( a c c c ) ( b a a ) c 9 ) 9 c Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức Cơsi với 3 số khơng âm: Ta có: a +b + c 3 abc a b c 33 abc Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II 10 Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị => (a +b + c) ( a b abc ) 9 = 9 c abc Rõ ràng vận dụng định lí Cơsi giải ngắn gọn hớn và cũng khơng phức tạp Trên cơ sở đó sử dụng kết quả 4.2.1 vận dụng vào bài tốn sau: x Chứng minh bất đẳng thức: y y z z z x x với x, y, z 0 y Dựa vào bất đẳng thức chứng minh trên ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y Rõ ràng a,b, c > 0 Ta có bất đẳng thức ( 1 y z z (x y z) ( x y z x z )( x y z z z z ).2 x x x x z x z x y y z y y x y x y y y 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z II.2.1.4.4. Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì x y Đối với bài tốn này ta khơng thể dùng trước định nghĩa hay biến đổi, áp dụng các bất đẳng thức khác mà ta phải xuất phát từ bất đẳng thức đúng nào đó Từ: x2 + y2 = 1 (*) và từ (x y)2 0 Ta có: x2 + y2 2xy => 2xy 1 (**) Cộng (*) với (**) ta có: x2 + 2xy + y2 2 (x + y)2 2 | x + y| hay Dấu bằng xảy ra x = y = x y 2 hoặc x = y = 2 * Chứng minh rằng nếu a + b = 2 thì a4 +b4 2 Xét a4 +b4 2 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II ... rõ gì hơn thì đó là một? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?đúng Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát? ?huy? ?trí? ?lực? ?học? ?sinh? ?trong? ?giải? ?Tốn? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?và? ?cực? ?trị Trong? ?khi? ?học? ?trong? ?chương trình thì? ?học? ?sinh? ?phải nắm thật vững, cơ ... Phát? ?huy? ?trí? ?lực? ?học? ?sinh? ?trong? ?giải? ?Tốn? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?và? ?cực? ?trị hiện nay hay được đề cập đến? ?và? ?trong? ?các kỳ thi? ?học? ?sinh? ?giỏi từ cấp? ?huy? ??n thị trở lên, cũng có thể nói rằng loại tốn? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?? ?cực? ?trị? ?khơng chỉ ở ... Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát? ?huy? ?trí? ?lực? ?học? ?sinh? ?trong? ?giải? ?Tốn? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?và? ?cực? ?trị Thơng qua bài tốn này giáo viên giới thiệu? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?trên (bất đẳng? ?thức? ?Cơsi với 2 số khơng âm)