BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHƠNG CHÍNH QUI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHỊNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ QN SỰ LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHƠNG CHÍNH QUI Ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Ngơ Hồng Long NCVCC TS Nguyễn Hồng Hải HÀ NỘI – 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khoa học khác, liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Tháng 11 Năm 2022 Nghiên cứu sinh Lương Đức Trọng ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Viện Công nghệ thông tin-Viện Khoa học Công nghệ quân sự hướng dẫn PGS.TS Ngơ Hồng Long NCVCC TS Nguyễn Hồng Hải Nghiên cứu sinh bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hồng Hải, người dìu dắt tơi vào đường nghiên cứu khoa học Nghiên cứu sinh xin cảm ơn PGS TS Ngơ Hồng Long, người tận tình bảo, hướng dẫn nghiên cứu truyền cho nghiên cứu sinh say mê nghiên cứu khoa học Không người thầy hướng dẫn khoa học tận tâm, nghiên cứu sinh, PGS TS Ngơ Hồng Long cịn người thầy mẫu mực để noi theo, người chia sẻ nhiều vui buồn, người ln khích lệ nghiên cứu sinh vững vàng sống Nghiên cứu sinh trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Viện Khoa học Công nghệ Quân sự, Thủ trưởng Viện Công nghệ thông tin, Thủ trưởng cán nhân viên Phòng Đào tạo, Viện chuyên ngành, tạo điều kiện cho nghiên cứu sinh nơi làm việc, môi trường học thuật để học tập nghiên cứu Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà nội, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin tạo điều kiện thuận lợi cho NCS q trình học tập cơng tác Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thu Thủy, ThS Kiều Trung Thủy đồng hành cộng tác khoa học Cảm ơn TS Nguyễn Ngọc Luân, người anh giúp đỡ, cho lời khuyên, lời động viên bổ ích để nghiên cứu sinh hồn thành Luận án Cuối cùng, nghiên cứu sinh xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người ln bên cạnh yêu thương vô điều kiện, động viên chia sẻ khó khăn thời gian nghiên cứu sinh nghiên cứu khoa học hoàn thành Luận án Tác giả luận án iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC CÁC BẢNG viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix MỞ ĐẦU Chương SƠ LƯỢC VỀ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itơ 1.1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1.3 Tính bị chặn liên tục mô men nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1.4 Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.2 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.2.1 Phương pháp Monte-Carlo đa cấp 1.2.2 Định lý hội tụ theo trung bình 1.2.3 Lược đồ Euler 1.2.4 Lược đồ Milstein 1.3 Một số kết giải số nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 11 12 14 14 15 17 18 18 1.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khơng qui 18 1.3.2 Tính ổn định nghiệm nghiệm xấp xỉ 23 1.4 Kết luận Chương 24 iv Chương LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA KHỐNG CHẾ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 25 2.1 Giới thiệu toán 25 2.2 Một số điều kiện 26 2.3 Xấp xỉ Yamada-Watanabe 28 2.4 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khơng qui 30 2.5 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng tuyến tính hệ số khuyếch tán liên tục Hăolder 35 2.6 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng tuyến tớnh v h s khuych tỏn liờn tc Hăolder a phương 47 2.7 Kết luận Chương 57 Chương SỰ HỘI TỤ, TÍNH KHƠNG ÂM VÀ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA CẢI TIẾN 58 3.1 Giới thiệu toán 58 3.2 Một số điều kiện 59 3.3 Mở rộng xấp xỉ Yamada Watanabe 60 3.4 Lược đồ Euler-Maruyama cải tiến 62 3.5 Sự hội tụ 63 3.6 Tính ổn định mũ theo chuẩn Lp 69 3.7 Xấp xỉ không âm 74 3.8 Thực nghiệm giải số 75 3.9 Kết luận Chương 78 Chương LƯỢC ĐỒ MILSTEIN NỬA ẨN CHO HỆ ĐIỂM KHÔNG VA CHẠM 80 4.1 Giới thiệu toán 80 4.2 Một số điều kiện 82 4.3 Lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn 83 4.4 Lược đồ xấp xỉ Milstein nửa ẩn 84 v 4.4.1 Biểu diễn sai số 85 4.4.2 Một số ước lượng 86 4.4.3 Tốc độ hội tụ lược đồ 96 4.4.4 Ví dụ mơ 98 4.5 Kết luận Chương 100 KẾT LUẬN 101 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 vi DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT h.c.c Hầu chắn R Tập số thực R+ R d Tập số thực dương Khơng gian Euclid d-chiều Rd×m Khơng gian ma trận thực d × m x(i) · A trace(A) |A| (Ω, F, P) E[X] sup inf limsup supp f Mp (D; R) Thành phần thứ i vectơ x Chuẩn Euclid Ma trận chuyển vị ma trận A Vết ma trận A Chuẩn theo vết ma trận A, |A| = Khơng gian xác suất có lọc {Ft }t≥0 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X Cận nhỏ Cận lớn Giới hạn Giá hàm f Khơng gian q trình Ft -tương thích f = {f (t)}t∈D thỏa mãn E Mp (D; Rd×m ) T |f (t)|p dt < ∞ Khơng gian q trình Ft -tương thích f {(fij (t))d×m }t∈D thỏa mãn E Lp (R+ ; R) Lp (R+ ; Rd×m ) Lp (Ω; Rd ) T = |f (t)|p dt < ∞ Không gian trình nhận giá trị thực, Ft -tương T |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Khơng gian q trình nhận giá Rd , Ft -tương T thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Khơng gian q trình Ft -tương thích f = T {(fij (t))d×m }t≥0 thỏa mãn |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Không gian biến ngẫu nhiên ξ nhận giá trị Rd cho E[|ξ|p ] < ∞ thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn Lp (R+ ; Rd ) trace(A A) vii C[a; b] C 1,2 (R+ × R; R) Khơng gian hàm liên tục [a; b] Không gian hàm thực V (t, x) xác định R+ × R, khả vi liên tục t khả vi liên tục cấp hai x ∂ ∂x Đạo hàm riêng theo biến x Vt (t, x) Vx (t, x) Vxx (t, x) Đạo hàm hàm V theo biến số t PTVPNN Phương trình vi phân ngẫu nhiên PEM Lược đồ Euler-Maruyama gốc BEM Lược đồ Euler-Maruyama nghịch TEM Lược đồ Euler-Maruyama khống chế SIEM Lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn SIM Lược đồ Milstein nửa ẩn Đạo hàm hàm V theo biến số x Đạo hàm cấp hai hàm V theo biến số x viii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Một số hàm số thỏa mãn điều kiện A1-A5 28 Bảng 2.2 Sai số lược đồ hệ số thỏa mãn A3’ 40 Bảng 2.3 Sai số lược đồ khống chế hệ số thỏa mãn A4” 41 Bảng 2.4 Sai số xấp xỉ hệ số thỏa mãn A3’ 54 Bảng 2.5 Sai số lược đồ khống chế hệ số thỏa mãn A4” 55 Bảng 4.1 Tốc độ hội tụ lược đồ giải số 99 97 (i) Nếu Giả thiết Hpˆ cho pˆ ≥ 6, X(τ ) − X (n) (τ ) sup E ≤ τ ∈Tn C n2 (4.31) Hơn nữa, với p ∈ (0, 2), E (n) (n) sup X(tk ) − X (n) (tk ) p 0≤k≤n ≤ C(p) np (4.32) (ii) Nếu giả thiết Hpˆ cho pˆ ≥ 18, với p ∈ (0, 2), E sup X(t) − X (n) (log n)3p/2 ≤ C(p) np p (t) t∈[0,T ] (4.33) Chứng minh Định lý 4.4.9 (i) Giả sử Giả thiết Hpˆ với pˆ ≥ Với (n) (n) t ∈ tk , tk+1 , từ (4.11) Bổ đề 4.4.2 – 4.4.6 e(t) C (n) e(tk ) + S1 (t) + S2 (t) + S3 (t) + ζ1 (t) n + ζ2 (t) + ξ1 (t) + ξ2 (t) + R3 (t) + R5 (t) + ξ5 (t) + ξ6 (t) + R6 (t) C (n) ≤ 1+ e(tk ) + ζ(t) + ξ(t), n ≤ 1+ ζ(t) = S1 (t) + S2 (t) + S3 (t) + ζ1 (t) + ζ2 (t) ξ(t) = ξ1 (t) + ξ2 (t) + ξ5 (t) + ξ6 (t) + R3 (t) + R5 (t) + R6 (t) Lại có, theo Bổ đề 4.4.2 – 4.4.4 sup E[|ζ(t)|] ≤ t∈[0,T ] C n3 (n) Chọn t = tk+1 (n) e(tk+1 ) ≤ 1+ C n (n) e(tk ) (n) (n) + ζ(tk+1 ) + ξ(tk+1 ) (n) Do E ξ(tk+1 )|Ft(n) = 0, nên theo Bổ đề 4.4.8 với q = 1+ Cn , thu (4.31) k Ước lượng (4.32) hệ (4.31) Bổ đề 3.2 Gyăongy v Krylov (2003) 98 (ii) Gi sử Giả thiết Hpˆ với pˆ ≥ 18, luận án chứng minh (4.33) Từ (4.11), sup e(t) ≤ C sup 0≤k≤n t∈[0,T ] Nếu p ∈ (0, 2), áp dụng đánh giá (n) e(tk ) sup Sm (t) +C m=1 t∈[0,T ] j aj p/2 ≤ j |aj |p , E p sup e(t) ≤C E sup 0≤k≤n t∈[0,T ] (n) e(tk ) p +C sup Sm (t) E m=1 p t∈[0,T ] p/2 ≤C E sup 0≤k≤n (n) e(tk ) p +C E m=1 sup Sm (t) t∈[0,T ] Đánh giá với Bổ đề 4.4.2 – 4.4.7 dẫn tới (4.33) 4.4.4 Ví dụ mô Trong phần này, luận án xét ví dụ giải số để phân tích hội tụ tiệm cận lược đồ Milstein nửa ẩn (SIM) Các kết so sánh với lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn (SIEM) Xét hệ điểm Brown bị đẩy lân cận gần X = (X1 , , Xd ) cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên   dX1 (t) =      dXi (t) =        γ X1 (t)−X2 (t) + b1 (X1 (t)) dt + σ1 (X1 (t))dW1 (t), γ Xi (t)−Xi−1 (t) + γ Xi (t)−Xi+1 (t) + bi (Xi (t)) dt +σi (Xi (t))dWi (t), dXd (t) = γ Xd (t)−Xd−1 (t) i = 2, , d − 1, + bd (Xd (t)) dt + σd (Xd (t))dWd (t), (4.34) với X(0) ∈ ∆d Trong trường hợp này, chọn d = 10, γ = 1, bi (x) = sin x, σi (x) = sin(2x) với i = 1, , 10 Khi theo Hệ 6.2 [15] phương trình (4.34) có nghiệm miền ∆d với t > Bây kí hiệu X E,n X M,n nghiệm xấp xỉ Euler-Maruyama nửa ẩn Milstein nửa ẩn X , tương ứng Kí hiệu (X E,n,i )i≥1 (X M,n,i )i≥1 độc lập phân phối biến ngẫu nhiên X E,n X M,n , tương ứng Phép lặp Mệnh đề 4.1 [58], áp dụng để giải gần 99 nghiệm hệ phương trình đại số kiểu (4.3) cho hai lược đồ Sử dụng M mse (k) = M k ,i (1) , i=1 mse (k) = M k+1 X E,2 ,i (1) − X E,2 E M k M k+1 X M,2 ,i (1) − X M,2 ,i (1) , i=1 để ước lượng tốc độ hội tụ Để hình dung cách xác định, giả sử lược đồ X •,n hội tụ theo tốc độ β ∈ (0, +∞) L2 với chuẩn thông thường Khi tồn số β > cho 22βn E n X(1) − X •,2 (1) = O(1), 22βn E n+1 X •,2 n (1) − X •,2 (1) = O(1) Trong trường hợp này, log2 (mse• (k)) = −2βk + β˜ + o(1), với β˜ ∈ R TH1: Xi (0) = i/2 TH2: Xi (0) = i TH3: Xi (0) = 2i Lược đồ SIEM 0.59 0.59 0.66 Lược đồ SIM 0.70 0.91 0.97 Bảng 4.1: Tốc độ hội tụ lược đồ giải số Tốc độ hội tụ lược đồ thống kê Bảng 4.1 Có thể thấy tốc độ hội tụ lược đồ phụ thuộc vào khoảng cách điểm thời điểm ban đầu Tuy nhiên tốc độ hội tụ lược đồ Milstein nửa ẩn cao tốc độ hội tụ lược đồ Euler nửa ẩn Trong trường hợp 3, tốc độ hội tụ lược đồ Milstein nửa ẩn gần với 1, điều minh chứng kết lý thuyết Tuy nhiên tốc độ hội tụ lược đồ Milstein nửa ẩn trường hợp thấp mức kỳ vọng, điều phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số Mệnh đề 4.1 [58] hội tụ chậm trường hợp 100 Hình 4.1: Giá trị mseE (k) (đánh dấu ) mseM (k) (đánh dấu •) trường hợp thang đo log2 với k = 1, , Hình 4.1 kết mơ ta tính mseE (k) mseM (k) với k = 1, , 5, M = 103 X0 (i) = i/2 (bên trái), X0 (i) = i (ở giữa), X0 (i) = 2i (bên phải) Vẽ đường hồi qui để đánh giá tốc độ hội tụ β cho lược đồ 4.5 Kết luận Chương Mục tiêu chương mở rộng kết Ngơ Hồng Long Taguchi [58] trường hợp hệ số dịch chuyển số Các kết thu chương có đủ tính trơn hệ số lược đồ xấp xỉ dạng Milstein nửa ẩn có tốc độ tốt gấp đơi so với lược đồ xấp xỉ dạng Euler-Maruyama Đồng thời, lược đồ xấp xỉ Milstein nửa ẩn bảo tồn tính chất không va chạm giống nghiệm Kĩ thuật để đánh giá tốc độ biểu diễn sai số xấp xỉ theo nghiệm đúng, giả thiết Hpˆ khai thác triệt để Các kết chương công bố báo [CT3] danh mục cơng trình cơng bố 101 KẾT LUẬN Bằng cách kết hợp công cụ đại giải tích ngẫu nhiên kĩ thuật xấp xỉ Yamada-Watanabe, luận án xây dựng lược đồ xấp xỉ phù hợp cho số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số khơng qui hệ số tăng tuyến tính, liờn tc Lipschitz a phng, liờn tc Hăolder hoc khụng liên tục Luận án không chứng minh hội tụ lược đồ mà xác định tốc độ hội tụ tính ổn định chúng Luận án xây dựng số điều kiện đủ cho tồn nghiệm lớp phương trình vi phân với hệ số khơng Lipschitz • Những đóng góp luận án: i) Chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển liên tục Lipschitz địa phương hệ số khuếch tán liên tục Holder địa phương Kết mạnh kết cổ điển trước ii) Xây dựng lược đồ xấp xỉ dạng khống chế cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số tăng tuyến tính xác định tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh lược đồ iii) Xây dựng lược đồ xấp xỉ bảo tồn tính chất khơng âm tính chất ổn định nghiệm cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên ổn định Lược đồ có tốc độ hội tụ lược đồ cổ điển khác khoảng thời gian hữu hạn iv) Xây dựng lược đồ xấp xỉ Milstein dạng nửa ẩn cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn hệ điểm không va chạm Chứng minh lược đồ đảm bảo tính khơng va chạm nghiệm hội tụ theo nghĩa mạnh với tốc độ 102 • Hướng nghiên cứu luận án Trong thời gian tới, NCS dự định phát triển kết nghiên cứu luận án theo hướng sau đây: i) Thiết lập tiêu chuẩn bản, để áp dụng cho nhiều lược đồ xấp xỉ khác ii) Nghiên cứu giải số cho lớp phương trình vi tích phân ngẫu nhiên có hệ số khơng liên tục có hạch suy biến iii) Nghiên cứu xây dựng lược đồ xấp xỉ dạng tương thích với mốc chia thời gian ngẫu nhiên Đánh giá tốc độ hội tụ tính ổn định nghiệm xấp xỉ dạng iv) Thiết lập lược đồ xấp xỉ cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn hệ điểm khác 103 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ [CT1] H.L Ngo, D.T Luong, Strong rate of tamed EulerMaruyama approximation for stochastic differential equations with Hăolder continuous diffusion coefficients Brazilian Journal of Probability and Statistics (2017) 31, no 1, 24-40 [CT2] H.L Ngo, and D.T Luong, Tamed Euler-Maruyama approximation for stochastic differential equations with locally Hăolder continuous diffusion coefficients Statistics & Probability Letters (2019) 145, 133–140 [CT3] D.T Luong, H.L Ngo Semi-implicit Milstein approximation scheme for non-colliding particle systems Calcolo (2019) 56, 25 [CT4] T.T Kieu, D.T Luong, H.L Ngo, T.T Nguyen Convergence, Nonnegativity and Stability of a New Tamed Euler–Maruyama Scheme for Stochastic Differential Equations with Hăolder Continuous Diffusion Coefficient Vietnam Vietnam Journal of Mathematics (2020) 48, 107–124 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Alfonsi On the discretization schemes for the CIR (and Bessel squared) processes Monte Carlo methods and applications (2005) 11, 355–384 [2] A Alfonsi Strong order one convergence of a drift implicit Euler scheme: Application to the CIR process Statistics and Probability Letters (2013) 83, 602–607 [3] J Bao, C Yuan Convergence rate of EM scheme for SDEs Proceedings of the American Mathematical Society (2013) 141, no 9, 3231–3243 [4] B Berkaoui, M Bossy, A Diop Euler scheme for SDEs with nonLipschitz diffusion coefficient: strong convergence ESAIM Probability and Statistics (2008) 12, 1–11 [5] F Black, M Scholes The Pricing of Options and Corporate Liabilities Journal of Political Economy (1973) 81, no 3, 637–659 [6] M F Bru Diffusions of perturbed principal component analysis Journal of Multivariate Analalysis (1989) 29, no 1, 127–136 [7] M F Bru Wishart processes Journal of Theoretical Probability (1991) 4, no 4, 725–751 [8] E Cépa, D Lépingle Diffusing particles with electrostatic repulsion Probability Theory Related Fields (1997) 107, no 4, 429–449 [9] A Cherny, H J Engelbert Singular Stochastic Differential Equations Lecture Notes in Mathematics (2005), Vol 1858 Springer [10] J F Chassagneux, A Jacquier, I Mihaylov An explicit Euler scheme with strong rate of convergence for financial SDEs with non-Lipschitz 105 coefficients SIAM Journal on Financial Mathematics (2016) 7, no 1, 993–1021 [11] S Dereich, A Neuenkirch, L Szpruch An Euler-type method for the strong approximation of the Cox-Ingersoll-Ross process Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Science (2012) 468.2140, 1105–1115 [12] F J Dyson A Brownian-motion model for the eigenvalues of a random matrix Journal of Mathematical Physics (1962) 3, no 6, 1191–1198 [13] M Fischer, G Nappo On the moments of the modulus of continuity of Itô processes Stochastic Analysis and Applications (2009) 28, no 1, 103–122 [14] J Gatheral The volatility surface: a practitioner’s guide (2011) Vol 357 John Wiley & Sons [15] P Graczyk, J Malecki Strong solutions of non-colliding particle systems Electronic Journal of Probability (2014) 19, no 119, 1–21 [16] M.B Giles Multilevel Monte Carlo path simulation Operations Research (2008) 56, no 3, 607–617 [17] Q Guo, W Liu, X Mao, and R Yue The partially truncated EulerMaruyama method and its stability and boundedness, Applied Numerical Mathematics (2017) 115, 235–251 [18] I Gyăongy A note on Eulers approximations Potential Analysis (1998) 8, 205216 [19] I Gyăongy, and N V Krylov Existence of strong solutions for Itô’s stochastic equations via approximations Probability Theory and Related Fields (1996) 105, 143158 [20] I Gyăongy, N V Krylov On the Splitting-Up Method and Stochastic Partial Differential Equations Stochastic inequalities and applications, (2003) 301321 Birkhăauser, Basel 106 [21] I Gyăongy, M Rỏsonyi A note on Euler approximations for SDEs with Hăolder continuous diffusion coefficients Stochastic Processes and their Applications (2011) 121, 2189–2200 [22] I I Gichman, A V Skorokhod Stochastic differential equations (1968) Naukova Dumka, Kiev [23] M Hairer, M Hutzenthaler, A Jentzen Loss of regularity for Kolmogorov equations Annals of Probability (2015) 43, no 2, 468–527 [24] M Hefter, A Jentzen On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox–Ingersoll–Ross processes and squared Bessel processes.Finance and Stochastics (2019) 23, 139–172 [25] D J Higham Mean-square and asymptotic stability of the stochastic theta method SIAM Journal on Numerical Analysis (2000), 38, 753– 769 [26] D J Higham, X Mao, A M Stuart Strong convergence of Euler type methods for nonlinear stochastic differential equations SIAM Journal on Numerical Analysis (2002) 40, 1041–1063 [27] D J Higham, X Mao, A Stuart Exponential mean-square stability of numerical solutions to stochastic differential equations LMS Journal of Computation and Mathematics (2003) 6, 297-313 [28] D J Higham, X Mao, C Yuan Almost sure and moment exponential stability in the numerical simulation of stochastic differential equations SIAM Journal on Numerical Analysis (2007) 45, 592–609 [29] Y Hu Semi-implicit Euler-Maruyama scheme for stiff stochastic equations Stochastic Analysis and Related Topics V (1996) 38, 183–202 [30] W Liu, X Mao Almost sure stability of the Euler-Maruyama method with random variable stepsize for stochastic differential equations Numerical Algorithms (2017) 74, no 2, 573–592 [31] M Hefter, A Jentzen On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox–Ingersoll–Ross processes and squared Bessel processes Finance and Stochastics (2019) 23, no 1, 139–172 107 [32] M Hutzenthaler, A Jentzen Numerical approximations of stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients, Memoirs of the American Mathematical Society (2015) 236, no 1112 [33] M Hutzenthaler, A Jentzen, and P E Kloeden Strong and weak divergence in finite time of Euler’s method for stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (2011) 467, no 2130, 1563–1576 [34] M Hutzenthaler, A Jentzen, P E Kloeden Strong convergence of an explicit numerical method for SDEs with non-globally Lipschitz continuous coefficients Annals of Applied Probability (2012) 22, 1611–1641 [35] M Hutzenthaler, A Jentzen, and M Noll Strong convergence rates and temporal regularity for Cox-Ingersoll-Ross processes and Bessel processes with accessible boundaries Preprint arXiv:1403.6385 (2014) [36] K Itô Stochastic integral Proceedings of the Imperial Academy (1944) 20, no 8, 519–524 [37] A Jentzen, P E Kloeden, A Neuenkirch Pathwise approximation of stochastic differential equations on domains: higher order convergence rates without global Lipschitz coefficients.Numerische Mathematik (2009) 112, no 1, 41–64 [38] I Karatzas, S Shreve Brownian motion and stochastic calculus Springer Science & Business Media (2012) Vol 113 [39] M Katori, H Tanemura Symmetry of matrix-valued stochastic processes and noncolliding diffusion particle systems Journal of Mathematical Physics (2004) 45, no 8, 3058–3085 [40] R Khasminskii Stochastic stability of differential equations (2011) vol 66 Springer Science & Business Media [41] P.E Kloeden, E Platen Numerical solution of stochastic differential equations (1992) vol Springer-Verlag, Berlin 108 [42] N V Krylov On Itô stochastic differential equations, Theory of Probability and Its Applications (2969) 14, no 2, 330–336 [43] S Kusuoka Approximation of expectation of diffusion processes based on Lie algebra and Malliavin calculus (2004) 69–83 In Advances in mathematical economics, Springer, Tokyo [44] J F Le Gall.One-dimensional stochastic differential equations involving the local times of the unknown process Stochastic analysis and applications (1984) 51–82 [45] D Lépingle Boundary behavior of a constrained Brownian motion between reflecting-repellent walls Probability and Mathematical Statistics (2010) 30, no 2, 273–287 [46] X H Li, and G Menon Numerical solution of Dyson Brownian motion and a sampling scheme for invariant matrix ensembles Journal of Statistical Physics (2013) 153, no 5, 801–812 [47] X Mao Stochastic differential equations and their applications (1997) Horwood Publishing Series in Mathematics & Applications, Horwood Publishing Limited, Chichester [48] X Mao The truncated Euler–Maruyama method for stochastic differential equations, Journal of Computational and Applied Mathematics (2015) 290 370–384 [49] X Mao, L Szpruch Strong convergence and stability of implicit numerical methods for stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients, Journal of Computational and Applied Mathematics (2013) 238, no 15, 14–28 [50] G Maruyama Continuous Markov processes and stochastic equations Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1955) 4, 48 [51] R C Merton Theory of rational option pricing The Bell Journal of Economics and Management Science (1973) 4, 141–183 [52] G Milstein Approximate integration of stochastic differential equations, Theory of Probability and its Applications (1974) 19, 557–562 109 [53] G Milstein, M Tretyakov Stochastic numerics for mathematical physics (2013) Springer Science & Business Media [54] N Naganuma, D Taguchi Malliavin calculus for non-colliding particle systems, Stochastic Processes and their Applications (2020) 130, no 4, 2384–2406 [55] H L Ngo, D Taguchi On the Euler–Maruyama approximation for onedimensional stochastic differential equations with irregular coefficients IMA Journal of Numerical Analysis (2016), 37, no 4, 1864–1883 [56] H L Ngo, D Taguchi Strong rate of convergence for the Euler–Maruyama approximation of stochastic differential equations with irregular coefficients Mathematics of Computation (2016) 85, no 300, 1793–1819 [57] H L Ngo, D Taguchi Strong convergence for the Euler-Maruyama approximation of stochastic differential equations with discontinuous coefficients Statistics and Probability Letters (2017) 125, 55–63 [58] H L Ngo, D Taguchi Semi-implicit Euler Maruyama approximation for non-collliding particle systems Annals of Applied Probability (2020), 2, 673–705 [59] K Ramanan, M Shkolnikov Intertwinings of beta-Dyson Brownian motions of different dimensions Annales de l’Institut Henri Poincare (B) Probability and Statistics (2018) 54, no 2, 1152–1163 [60] D Revuz, M Yor Continuous martingales and Brownian motion (2013) Vol 293 Springer Science & Business Media [61] L C Rogers, Z Shi Interacting Brownian particles and the Wigner law Probability Theory and Related Fields (1993) 95, no 4, 555–570 [62] H Rost, M E Vares Hydrodynamics of a one-dimensional nearest neighbor model, particle systems, random media and large deviations Contemporary Mathematics (1985) 41, 329–342 [63] S Sabanis A note on tamed Euler approximations Electronic Communications in Probability, (2013) 18, no 47, 1–10 110 [64] S Sabanis Euler approximations with varying coefficients: the case of superlinearly growing diffusion coefficients Annals of Applied Probability (2016) 26, no 4, 2083–2105 [65] Y Saito, T Mitsui Stability analysis of numerical schemes for stochastic differential equations SIAM Journal on Numerical Analysis (1996) 33, 2254–2267 [66] D W Stroock, R S Varadhan Diffusion processes with continuous coefficients, I, II Communications on Pure and Applied Mathematics (1969) 22, 345-400; 479–530 [67] L Szpruch, X Zhang V -integrability, asymptotic stability and comparison property of explicit numerical schemes for non-linear SDEs, Mathematics of Computation (2018) 87, 755-783 [68] A.Yu Veretennikov On strong solution and explicit formulas for solutions of stochastic integral equations Mathematics of the USSR-Sbornik (1981) 39, 387– 403 [69] X Wang and S Gan The tamed Milstein method for commutative stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coeficients, Journal of Difference Equations and Applications (2013) 19, no 3, 466–490 [70] T Yamada On the successive approximation of solutions of stochastic differential equations Journal of Mathematics of Kyoto University (1981) 21, no 3, 501–515 [71] T Yamada, S Watanabe On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations, Journal of Mathematics of Kyoto University, (1971) 11, 155–167 [72] B L Yan The Euler scheme with irregular coefficients Annals of Probability (2002) 30, no 3, 1172–1194 [73] X Zong, F Wu, C Huang Convergence and stability of the semi-tamed Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz con- 111 tinuous coefficients, Applied Mathematics and Computation (2014) 228, 240–250 [74] A K Zvonkin A transformation of the phase space of a diffusion process that removes the drift Mathematics of the USSR-Sbornik (1974) 22, 129– 148 ... trình bày số khái niệm, kết tồn nghiệm, tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Luận án giới thiệu số lược đồ xấp xỉ thường gặp cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số qui Các... điều kiện theo phân phối ([38]) 20 Giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khơng qui Maruyama [50] người khởi xướng vi? ??c xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dãy trình có cấu... lý 1.2.1, lược đồ Milstein có tốc độ hội tụ mạnh rs = 1.3 Một số kết giải số nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khơng qui Trước