Các dạng toán về dây cung của đường tròn I Lý thuyết 1 Khái niệm dây của đường tròn Dây của đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn Đường kính cũng là một dây của đường tròn Xét hình vẽ[.]
Các dạng tốn dây cung đường trịn I Lý thuyết Khái niệm dây đường tròn - Dây đường tròn đoạn thẳng nối hai điểm đường trịn - Đường kính dây đường trịn Xét hình vẽ Ta nói CD AB hai dây đường tròn Đặc biệt dây AB cịn đường kính So sánh độ dài đường kính dây Trong dây đường trịn, đường kính dây lớn Quan hệ vng góc đường kính dây - Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Cho đường trịn tâm O đường kính AB dây CD không qua tâm Nếu AB qua trung điểm I CD AB ⊥ CD Nếu AB ⊥ CD AB qua trung điểm I CD Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây - Trong đường tròn + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm Dây AB = CD khoảng cách từ O đến AB khoảng cách từ O đến CD Khoảng cách từ O đến AB CD dây AB = CD - Trong hai dây đường trịn + Dây có độ dài lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây có độ dài lớn Xét hình vẽ: Dây AB gần tâm dây CD nên AB > CD II Các dạng tập Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, so sánh độ dài hai đoạn thẳng Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức học: + Quan hệ vng góc đường kính dây + Dùng định lý Py – ta – go , hệ thức lượng tam giác vuông Ví dụ 1: Cho đường trịn (O; R) có dây AB CD vng góc với I (I khác O) Cho IA = 2cm, IB = 4cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây bán kính R Lời giải: Ta có: CD = AB = IA + IB = + = 6cm Vẽ OG ⊥ AB G; OF ⊥ CD F Vì OG ⊥ AB nên G trung điểm AB Vì OF ⊥ CD nên F trung điểm CD Vì G trung điểm AB nên AG = GB = : = 3cm IG = AG – AI = – = 1cm Xét tứ giác OGIF có FIG = IGO = OFI = 90 Tứ giác OGIF hình chữ nhật (1) Lại có AB = CD nên khoảng cách từ O đến AB khoảng cách từ O đến CD OG = OF (tính chất) (2) Từ (1) (2) Tứ giác OGIF hình vng OG = OF = 1cm Xét tam giác OAG vng G ta có: AO2 = OG + AG (Định lý Py – ta – go) AO2 = 12 + 32 AO2 = + AO2 = 10 AO = 10cm Vậy bán kính đường trịn R = 10cm Ví dụ 2: Cho AB CD hai dây khác đường kính đường trịn (O; R) Gọi OE, OF theo thứ tự khoảng cách từ O đến AB; CD Chứng minh rằng: OE + EB2 = OF2 + FD2 Lời giải: Xét tam giác OEB vng E ta có: OE + EB2 = OB2 = R (Định lý Py – ta – go) (1) Xét tam giác OFD vuông F ta có: OF2 + FD2 = OD2 = R (Định lý Py – ta – go) (2) Từ (1) (2) OE + EB2 = OF2 + FD2 = R (điều phải chứng minh) Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O, dây AB CD nhau, đường thẳng AB CD cắt điểm E nằm bên ngồi đường trịn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD Chứng minh rằng: EH = EK Lời giải: Xét đường trịn (O): Vì K trung điểm CD nên OK ⊥ CD OKE = 90 Vì H trung điểm AB nên OH ⊥ AB OHE = 90 Vì AB = CD nên OK = OH (tính chất) Xét OKE OHE có: OK = OH = (cmt) OKE = OHE = 90 OE chung Do OKE = OHE (cạnh huyền – cạnh góc vng) EH = EK Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức - Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây - Trong đường trịn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Kẻ AE BG vng góc với CD E G Chứng minh CE = DG Lời giải: Gọi H trung điểm CD OH ⊥ CD OH ⊥ EG BG ⊥ EG Vì AE // BG AE ⊥ EG Xét tứ giác ABGE có: AE // BG Tứ giác ABGE hình thang Lại có OH ⊥ EG nên OH // AE // BG Mà OH qua trung điểm O AB nên OH qua trung điểm EG H trung điểm EG HE = HG Ta có: HE = EC + CH HG = DG + HD EC = HE − CH DG = HG − HD Mà HE = HG (cmt) ; CH = HD (H trung điểm CD) Do EC = DG Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ hai dây AC BD cho AC // BD Chứng minh: AC = BD Lời giải: Gọi F trung điểm AC; G trung điểm BD OF ⊥ AC OG ⊥ BD Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng Xét AOF BOG có OA = OB (bán kính) AOF = BOG (hai góc đối đỉnh) OFA = OGB = 90 Do AOF = BOG ( cạnh huyền – góc nhọn) AF = BG mà F trung điểm AC, G trung điểm BD AC = BD Dạng 3: Liên hệ dây khoảng cách từ tâm tới dây Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức Trong đường trịn: + Đường kính dây lớn + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây có độ dài lớn dây gần tâm + Dây gần tâm có độ dài lớn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường cao BH CK a) Chứng minh bốn điểm B, H, C, K thuộc đường tròn b) BC > HK Lời giải: a) Gọi O trung điểm BC Xét tam giác BKC vuông K, trung tuyến KO ta có: BO = OC = OK = BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Xét tam giác BHC vuông H, trung tuyến HO ta có: BO = OC = OH = BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Từ (1) (2) BO = OC = OH = OK = BC B, H, K, C cách O B, H, C, K thuộc đường trịn tâm O đường kính BC b) Vì tâm O nằm BC B, C hai điểm thuộc đường tròn (O) nên BC đường kính Lại có H, K thuộc đường trịn (O) nên HK dây đường tròn Tuy tâm O không thuộc HK nên HK < BC (trong dây đường kính dây dài nhất) Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) dây cung AB; AC; AD (khác đường kính) Gọi M, N hình chiếu B lên AC; AD Chứng minh MN < 2R Lời giải: Xét tam giác AMB vuông M A, M, B thuộc đường trịn đường kính AB (1) Xét tam giác ANB vuông N A, N, B thuộc đường trịn đường kính AB (2) Từ (1) (2) A, M, N, B nằm đường trịn với AB đường kính Khi MN dây MN AB Mà AB lại dây đường tròn (O) AB < 2R MN < 2R III Bài tập vận dụng Phần 1: Trắc nghiệm Câu 1: Cho (O; 15cm) có dây AB = 24cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB: A 12cm B 9cm C 8cm D 6cm Câu 2: Cho khẳng định sau: i) Đường kính dây dài đường trịn ii) Trong đường trịn, dây xa tâm lớn iii) Đường trịn có vơ số trục đối xứng iv) Mỗi dây đường tròn trục đối xứng đường trịn v) (O; 2cm) có nghĩa đường trịn tâm O có đường kính 2cm Trong khẳng định có khẳng định A B C D Câu 3: Cho đường trịn (O; 10cm) Khi dây lớn đường trịn có độ dài là: A 5cm B 10cm C 15cm D 20cm Câu 4: Cho đường trịn có bán kính 10cm Một dây cung thuộc đường trịn Số sau khơng thể khoảng cách đường trịn đến dây cung đó: A 5cm B 11cm C 7cm D 1cm Phần 2: Tự luận Bài 1: Cho đường tròn (O) dây CD Từ O kẻ đường thẳng vng góc với CD M cắt (O) H Cho CD = 16cm MH = 4cm Tính bán kính đường trịn Bài 2: Cho đường trịn (O), đường kính AB; dây CD cắt AB M, cho MC = 4cm, MD = 12cm BMD = 30 Hãy tính: a) Khoảng cách từ O đến CD b) Bán kính O Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC Lấy D đối xứng với H qua M a) Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OM = AH Bài 4: Cho nửa đường trịn đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B C cho AB = BC CD = 6cm Tính bán kính đường trịn Bài 5: Cho (O; R) đường kính AB dây cung DE Tia DE cắt AB C Biết DOE = 90 OC = 3R Tính a) CD CE theo R b) Chứng minh: CD.CE = CA.CB Bài 6: Cho tam giác ABC đường cao BD CE cắt H Lấy I trung điểm BC a) Gọi K điểm đối xứng H qua I Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành b) Xác định O tâm đường tròn qua điểm A, B, K, C Bài 7: Cho điểm A nằm đường trịn (O) có CB đường kính AB < AC Vẽ dây AD vng góc với BC H Chứng minh: a) Tam giác ABC vuông A b) H trung điểm AD, AC = CD BC tia phân giác góc ABD Đáp án trắc nghiệm Câu 1: B Câu 2: A Câu 3: D Câu 4: B ... Cho đường tròn có bán kính 10cm Một dây cung thuộc đường trịn Số sau khơng thể khoảng cách đường trịn đến dây cung đó: A 5cm B 11cm C 7cm D 1cm Phần 2: Tự luận Bài 1: Cho đường tròn (O) dây CD... Hai dây cách tâm Dây AB = CD khoảng cách từ O đến AB khoảng cách từ O đến CD Khoảng cách từ O đến AB CD dây AB = CD - Trong hai dây đường trịn + Dây có độ dài lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây. .. (O) nên BC đường kính Lại có H, K thuộc đường trịn (O) nên HK dây đường trịn Tuy tâm O khơng thuộc HK nên HK < BC (trong dây đường kính dây dài nhất) Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) dây cung AB;