KỲ THI THPT QUỐC GIA 2020 KHOÁ LUYỆN ĐỀ Câu Bài thi: MƠN TỐN ĐỀ SỐ 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, có cách chọn hai học sinh? B 91 A 45 Câu D C 14 u + u = 33 Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng thỏa mãn  Tìm số hạng đầu u1 công bội u2 + u6 = 66 q cấp số nhân B u1 = A u1 = 2, q = Câu Câu 33 ,q = 17 C u1 = 33 , p =2 17 D u1 = 3, q = Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 a2 bán kính đáy a Tính độ dài đường cao hình trụ A 4a B 2a C 3a D a Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x y' –∞ +∞ – + – +∞ y –∞ –∞ Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A ( −;2) Câu B ( −;0 ) Tính thể tích V khối lăng trụ đứng có diện tích đáy chiều cao h 12 B V = 96 A V = 32 Câu Nếu B 27 4 D V = 64 C D 1 27  f ( x ) dx =  f ( x ) dx = −1  f ( x ) dx B −10 A 10 Câu C V = 68 Nghiệm phương trình log x = A 27 Câu D ( −1; + ) C ( 0;1) D −8 C Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x y' –∞ – + +∞ +∞ – + +∞ y Giá trị cực đại hàm số cho A −1 B −2 C D Câu Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? y -1 O x -3 -4 A y = x − x B y = x − x − C y = − x + x − D y = x3 − 3x +  a3  Câu 10 Với a số thực dương tùy ý, log    27  A 3log3 a − B 3log3 a + C ( log3 a − 1) D 3log3 a + C − cos x + 3x2 + C D cos x + C C z = D z = 29 Câu 11 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x + 3x A − cos x + x + C B cos x + x + C Câu 12 Cho số phức z = − 2i Tính z A z = B z = Câu 13 Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điềm M (1;2; −3) lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ A (1;0;0) B (−1;2; −3) C (1; −2;3) D (0;2; −3) Câu 14 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x + y − z − 16 = Tìm tâm bán kính mặt cầu (S ) A I (2;1; −2), R = B I (2;1; −2), R = 13 C I (−2; −1;2), R = 13 D I (−2; −1;2), R = Câu 15 Phương trình mặt phẳng sau nhận véc tơ n = ( 2;1; −1) làm véc tơ pháp tuyến A 2x + y − z −1 = B 2x + y + z −1 = C 4x + y − z −1 = D −2x − y − z +1 = Câu 16 Trong không gian Oxyz , điểm sau thuộc đường thẳng d : A P(2;0; −2) B Q(1; −2; −1) C N (−1;3;2) x −1 y − z + = = −2 −1 D M (1;2;1) Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a Tìm số đo góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB ) A 45 B 30 C 60 Câu 18 Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu f  ( x ) sau: Số điểm cực tiểu hàm số f ( x ) D 90 A C B D Câu 19 Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = x + đoạn 1; 4 x Giá trị m + M A 65 B 16 C 49 D 10 Câu 20 Cho log a b = với a, b  , a  Khẳng định sau sai? B log a ( a 2b ) = A log a ( ab ) = C log a ( b ) = D log a ( ab ) = C ( 0;64 ) D ( 6; + ) Câu 21 Tập nghiệm bất phương trình 22 x  x+ B ( −;6 ) A ( 0;6) Câu 22 Cho hình nón có bán kính đáy Biết cắt hình nón cho mặt phảng qua trục, thiết diện thu tam giác Diện tích tồn phần hình nón cho A 50 B 25 C 75 D 5 Câu 23 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: x –∞ – + +∞ – 0 + +∞ +∞ Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = A Câu 24 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = A x − 8ln ( x + 5) + C D C B x −3 khoảng ( −5; + ) x+5 B x + 8ln ( x + 5) + C C x − ( x + 5) +C D x + ( x + 5) +C Câu 25 Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thức S = Ae nr ; A dân số năm lấy làm mốc tính, S số dân n năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2019 dân số nước In-Đô-Nê-Xi-a 272056300 người (Tính đến ngày 31/12 / 2019 ) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi 1.5% , dự báo dân số nước vào năm 2035 người (kết làm tròn đến hàng trăm)? A 345851300 B 445851300 C 395851300 D 545851300 Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác cạnh a , AB = 2a Thể tích khối lăng trụ cho A V = 3a B V = a2 12 C V = 3a Câu 27 Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = D a3 12 x + − x2 x + 2019 x − 2020 A B C Câu 28 Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d  D ) có đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề đúng? y x O A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu 29 Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên y y = x2 − x + y = x3 − x − x + −1 O A B x −1 1  (x  (x −1 −1 − x − x + ) dx −  ( x − x − x + ) dx 2  (x − x − x + 3) dx +  ( x − x + 1) dx 1 D 2  ( x − x − x + 3) dx −  ( x − x + 1) dx −1 C − x − x + ) dx −  ( − x + x + x − ) dx −1 z1 z2 Câu 30 Cho hai số phức z1 = − 3i z2 = + 2i Phần thực số phức A B −2 C D −11  1+ i  Câu 31 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z =   điểm đây? + i   A D ( 2;2) ( ) B C 1;3 1 3 C B  ;  2   D A ( 2; −2 ) Câu 32 Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a = (1; m; n ) , b = ( 3; −2; ) thỏa mãn a.b = 17 ( a, b ) = 60 Tính giá trị biểu thức S = m + n2 B 17 A 16 D 33 C 67 Câu 33 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 3) = Mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z + = theo đường trịn có bán kính A B D C Câu 34 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1;3;2) , B (1;2;1) , C ( 4;1;3) Mặt phẳng qua trọng tâm G tam giác ABC vng góc với đường thẳng AC có phương trình A 3x − y + z − = B 3x − y + z + = C 3x − y + z −12 = D 3x + y + z − = Câu 35 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( −1;2;3) , B ( 3;0;1) Vectơ vectơ pháp tuyến mặt phẳng trung trực đoạn AB ? B n2 = ( 4; 2; −2 ) A n1 = ( 2; 2; ) D n4 = ( 2; −1; −1) C n3 = ( 2; −1;1) Câu 36 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp số tự nhiên chia hết cho gồm ba chữ số Xác suất để số Chọn Chia hết cho A B 15 C D Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết AC = 3a, BD = 2a , SD = 2a SO vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng AB SD 21 a A B 21 a C 21 a D 21 a ln x Câu 38 Cho hàm số f ( x ) có f (1) = f  ( x ) = ln x + với x  Khi x x f ( x) ln x + dx A ln ( ln + 1) Câu 39 Cho hàm số f ( x ) = ln ( ln + 1) B C ln ( ln 2 + 3) D ln ( ln − ) x + 12 ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m để hàm x + m2 − số cho nghịch biến khoảng ( 2; +  ) ? A C B D Câu 40 Cho hình nón có góc đỉnh 120 Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng có diện tích Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho A 9 B 27 C 3 D 9 Câu 41 Cho x, y số thực dương thỏa mãn log9 x = log12 y = log16 ( x + y ) x −a + b = , với y a , b số nguyên dương Tính T = a + b2 B 26 A 25 D 23 C 24 Câu 42 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x − x + m đoạn 0; 2 Tổng tất phần tử S A B D −2 C Câu 43 Cho phương trình − (m + 5)3 + 3m + = ( m tham số thực) Tập hợp tất giá trị x x m để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 C 1;7 ) B (1;7 A (1;7 ) Câu 44 Cho hàm số f ( x ) liên tục D (1; + ) Biết x − cos x sin x + 2020 nguyên hàm e x f ( x ) Họ tất nguyên hàm hàm số e x f  ( x ) A 2sin2 x + sin x cos x − 2x + C B 2sin2 x − sin x cos x − 2x + 2020 + C C − cos x + sin x cos x + x − 2018 + C D − cos x + sin x + 2x + + C Câu 45 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau x –∞ – + +∞ – + +∞ +∞ Số nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) phương trình f ( + 2cos x ) − = A B C D Câu 46 Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x3 − 3x + ) A B C D 11 Câu 47 Có bao log nhiêu cặp số ( x, y ) thực ( thỏa mãn y nguyên dương ) 2 3x + 3x + y + = 22 x − x +1 − x + x + y ? 2x − x +1 A Câu 48 Cho B hàm số f ( x) C xác định D liên x2 f ( x ) + ( x −1) f ( x ) = xf  ( x ) −1 , với x  tục \ 0 thỏa mãn \ 0 đồng thời thỏa f (1) = −2 Tính  f ( x )dx A − ln −1 B − ln − C − ln − D − ln − 2 Câu 49 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A SBA = SCA = 900 , SA = a , góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A a3 54 B a3 C a3 27 D a3 81 ( ) ( ) Câu 50 Cho hàm số f ( x ) = x2 − x Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f f ( f ( x ) ) Hàm số g ( x ) = F ( x ) − 3x nghịch biến khoảng sau đây? ( ) A −2 2;1 − ( ) B −2;1 + ( ) C 2; D 0;1 + BẢNG ĐÁP ÁN B 26 C B 27 B Câu B 28 B B 29 C B 30 C A 31 A A 32 C A 33 B B 34 A 10 C 35 D 11 A 36 A 12 B 37 D 13 D 38 C 14 D 39 D 15 A 40 C 16 A 41 B 17 B 42 A 18 B 43 B 19 B 44 A 20 D 45 B 21 B 46 C 22 C 47 D 23 A 48 B 24 A 49 A 25 A 50 D HƯỚNG DẪN GIẢI Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, có cách chọn hai học sinh? A 45 B 91 D C 14 Lời giải Chọn B Mỗi cách chọn học sinh từ 14 học sinh tổ hợp chập 14 học sinh Vậy số cách chọn C142 = 91 cách Câu u + u = 33 Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng thỏa mãn  Tìm số hạng đầu u1 công bội u2 + u6 = 66 q cấp số nhân B u1 = A u1 = 2, q = 33 ,q = 17 C u1 = 33 , p =2 17 D u1 = 3, q = Lời giải Chọn B Áp dụng công thức un = q n −1.u1 với n  2, n  u1 + u1.q = 33 u1 (1 + q ) = 33 (1) u1 + u5 = 33   Ta có  u1q + u1q = 66 u1q (1 + q ) = 66 (2) u2 + u6 = 66 Lấy (2) chia (1) ta Câu u1q(1 + q ) 66 33 =  q = Thay q = vào (1) ta u1 = u1 (1 + q ) 33 17 Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 a2 bán kính đáy a Tính độ dài đường cao hình trụ A 4a B 2a C 3a D a Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2 Rh Theo đề ta có 4 a2 = 2 Rh  h = 2a Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x y' –∞ +∞ – + +∞ – y –∞ Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? –∞ A ( −;2) B ( −;0 ) D ( −1; + ) C ( 0;1) Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho nghịch biến khoảng ( −;0 ) (1;+ ) Câu Tính thể tích V khối lăng trụ đứng có diện tích đáy chiều cao h 12 D V = 64 C V = 68 B V = 96 A V = 32 Lời giải Chọn B Áp dụng cơng thức tính thể tích khối lăng trụ ta V = 8.12 = 96 Câu Nghiệm phương trình log x = A 27 B 27 C D 27 Lời giải Chọn A Điều kiện x  Khi log x =  x = 33 = 27 Câu Nếu 4 3  f ( x ) dx =  f ( x ) dx = −1  f ( x ) dx B −10 A 10 D −8 C Lời giải Chọn A Ta có  Câu 4 4 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = − (−1) = 10 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x y' –∞ – + +∞ – + +∞ +∞ y Giá trị cực đại hàm số cho A −1 B −2 C D Lời giải Chọn A Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại hàm số yCÐ = −1 Câu Vậy chọn đáp án A Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? y O -1 x -3 -4 A y = x − x C y = − x + x − D y = x3 − 3x + B y = x − x − Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy: y ( ) = −3  loại A,D y (1) = −4  loại C, Chọn B  a3  Câu 10 Với a số thực dương tùy ý, log    27  A 3log3 a − C ( log3 a − 1) B 3log3 a + D 3log3 a + Lời giải Chọn C  a3  Ta có log3   = log3 a3 − log3 27 = 3log3 a − = ( log3 a −1)  27  Câu 11 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x + 3x A − cos x + x + C B cos x + x + C C − cos x + 3x2 + C Lời giải D cos x + C Chọn A Ta có:  f ( x ) dx =  ( sin x + 3x ) dx = − cos x + x +C Câu 12 Cho số phức z = − 2i Tính z A z = B z = C z = D z = 29 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có: z = + 2i  z = Cách 2: Ta có: z = z = ( 5) ( ) + 22 = = + ( −2) = = Câu 13 Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điềm M (1;2; −3) lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ   f (1) = 10  Có  f ( 3) =  y = = m max y = 10 = M 1; 4 1; 4  25  f ( 4) =  Vậy m + M = 16 Câu 20 Cho log a b = với a, b  , a  Khẳng định sau sai? A log a ( ab ) = C log a ( b ) = B log a ( a 2b ) = D log a ( ab ) = Lời giải Chọn D Ta có log a ( ab ) = log a a + log a b = + log a b = + 2.2 = nên log a ( ab ) = đáp án sai Câu 21 Tập nghiệm bất phương trình 22 x  x+ A ( 0;6) C ( 0;64 ) B ( −;6 ) D ( 6; + ) Lời giải Chọn B Ta có 22 x  2x+6  2x  x +  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;6 ) Câu 22 Cho hình nón có bán kính đáy Biết cắt hình nón cho mặt phảng qua trục, thiết diện thu tam giác Diện tích tồn phần hình nón cho A 50 B 25 C 75 D 5 Lời giải Chọn C S A B Do bán kính đáy hình nón R = thiết diện hình nón bị cắt mặt phẳng qua trục tam giác nên độ dài đường sinh hình nón l = 2R = 10  Stp =  Rl +  R2 = 50 + 25 = 75 Vậy Chọn C Câu 23 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: –∞ x – + +∞ – +∞ + +∞ Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = A C B D Lời giải Chọn A Ta có f ( x ) − =  f ( x ) =  f ( x ) = Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị y = f ( x ) đường thẳng y = Vậy phương trình có nghiệm thực phân biệt x −3 khoảng ( −5; + ) x+5 8 B x + 8ln ( x + 5) + C C x − D x + +C +C 2 ( x + 5) ( x + 5) Câu 24 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = A x − 8ln ( x + 5) + C Lời giải Chọn A Ta có: x −3  f ( x ) dx =  x + 5dx =  x +5−8   dx =  1 − dx = x − 8ln x + + C x+5  x+5 = x − 8ln ( x + 5) + C (vì x  ( −5; + ) ) Câu 25 Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thức S = Ae nr ; A dân số năm lấy làm mốc tính, S số dân n năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2019 dân số nước In-Đơ-Nê-Xi-a 272056300 người (Tính đến ngày 31/12 / 2019 ) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi 1.5% , dự báo dân số nước vào năm 2035 người (kết làm tròn đến hàng trăm)? A 345851300 C 395851300 B 445851300 D 545851300 Lời giải Chọn A Ta có S = Ae nr thay số với A = 272056300 , n = 2035 − 2019 = 16 , r = 1.5% Ta số dân In-Đô-Nê-Xi-a vào năm 2035 S = 272056300.e16.1,5 = 345851340, 2145852 Vì kết làm tròn đến hàng trăm nên S = 345851300 (Người) Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác cạnh a , AB = 2a Thể tích khối lăng trụ cho A V = 3a B V = a2 12 C V = 3a D a3 12 Lời giải Chọn C 3.a Diện tích đáy là: SABC = Tam giác AA ' B ' vuông A ' nên ta có: AA ' = AB '2 − A ' B '2 = a a2 3a3 a = 4 Thể tích lăng trụ là: V = B.h = AA '.SABC = Chọn đáp án C Câu 27 Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A C B x + − x2 x + 2019 x − 2020 D Lời giải Chọn B Hàm số y = x + − x2 có điều kiện xác định là: x + 2019 x − 2020 −2  x   − x    x   x   −2; 2 \ 1   x + 2019 x − 2020   x  −2020  • Từ điều kiện xác định suy không tồn lim y lim y , đồ thị hàm số khơng có x →+ x →− tiệm cận ngang • Ta có lim+ y = lim+ x →1 x →1 x + − x2 x + − x2 = − = + lim− y = lim− x →1 x →1 ( x − 1)( x + 2020 ) ( x − 1)( x + 2020 ) Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Kết luận: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu 28 Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d  ) có đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề đúng? y x O A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải Chọn B Từ đồ thị ta có lim y = +  a  x →+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm có tung độ dương nên d  Gọi x1 , x2 hoành độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi x1 , x2 nghiệm phương trinh y ' =  3ax + 2bx + c = Suy x1 x2 = c  0c  3a Điểm uốn đồ thị hàm số nằm bên phải trục Oy  −b  0b  3a Kết luận a  0, d  0, b  0, c  Câu 29 Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên y y = x2 − x + y = x3 − x − x + −1 O A  (x  (x − x − x + 3) dx +  ( x − x + 1) dx 1 −1 D − x − x + 3) dx −  ( x − x + 1) dx 2 −1 C x 1  (x 2 −1 B − x − x + ) dx −  ( x − x − x + ) dx 2 −1 −1 3  ( x − x − x + ) dx −  ( − x + x + x − ) dx Lời giải Chọn C Theo hình vẽ đường cong: y = x3 − x − x + ; y = x − x + cắt điểm có hồnh độ lầnlượt là: x = −1 ; x = ; x = Ta có diện tích hình phẳng bị giới hạn đường cong là: 2  (x −1  −1 − x − x + 3) − ( x − x + 1) dx =  ( x3 − x − x + ) dx −1 2 −1 ( x3 − x2 − x + ) dx +  ( x3 − x − x + ) dx =  ( x3 − x2 − x + ) dx −  ( x3 − x − x + ) dx z1 z2 Câu 30 Cho hai số phức z1 = − 3i z2 = + 2i Phần thực số phức A B −2 C D −11 Lời giải Chọn C z1 − 3i (4 − 3i )(1 + 2i) 10 + 5i = = = = 2+i z2 − 2i (1 − 2i )(1 + 2i) Ta có z2 = + 2i nên z2 = − 2i Suy Vậy phần thực số phức z1 z2  1+ i  Câu 31 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z =   điểm đây? + i   ( A D ( 2;2) 1 3 C B  ;  2  ) B C 1;3 D A ( 2; −2 ) Lời giải Chọn A Ta có z = + 3i + 9i + 3i = = + 2i Vậy điểm biểu diễn z D ( 2;2) + 3i + 3i + i 1− i Câu 32 Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a = (1; m; n ) , b = ( 3; −2; ) thỏa mãn a.b = 17 ( a, b ) = 60 Tính giá trị biểu thức S = m + n2 B 17 A 16 D 33 C 67 Lời giải Chọn C ( ) a.b Ta có a.b = a b cos a, b  a = ( ) b cos a, b = 17 17 = 17  + m2 + n2 = 68  m2 + n2 = 67 Câu 33 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 3) = Mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z + = theo đường trịn có bán kính A B C D Lời giải Chọn B Mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 3) = có tâm I ( 0;0; − 3) bán kính R = Ta có d = d ( I , ( P ) ) = 2.0 − − 2.3 + +1+ = Khi bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (S ) mặt phẳng ( P) r = R2 − d = Câu 34 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1;3;2) , B (1;2;1) , C ( 4;1;3) Mặt phẳng qua trọng tâm G tam giác ABC vng góc với đường thẳng AC có phương trình A 3x − y + z − = B 3x − y + z + = C 3x − y + z −12 = D 3x + y + z − = Lời giải Chọn A Ta có tọa độ điểm G ( 2;2;2 ) AC = ( 3; −2;1) Vì mặt phẳng ( ) cần tìm vng góc với đường thẳng AC nên mặt phẳng ( ) có véctơ pháp tuyến n = ( 3; −2;1) Mặt phẳng ( ) qua G ( 2;2;2 ) nhận n = ( 3; −2;1) làm véctơ pháp tuyến, có phương trình ( x − ) − ( y − ) + z − =  3x − y + z − = Câu 35 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( −1;2;3) , B ( 3;0;1) Vectơ vectơ pháp tuyến mặt phẳng trung trực đoạn AB ? A n1 = ( 2; 2; ) C n3 = ( 2; −1;1) B n2 = ( 4; 2; −2 ) D n4 = ( 2; −1; −1) Lời giải Chọn D AB = ( 4; −2; −2 ) = ( 2; −1; −1) Vậy vectơ pháp tuyến mặt phẳng trung trực đoạn AB n4 = ( 2; −1; −1) Câu 36 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp số tự nhiên chia hết cho gồm ba chữ số Xác suất để số Chọn Chia hết cho A B 15 C D Lời giải Chọn A 999 − 102 + = 300  n (  ) = 300 + Số chia hết cho đồng thời chia hết cho số chia hết cho 15, có tất + Số số gồm ba chữ số chia hết cho là: số 990 − 105 60 + = 60 Vậy xác suất để lấy số chia hết cho p = = 15 300 Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết AC = 3a, BD = 2a , SD = 2a SO vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng AB SD A 21 a B 21 a C Lời giải 21 a D 21 a Chọn D S A D O B C +) Ta có AB // CD  AB // ( SCD )  d ( AB, SD ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d (O, ( SCD ) ) (do O trung điểm AC ) +) Do tứ giác ABCD hình thoi tâm O nên AC ⊥ BD OC = AC BD = 3a, OD = = a 2 Tam giác SOD vng O (vì SO ⊥ ( ABCD ) )  SO = SD2 − OD2 = 2a2 − a2 = a +) Xét tứ diện OSCD có OS , OC, OD đơi vng góc với O nên tứ diện OSCD vuông O Do đó: 1 1 1 = + + = 2+ 2+ 2= 2 2 OC OD a 3a a 3a d ( O, ( SCD ) ) OS  d ( O, ( SCD ) ) = 21 21 a  d ( AB, SD ) = a 7 ln x Câu 38 Cho hàm số f ( x ) có f (1) = f  ( x ) = ln x + với x  Khi x x f ( x) ln x + A ln ( ln + 1) ln ( ln + 1) B C ln ( ln 2 + 3) Lời giải Chọn C Xét Đặt  f  ( x ).dx =  ln x + lnx dx x ln x + = t  ln x = t −  Suy ra:  lnx dx = t.dt x t3 f  ( x ) dx =  t.tdt = + C = Vì vậy: f ( x ) = ( ln x + 1) 3 +C ( ln x + 1) 3 +C D ln ( ln − ) dx 1 Do f (1) =  + C =  C = Suy ra: f ( x ) = 3 Vậy x f ( x) (ln x + 1)3 ln x + dx =  3x ln x + ( ln x + 1) 3 ln x + 1 dx =  ( ln x + 1) d (ln x) 3x 31 2 dx =  11 11   ln ( ln + 3) =  ln x + ln x  =  ln + ln  = 3 1 3  2 Câu 39 Cho hàm số f ( x ) = x + 12 ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m để hàm x + m2 − số cho nghịch biến khoảng ( 2; +  ) ? A C B D Lời giải Chọn D Hàm số có tập xác định D = Ta có f  ( x ) = 2m2 − 18 ( x + m − 3) \ −m + 3  f  ( x )  x  ( 2; +  ) Hàm số nghịch biến ( 2; +  )   − m +  2m − 18   −3  m  −1   m  1  m  Do m nhận giá trị nguyên nên m−2; − 1;1;2 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn toán Câu 40 Cho hình nón có góc đỉnh 1200 Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng có diện tích Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho A 9 B 27 C 3 Lời giải Chọn C S A O B D 9 Gọi đỉnh hình nón S , O tâm đáy Mặt phẳng qua đỉnh cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAB tam giác SAB vng cân S Ta có SSAB = 1 SA.SB = SA2 =  SA = 2 Xét tam giác OSA vng O , góc OSA = 600 nên SO = 3, OA = Vậy hình nón cho có: + Chiều cao h = SO = + Bán kính đáy R = OA = 1 Vậy thể tích khối nón giới hạn hình nón cho V =  R h =  = 3 3 Câu 41 Cho x, y số thực dương thỏa mãn log9 x = log12 y = log16 ( x + y ) x −a + b = , với a , b y số nguyên dương Tính T = a + b2 B 26 A 25 C 24 D 23 Lời giải Chọn B  x = 9t ; y = 12t +) Đặt log9 x = log12 y = log16 ( x + y ) = t Suy  t  x + y = 16 +) Do đó:  t −1 −   = t t 2t t t 4    12   3  3   −1 + t t t + 12 = 16    +   =    +   − =      =  t −1 +  16   16   4  4  4   =   x 9t   −1 + +) Khi = t =   = suy a = 1, b = Vậy T = a + b2 = + 52 = 26 y 12   t Câu 42 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x − x + m đoạn  0; 2 Tổng tất phần tử S B A C Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( x ) = x2 − x + m hàm số liên tục đoạn 0; 2 Ta có: f  ( x ) = x − f  ( x ) =  x = f ( 0) = m ; f (1) = m −1; f ( 2) = m  max f ( x ) = max m − 1; m 0;2  max y = max f ( x ) = max  m − ; m  = 0;2 0;2 D −2 m = TH1: m =    m = −3 Nếu m = max y = max 2;3 = (thỏa mãn) 0;2 Nếu m = −3 max y = max 4;3 = (loại) 0;2 m = TH2: m − =    m = −2 Nếu m = max y = max 3; 4 = (loại) 0;2 Nếu m = −2 max y = max 2;3 = (thỏa mãn) 0;2 Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn u cầu tốn Khi tổng là: + (−2) = Câu 43 Cho phương trình x − (m + 5)3x + 3m + = ( m tham số thực) Tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 A (1;7 ) B (1;7 C 1;7 ) D (1; + ) Lời giải Chọn B x − (m + 5)3x + 3m + = 3 x =  3x ( 3x − 3) − ( m + ) ( 3x − 3) =  ( 3x − 3)( 3x − m − ) =   x = m +  3x =  x = thỏa mãn x 1;2 Mặt khác: x 1;2  3x  3;9 Vậy để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn Câu 44 1; 2  m +    m  Cho hàm số f ( x ) liên tục Biết x − cos x sin x + 2020 nguyên hàm e x f ( x ) Họ tất nguyên hàm hàm số e x f  ( x ) A 2sin2 x + sin x cos x − 2x + C B 2sin2 x − sin x cos x − 2x + 2020 + C C − cos x + sin x cos x + x − 2018 + C D − cos x + sin x + 2x + + C Lời giải Chọn A Theo giả thiết ( x − cos x sin x + 2020 ) = e x f ( x )  e x f ( x ) = − cos x Xét I =  e x f  ( x ) dx u = e x du = e x dx  Đặt  dv = f  ( x ) dx v = f ( x ) I = e x f ( x ) −  e x f ( x ) dx = − cos x −  ( − cos x ) dx = − cos x − x + sin x −1 + C I = − cos x − x + sin x − + C = 2sin x + sin x cos x − x + C Câu 45 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau x –∞ – + +∞ – + +∞ +∞ Số nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) phương trình f ( + 2cos x ) − = A B C D Lời giải Chọn B Ta có −1  cos x    + 2cos x  , x  ta suy nên từ bảng biến thiên hàm số f ( x ) f ( + 2cos x ) − =  f ( + 2cos x ) = a−2  cos x =  ( −1;0 )  cos x = b −  ( 0;1)   + cos x = a  ( 0; )   + cos x = b  ( 2; ) (1) ( 2) • Phương trình (1) có nghiệm x1 thuộc khoảng ( 0;  ) • Phương trình ( 2) có nghiệm x2 thuộc khoảng ( 0;  ) Hai nghiệm x1 , x2 phân biệt Vậy số nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) phương trình f ( + 2cos x ) − = nghiệm Câu 46 Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x3 − 3x + ) A Chọn C B C Lời giải D 11  x = a  −2  Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy f  ( x ) =   x = b  ( −2; )  x = c  Xét hàm số g ( x ) = f ( x3 − 3x + ) Ta có g  ( x ) = ( 3x − x ) f  ( x3 − 3x + ) x =  x =  3 x − x =  x − 3x + = a  −2   g ( x ) =   x − 3x + = b  ( −2; )  f  ( x − 3x + ) =   x3 − 3x + = c   (1) ( 2) ( 3) Xét hàm số h ( x ) = x3 − 3x2 + Ta có h ( x ) = 3x2 − x x = h ( x ) =   x = Bảng biến thiên hàm số h ( x ) sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (1) có nghiệm x1  Phương trình (2) có nghiệm x2  ,  x3  , x4  Phương trình (3) có nghiệm x5  Mặt khác, nghiệm khơng trùng Vậy phương trình g  ( x ) = có nghiệm đơn Suy hàm số g ( x ) = f ( x3 − 3x + ) có điểm cực trị Câu 47 Có log cặp số ( ( x, y ) thực thỏa mãn y nguyên ) 2 3x + 3x + y + = 22 x − x +1 − x + x + y ? 2x − x +1 A B Chọn D Điều kiện: 3x + 3x + y +  (1) Ta có: C Lời giải D dương log ( 2 3x + 3x + y + = 22 x − x +1 − x + x + y 2x − x +1 )  log ( 3x + 3x + y + 1) − log ( x − x + 1) = 22 x  log ( 3x + 3x + y + 1) + 23 x + x + y +1 − x +1 − 23 x + x + y +1 = log ( x − x + 1) + 22 x − x +1 ( *) Xét f ( t ) = log t + 2t hàm số đồng biến ( 0; + ) Do đó: (*)  f ( 3x + 3x + y + 1) = f ( x − x + 1)  3x + 3x + y + = x − x + (2)  x + x + y = (**) Điều kiện (1) thỏa mãn ( 2) Vì để tồn ( x, y ) thỏa mãn yêu cầu (**) có nghiệm Khi ta − y   y  Do y nguyên dương nên y 1;2;3;4 Chú ý với y = 1, 2,3 cho hai nghiệm x , với y = cho nghiệm x = −2 Ta có cặp ( x, y ) thỏa mãn yêu cầu toán Câu 48 Cho hàm f ( x) số xác định liên x2 f ( x ) + ( x −1) f ( x ) = xf ' ( x ) −1 , với x  tục \ 0 thỏa mãn \ 0 đồng thời thỏa f (1) = −2 Tính  f ( x )dx A − ln −1 B − ln − C − ln − Lời giải D − ln − 2 Chọn B Ta có x f ( x ) + xf ( x ) + = xf  ( x ) + f ( x )  ( xf ( x ) + 1) = ( xf ( x ) + 1) Do ( xf ( x ) + 1) ( xf ( x ) + 1) xf ( x ) + 1) ( =1  dx =  1dx  − = x+C xf ( x ) + ( xf ( x ) + 1) Mặt khác f (1) = −2 nên −2 + = − Vậy   f ( x )dx =   − x 1  xf ( x ) + = − x+c 1 1  c =  xf ( x ) + = −  f ( x ) = − − 1+ c x x x 1 1  − dx =  − ln x +  |12 = − ln − x x  Câu 49 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A SBA = SCA = 900 , SA = a , góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A a3 54 B a3 C Lời giải Chọn A a3 27 D a3 81 S I A C M B Đặt AB = AC = x ; gọi M trung điểm BC Tam giác ABC vuông cân A nên BC = x Do ABC vuông cân A , SAB, SAC vuông B, C nên SAB = SAC Do kẻ BI ⊥ SA ( I  SA) CI ⊥ SA , từ ta SA ⊥ mp ( IBC ) , góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) góc hai đường thẳng BI , CI TH : BIC = 600  BIM = 300 IB = IC  Do BM = Tam giác vuông IBM M, x BM x  BI = = = x  x = AB (vô lý BIA vuông I ) sin 30 TH2: BIC = 1200  BIM = 600 Tương tự ta tính BI = BM x x ; IM = = sin 60 o SAB vuông B đường cao BI nên AB = AI AS  AI = x4 x = a − x2 a a o AIB vuông I nên BI = AB − AI = x −  x2 a x a x a a  IM = a − x2 = ; BC = x= a 3 1 1 a a a3  VS ABC = VS IBC + VA.IBC = SIBC ( SI + IA) = IM BC.SA = a = 3 6 54 ( ) ( ) Câu 50 Cho hàm số f ( x ) = x2 − x Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f f ( f ( x ) ) Hàm số g ( x ) = F ( x ) − 3x nghịch biến khoảng sau đây? ( ) A −2 2;1 − ( ) B −2;1 + ( ) C 2; Lời giải Chọn D ( ) Ta có g  ( x ) = f f ( f ( x ) ) − ( ) Trước hết ta tìm nghiệm phương trình f f ( f ( x ) ) − = D 0;1 + a = Đặt a = f ( f ( x ) ) , phương trình trở thành: f ( a ) =  a − 2a − =    a = −1 a = 3: Với Suy f ( f ( x )) = Ta đặt b = f ( x)  f ( x) = b =  f ( b ) =  b2 − 2b =  b2 − 2b − =    b = −1  f ( x ) = −1 Với a = −1 Suy f ( f ( x ) ) = −1 Ta đặt b = f ( x )  f ( b ) = −1  b2 − 2b = −1  ( b − 1) =  ( f ( x ) − 1) = 2 Vậy ta được: ( ) g  ( x ) = f f ( f ( x ) ) − = ( f ( x ) − 3) ( f ( x ) + 1) ( f ( x ) − 1) = ( x − x − 3)( x − x + 1)( x − x − 1) 2  x = 1  g  ( x ) =   x =  (chú ý nghiệm x =  x = nghiệm bội chẵn) x =  Bảng xét dấu g  ( x ) –∞ x +∞ + – + Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số g ( x ) nghịch biến ( −1;3) Cách 2: ( ) Ta có g  ( x ) = f f ( f ( x ) ) − ( ) g ( x )   f f ( f ( x ))  Theo đề ta có f ( x ) = x2 − x  f ( x )  −1, x  ( f ( x )   −1  x  ) Vậy f f ( f ( x ) )   −1  f ( f ( x ) )   −1  f ( x )   −1  x  Bên cạnh g  ( x ) hàm đa thức nên g  ( x ) = hữu hạn điểm Vậy g ( x ) nghịch biến ( −1;3) ... Biết x − cos x sin x + 2020 nguyên hàm e x f ( x ) Họ tất nguyên hàm hàm số e x f  ( x ) A 2sin2 x + sin x cos x − 2x + C B 2sin2 x − sin x cos x − 2x + 2020 + C C − cos x + sin x cos x +... Biết x − cos x sin x + 2020 nguyên hàm e x f ( x ) Họ tất nguyên hàm hàm số e x f  ( x ) A 2sin2 x + sin x cos x − 2x + C B 2sin2 x − sin x cos x − 2x + 2020 + C C − cos x + sin x cos x +... trình f ( + 2cos x ) − = A B C D Lời giải Chọn B Ta có −1  cos x    + 2cos x  , x  ta suy nên từ bảng biến thi? ?n hàm số f ( x ) f ( + 2cos x ) − =  f ( + 2cos x ) = a−2  cos x = 