CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết dạng phương trình lượng giác thường gặp cách giải  Kĩ + Biết áp dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác + Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào trường hợp I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỀ BÀI Sử dụng cơng thức biến đổi lượng giác phương trình lượng giác dạng phương trình lượng giác Đưa phương trình tích thường gặp đánh giá bất đẳng thức, hàm số a sin x  b cos x  c phương trình lượng giác a sin x  b sin x cos x  c cos x  d a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  a  tan x  cot x   b  tan x  cot x   c  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình Phương pháp giải a sin x  b cos x  c Ví dụ: Giải phương trình  a, b   \ 0 sin x  cos x  Hướng dẫn giải Để giải phương trình có dạng trên, ta thực theo bước sau Bước Kiểm tra - Nếu a  b  c phương trình vơ nghiệm   Trang   - Nếu a  b  c phương trình có nghiệm, ta thực tiếp Bước Bước Chia hai vế phương trình cho Ta có a  b  ta a  b c sin x  cos x    sin x  cos x   sin  3x    2 6  **   2 k 2 a  b2  x    k 2  k     x    k   a b Đặt  cos ;  sin , a2  b2 a2  b2 Vậy phương trình cho có nghiệm phương trình (**) trở thành a b 2 sin x  a b 2 cos x  sin x.cos   cos x.sin   c x a2  b2  sin  x     Phương trình sin  x     c a  b2 2 k 2   k   c a  b2 phương trình lượng giác dạng nên dễ dàng giải Một số dạng mở rộng: a sin u  b cos u  a  b sin v   a a b 2 sin u  b a  b2 cos u  sin v  sin  u     sin v a sin u  b cos u  a  b cos v   a a b 2 sin u  b a  b2 cos u  cos v  cos  u     cos v a sin u  b cos u  a sin v  b cos v với a  b  a2  b2   sin  u     sin  v    Dạng đặc biệt:  1) sin x  cos x   x    k   k    2) sin x  cos x   x  TOANMATH.com   k  k   Trang   Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sin x  cos x   sin x  cos x Hướng dẫn giải Ta có sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x cos x   cos x  1   sin x  cos x   sin x  cos x  1  cos x  cos x    sin x  cos x  1   cos x  1 cos x  3    cos x  1 2sin x  cos x  3    cos x   x    k 2  k        2sin x  cos x  3 Xét phương trình 2sin x  cos x  3; có 22  22    3 nên vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x     k 2  k    Ví dụ Giải phương trình 3sin 3x  cos x   4sin 3x Hướng dẫn giải Ta có 3sin 3x  cos x   4sin 3x   3sin 3x  4sin 3 x   cos x   2  x  k     18  sin x  cos x   sin  x    sin    k   3   x    k 2  54 Vậy phương trình có nghiệm x   2 7 2 k ,x  k  k   18 54 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình sin x  cos x  có nghiệm  x    k 2 , k   A   x    k 2  2   x    k 2 B  , k    x    k 2    x   k 2  C , k    x k       x  k 2 , k   D   x    k 2  Câu 2: Phương trình sin x  cos x  có nghiệm âm lớn A  TOANMATH.com B  C 5 D 5 Trang   Câu 3: Nghiệm phương trình sin x  cos x   x  k 2 B   k    x    k 2  A x  k 2  k    C x     x   k 2 D   k    x     k 2    k 2  k    Câu 4: Số nghiệm phương trình sin x  cos x  khoảng  0;   A B C D Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sin x  m cos x  vô nghiệm  m  4 A  m  B m  C m  4 D 4  m  Câu 6: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  có nghiệm A m  Câu 7: Phương trình B 4  m  C m  34  m  4 D  m  sin x  cos x  1 tương đương với phương trình sau đây?   A sin  x     6     B sin  x     6    C sin  x     6    D sin  x    6  Câu 8: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm? A sin x  B D cot x  cot x   C 2sin x  3cos x  Câu 9: Cho phương trình 1 cos x  cos x  sin x  đoạn  0;  Chọn câu trả lời A Phương trình có nghiệm x   3 ;x  4 B Phương trình có nghiệm x  5 12 C Phương trình có nghiệm x  3 4 ;x  7 D Phương trình có nghiệm x  2 Câu 10: Phương trình sin x  cos x   sin x  cos8 x  có nghiệm  x  A  x     k , k     k TOANMATH.com  x  B  x     k , k     k Trang      x   k , k   C  x    k   12  x  D  x     k , k     k Câu 11: Phương trình sau vơ nghiệm? sin x  cos x  A B 3sin x  cos x   C sin x  cos sin x  cos x  3 D  5   Câu 12: Số nghiệm phương trình sin x  cos x  thuộc đoạn   ;   2 A B C D Câu 13: Phương trình cos x  sin x   có họ nghiệm 5 2   x  84  k A  , k    x  11  k 2  84 5 2   x  84  k B  , k    x  11  k 2  84  2   x  84  k C  , k    x    k 2  84  x  D  x   5 2 k 84 , k   11 2 k 84 Câu 14: Phương trình sin x  cos x  có nghiệm dương nhỏ A 2 B 5 C  D   Câu 15: Phương trình tan x  sin x  cos x   cos x    có nghiệm dương nhỏ cos x   A  B  C  D Câu 16: Nghiệm phương trình sin x  cos x  1 với k   A x  k 2  x    k 2 B   x     k 2   C x   k 2    x   k 2 D   x     k 2  Câu 17: Để phương trình 2sin x  sin x cos x  cos x  m có nghiệm giá trị m A m   10 B m  C m   10 D  10  10  10 m 2 Câu 18: Phương trình cos x  sin x   có số họ nghiệm A TOANMATH.com B C D Trang     Câu 19: Phương trình tan x  sin x  cos x   cos x    có họ nghiệm cos x   A x     k , k   C x   B x     k , k     k , k     D x    k , k     Câu 20: Cho phương trình tan x  3cot x  sin x  cos x Với k   nghiệm phương trình    x    k 2 A   x  4  k 2    x    k B   x  4  k 2   x  C  x     k 2 4 2 k    x  12  k 2 D   x  4  k 2  Dạng 2:Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình 2sin x  sin x   Phương trình bậc hai hàm số lượng Hướng dẫn giải giác có dạng tổng quát at  bt  c  Trong đó: Đặt t  sin x, điều kiện t  t hàm số sin u , cos u , tan u, cot u u  u  x  Phương trình cho trở thành t  2t  t     t   2 a; b; c  , a  Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện ẩn phụ Nếu đặt Kết hợp với điều kiện t  ta t    k 2,  k    +) t  sin u, t  cos u điều kiện t  Với t  sin x   x  +) t  sin u , t  cos u điều kiện  t  Vậy phương trình cho có nghiệm +) t  sin u , t  cos u điều kiện  t  x Khi tìm t1 ; t2 thỏa mãn phải giải tiếp   k 2,  k    sin  t1 ;sin u  t2 ; Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình 3sin 2 x  cos x   Hướng dẫn giải Ta có 3sin 2 x  cos x    1  cos 2 x   cos x   cos x   3cos 2 x  cos x   cos x  3cos x      3cos x   Trường hợp 1: cos x   x  TOANMATH.com     k  x   k ,  k   Trang   Trường hợp 2: 3cos x    cos x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   (loại)    k ,  k   Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình 2sin x  sin x   có nghiệm A k   k    C   k 2  k    B    k  k   D    k 2  k    Câu 2: Với k   , phương trình cos x  cos x   có nghiệm A x  k 2 B x  C x    k 2 D Vô nghiệm Câu 3: Nghiệm dương bé phương trình 2sin x  5sin x    A x   B x  C x  3 D x  5 Câu 4: Xét phương trình 3cos x  cos x   đoạn  0;3 Chọn câu trả lời A Phương trình có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Phương trình có nghiệm D Phương trình vơ nghiệm Câu 5: Nghiệm phương trình 2sin x  3sin x   thỏa mãn điều kiện  x   A x   B x   C x   D x  5 Câu 6: Nghiệm phương trình tan x  tan x   A    k , k   B    k , k   Câu 7: Với k  , phương trình cos 2 x  cos x  A x  k  B x  k 2 C   k 2, k   D k , k    có nghiệm C x     k  D x   2  k 2 Câu 8: Với k  , phương trình sin x  2sin x  có nghiệm A x  k 2 B x  k  C x    k 2 D x  k 2 Câu 9: Nghiệm phương trình cot 3x  cot 3x     4 k A x   , k    arccot  k   3 TOANMATH.com      k B x   , k     arccot  k   3 Trang      k , k   C x    arccot  k   3    k , k   D x    arccot  k   Câu 10: Nghiệm âm lớn phương trình cos x  cos x   A x   5 B x   7  C x    D x   Câu 11: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm? A sin x  B 1 cos x  D cot x  cot x   C 2sin x  3cos x  Câu 12: Xét phương trình 13sin x  78sin x  15  đoạn  0; 2 Lựa chọn phương án A Phương trình có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Phương trình vơ nghiệm D Cả A, B, C sai Câu 13: Phương trình 3cos x  sin x  có nghiệm A x    k  k   B x    k  k   C x    k  k   D x    k k   Câu 14: Xét phương trình tan x  tan x   đoạn  0;3 Chọn câu trả lời đúng? A Phương trình có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Phương trình có nghiệm D Phương trình có nghiệm Câu 15: Xét phương trình sin x  5sin x   đoạn  0; 2 Chọn câu trả lời đúng? A Phương trình có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Cả A, B, D sai D Phương trình có nghiệm Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau  tan x  cot x    tan x  cot x   2 Giá trị biểu thức tan x  A tan x B Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình sin x  sin A B 0,5 C D x  0,5 Giá trị biểu thức y  tan x C D  1  Câu 18: Cho x  arctan    k  nghiệm phương trình sau, hỏi phương trình   nào? A 3sin x  sin x  cos x  TOANMATH.com B 3sin 2 x  cos 2 x  Trang   C 1   sin x cos x sin x D cos x  cos x  sin x  cos3 x  cos x Nếu giải phương trình cách đặt tan x = t cos x  sin x phương trình tương đương với phương trình đây? Câu 19: Cho phương trình A 2t  t   C t  t  B t  2t    D t  t   Câu 20: Cho phương trình 2sin x  cos x   Nếu giải phương trình cách bình phương hai vế ta phương trình sau đây?  A sin x  sin  B sin x  sin  C sin x  sin  D cos x  cos Dạng Phương trình lượng giác đẳng cấp Phương pháp giải Phương trình lượng giác đẳng cấp có dạng tổng Ví dụ: Giải phương trình sau qt cos x  6sin x.cos x   a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x  d 2 1 Hướng dẫn giải Ta giải phương trình lượng giác đẳng cấp theo hai cách sau Cách 1: Bước Kiểm tra cos x  có nghiệm phương trình hay khơng, có nhận nghiệm Với cos x   x    k , k   Thay vào phương trình (1) ta có   Bước Nếu cos x  chia hai vế  phương trình vơ nghiệm phương trình cho cos x đưa phương trình bậc Với cos x  Chia hai vế phương trình hai theo tan x 1  a sin x sin x cos x cos x d    b c 2 cos x cos x cos x cos x (1) cho cos x ta    tan x   1  tan x     a tan x  b tan x  c  d 1  tan x    tan x  tan x      Đặt Bước Đặt t  tan x đưa phương trình bậc tan x  t phương trình (2) trở thành hai để giải TOANMATH.com  t   t  6t       t    Trang      tan x  x   k  , k     3    tan x   x   k  3  12 Vậy phương trình cho có nghiệm   x   k , k    x    k  12 Ta có cos x  6sin x.cos x    1  cos x   3sin x   Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin x   cos x  sin x   cos x  cos x ;cos x  ; 2 sin x cos x   sin x Đưa phương trình cho phương trình b sin x   c  a  cos x  d  c  a Đây phương trình bậc sin cosin ta biết cách giải dạng 1 3 cos x  sin x  2    cos  x    3     x   k , k     x    k  12 Vậy phương trình có họ nghiệm    x   k ,k    x    k  12 Tổng quát: Đối với phương trình đẳng cấp bậc  n n  : A  sin n x, cos n x,sin k x cos h x    k  h  n; k , h, n  , ta giải tương tự theo hai cách Cách 1: Nếu cos x  chia hai vế cho cos n x Cách 2: Dùng công thức hạ bậc Ví dụ mẫu Ví dụ Cho phương trình 2sin x  sin x cos x  cos x  m Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 10      x   k 2    sin  x    sin x   3   x  4  k 2  Dạng Phương trình bậc hai hàm số lượng giác 1- C 2- A 3- A 4- A 5- C 6- B 7- C 8- B 9- A 10- D 11- D 12- A 13- B 14- C 15- C 16- B 17- B 18- A 19- A 20- C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình 2sin x  sin x   có nghĩa x    D   t  Đặt t  sin x, t  Ta có 2sin x  sin x    2t  t     3  t  (do t  ) t    Với t  1, ta có sin x   x   k 2  k    Câu Phương trình cos x  cos x   có nghĩa x    D   t  Đặt t  cos x, t  Ta có cos x  cos x    t  2t      t  (do t  ) t  3 2 Với t  1, ta có cos x   x  k 2  k    Câu Phương trình 2sin x  5sin x   có nghĩa x    D    t Đặt t  sin x, t  Ta có 2sin x  5sin x    2t  5t      t  (do t  )  t  3 2   x   k 2  1 Với t  , ta có sin x     k   2  x  5  k 2   Vậy nghiệm dương bé phương trình x  Câu Phương trình 3cos x  cos x   có nghĩa x    D   Đặt t  cos x, t    13 t   13 Ta có 3cos x  cos x    3t  2t     (do t  ) t   13 t   TOANMATH.com Trang 22     13 x  arccos  k 2   13  13 , ta có cos x  Với t    k   3   13  k 2  x   arccos  Vì x   0,3 nên phương trình có nghiệm x  arccos  13  13  13 , x  arccos  2, x   arccos  2 3 Câu Phương trình 2sin x  3sin x   có nghĩa x    D    t Đặt t  sin x, t  Ta có 2sin x  3sin x    2t  3t      t  2   x   k 2  1 Với t  , ta có sin x     k   2  x  5  k 2   Với t  1, ta có sin x   x   k 2  k       Vì x   0;  nên x   2 Câu   k  Đặt t  tan x Ta có tan x  tan x    t  2t    t  1   Với t  1, ta có tan x  1  tan x  tan  x    k  k   4 Câu Phương trình cos 2 x  cos x   có nghĩa x    D   Phương trình tan x  tan x   có nghĩa  x   t  3 Đặt t  cos x, t  Ta có cos 2 x  cos x    t  t      t  (do t  ) 4 t  3       x   k 2  x   k 1  Với t  , ta có cos x   cos     k   2  x     k 2  x     k   Câu Phương trình sin x  2sin x  có nghĩa x    D   t   t  (do t  ) Đặt t  sin x, t  Ta có sin x  2sin x   t  2t    t  Với t  0, ta có sin x   x  k   k    Câu TOANMATH.com Trang 23   Phương trình cot x  cot x   có nghĩa  x  k t  1 Đặt t  cot x Ta có cot x  cot x    t  t     t  3 3  k Với t  1, ta có cot x  1  cot x  cot  3x   k  x    k   4  Với t  2, ta có cot x   x  arccot  k   x  arc cot  k  k    3 Câu 10 Phương trình cos x  cos x   có nghĩa x    D   Ta có cos x  cos x    cos x   cos x    cos x  cos x    Đặt t  cos x, t   t  2 Ta có cos x  cos x     4t  2t      (do t  ) t  2  36  16 2 t   2   , ta có cos x   cos  x    k 2  k    2 4  Vậy nghiệm âm lớn phương trình x   Câu 11  (vô nghiệm) Ta có sin x   sin x  1 Ta có cos x   cos x   (vô nghiệm) 2 2 Ta có   nên phương trình 2sin x  3cos x  (vơ nghiệm) Câu 12 Phương trình 13sin x  78sin x  15  có nghĩa x    D   Đặt t  sin x, t  Với t  t  0,199  t  0,199 (do t  ) Ta có 13sin x  78sin x  15   13t  78t  15    t  5,801  x  arcsin 0.199  k 2 Với t  0,199, ta có sin x  0,199    k    x    arcsin 0.199  k 2 Vì x   0; 2 nên phương trình có hai nghiệm Câu 13 Phương trình 3cos x  sin x  có nghĩa x    D   Ta có 3cos x  sin x   3cos x   cos x  Đặt t  cos x, t  Ta có 3cos x  sin x   3t   t   t  Với t  0, ta có cos x   x    k  k   Câu 14 TOANMATH.com Trang 24   Phương trình tan x   tan x   có nghĩa  x   k   4 t  Đặt t  tan x Ta có tan x  t 1    tan x    t  3 t  3   , ta có tan x   tan x  tan  x   k   k    3 6   Với t  3, ta có tan x   tan x  tan  x   k   k    3  7 13  4 7 Vì x   0;3 nên x  ; x  ;x  ;x  ;x  ;x  6 3 Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề Câu 15 Phương trình sin x  5sin x   có nghĩa x    D   Với t  Đặt t  sin x, t  t   t   (do t  ) Ta có sin x  5sin x    t  5t     t  Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 16    cos x   x   k  Phương trình  tan x  cot x    tan x  cot x   có nghĩa   xk 2 sin x   x  k  t  2 Đặt t  tan x  cot x Ta có  tan x  cot x    tan x  cot x    t  t     t  1  tan x  cot x   tan x  Với t  2, ta có    tan x cot x  cot x   tan x  cot x  1 (vơ nghiệm) Với t  1, ta có   tan x cot x  Vậy tan x   tan x Câu 17 x  có nghĩa x    D   2 x 1  cos x Ta có sin x  sin   sin x    2sin x   cos x   2sin x  cos x  * 2 2 sin x Vì cos x  (*) vơ nghiệm nên *     tan x    tan x  cos x Câu 18 Phương trình 3sin x  sin x  cos x  có nghĩa x    D   Phương trình sin x  sin Ta có 3sin x  sin x  cos x   3sin x  2sin x cos x  cos x  1 Vì cos x  khơng nghiệm phương trình (1) nên ta chia hai vế phương trình cho cos x Ta có 3sin x  2sin x cos x  cos x   tan x  tan x   TOANMATH.com Trang 25   t  Đặt t  tan x Ta có tan x  tan x    3t  2t     t      Với t  1, ta có tan x   tan x  tan  x   k   k    4 1 1 Với t   , ta có tan x    x  arctan  k   k    3 Câu 19 sin x  cos3 x  cos x  sin x  cos3 x   cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x  sin x  cos3 x  cos3 x  cos x sin x  sin x cos x  sin x Ta có  cos3 x  2sin x cos x  sin x cos x   cos3 x 2sin x cos x sin x cos x   0 cos3 x cos3 x cos3 x   k  )   tan x  tan x   tan x  tan x   (Điều kiện cos x   x  Đặt tan x  t , ta có tan x  tan x    2t  t   Câu 20 Phương trình 2sin x  cos x   có nghĩa x    D   Ta có 2sin x  cos x     sin x  cos x   1       3   sin x   sin x  sin 2 Dạng Phương trình lượng giác đẳng cấp  sin x  cos x  2sin x cos x   1- D 2- A 3- D 4- B 5- C 6- C 7- D 8- B 9- A 10- C 11- C 12- A 13- C 14- A 15- B 16- D 17- C 18- B 19- C 20- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình cos x  3sin x cos x  2sin x  có nghĩa x    D    Với cos x   x   k , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta cos x  3sin x cos x  2sin x    tan x  tan x   tan x   tan x  1  x    k    tan x  tan x    k    x   x  k  tan  Câu  có nghĩa cos x   x   k , k   cos x Chia vế phương trình cho cos x ta Phương trình sin x  cos x  TOANMATH.com Trang 26    tan x    tan x cos x   tan x   x   k    tan x  tan x    k     tan x   x  k  sin x  cos x  Câu Phương trình 3cos x  5sin x   sin x.cos x có nghĩa x    D    k Với cos x   x   , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos 4x ta 3cos x  5sin x   sin x.cos x   tan x  1  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x       4x    k  x    k  k   24 Câu Phương trình sin x  1 sin x  cos x  có nghĩa x    D   1 sin x  cos x   sin x   sin x cos x  cos x   Với cos x   x   k , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta  tan x  1 sin x   sin x cos x  cos x   tan x   tan x      tan x  Vậy giá trị nguyên tan x 1 Câu Phương trình 2sin x  sin x  cos x  có nghĩa x    D   Ta có sin x        Ta có 2sin x  sin x  cos x   2sin x  2sin x cos x  cos x   Với cos x   x   k , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta 2sin x  2sin x cos x  cos x   tan x  tan x    tan x  tan x   x  k  , k    tan x  tan x     tan x   x  arctan  k  Câu Phương trình  sin x  sin x cos x   có nghĩa x    D    Với cos x   x   k , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta  sin x  sin x cos x     tan x  tan x   tan x TOANMATH.com Trang 27    1 1  x  arctan  k  tan x  2  tan x  tan x     , k    1  1   x  arctan  k  tan x   2 Câu Phương trình sin x  cos3 x  sin x.cos x  sin x.cos x có nghĩa x    D    Với cos x   x   k , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta sin x  cos3 x  sin x.cos x  sin x.cos x  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x  tan x  tan x     tan x  1  tan x    Câu Phương trình 2sin x  5sin x cos x  cos x  2 có nghĩa x    D   Ta có 2sin x  5sin x cos x  cos x  2  4sin x  5.2sin x cos x  cos x  4  5sin x  cos x  4sin x    5sin x   cos x  sin x    cos x  sin x     5sin x  3cos x  Câu x x Phương trình sin  sin x  3cos  có nghĩa x    D   2 1  cos x  x x  cos x  sin x    sin x  cos x   Ta có sin  sin x  3cos   2 1   sin x  cos x    sin  x    4 2  Có   phương trình vơ nghiệm Câu 10 Phương trình   6m  sin x   2m  1 sin x   m   sin x.cos x   4m  3 cos x  1 có nghĩa x    D   Với m   1  8sin x  9sin x  5cos x   sin x  (loại) Với cos x   8sin x  9sin x  5cos x   8sin x  9sin x     sin x     Với cos x   x   k , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta có 8sin x  9sin x  5cos x   8 tan x  tan x 1  tan x   1  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x   x  TOANMATH.com   k , k   Trang 28   Vậy phương trình có họ nghiệm Câu 11 Phương trình sin x  cos3 x  sin x.cos x  sin x cos x có nghĩa x    D    Với cos x   x   k , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta có sin x  cos3 x  sin x.cos x  sin x cos x  tan x   tan x  tan x    tan x   x   k    tan x  tan x  tan x     tan x  1  x    k  , k      tan x    x     k      x   k Kết hợp nghiệm ta   k   x     k  Câu 12 Phương trình 2sin x  sin x   có nghĩa x    D   Ta có 2sin x  sin x    2sin x  2sin x cos x    Với cos x   x   k , k    phương trình vô nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có 2sin x  2sin x cos x    tan x  tan x   tan x   tan x  tan x   (vơ nghiệm) Câu 13 Phương trình sin 2 x  sin x  3cos 2 x  có nghĩa x    D   Ta có sin 2 x  sin x  3cos 2 x   sin 2 x  sin x cos x  3cos 2 x   k Với cos x   x   , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos 2x ta có sin 2 x  sin x cos x  3cos 2 x   tan 2 x  tan x    k  tan x    x    , k   Câu 14 Phương trình sin x  3cos x  có nghĩa x    D    k Với cos x   x   , k    phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos 4x ta có sin x  3cos x   tan x   (Vơ lí) Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 15 Phương trình sin x  tan x  có nghĩa cos x   x  TOANMATH.com   k , k   Trang 29   Ta có sin x  tan x   2sin x cos x  tan x  Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có 2sin x cos x  tan x   tan x  tan x  tan x  1   tan x  1  tan x  tan x  tan x     tan x  1  tan x  tan x  3  Câu 16 x x  sin x  cos  có nghĩa x    D   2 x x  cos x  cos x  sin x  0 Ta có 3sin  sin x  cos   2 2 Phương trình 3sin  sin x  cos x      sin x  cos x  1  sin  x    1 2 6        k 2  x    k 2, k   5 với k  Vì x   0; 2  nên x  Phương trình có nghiệm thỏa mãn đề Câu 17  x Phương trình cos x  sin x  có nghĩa x    D   Ta có cos x  sin x   1  cos x   sin x   sin x  cos x     2x      3   sin x  cos x   sin  x     sin   2 3  2x     Vậy phương trình có họ nghiệm Câu 18   Phương trình sin  x    sin x có nghĩa x    D   4     k 2  x   k  3 , k   2   k 2  x   k  3   sin x  cos x   Ta có sin  x    sin x     sin x 4     sin x  3sin x cos x  3sin x cos x  cos3 x  4sin x (1)  Với cos x   x   k , k   sin x  2 (loại) 1  sin x  4sin x    sin x   x  k  Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta có 1  tan x  tan x  tan x   tan x 1  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x  1 Vậy  tan x  tan x  3 tan x  6 Câu 19 TOANMATH.com Trang 30     x   k cos x   tan x   Phương trình   sin x có nghĩa    k     x tan 1  tan x  x     k  sin x 1  tan x cos x  sin x  2sin x cos x  cos x Ta có   sin x  sin x  tan x 1 cos x cos x  sin x    cos x  sin x   cos x  sin x   cos x  sin x   3 cos x  sin x Chia hai vế phương trình (3) cho cos3 x  ta  tan x  1  tan x  tan x  1  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x  tan x   tan x  * Do tan x  tan x   vô nghiệm nên *  tan x   x  k   k    Vậy phương trình có họ nghiệm Câu 20 Phương trình sin x   2m   sin x.cos x   m  1 cos x  m  1 có nghĩa x    D     k , k   Ta có 1   m  Để phương trình có nghiệm m  Với cos x   x  Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có 1  tan x   2m   tan x   m  1  m 1  tan x    1  m  tan x   m  1 tan x   2m  1  Để phương trình có nghiệm  m  1  1  m  2m  1   m  m    2  m  Dạng Phương trình lượng giác đối xứng 1- C 2- D 3- A 4- C 5- A 6- B 7- B 8- D 9- B 10- B 11- A 12- C 13- D 14- C 15- D 16- B 17- A 18- B 19- C 20- B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình   sin x  cos x   2sin x cos x   1 có nghĩa x    D     Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  t 1  1  t  2t  Câu Phương trình 1  sin x 1  cos x   có nghĩa x    D   Ta có 1  sin x 1  cos x    cos x  sin x  sin x cos x    Đặt t  sin x  cos x, t  TOANMATH.com Trang 31   Ta có sin x cos x  t  t 1 1  t  2t     t  3 Do t  nên t      Với t  1, ta có t  sin x  cos x  cos  x     cos  x    4 4   Câu Phương trình sin x  cos x  2sin x   có nghĩa x    D   Ta có sin x  cos x  2sin x    sin x  cos x  4sin x cos x    1  Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  t  1 1 t2  1  t  1  t     2t  t     t   Do t  nên t  1      Với t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x      sin 4 4       x     k 2  x  k 2  , k    x        k 2  x  3  k 2  4 Câu Phương trình sin x   sin x  cos x    có nghĩa x    D   Ta có sin x   sin x  cos x      sin x  cos x   2sin x cos x   1   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  1 t2  1  2t  1  t     t  2t    t  1      Với t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x      sin 4 4       x     k 2  x  k 2  , k    x        k 2  x  3  k 2  4 Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình x  3 Câu Phương trình sin x   cos x  sin x    có nghĩa x    D   Ta có sin x   cos x  sin x     2sin x cos x   sin x  cos x    1   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  1 t2 t   1   t  2t    t  2t    t  2 TOANMATH.com Trang 32   Do t  nên t        Với t  0, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x     x   k   x   k , k   4 4 4   Câu    cos x   x   k  Phương trình  sin x  cos x   tan x  cot x có nghĩa   xk 2 sin x   x  k  Ta có  sin x  cos x   tan x  cot x   sin x  cos x   sin x cos x    sin x  cos x   cos x sin x sin x cos x 1 t 1 Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  2  1  2t   2t  2t    t  1  t  t 1 Câu Phương trình sin x   sin x  cos x    có nghĩa x    D     Ta có sin x   sin x  cos x      sin x  cos x   2sin x cos x   1 1 t2 2  1  4t   t    t  4t    t  (loại)   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  Vậy phương trình vơ nghiệm hay khơng có nghiệm thỏa mãn  x   Câu Phương trình Ta có  3 sin x  cos x  3 có nghĩa x    D     1   32  Vậy phương trình vơ nghiệm Câu Phương trình sin x  sin x  cos x  có nghĩa x    D   Ta có sin x  sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x cos x   1   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  1 t2 t   1  t   t    t  t    t      Với t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4       Với t  0, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4     Vậy giá trị lớn sin  x    4  Câu 10 Phương trình sin x  sin x  cos x   có nghĩa x    D   TOANMATH.com Trang 33   Ta có sin x  sin x  cos x    sin x  cos x  2sin x cos x     Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  1 1 t2 t  1  1  t  1  t     t  t    t       Với t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x      sin 4 4       x     k 2  x  k 2 , k     x        k 2  x  3  k 2  4       Với t  0, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x     x   k   x   k , k   4 4 4   Vậy phương trình có họ nghiệm Câu 11 Phương trình  sin x  cos x   sin x   có nghĩa x    D   Ta có  sin x  cos x   sin x     sin x  cos x   2sin x cos x   (1) 1 t2 2  1  4t   t    t  4t    t  (loại)   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 12 Phương trình sin x  cos x   sin x có nghĩa x    D   Ta có sin x  cos x   sin x  sin x  cos x  sin x cos x   1 t 1 2 t  t 1  1  t     t  2t     t  3   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  Do t  nên t        sin Với t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4       x    k 2  x  k 2 , k     x    3  k 2  x    k 2  4 Vậy nghiệm âm lớn phương trình x   3 Câu 13 Phương trình 2  sin x  cos x   sin x   có nghĩa x    D   TOANMATH.com Trang 34   Ta có 2  sin x  cos x   sin x    2  sin x  cos x   2sin x cos x     Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  1 t 1  1  2t   t  1    t  2t    t       Với t  2, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x     x   k 2, k   4 4   9 17 Do x   ;5 nên x  ; x  4 Vậy có nghiệm thỏa mãn đề Câu 14 Ta có sin x   sin x    Phương trình vơ nghiệm 1 Ta có cos x   cos x    Phương trình vơ nghiệm Ta có    1  4.1.5  19   Phương trình cot x  cot x   vơ nghiệm Câu 15 Phương trình Ta có  sin x  cos x   m   có nghĩa x    D    sin x  cos x   m    m    sin x  cos x   Có   sin x  cos x   2   sin x  cos x    2    sin x  cos x       sin x  cos x      m  Câu 16 Phương trình  sin x  cos x   sin x  3 có nghĩa x    D   Ta có  sin x  cos x   sin x  3   sin x  cos x   sin x cos x   1   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  t  1 t 1 t 1  1  3t     t  6t     2 t  5 Do t  nên t  1       sin Với t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x     4 4        x     k 2  x    k 2 , k     x        k 2  x    k 2  4 Câu 17 Phương trình  sin x  cos x   sin x   có nghĩa x    D   Ta có  sin x  cos x   sin x     sin x  cos x   2sin x cos x   1   Đặt t  sin x  cos x, t  TOANMATH.com Trang 35   Ta có sin x cos x  t  t 1  1  2t  t     t  2t    t  2 Do t  nên t      Với t  0, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4      x   k   x    k , k   4 3 Do x   0;   nên x  Câu 18 Phương trình sin x  cos3 x   sin x có nghĩa x    D   Ta có sin x  cos3 x   sin x   sin x  cos x   sin x  sin x cos x  cos x    3sin x cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x    3sin x cos x 1   Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x   t 1  t 1 t 1  1  t 1   t  3t  t    t  1  1  2         Với t  1, ta có t  sin x  cos x  cos  x    1  cos  x      cos  x     4 4 4    Câu 19 Phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  1 có nghĩa x    D     Đặt t  sin x  cos x, t  Ta có sin x cos x  t 1 t 1  1   t  m   2m  t  2t    t  1  2m  2 Do   t      t       t  1   2 Để phương trình có nghiệm  2m    2   1 2  m  Vì m   nên m  1;0;1 Câu 20 Phương trình m  sin x  cos x   sin x  có nghĩa x    D   Ta có m  sin x  cos x   sin x   m  sin x  cos x   2sin x cos x  (1)   Đặt t  sin x  cos x   t  t 1  1  t  mt   2   m    Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2 Ta có sin x cos x  Theo Vi-ét ta có t1.t2  1 Suy ln có nghiệm thỏa mãn   t  Vậy phương trình ln có nghiệm TOANMATH.com Trang 36