Dạng 4: Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp A Kiến thức Bài tốn: Giải hệ phương trình  f ( x, y ) = A   g ( x, y ) = B Hệ phương trình đẳng cấp hệ phương trình thỏa mãn điều kiện Ví dụ:  f ( x, y ) = x + 3xy + y =  2  g ( x, y ) = −4 x − xy + y =  f ( kx, ky ) = k n f ( x, y )  m  g ( kx, ky ) = k g ( x, y ) (tổng số mũ x y số hạng nhau) *) Đẳng cấp hiểu cấp độ số mũ f ( kx, ky ) = ( kx ) + 3kx.ky + ( ky ) = k ( x + xy + y ) = k f ( x, y ) Chứng minh: Bài toán cụ thể: 2 ax + bxy + cy = A  2 dx + exy + fy = B Lời giải + Đặt điều kiện + Xét với + Đặt + Với x=0 y = tx xem thỏa mãn khơng , thay vào phương trình HPT x≠0 , chia vế phương trình cho + Giải phương trình ẩn + Tính x, y x t so sánh với điều kiện + Kết luận Tìm mối liên hệ a) b) x, y Bài 1: thỏa mãn: x − 13xy + 15 y = x − x y + xy − y = ta phương trình ẩn t Lời giải x = 5y x − 13 xy + 15 y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = ⇔  x = y  2 a) Ta có: x = y x − 3x y + xy − y = ⇔ ( x − y ) x − xy + y = ⇔  2  x − xy + y = ( b) Ta có: ) x2  x  x − xy + y = +  − y ÷ = ⇔ x = y = 2  Ta có: Vậy x = y Bài 2:  x − xy + y = ( *)  2  x − xy + y = Giải hệ phương trình sau Lời giải Cách 1: - Với - Với 3 y = x = ⇒ ( *) ⇔  ⇔ 5 y = x≠0 , đặt HPT vô nghiệm 2  2  x − 2tx + 3t x =  x ( 3t − 2t + 1) = ( 1) y = tx ⇒  ⇔ 2  x − 4tx + 5t x =  x ( 5t − 4t + ) = ( )  t1 =  ⇒ ( 3t − 2t + 1) = ( 5t − 4t + 1) ⇔ 15t − 13t + = ⇔  t =  t= +) 18 ⇒ 3t − 2t + = − + = 25 25 ( 1) ⇒ x t= +) 18 ±5 2 =9⇔ x = ⇒ y = tx = ± 25 2 4 ⇒ 3t − 2t + = − + = ( 1) ⇒ x = ⇔ x = ±3 ⇒ y = tx = ±2  2   −5 2 ; ; ; − ÷  ÷ ÷ ÷; ( 3; ) ; ( −3; ) 2     ( x; y ) ∈  Vậy PHT có nghiệm Cách 2: Ta có pt ( 1) − pt ( ) , ta có:    x − 10 xy + 15 y − x + 36 xy − 45 y = ⇔ −4 x + 26 xy − 30 y = ⇔ x − 13xy + 15 y = x = 5y ⇔ ( 2x − 3y ) ( x − y ) = ⇔  y = x  +) TH1: x = 5y 25 y − 10 y + y = ⇔ 18 y = ⇔ y = ± , thay vào (1) ta được:  x = ⇒  x = −  (thỏa mãn) +) TH2: Tương tự Bài 3: Giải hệ phương trình sau x 2 x + y = ( )  y   y ( x − y ) = −6  x ( 1) ( 2) Lời giải Điều kiện Ta có HPT xy ≠   x + xy = y ⇔  x y − xy = −6 x  ⇒ −6 x ( x + xy ) = 5 y ( x2 y − y3 ) ⇔ 6x4 + 6x2 y + x2 y − y = 2 *) Hướng dẫn phân tích thành nhân tử: 2 Đặt  x −5    t =  ÷ ⇒ 12t + 17t − = ⇔ t = ; t = ⇒  t − ÷ t + ÷     y x4 + x2 y + Vậy  2 y2    x y − y = ⇔  x − ÷ x + y ÷ = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = 2    ⇔ y = x ⇔ y = ±2 x y = x ⇒ ( 1) : +) x + x ) = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±2 ( 2 +) TH2: Tương tự Bài 4: Vòng 2, Chuyên SPHN Giải hệ phương trình nghiệm hữu tỉ sau:  x3 − y = x + y  2 6 x − 19 xy + 15 y = 21 ( 1) ( 2) Lời giải Từ HPT ta có: (x − y ) = ( x + y ) ( x − 19 xy + 15 y ) ⇔ x − y = x3 + x y − 61xy + 60 y ⇔ x + x y − 61xy + 62 y = ( *) +) Xét +) Xét y = ⇒ 5x3 = ⇔ x = y≠0 , thay x= y=0 , chia hai vế (*) cho y vào (2) không thỏa mãn đặt x = t ⇒ 5t + 5t − 61t + 62 = y t = ⇔ ( t − ) 5t + 15t − 31 = ⇔  5t + 15t − 31 = ( +) TH1: +) TH2: ) t = ⇒ x = 2y , thay vào (2) ta được: 24 y − 38 y + 15 y = ⇔ y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±2 5t + 15t − 31 = ∆ = 845 ⇒ ∆ = 13 ∉Q Vậy nghiệm , t ∉Q ⇒ Vậy nghiệm HPT phương trình khơng có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) ; ( x; y ) = ( −2; −1) Bài 5: Giải hệ phương trình nghiệm hữu tỉ sau:  1 −   1 +   12  ÷ x =2 y + 3x  12  ÷ y =6 y + 3x  Lời giải y + x ≠ 0, x > 0, y > Điều kiện: Nhận xét: HPT xy ≠  1 −  ⇔ 1 +  12 = y + 3x x ⇒ + =2⇔ + = ( 1) 12 x y x y = y + 3x y 2.12 12 − =− ⇒ − =− y + 3x y + 3x x y x y ⇒ Lấy (1).(2) ( 2) −12 y − 9x −12 − = ⇔ = ⇔ y − xy − 27 x + 12 xy = x y y + 3x xy y + 3x  y = −9 x ⇔ 27 x − xy − y = ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = ⇔   y = 3x Thay vào (1) (2) ta tìm nghiệm HPT Bài 6: ĐH Ngoại Ngữ, năm 2014 Giải hệ phương trình sau  x − xy + y =  2  x + xy + y = Lời giải +) TH1: +) TH2:  y = x=0⇒ ⇒ ptvn 2 y = x≠0 , đặt  x ( t − t + 1) =  y = tx ⇒  ⇔ ( t − t + 1) = 2t + t + ⇔ 2t − 5t + = 2  x ( t + t + 1) = t = ⇔ t =  - t = ⇒ t − t + = ⇔ x = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±1 t= - 7 ⇒ t − t + = − + = ⇒ x2 = ⇔ x = ± ⇒ y=± 4 7 Cách khác: Nhân hao vế (1) với (4) trừ (2) ta được: 3 x − y = ( x − xy + y ) − ( x + xy + y ) = ⇔ x − xy + y = ⇔ ( 3x − y ) ( x − y ) = ⇔  x = y Bài 7: ĐH Ngoại Ngữ, năm 2007  x + y x = 24   y + x y = 24 Giải hệ phương trình sau Lời giải - Với - Với Với x =0⇒ HPT vô nghiệm  x3 ( 2t + 1) = 24  x ≠ ⇒ y = tx ⇔  ⇒ t + 2t = 2t + ⇔ ( t − 1) ( t − t + 1) = ⇔ t = 3  x ( t + 2t ) = 24 t = ⇒ x = y ⇒ x = y = Cách khác: Ta có x = y x = y x3 + y x − y + x y ⇔ ( x − y ) ( x − xy + y ) = ⇔  ⇔  x − xy + y =  x = y = Bài 8:  xy − y = 12   x − xy = m + 26 Với giá trị m HPT sau có nghiệm Lời giải +) x = ⇒ ( 1) : − y = 12 ⇒ ptvn +)  x ( t − t ) = 12 ( 1) x ≠ ⇒ y = tx ⇔   x ( − t ) = m + 26 ( ) Rõ ràng m + 26 ≠ t= Lấy (3) chia cho (4) ta ⇔ x ( m + 14 ) = ( m + 26 ) 12 m + 26 ( ) : x ( − t ) = m + 26 ⇔ x thay vào m + 14 = m + 26 m + 26 Để HPT có nghiệm phương trình (5) có nghiệm Phương trình (5) có nghiệm Vậy m > −14 x≠0 m + 14 > ⇒ m > −14  m + 26 ≠ giá trị cần tìm Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: a) b)  x − x = y + y  2  x − = ( y + 1) 5 x y − xy + y − ( x + y ) = ( x, y ∈ ¡  2  xy ( x + y ) + = ( x + y ) ) Lời giải:  x + y = x + y  2  x + y = a) Ta biến đổi hệ: Để ý nhân chéo phương trình hệ ta có: 6( x3 + y ) = (8 x + y )( x + y ) phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ ta có lời giải sau: Vì x=0 khơng nghiệm hệ nên ta đặt y = tx Khi hệ thành:   x − x = t x + 2tx 1− t3 t +  x ( − t ) = 2t + ⇔ ⇒ =   2 2 − 3t  x − = ( t x + 1)  x ( − 3t ) = ⇔ ( − t ) = ( t + ) ( − 3t ) * *  t = ⇔ 12t − t − = ⇔  t = −   x ( − 3t ) =  x = ±3  t= ⇒ ⇔  y = x  y = ±1   78 x=±   13 t=− ⇒  78  y = m 13 Suy hệ phương trình có cặp nghiệm: ( x; y ) =  78 78   78 78  , ;  − ,− ÷ ÷ ÷ 13   13 13 ÷  13  ( 3,1) ; ( −3, − 1) ;  b) Phương trình (2) hệ có dạng: xy ( x + y ) + = x + y + xy ⇔ ( x + y ) ( xy − 1) − ( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1) ( x + y − ) = TH1: TH2: 5 x y − xy + y − ( x + y ) = x =  ⇔   xy = y =1   x = −1   y = −1  xy = ⇔ 2 x + y = 2 2 5 x y − xy + y − ( x + y ) = 5 x y − xy + y = ( x + y ) (*) ⇔  2  x + y =  x + y = Nếu ta thay x2 + y = vào phương trình (*) thu phương trình đẳng cấp bậc 3: x y − xy + y = ( x + y ) ( x + y ) Từ ta có lời giải sau: Ta thấy y=0 y≠0 không nghiệm hệ x = ty Xét đặt thay vào hệ ta có: Chia hai phương trình hệ ta được: 5t y − 4ty + y = ( ty + y ) 2 2 t y + y = 5t − 4t + t + = ⇔ t − 4t + 5t − = t +1  2  2 x = x = − t = x = y  x =  x = −1   ⇔ 1⇔ ⇔ ∨ ∨ ∨ t = x = y  y =  y = −1  y = −    y =  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: a) b)  x2 + y + + y − =   3 2 ( y + x ) + y ( x + 1) + x ( x + 1) + =  2x x + y =  + x y 2x + y  2 x + y = x + − y  ( ) Lời giải: x2 + y + ≥ a) Điều kiện: Phương trình (2) tương đương: ( y + x ) + y ( x + 1) + x + x + = ⇔ ( x + 1) + y ( x + 1) + y = y Đây phương trình đẳng cấp + Xét + Xét y=0 y≠0 Suy x +1 hệ vô nghiệm Đặt x + = ty ta thu phương trình: 2t + 3t + = t = −2 ⇔ x + = −2 y x2 − x + = x + ⇔ x = − Thay vào phương trình (1) ta được: ( x; y ) =  − Vậy hệ có cặp nghiệm: 14  ; ÷  18  14 ⇒y= 18 b) Dễ thấy phương trình (1) hệ phương trình đẳng cấp Điều kiện: Đặt y > 0; −3 ≤ x ≠ y = tx ⇒ y = t x x thay vào (1) ta được: 2x x + tx + 2 = 2 x 3t x 2x + t x y Rút gọn biến ( t − 2) (t x t ta đưa phương trình ẩn : + t + 1) = ⇔ t = ⇔ y = 2x ≥ Thay vào (2) ta được: x + x = x + ⇔ x + 10 x + 25 = 2x + + 2x + + 4 5  1  ⇔  2x + ÷ =  2x + + ÷ 2  2  x= Giải ta 17 − 13 − 17 ⇒y=  17 − 13 − 17  ; ÷ ÷   ( x; y ) =  Vậy nghiệm hệ Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: a) b)  3 3x − y = x + y   x2 + y =   x y + − xy − x =   x − x − xy = Lời giải: ( x − y ) ( x + y ) =  2  x + y = a) Ta viết lại hệ thành: (1) Ta thấy vế trái phương trình (1) bậc Để tạo phương trình đẳng cấp ta thay ( x + y )2 vế phải thành Như ta có: ( 3x − y ) ( x + y ) = ( x + y ) ⇔ x + 3x3 y − x y − xy − y = x = y  ⇔ ( x − y )( x + y )(2 x + xy + y ) = ⇔  x = −2 y  x + xy + y = 2 10 Khi t =1 ta có: y = x2 + thay vào phương trình thứ hệ ta thu được: x = −1 ⇒ y = ( x; y ) = (1; −3) Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau a) b) xy  2 x + y + = 16  x + y    x + 2x = x + x − y 8 y 3y   x y − 3x − = 3x y ( − x − 1)3  2  x − xy + y + xy = y Lời giải: y ≠ 0, x + y ≠ 0, x3 x + ≥0 3y a) Điều kiện: Phương trình (2) tương đương: x2 4x + y x3 x x2 4x + y x2  4x 3y  + =2 + ⇔ + =2  + ÷ 8y 12 y 16 8y 8y  6  Đây phương trình đẳng cấp x2 8y 4x + 3y Ta thấy phương trình có nghiệm x2 4x + 3y ≥ 0, ≥0 8y Đặt x2 = a, x + y = b 8y suy x = 6y x2 x + y ⇔ = ⇔ x = − y 8y  TH1: x = 6y a + b = 2ab ⇔ a = b thay vào (1) ta có: 13 x2 8y 4x + 3y dấu hay 28 168  y=− ⇒x=− ( L)  37 37 y + y − 16 y = 16 ⇔   y = ⇒ x = 24  7 x=− TH2: y thay vào (1) ta có: 12  y = − ( L) 2 y + y − 16 y = 16 ⇔  13   y = 12 ⇒ x = −8(TM ) 24  ; ÷, ( −8;12 )  7 ( x; y ) =  Vậy hệ có nghiệm b) Điều kiện:  xy ≥  x, y ≥  x ≤ ⇔  x ≤ y ≥  Để ý phương trình thứ hai hệ phương trình đẳng cấp y=0 từ phương trình thứ hai hệ ta suy mãn hệ y>0 Xét x=0 x =4 y Đặt x =t y ta thu phương trình t ≤ t ≤ 8t − 3t + = − t ⇔  ⇔ 2 8t − 3t + = t − 8t + 16 8t − 4t + 8t − 12 = t ≤ t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ t =1 2t − t + 2t − = (t − 1)(2t + 2t + t + 3) = Khi t =1⇒ x = y Phương trình thứ hệ trở thành: Điều kiện: ≤ x ≤1 Ta thấy x=0 x − x − = x ( − x − 1)3 khơng thỏa mãn phương trình 14 Ta thấy , cặp nghiệm không thỏa Ta chia phương trình thứ hai hệ cho x x 8 ÷ − + + y  y x, y y ta thu được: Ta xét < x ≤1 Chia bất phương trình cho x3 > ta thu phương trình:  1  − − =  −1 − ÷ x x x÷  x  t + 3t − = Xét ( ) Đặt ( t − t − ⇔ ( t + 3t − 1) f (t ) = ( t + 3t − 1) = t ⇒ t ≥1 x ( t + t −1 ) ) phương trình trở thành: t + t −1 = 3 Dễ thấy f ( t ) ≥ f ( 1) = suy phương trình có nghiệm t =1⇔ x =1 ( x; y ) = ( 1;1) Tóm lại hệ phương trình có nghiệm Chú ý: Ta tìm quan hệ Phương trình có dạng: x − 3xy + y − y + xy − y = ⇔ x, y dựa vào phương trình thứ hai hệ theo cách: ( x − y )(8 x + y ) x − 3xy + y + y x = y  8x + y y ⇔ (3) + =0 2  x − xy + y + y xy + y Vì x, y > + ( x − y) y =0 xy + y nên ta suy Dạng 5: Hệ đại lượng chung 15 x= y A Kiến thức Dạng tổng quát: x + y = a  ( I ) y + z = b ; z + x = c   xy = a  ( II )  yz = b  zx = c  Phương pháp: Ta tạo thành phần chung phương trình hệ phương trình, sau kết hợp thành phần chung phương trình hệ phương trình ta thu nghiệm hệ phương trình Ta có x + y = a a+b+c   y + z = b ⇔ 2( x + y + z) = a + b + c ⇒ x + y + z = z + x = c   xy = a   yz = b ⇒ ( xyz ) = abc ⇒ xyz = abc ( abc ≥ ) ⇒ x , y , z  zx = c  Bài 1: Giải hệ phương trình:  xy =   yz =  zx =  Lời giải Nhận xét xyz ≠ Nhân vế tương ứng phương trình ta được: +) TH1: +) TH2:  xyz = x y z = 36 ⇒   xyz = −6 x =  xyz = ⇒  y = z =   x = −1  xyz = −6 ⇒  y = −2  z = −3  Vậy nghiệm HPT ( x; y; z ) = ( 1; 2;3) ; ( x; y; z ) = ( −1; −2; −3) 16 Bài 2: Giải hệ phương trình:  x + y + xy =   y + z + yz =  y + z + yz =  Lời giải Ta có HPT +) TH1: +) TH2: ( x + 1) ( y + 1) =  x + y + xy =    y + z + yz = ⇔ ( x + 1) ( z + 1) = ⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = ±6  y + z + yz =   ( y + 1) ( z + 1) = z +1 = ⇔ z = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = ⇒  y + = ⇔ y = x +1 = ⇔ x =   z + = −3 ⇔ z = −4 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = −6 ⇒  y + = −2 ⇔ y = −3  x + = − ⇔ x = −2  Vậy HPT có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;1; ) ; ( x; y; z ) = ( −2; −3; −4 ) Bài 3: Giải hệ phương trình: 12  xy x+ y =  18  yz =  y+z  xz 36 =   x + z 13 Lời giải Điều kiện ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≠ 0; Ta có HPT xyz ≠ 12  xy 1 x+ y =  x + y = 12 ( 1)   18  yz 1 = ⇔ + = ( 2)  y+z  y z 18  xz  1 13 36 = ( 3)   + =  x + z 13  z x 36 17 Từ (1)(2)(3)  1  19 1 19 ⇒  + + ÷= ⇒ + + = ( 4) x y z 36  x y z  18 Lấy (4)-(1) ta được: Lấy (4)-(2) ta được: Lấy (4)-(3) ta được: Vậy HPT có nghiệm = ⇒ z =9 z 36 = ⇒x=4 x 36 = ⇒ y =6 y 36 ( x; y; z ) = ( 4;6;9 ) 18 Dạng 6: Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 1: Giải hệ phương trình:  x + + y − =   x + − y = Lời giải Cách 1: Ta xét trường hợp - TH1: - TH2: - TH3: - TH4: x ≥ −2; y ≥ x ≥ −2; y < x < −2; y ≥ x < −2; y < Cách 2: Ta có HPT Từ ( 1) ⇒  x + + y − =  x + + y − = ⇔   x + − y =  x + = y + x+2 ≤8 ( 2) ⇒ + y ≤ ⇔ y ≤ Từ Vậy HPT < 3⇒ y −3 = 3− y  x =  x + − y =  x + =  ⇔ ⇔ ⇔   x = −8 y =1  x + = y +  y =  Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = { ( 4;1) , ( −8;1) } 19 ( 1) ( 2) Bài 2: Giải hệ phương trình:  x + xy − y =   x x + y y = −2 Lời giải  x + xy − y = ( x − y ) ( x + y ) = ( 1) ⇔  ( 2)  x x + y y = −2  x x + y y = −2 Ta có x = y  x = −3 y ( 1) ⇔  + TH1: Với x= y , thay vào phương trình (2) ta có x < x x = −2 ⇔ x x = − ⇔  ⇔ x = −1 ⇒ y = − − x = −  + TH2: Với x = −3 y , thay vào phương trình (2) ta có − y −3 y + y y = −2 y > 1  ⇔ −9 y y + y y = −2 ⇔ −8 y y = −2 ⇔ y y = ⇔  ⇔ y = ⇒ x = − 2  y =  −3   ; ÷   ( x; y ) ∈ ( −1; −1) ,   Vậy HPT có nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình:  x ( y + 1) − y = −3  2  x ( x − 12 y ) + y = Lời giải Ta có  x ( y + 1) − y = −3  x ( y + 1) = y − ⇔  2 2  x ( x − 12 y ) + y =  x ( x − 12 y ) = − y = ( − y ) ( + y ) 3+ 2y = ⇔ y = + Nếu −3 , thay vào HPT ta 20 ( 1) ( 2)   x ( −6 + 1) = −6  x = ⇔ ( ptvn )  x x + 18 =  x x + 18 =   + Nếu 3+ 2y ≠ Nhân hai vế phương trình (1) với 3+ 2y ta được:  x ( y + 1) ( y + 3) = y − ( 3)  2 ( 4)  x x − 12 y = − y x ( y + 1) ( y + 3) + x − 12 y  = 4 44 4 4 43 ( 5) P Lấy (3) + (4) ta được: P = y + 12 y + y + + x − 12 y ≥ y + 14 y + + x − 12 y = x + y + y + Có = x + y + ( y + 1) + > ⇒ P > Vậy ( 5) ⇔ x = 0, y= thay vào PHT ta ( x; y ) =  0; Vậy HPT có nghiệm  ( tm ) 3 ÷ 2 Bài 4: Chun Lê Q Đơn Đà Nẵng, năm học 2012 Giải hệ phương trình:  x = x + y   y = y + x ( *) Lời giải - TH1: HPT  x = x + y ⇒ x = y ⇒ x = y ⇒ x = x ⇒ x = y = 0; x = y = ( tm ) ( *) ⇔   y = y + x - TH2: HPT x < 0; y <  x = − x + y ⇒ x2 + y2 = ⇔ x = y = ( *) ⇔   y = − y + x - TH3: HPT x ≥ 0; y ≥ (loại) x < 0; y ≥ 2  x = − x + y  y = x + x ⇔ ( *) ⇔  2  y = y + x  x = y − y ( 1) ( 2) 21 1 −1 −1 −1 ( ) : x = y − y =  y − ÷ − ≥ ⇒ ≤ x < ⇒ x + ≥ + > 2 4 4  Từ ⇒ x ( x + 1) < ⇒ y < - TH4: x ≥ 0; y < (do (1)) (loại) (tương tự TH3) (vô nghiệm) ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) , ( 2;2 ) } Vậy HPT có nghiệm Bài 5: x − x = x y − y ( 1)    ( x + 1) − x + y + ( ) Giải hệ phương trình: Lời giải Điều kiện Ta có ∀x ∈ R; y ≥ ( 1) ⇔ x ( x − 1) = y ( x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x − y ) = - TH1: Với ( 2) : ( + 1) − + y + = ⇔ y = - TH2: Với ( 2) : Ta có x − = ⇔ x = ⇔ x = ±1 x− y =0⇔ x = y ≥0 ( x + 1) − x + x + = ⇔ ( x + 1) − x + = ( *) x + ≥ x2 ≥ , dấu “=” xảy ⇒ ( x + 1) − x + ≥ x − x + = ⇔ x = ⇒ ( x + 1) ≥ 2.2 x = x ( ) x −1 ≥  x = ⇔ x =1⇒ y =1 ( *) ⇔   x = Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 1;1) , ( −1;1) } 22 Dạng 7: Hệ phương trình chứa ba ẩn Bài 1: Chuyên Khánh Hòa, năm học 2011 23 Với x, y , z số dương, giải HPT: ( x + y ) ( y + z ) = 187  ( y + z ) ( z + x ) = 154  ( z + x ) ( x + y ) = 238 Lời giải Ta có ( x + y ) ( y + z ) = 187 ( x + y ) ( y + z ) = 11.17   ( y + z ) ( z + x ) = 154 ⇔ ( y + z ) ( z + x ) = 11.14 ⇒ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) = 11.14.17   ( z + x ) ( x + y ) = 238 ( z + x ) ( x + y ) = 14.17  x + z = 14  x = 10   ⇒  x + y = 17 ⇔  y = ( x + y + z = 21)  y + z = 11  z =   Bài 2: PTNK, HCM, năm học 2013 3x + y + = z ( x + ) ( 1)  3 y + z + = x ( y + ) ( )  3z + x + = y ( z + ) ( 3) Giải hệ phương trình Lời giải Lấy (1) + (2) + (3) ta được: ( x + y + z ) + ( x + y + z ) + = ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) ⇔ ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) + = ⇔  ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx )  + ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) + 3 = ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = ⇔ x = y = z = 2 2 2 Thử lại vào HPT cho, ta thấy thỏa mãn Vậy HPT có nghiệm ( x; y; z ) = ( 1;1;1) Bài 3: 24 Giải hệ phương trình 4 x = y + y + ( 1)  4 y = z + z + ( )  4 z = x + x + ( 3) Lời giải Nhận xét: Dạng HPT x≤ y≤z chứng minh  f ( x) = g ( y )   f ( y) = g ( z)   f ( z ) = g ( x) dạng đối xứng, để giải dạng giả sử x≤ y≤z≤x ( 1) ⇒ x = y + y + = y +  y + ÷ + > ⇒ x3 > ⇒ x > 2  Từ Từ 2 ( ) ( 3) ⇒ y, z > Khơng tính tổng quát, giả sử ( 4) 0< x≤ y ⇒ x2 + x + ≤ y + y + ⇔ z ≤ x3 ⇔ z ≤ x ( 5) ⇒ 2z + z + ≤ 2x2 + x + ⇔ y3 ≤ 4z3 ⇔ y ≤ z Từ (4)(5)(6) ta có Thay x=y=z ( 6) z≤x≤ y≤z⇔ x= y=z vào (1) ta được: x3 = x + x + ⇔ x − x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ x = y = z = Bài 4: Giải hệ phương trình  xz = x +  2 y = xz − 3x − 14  2  x + z = 35 − y ( 1) ( 2) ( 3) Lời giải Từ (1) ta có x = xz − 25 Từ (2) ta có Từ (3) ta có + TH1: y = xz − ( xz − ) − 14 = xz − ⇔ y = xz − ( 4) x + z = 35 − ( xz − 1) ⇔ x + z + xz = 36 ⇔ x + z = ±6  x =  z =  y = ±3 x + z = ⇒ z = − x ⇒ ( 1) : x ( − x ) = x + ⇔  ⇒ ⇒ x = z =  y = ± + TH2:  −7 + 33  −5 − 33 x = z = 2 x + z = −6 ⇒ z = −6 − x ⇒ ( 1) : x ( −6 − x ) = x + ⇔  ⇒ ⇒ y = ± 33  −7 − 33  −5 + 33 x = z =   Vậy HPTcó nghiệm Bài 5: Tìm tất số nguyên x, y , z thỏa mãn  x + y + z = ( 1)  2 3x + y − z = 13 ( ) Lời giải Từ (1) ⇒ z = 2− x− y , thay vào phương trình (2) ta được: x + y − ( − x − y ) = 13 ⇔ x + y + 2.2 x + 2.2 y − xy = 17 ⇔ ( y − x + ) + ( x + ) = 37 + TH1: + TH2: + TH3: + TH4:  y − x + = x = ⇔  x + = y =1  y − x + = −1  x = ⇔  x + =  y = −1  y − x + =  x = −10 ⇔   x + = −6  y = −11  y − x + = −1  x = −10 ⇔   x + = −6  y = −13 26 + TH5: + TH6: + TH7: + TH8:  y − x + =  x = −3 ⇔  x + = y =1  y − x + =  x = −5 ⇔  x + = −   y = −1  y − x + = −6  x = −5 ⇔   x + = −1  y = −13  y − x + = −6  x = −3 ⇔  x + =   y = −1 Vậy HPT có nghiệm 27 ... kiện: Phương trình (2) tương đương: x2 4x + y x3 x x2 4x + y x2  4x 3y  + =2 + ⇔ + =2  + ÷ 8y 12 y 16 8y 8y  6  Đây phương trình đẳng cấp x2 8y 4x + 3y Ta thấy phương trình có nghiệm x2 4x... )  yz = b  zx = c  Phương pháp: Ta tạo thành phần chung phương trình hệ phương trình, sau kết hợp thành phần chung phương trình hệ phương trình ta thu nghiệm hệ phương trình Ta có x + y =... ≥  Để ý phương trình thứ hai hệ phương trình đẳng cấp y=0 từ phương trình thứ hai hệ ta suy mãn hệ y>0 Xét x=0 x =4 y Đặt x =t y ta thu phương trình t ≤ t ≤ 8t − 3t + = − t ⇔  ⇔ 2 8t −