Slide 1 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG 1 Cực trị tự do 2 Cực trị có điều kiện 3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên tập compact CỰC TRỊ TỰ DO Hàm z = f(x, y) xác định trong miển mở D chứa P0(x0, y0) 1 P0[.]
CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG Cực trị tự Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất, nhỏ tập compact CỰC TRỊ TỰ DO Hàm z = f(x, y) xác định miển mở D chứa P0(x0, y0) P0 điểm cực đại f tồn lân cận V P0 cho: f(x, y) f(x0, y0), (x, y) V Bỏ dấu “ = “ ta gọi P0 điểm cực đại chặt f Thay ta có định nghĩa điểm cực tiểu Lưu ý: dùng định nghĩa để xét cực trị xét dấu biểu thức sau với (x,y) gần (x0,y0) f (x0,y 0) hay Nếu f (x0,y 0) f (x,y ) f (x0 f (x0,y 0) x,y0 y) f (x0,y 0) x, y gần (nhưng không đồng thời 0) f giữ nguyên dấu lân cận (x0, y0) f đạt cực trị điểm này, ngược lại f khơng đạt cực trị Ví dụ 1/ P(0, 0) điểm cực tiểu chặt f(x, y) = x2+y2 f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x2 + y2 > 0, (x, y) hay f(x, y) > f(0, 0), (x, y) (0, 0) (0, 0) 2/ P(0, 0) điểm cực tiểu không chặt f(x, y) = x2y2 f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x2y2 hay f(x, y) 0, (x, y) f(0, 0), (x, y) f(x, 0) = f(0, 0), x f(0, y) = f(0, 0), y 0 Tức là: lân cận V (0, 0) ln ln có đíểm (x, y) để dấu “ = “ xảy 3/ f(x, y) = x2 – y2 không đạt cực trị (0, ) f(x, ) > = f(0, 0), x 0; f(0, y) < f(0,0), y Trong lân cận (0,0) ln ln có điểm P1, P2 mà f(P1) > f(0,0) f(P2) < f(0,0) Điều kiện cần cực trị: Nếu z = f(x,y) đạt cực trị P0(x0, y0) • Hoặc f’x(P0) = f’y(P0) = • Hoặc đạo hàm riêng P0 khơng tồn Định nghĩa: • f’x(P0) = f’y(P0) = : P0 điểm dừng •P0 điểm tới hạn P0 điểm dừng đạo hàm f P0 không tồn Điều kiện đủ cực trị: Hàm z = f(x, y) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm dừng P0(x0, y0) f 1.Nếu d2f(x0,y0) xác định dương f đạt cực tiểu chặt P0 2.Nếu d2f(x0,y0) xác định âm f đạt cực đại chặt P0 3.Nếu d2f(x0,y0) khơng xác định dấu f khơng đạt cực trị P0 Các bước để tìm cực trị hàm biến 1.Giải hệ pt: 2.Tính : A fx ( x , y ) , fy ( x , y ) fxx ( x , y ), B fxy ( x , y ),C = AC – B2 A 0 A 0 f đạt cực tiểu chặt P0 f đạt cực đại chặt P0 f không đạt cực trị P0 Xét P0 theo định nghĩa (x0,y 0) fyy ( x , y ) VÍ DỤ 1/ Tìm cực trị z = f(x, y) = x3 + y3 – 3xy fx fy fxx 3x 3y 2 3y (x,y ) 3x hay x , fxy Tại (0,0): 3, fyy (0, ) (x,y ) (1,1) 6y A = f”xx(0,0) = 0, B = f”xy(0,0) = -3, C = f”yy(0,0) = 0, = AC – B2 = - < f không đạt cực trị (0,0) fxx x , fxy Tại (1,1): 3, fyy 6y A = f”xx(1,1) = 6, B = f”xy(1,1) = -3, C = f”yy(1,1) = 6, = AC – B2 = 36 – > A>0 f đạt cực tiểu (1,1), f(1,1) = -1 2/ Tìm cực trị z = f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 fx fy fxx 4x 4y 2x 12 x Tại (1,1): 2x 2y 2y , fxy 0 , fyy (x,y ) (1,1) (x,y ) ( 1, 1) (x,y ) (0, ) 12y 2 A = f”xx(1,1) = 10, B = f”xy(1,1) = -2, C = f”yy(1,1) = 10, = AC – B2 = 100 – > A>0 f đạt cực tiểu (1,1), f(1,1) = -2 f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 fxx 12 x Tại (1,1): 2 , fxy , fyy 12y 2 A = f”xx(-1,-1) = 10, B = f”xy(-1,-1) = -2, C = f”yy(-1,-1) = 10, = AC – B2 = 100 – > A>0 f đạt cực tiểu (-1,-1), f(-1,-1) = -2 fxx 12 x 2 , fxy , fyy 12y 2 Tại (0,0): A = f”xx(0,0) = -2, B = f”xy(0,0) = -2, C = f”yy(0,0) = -2, = AC – B2 = khơng có kết luận Xét f(0,0) = f(x,y) – f(0,0) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 = x4 + y4 – (x + y)2 f(0,0) = x4 + y4 – (x + y)2 Nếu x = – y : f(0,0) = 2x4 > Nếu x = y: f(0,0) = 2x4 – 4x2 = 2x2(x2 – 2) < với x gần Vậy lân cận tùy (0,0) ln có điểm P1, P2 mà f(P1) > f(0,0) f(P2) < f(0,0) Kết luận: f không đạt cực trị (0, 0) x=y P2 P1 V x=-y ... 2x 12 x Tại (1, 1): 2x 2y 2y , fxy 0 , fyy (x,y ) (1, 1) (x,y ) ( 1, 1) (x,y ) (0, ) 12 y 2 A = f”xx (1, 1) = 10 , B = f”xy (1, 1) = -2, C = f”yy (1, 1) = 10 , = AC – B2 = 10 0 – > A>0 f đạt cực tiểu (1, 1),... tiểu (1, 1), f (1, 1) = -2 f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 fxx 12 x Tại (1, 1): 2 , fxy , fyy 12 y 2 A = f”xx( -1, -1) = 10 , B = f”xy( -1, -1) = -2, C = f”yy( -1, -1) = 10 , = AC – B2 = 10 0 – > A>0 f đạt... cực trị (0,0) fxx x , fxy Tại (1, 1): 3, fyy 6y A = f”xx (1, 1) = 6, B = f”xy (1, 1) = -3, C = f”yy (1, 1) = 6, = AC – B2 = 36 – > A>0 f đạt cực tiểu (1, 1), f (1, 1) = -1 2/ Tìm cực trị z = f(x, y) =