HOÀNG KIM CHI KHÔNG GIAN SOBOLEV NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Thái Nguyên Năm 2012 ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC KHOA HOC Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học.
Không gian W k,p (Ω) ; W k,p (Ω)
Không gian W k,p (Ω)
Cho Ω ⊂ R n là mien bị ch n, x = (x 1 , x 2 , x 3 , , x n ) ∈ Ω. a Không gian L p (Ω);(1 ≤ p < +∞).
L p (Ω) là không gian Banach cő đien gom các hàm đo được trên Ω và p-khả tích Tác là:
Chuȁn của L p (Ω) được đ nh nghĩa bới: ǁuǁ L p (Ω) = ∫ |u| dx ,
1 /p trong đó |u (x)| là giá trị tuy t đoi ho c mođun của u (x).
Khi p = +∞; L ∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị ch n trên Ω với chuȁn: ǁuǁ∞,Ω = ǁuǁ L ∞ (Ω) = sup |u| (1.4)
Khi không có sự nh p nhang, chúng ta sě dùng ǁuǁ p thay cho ǁuǁ L p (Ω):
Khi p = q = 2; (1.5) chính là bat đȁng thác Cauchy Thay the a bởi ε 1/p a,
Ω p p q b bởi ε −1/p b, với ε > 0 khi đó (1.5) trở thành bat đȁng thác n®i suy:
(1.7) là h quả của bat đȁng thác Young, khi p = q = 2, bat đȁng thác Holder trở thành bat đȁng thác Schwarz.
Bat đȁng thác Holder sả dụng trong trường hợp tőng quát đoi với m hàm u 1 , u 2 , , u m nam trong không gian L p 1 , L p 2 , , L p m như sau:
Bat đȁng thác Holder cũng được sả dụng đe nghiên cáu chuȁn trong L p khi coi đó là các hàm của p:
Với p > 0, φ p (u) là hàm không giảm theo p, với u co định.
Không gian L p (Ω) là khả li khi p < ∞, C 0 Ω là không gian con trù m t trong L p (Ω).
Không gian đoi ngau của L p (Ω) khi 1 < p < ∞ đȁng cau với L q (Ω),
= 1 Vì the L q (Ω) khi 1 < p < +∞ được coi là liên hợp p
p q của L p (Ω) Do đó, L p (Ω) là phản xạ khi 1 < p < ∞
Khi p = 2, L 2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng:
|u (x)| dx. Định lj 1.8 (đ nh lý nhỳng L p (Ω)) Giả sủ Ω là mien b chắn và 1 ≤ p 1 < p 2 Khi đó, L p 2 (Ω) ⊂ L p 1 (Ω) và ánh xạ nhúng j : L p 2 (Ω) ›→ L p 1 (Ω) là liên tực.
Chúng minh: Giả sả u ∈ L p 2 (Ω) ta can cháng minh u ∈ L p 1 (Ω) hay
∫ |u| dx < +∞. Áp dụng bat đȁng thác Holder với p = p 2
Vì Ω bị ch n và u ∈ L p 2 (Ω) nên
(1.11) cháng tỏ ánh xạ j : L p 2 (Ω) ›→ L p 1 (Ω) là liên tục và ǁjǁ ≤ (mesΩ) 1/qp 1 = (mesΩ) 1/p 1 −1/p 2
Cho Ω là t p mở trong R n , k là so nguyên không âm Không gian Holder
C k,α Ω C k,α (Ω) được định nghĩa như m®t không gian con của không gian C k Ω C k (Ω) gom có các hàm mà đạo hàm riêng b c k liên tục
Holder đeu (liên tục Holder địa phương) với so mũ α trong Ω Đe đơn giản ta kí hi u:
C 0,α (Ω) = C α (Ω) , C 0,α Ω = C α Ω được hieu với 0 < α < 1 moi khi kí hi u này được dùng neu không nói ngược lại.
Chúng ta có the g®p không gian C (Ω) (C Ω ) vào ho các không gian
C k (Ω) (C k Ω ) với 0 ≤ α ≤ 1 Chúng ta cũng kí hi u không gian C k,α (Ω) của hàm trên C k,α (Ω) là giá compact trong Ω.
Các không gian C k,α (Ω) ở trên là không gian địa phương.
Cho ρ là m®t hàm không âm trong C ∞ (R n ), tri t tiêu bên ngoài hình cau
B 1 (0) và thỏa mãn ρdx = 1 M®t hàm như v y thường được goi là m®t nhân trung bình hóa M®t ví dụ đien hình là hàm ρ được đưa ra bởi:
0 với |x| ≥ 1 trong đó c được chon đe ∫ ρdx = 1 và có đo thị là hình quả chuông quen xác định bởi tích ch p u h (x) = h −n
Ω ρ x − y u (y) dy với đieu ki n là h < dist (x, ∂Ω) Rõ ràng là u h thu®c C ∞ (Ω ′ ) với moi
Ω ′ ⊂⊂ Ω với đieu ki n là h < dist (Ω ′ , ∂Ω) Hơn nǎa, neu u thu®c L 1 (Ω), lo c
2 thu®c Với u ∈ L lo 1 c (Ω) và h > 0, chuȁn của u bieu thị bởi u h , sau đó được
Ω bị ch n thì u h nam trong C 0 ∞ (R n ) với h > 0 tùy ý Khi h tien đen 0 hàm y ›→ h −n ρ (x − y/h) tien đen hàm suy r®ng delta Dirac tại điem x
Bo đe 1.9 Cho u ∈ C 0 (Ω) Khi đó, u h h®i tự đen u trên bat kì mien
Bo đe 1.10 Cho u ∈ L p (Ω), p < ∞ Khi đó u h h®i tự đen u trong ý nghĩa của L p (Ω).
Cho u khả tích địa phương trong Ω và đa chỉ so α bat kì Khi đó m®t hàm v khả tích địa phương goi là đạo hàm yeu b c α của u neu thỏa mãn ϕvdx = (−1) |α|
Ta ký hiệu \( D^\alpha u \) là đạo hàm yếu của hàm \( u \), và chú ý rằng \( D^\alpha u \) là xác định duy nhất cho mọi hàm có độ đo không Đạo hàm yếu được hiểu là thỏa mãn trên mọi miền liên quan Một hàm được gọi là khả vi yếu nếu tất cả các đạo hàm yếu bậc nhất của nó tồn tại, và với bậc k, nếu tất cả các đạo hàm yếu bậc k tồn tại Không gian tuyến tính của các hàm khả vi yếu bậc k được ký hiệu là \( W^k(\Omega) \) Rõ ràng, \( C^k(\Omega) \subset W^k(\Omega) \) Khái niệm đạo hàm yếu là một mở rộng của khái niệm cổ điển, trong đó phép lấy tích phân từng phần vẫn còn đúng.
Bo đe 1.11 Cho u ∈ L 1 (Ω), α là m®t đa chí so, và giả sủ rang ton tại
D α u Khi đó neu d (x, ∂Ω) > h, ta có
D α u h (x) = (D α u) h (x) Định lý 1.12 cho biết rằng nếu u và v là hai hàm khả tích đa phương trong miền Ω, thì v = D α u nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy hàm {u m} thuộc C ∞ (Ω) hội tụ mạnh đến u trong L 1 (Ω) và đạo hàm D α u m hội tụ mạnh đến v trong L 1 (Ω) Bên cạnh đó, không gian W k,p (Ω) cũng được nhắc đến trong bối cảnh này.
Không gian W k,p (Ω) được định nghĩa:
Khi đó chuȁn của u ∈ W k,p (Ω) được định nghĩa bởi ǁuǁ k,p;Ω = ǁuǁ W k,p (Ω) =
M®t chuȁn tương đương là: ǁuǁ W k,p (Ω) α p
Ví dụ
Cho k=0 Khi đó, ta có:
Cho k=1 Khi đó, ta có:
Cho k=2 Khi đó, ta có:
Không gian W k,p (Ω)
Không gian Banach W k,p (Ω) phát sinh do vi c lay bao đóng của C k (Ω)
0 0 trong W k,p (Ω) W k,p (Ω) , W k,p (Ω) không trùng nhau đoi với mien Ω bị ch n. Đ c bi t, p = 2, W k,2 (Ω) , W k,2 (Ω) (đôi khi kí hi u là H k (Ω) , H k (Ω)) là
0 0 các không gian Hilbert với tích vô hướng:
Các tính chất giải tích của không gian W k,p (Ω) được xác định thông qua việc nhúng tự nhiên vào tích của N k bản sao của L p (Ω), với N k là số chỉ số α thỏa mãn |α| ≤ k Bằng cách sử dụng tính chất tích hǎu hạn và các không gian con đóng của không gian Banach tách được, ta có thể kết luận rằng W k,p (Ω) là không gian tách được với điều kiện 1 ≤ p < ∞.
0 trong lân c n của biên ∂Ω}. b Không gian W k,p (Ω)
W k,p (Ω) là không gian sinh bởi bao đóng của C k (Ω) trong W k,p (Ω).
Trường hợp khi p = +∞, không gian Sobolev và Lipchitz có moi quan h với nhau, cụ the là:
Bat đang thfớc Poincare: Giả sủ Ω là mien b chắn và p ≥ 1 Khi đú, ton tại so c > 0 sao cho: n ǁuǁ L p (Ω) ≤ c ǁD j uǁ L p (Ω) ∀u ∈ C 0 ∞ (Ω) (1.18) j=1
Chúng minh: Bởi vì: L p (Ω) = C 0 ∞ (Ω) nên chỉ can cháng minh (1.16) cho u ∈ C 0 ∞ (Ω) Bao Ω bởi hình h®p chǎ nh t D và xem u (x) ≡ 0 ngoài Ω.
Vì u(x 1 , , x n−1 , a n ) = 0 nên theo công thác Newton - Leibniz cho ta: u (x 1 , x 2 , , x n ) a n
Tích phân hai ve (1.18) trên D ta có:
Với moi hàm u ∈ C 0 ∞ (Ω) ta có |u| L l (D) = |u| L p (Ω) nên tà (1.20) ta suy ra (1.18).
Hai chuan tương đương trong W 1,p (Ω): ǁuǁ W k,p (Ω) α p
Hai chuȁn trên là tương đương tác là ∃c 1 , c 2 ∈
Chúng minh: Đ t N = card {α : |α| ≤ k}, a α = ǁD α uǁ L p (Ω) ≥ 0, ta sě cháng minh rang (1.23) được thỏa mãn với c 1 = 1, c 2 = N (p−1)/p
Thực v y, trước het ta cháng minh bat đȁng thác:
(1.24) rõ ràng đúng neu a α = 0 ∀α Neu trái lại thì ve phải (1.24) dương và (1.24) tương đương với:
≤ 1 (∀p > 1) và (1.24) được cháng minh Như v y, bat đȁng thác bên trái của (1.23) đúng với moi p ≥ 1 và c 1 = 1.
Tiep theo ta cháng minh bat đȁng thác:
(1.25) Áp dụng bat đȁng thác Holder ta có: Σ Σ 1/q Σ p 1/p
Như v y (1.23) đúng với c 1 = 1, c 2 = N (p−1)/p Nói cách khác:
Do đó các chuȁn ǁ.ǁ và ǁ|.|ǁ trên W k,p (Ω) là tương đương.
Tà đó ta có h quả: Hai chuȁn sau là tương đương trên W 1,p (Ω): ǁuǁ ǁuǁ L p (Ω)
Chúng minh: Goi c là hang so trong bat đȁng thác Poicare ta có: ǁ|u|ǁ ≤ ǁuǁ ≤ (c + 1) ǁ|u|ǁ Suy ra đieu phải cháng minh.
1.3 Định lj nhúng Định lj 1.13.
Hơn nǎa, ton tại m®t hang so c = c (n, p) sao cho với moi u ∈ W 1,p (Ω) thì: ǁuǁ np/(n−p) ≤ cǁDuǁ p với p < n (1.26) sup |u| ≤ c|Ω| 1 /n − 1 /p ǁDuǁ với p > n
Chúng minh: Chúng ta thiet l p đánh giá (1.26) cho các hàm C 1 (Ω)
Rõ ràng với u bat kì thu®c C 1 (Ω) và i bat kì: 1 ≤ i ≤ n thì
Bat đȁng thác (1.27) bây giờ được lay tích phân liên tục với moi bien x i ; i = 1, , n
Sau đó áp dụng bat đȁng thác Holder tőng quát: Cho m = p 1 = p m = n − 1 Cho moi tích phân, ta có:
Do đó, bat đȁng thác (1.26) được thiet l p cho trường hợp p = 1
Các trường hợp còn lại có the nh n được bang cách thay the u bang lũy thàa của |u| Theo cách này chúng ta nh n được :
Với γ > 1 : γ ǁuǁ n/ n − 1 ≤ √ n Ω |u| γ−1 |Du| dx γ−1¨ do bat đȁng thác Holder.
Bây giờ với p < n, ta có the chon γ thỏa mãn: γn n −
Và do v y, ta được: như can tìm
Trường hợp: p > n Với p > n ta viet: ǁuǁ np/(n−p) ≤
∫ ¨ γ γ √ nǁDuǁ p u˜ = √ n |u| ǁDuǁ p và với |Ω| = 1 Ta có: ǁu˜ǁ ≤ γ¨u˜ γ−1 ¨
Cho phép thay the γ bang trị so δ ν , ν = 1, 2, mà δ = n
Do đó chúng ta có được: ǁu˜ǁ n ′ δ ν ≤ δ νδ −ν ν ǁu˜ǁ n ′ δ ν−1 , ν = 1, 2,
L p lại ν = 1 và dùng (1.28) ta nh n được ν bat kì: ǁu˜ǁ δ ν ≤ δ Σ νδ −ν ≡ χ.
Do v y, neu ν → ∞ ta được: và do đó sup u˜ ≤ χ sup |u| ≤ χ
√nǁDuǁ p Đe bỏ hạn che |Ω| = 1, ta xét phép bien đői y i = |Ω| 1/n x i
Ta có: như can tìm. sup |u| ≤ χ
√n|Ω| 1/n−1/ p ǁDuǁ p Đe mở r®ng đánh giả (1.26) cho u tùy ý thu®c W 1,p (Ω), ta giả sả {u m } là m®t dãy các hàm của C 1 (Ω) tien đen u trong W 1,p (Ω) Áp dụng đánh giá γ ˜
(1.15) cho hi u u m 1 − u m 2 , ta thay rang dãy {u m } sě là dãy Cauchy trong
L np/(n−p) (Ω) với p < n và trong C 0 Ω với p > n Do v y, hàm giới hạn 0
0 u sě nam trong không gian muon có và thỏa mãn (1.26).
Chú ý: Hang so tot nhat thỏa mãn (1.26) cho trường hợp p < n là:
Khi p=1, hang so trên trở thành hang so đȁng chu női tieng n −1 (ω n )
−1/n M®t không gian Banach B 1 được goi là nhúng liên tục trong không gian Banach B 2 (kí hi u: B 1 → B 2) neu ton tại m®t ánh xạ bị ch n liên tục
: B 1 → B 2 Định lý 1.13 có the được bieu dien là W 1,p (Ω) → L np/(n−p) (Ω) neu p < n, → C 0 Ω neu p > n Bang cách l p lại ket quả của Định lý 1.13 k lan chúng ta đạt được mở r®ng của không gian W 1,p (Ω).
Trường hợp thú hai là h quả của trường hợp thú nhat cùng với trường hợp p > n trong Đ nh lý 1.13.
Các đánh giá (1.26) và mở r®ng của chúng đoi với không gian W k,p (Ω) chỉ ra rang m®t chuȁn trên W k,p (Ω) tương đương với (1.11) có the được xác định bởi: ǁuǁW k,p (Ω) = ∫ Σ
W k,p (Ω) không thể thay thế bởi W k,p (Ω) trong H quả 1.14 Tuy nhiên, sự thay thế này có thể thực hiện cho một lớp lớn các miền Ω, bao gồm cả các miền có biên liên tục Lipchitz.
Tổng quát hơn, nếu Ω thỏa mãn điều kiện phần trong hình nón đều, tức là tồn tại một hình nón cố định K Ω sao cho với mọi x thuộc Ω, đỉnh của hình nón K Ω (x) nằm trong Ω và giống như K Ω, thì sẽ có một phép nhúng tương ứng.
1.4 Đánh giá the vị và các định lj nhúng
Các kết quả nhúng của phần trước có thể thu được bằng cách khác và hoàn thiện thông qua việc sử dụng đánh giá thể vị nào đó Cho a ∈ (0; 1] và định nghĩa toán tử V trên L¹(Ω) bằng thể vị Riesz.
Mô tả V được xác định tốt và ánh xạ L1 (Ω) vào chính nó sẽ xuất hiện như một hàm quả phụ của bồ đề tiếp theo Đầu tiên, chúng ta nhận thấy bằng cách đặt f ≡ 1 trong (1.31).
V à 1 ≤ à −1 ω 1−à |Ω| à (1.32) Chon R > 0 đe |Ω| = |B R (x)| = ω n R n Khi đó: x y n(à−1) dy
Bo đe 1.15 Toỏn tủ V à , ỏnh xạ liờn tực L p (Ω) vào L q (Ω) với q bat kỡ,
Hơn nũa, với moi f ∈ L p (Ω), ǁV à f ǁ q
Chúng minh: Chon r ≥ 1 sao cho: r −1 = 1 + q −1 − p −1 = 1 − δ.
Khi đú h (x − y) = |x − y| n(à−1) ∈ L p (Ω), và tà (1.32) ta thu được ǁhǁ r ≤
1 − δ à 1−δ − δ ω 1−à |Ω| à−δ Đánh giá (1.34) có the thu được bang cách phỏng theo cháng minh thông thường của bat đȁng thác Young với phép nhân ch p trong R n Viet: h |f | = h r/q h r(1−1/p) |f | p/q |f | pδ
Ta có the đánh giá bang bat đȁng thác Holder
Bo đe 1.16 Cho f ∈ L p (Ω) và g = V 1/p f Khi đó ton tại các hang so c 1 và c 2 chí phự thu®c vào n và p sao cho:
Chúng minh: Tà Bő đe 1.15, ta nh n được với moi q ≥ p ǁgǁ ≤ q 1−1/p+1/q ω 1−1/p |Ω| 1/q ǁf ǁ , do đó q n p
Chuoi ở ve phải h®i tụ với đieu ki n c p
′ > eω n p ′ , tà Định lý h®i tụ đơn đi u ta có đánh giá (1.35).
Các bő đe tiep theo nham làm rõ moi liên h giǎa đạo hàm yeu và các the vị ở trên.
Bo đe 1.17 Cho u ∈ W 1,1 (Ω) Khi đó: u (x) = 1 nω n
Chúng minh: Giả sả rang u ∈ C 1 (Ω) và mở r®ng u bang cách cho u = 0 bên ngoài Ω Khi đó với vectơ ω bat kì có |ω| = 1, u (x) = −
Tích phân đoi với ω, ta có được:
|x − y| dy và (1.36) có được tà Bő đe 1.15 và sự ki n rang C 1 (Ω) là trù m t trong
W 1,1 (Ω) Ngoài ra, ta còn có được với u ∈ W 1,1 (Ω)
0 V 1/n |Du| (1.37) Ket hợp Bő đe 1.15 và bat đȁng thác (1.37) chúng ta có ngay phép nhúng
Trong không gian W 1,p (Ω) đến L p (Ω) với điều kiện p −1 − q −1 < n −1, chúng ta có thể rút ra kết luận tương tự như Định lý 1.13 Phiên bản đơn giản hơn sẽ phù hợp hơn cho mục đích của phần này Khi kết hợp Bổ đề 1.16 với (1.37), ta có được một kết quả chính xác hơn cho trường hợp p = n, được thể hiện trong Định lý 1.18 Định lý này khẳng định rằng, với u ∈ W 1,n (Ω), tồn tại các hằng số c1, c2 phụ thuộc vào n.
Chú ý: Đánh giá (1.37) de dàng tőng quát cho các đạo hàm yeu b c cao hơn Ta có: cho u ∈ W k,1 (Ω),
Sử dụng công thức (1.39) và Bő đe 1.16, ta có thể mở rộng Định lý 1.18 Cụ thể, tại các hàm số c1, c2 chỉ phụ thuộc vào n và k, với điều kiện nếu u thuộc W k,p (Ω) và n = kp, thì
Trường hợp p > n của Định lý nhúng Sobolev có the được chính xác hóa thông qua bő đe sau:
Bo đe 1.19 Cho Ω loi và u ∈ W 1,1 (Ω) Khi đó:
1− n |Du (y)| dy, (1.41) hau khap nơi trên Ω, trong đó: u S
Ω udx, d = diamΩ là đường kính của mien Ω và S là tắp con đo được bat kỡ của Ω
Tích phân theo y trên S, ta được: |x−y|
Ta có the cháng minh Định lý nhúng của Morrey. Định lj 1.20 Cho u ∈ W 1,p (Ω), p > n, khi đó u ∈ C γ Ω , trong đó γ = 1 − n/p Hơn nũa, với hình cau bat kì B = B R - hình cau bán kính R,
Chúng minh: Ket hợp đánh giá (1.41) và (1.34), cho S = Ω = B, q = ∞ và à = n −1 , ta cú:
Tà đó suy ra ket quả vì:
Ket hợp Định lý 1.13 và Định lý 1.20, với u ∈ W 1,p (Ω) và p > n ta có đánh giá: |u| 0,γ ≤ C [1 + (diamΩ) ] ǁDuǁ p (1.43)
Hơn nǎa, ket quả của các Định lý 1.13, 1.18, 1.20 có the tóm lược theo sơ đo sau đây:
\ C λ (Ω) , λ = 1 − n , p > n trong đó L ϕ (Ω) là kí hi u của không gian Orlicz với hàm ϕ xác định
Tả Bő đe 1.15 và 1.17 ta có : Với u ∈ W 1,p (Ω) , 1 ≤ p < ∞. ǁuǁ p ≤ 1 ω |Ω| 1/n ǁDuǁ p ; (1.44) Trong khi mà tà Bő đe 1.15 và 1.19 ta có: với u ∈ W 1,p (Ω) và Ω loi: ǁu − u S ǁ p
≤ |S| d ǁDuǁ p , (1.45) d = diamΩ là đường kính của mien Ω. Định lj 1.21 Các không gian W 1,p (Ω) được nhúng compact i) vào trong các không gian L q (Ω) với moi q < np/(n − p) neu p < n và γ γ 0
Bo đe 1.22 Giả sủ u ∈ W 1,p (Ω) Khi đó ∆ h u ∈ L p (Ω ′ ) với moi Ω ′ ⊂⊂ Ω thóa mãn h < dist (Ω ′ , ∂Ω) và ta có: ¨∆ h u¨ ≤ ǁD i uǁ p
Bo đe 1.23 Cho u ∈ L p (Ω), 1 < p < ∞ và giả sủ ton tại hang so K sao cho ∆ h u ∈ L p (Ω ′ ) và ¨∆ h u¨ p ′ ≤ K với moi h > 0 và Ω ′ ⊂⊂ Ω
L (Ω ) thóa mãn h < dist (Ω ′ , ∂Ω) Khi đó đạo hàm yeu D i u ton tại và thóa mãn ǁD i uǁ L p (Ω) ≤ K.
NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
2.1.1 Công thfíc tích phân tfing phan. a Hàm m t bien.
∫ b a f ′ (x) g (x) dx = f (x) g (x) b − a a f (x) g ′ (x) dx (2.1) b Hàm nhieu bien.
Cho x ∈ ∂Ω; ν x = (ν 1 , ν 2 , , ν n ) là vectơ pháp tuyen ngoài đơn vị Khi đó:
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các toán tử tuyến tính elliptic có phần chính dạng bảo toàn, cùng với các hàm số liên quan đến giả thuyết trơn và yếu tương đối Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét toán tử L dạng:
+ c i (x) D i u + d (x) u (2.3) trong đó: a ij , b i , c i , d (i, j = 1, , n) là các hàm đo được trên m®t mien
Giả sử hàm u là khả vi yếu, các hàm a_ij D_j u + b_i u, c_i D_i u, với i = 1, , n là khả tích địa phương Khi đó, hàm u được gọi là thỏa mãn Lu = 0 trong miền Ω nếu tích phân sau được thỏa mãn.
D i v − c i D i u + du v} dx = 0 (2.4) với moi hàm v ∈ C 1 (Ω). a Nghi m yeu của phương trình.
Cho f i , g, i = 1, , n là các hàm khả tích địa phương trong Ω Hàm u
∈ W 1,2 (Ω) được goi là nghi m yeu hay nghi m suy r®ng của phương trình không thuan nhat
Lu = g + D i f i (2.5) trong Ω neu đȁng thác tích phân sau được thảo mãn:
L (u, v) Ω f i D i v − gv dx ∀v ∈ C 1 (Ω) (2.6) Nghi m cő đien của (2.5) cũng là nghi m suy r®ng và m®t nghi m suy r®ng
C 2 (Ω) cũng là m®t nghi m cő đien khi h so của L là đủ trơn. b Nghi m yeu của bài toán.
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.5), giả sả L là elliptic ng t trong Ω, tác là ton tại m®t so dương λ sao cho: a ij (x) ξ i ξ j ≥ λ|ξ| 2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ R n (2.7)
Ta cũng giả sả L có h so giới n®i, tác là: đoi với các hang so Λ, ν ≥
M®t hàm u thu®c vào không gian Sobolev W 1,2 (Ω) được goi là nghi m suy r®ng của bài toán Dirichlet : Lu = g + D i f i , u = ϕ trên ∂Ω, neu u là
2 nghi m suy r®ng của phương trình (2.5), ϕ ∈ W 1,2 (Ω) và u−ϕ ∈ W 1,2 (Ω). Các hàm v ∈ C 1 (Ω) xuat hi n trong công thác (2.4) và (2.6) được goi là hàm thả.
Chú ý bang đieu ki n (2.8) ta có:
.a ij D j uD i v + b i uD i v + c i vD i u + |duv|} dx (2.9)
≤ Cǁuǁ W 1,2 (Ω) ǁvǁ W 1,2 (Ω) do bat đȁng thác Schwarz.
Với u thuộc không gian W 1,2 (Ω), ánh xạ v → L(u, v) được xác định là một phiến hàm tuyến tính bị chặn trên W 1,2 (Ω) Từ đó, tính đúng đắn của các hệ thức (2.4) với v thuộc C 1 (Ω) dẫn đến tính đúng đắn của chúng khi v thuộc W 1,2 (Ω).
2.1.3 Sf ton tại và duy nhat của nghi m yeu.
Giả sả: dv 2 + c i − b i vD i v dx ≤ 0, ∀v ∈ C 1 (Ω) (2.10) trong đó: b i , c i , d là giới n®i Bat đȁng thác (2.10) van còn đúng với moi hàm v ∈ W 1,1 (Ω). Định lj 2.1 Cho toán tủ L thóa mãn đieu ki n (2.7), (2.8) và (2.10).
Với ϕ ∈ W 1,2 (Ω) và g, f i ∈ L 2 (Ω) , i = 1, , n, bài toán Dirichlet, Lu g + D i f i trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω có lời giải duy nhat.
Chúng minh: Trước het, ta quy ve bài toán Dirichlet với trường hợp giá trị biên bang 0 Đ t w = u − ϕ, tà (2.5) ta có:
Tà các đieu ki n trên L và ϕ, rõ ràng: gˆ, fˆ i ∈ L 2 (Ω); i = 1, , n và w ∈ W 1,2 (Ω) Bởi v y chỉ can cháng minh định lý trên đúng với trường hợp ϕ ≡ 0. Đ t H = W 1,2 (Ω), g = g, f 1 , f 2 , , f n và F (v) = − ∫ gv − f i D i v dx với v ∈ H Vì: Ω
Đối với hàm F, ta có |F(v)| ≤ ||g||₂||v||₁,₂(Ω), từ đó suy ra F thuộc không gian H* Nếu dạng song tuyến tính L được định nghĩa bởi (2.4) là cường bác trên H và giới hạn, thì chúng ta có thể kết luận về khả năng giải duy nhất của bài toán Dirichlet với L theo Định lý 1.3.
Liên quan đen tính cương bác của L ta có bő đe sau đây:
Bo đe 2.2 Cho L thóa mãn đieu ki n (2.7) và (2.8), khi đó ∃ν > 0 sao cho:
L (u, u) Ω a ij D i uD j u + b i − c i uD i u − du 2 dx
≥ Ω∫ λ|Du| − | 2 λ Du| − 2 λν 2 u 2 dx (bat đȁng thác Schawarz)
Với σ thuộc R, chúng ta định nghĩa toán tử L σ bằng công thức L σ u = Lu − σu Theo Bőde 2.2, dạng liên hợp L σ sẽ bị cương bác nếu σ đủ lớn hoặc |Ω| đủ nhỏ Tiếp theo, chúng ta định nghĩa phép nhúng I: H → H ∗.
Bo đe 2.3 Ánh xạ I là compact.
Chúng minh: Đ t : I = I 1 I 2 trong đó: I 2 : H → L 2 (Ω) là phép nhúng tự nhiên và I 1 : L 2 (Ω) → H ∗ cho bởi (2.12) Theo Định lý 1.21 I 2 là compact (neu p = n = 2), vì I 1 rõ ràng liên tục ta có được I là compact.
Tiep theo, ta chon σ 0 đe dạng L σ 0 là giới n®i và cương bác trên không gian Hilbert H Phương trình Lu = F với u ∈ H, F ∈ H ∗ là tương đương với phương trình:
L σ 0 u + σ 0 Iu = F là liên tục, ánh xạ 1:1 của H ∗ lên H và áp dụng
L − σ 1 cho phương trình ở trên, ta có được phương trình tương đương: u + σ o L − σ 1 Iu = L − σ 1 F (2.13)
Ánh xạ T = −σ 0 L − σ 1 là compact theo Bő đe 2.3, và theo Định lý 1.2, sự tồn tại một hàm u ∈ H thỏa mãn phương trình (2.13) là kết quả của tính duy nhất trong H của nghiệm tam thường của phương trình.
M®t mô tả của dáng đi u phő của toán tả L suy ra tà Định lý 1.4, chúng ta định nghĩa dạng liên hợp hình thác L ∗ của L bởi:
Vì L ∗ (u, v) = L(v, u) với u, v ∈ H = W 1,2 (Ω), ta có thể xác định rằng L ∗ là liên hợp của L trong không gian Hilbert H Bằng cách thay thế L bằng L σ trong lý luận đã nêu, ta có thể chuyển đổi phương trình L σ u = F thành phương trình tương đương u + (σ 0 − σ) L − σ 1 Iu = L − σ 1 F, đồng thời xác định liên hợp T σ ∗ của ánh xạ compact.
T = (σ − σ) L −1 I được cho bởi T ∗ = (σ − σ) L ∗ −1 I Áp dụng Định lý 1.4, chúng ta có kết quả như sau: Định lý 2.4 cho rằng nếu toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.7) và (2.8), thì tồn tại một tập hợp rời rạc Σ ⊂ R Khi σ ∉ Σ, bài toán Dirichlet L σ u, L σ ∗ u = g + D i f i, với u = ϕ trên ∂Ω, sẽ có nghiệm duy nhất với g tùy ý, f i ∈ L 2 (Ω) và ϕ ∈ W 1,2 (Ω) Ngược lại, nếu σ ∈ Σ, không gian con sẽ được xác định.
0 σ 0 σ 0 σ 0 σ 0 các nghi m của bài toán thuan nhat, L σ u, L ∗ σ u = 0, u = 0 trên ∂Ω có so chieu là dương và hũu hạn và bài toán L σ ∗ u = g + D i f i , u = ϕ trên ∂Ω là giải được neu và chí neu: g − c i D i ϕ − dϕ + σϕ v − f i − a ij D j ϕ − b i ϕ
D i v} dx = 0(2.15) với moi v thóa mãn L σ ∗ v = 0, v = 0 trên ∂Ω Hơn nũa, đieu ki n
Đánh giá the vị và các định lý nhúng
Các kết quả nhúng của phần trước có thể thu được bằng cách khác và hoàn thiện thông qua việc sử dụng đánh giá thể vị nào đó Cho a ∈ (0; 1] và định nghĩa toán tử V trên L¹(Ω) bằng thể vị Riesz.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ mô tả V và xác định tốt ánh xạ L1 (Ω) vào chính nó, xem xét nó như một hàm số phụ thuộc vào bối cảnh tiếp theo Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng bằng cách đặt f ≡ 1 trong (1.31), điều này sẽ dẫn đến những kết quả quan trọng trong nghiên cứu.
V à 1 ≤ à −1 ω 1−à |Ω| à (1.32) Chon R > 0 đe |Ω| = |B R (x)| = ω n R n Khi đó: x y n(à−1) dy
Bo đe 1.15 Toỏn tủ V à , ỏnh xạ liờn tực L p (Ω) vào L q (Ω) với q bat kỡ,
Hơn nũa, với moi f ∈ L p (Ω), ǁV à f ǁ q
Chúng minh: Chon r ≥ 1 sao cho: r −1 = 1 + q −1 − p −1 = 1 − δ.
Khi đú h (x − y) = |x − y| n(à−1) ∈ L p (Ω), và tà (1.32) ta thu được ǁhǁ r ≤
1 − δ à 1−δ − δ ω 1−à |Ω| à−δ Đánh giá (1.34) có the thu được bang cách phỏng theo cháng minh thông thường của bat đȁng thác Young với phép nhân ch p trong R n Viet: h |f | = h r/q h r(1−1/p) |f | p/q |f | pδ
Ta có the đánh giá bang bat đȁng thác Holder
Bo đe 1.16 Cho f ∈ L p (Ω) và g = V 1/p f Khi đó ton tại các hang so c 1 và c 2 chí phự thu®c vào n và p sao cho:
Chúng minh: Tà Bő đe 1.15, ta nh n được với moi q ≥ p ǁgǁ ≤ q 1−1/p+1/q ω 1−1/p |Ω| 1/q ǁf ǁ , do đó q n p
Chuoi ở ve phải h®i tụ với đieu ki n c p
′ > eω n p ′ , tà Định lý h®i tụ đơn đi u ta có đánh giá (1.35).
Các bő đe tiep theo nham làm rõ moi liên h giǎa đạo hàm yeu và các the vị ở trên.
Bo đe 1.17 Cho u ∈ W 1,1 (Ω) Khi đó: u (x) = 1 nω n
Chúng minh: Giả sả rang u ∈ C 1 (Ω) và mở r®ng u bang cách cho u = 0 bên ngoài Ω Khi đó với vectơ ω bat kì có |ω| = 1, u (x) = −
Tích phân đoi với ω, ta có được:
|x − y| dy và (1.36) có được tà Bő đe 1.15 và sự ki n rang C 1 (Ω) là trù m t trong
W 1,1 (Ω) Ngoài ra, ta còn có được với u ∈ W 1,1 (Ω)
0 V 1/n |Du| (1.37) Ket hợp Bő đe 1.15 và bat đȁng thác (1.37) chúng ta có ngay phép nhúng
Trong không gian W 1,p (Ω) → L p (Ω) với điều kiện p −1 − q −1 < n −1, điều này gần như đã được kết luận từ Định lý 1.13 Trên thực tế, phiên bản yếu hơn sẽ phù hợp cho mục đích của phần này Khi kết hợp Bổ đề 1.16 với (1.37), ta có được một kết quả chính xác hơn cho trường hợp p = n, được thể hiện trong định lý sau đây: Định lý 1.18 Cho u ∈ W 1,n (Ω), thì tồn tại các hằng số c1, c2 phụ thuộc vào n, sao cho:
Chú ý: Đánh giá (1.37) de dàng tőng quát cho các đạo hàm yeu b c cao hơn Ta có: cho u ∈ W k,1 (Ω),
Theo Định lý 1.18 và sử dụng Bő đe 1.16, ta có thể mở rộng kết quả cho các hàm số c1, c2 chỉ phụ thuộc vào n và k Cụ thể, nếu u thuộc W k,p (Ω) với n = kp, thì điều này vẫn được đảm bảo.
Trường hợp p > n của Định lý nhúng Sobolev có the được chính xác hóa thông qua bő đe sau:
Bo đe 1.19 Cho Ω loi và u ∈ W 1,1 (Ω) Khi đó:
1− n |Du (y)| dy, (1.41) hau khap nơi trên Ω, trong đó: u S
Ω udx, d = diamΩ là đường kính của mien Ω và S là tắp con đo được bat kỡ của Ω
Tích phân theo y trên S, ta được: |x−y|
Ta có the cháng minh Định lý nhúng của Morrey. Định lj 1.20 Cho u ∈ W 1,p (Ω), p > n, khi đó u ∈ C γ Ω , trong đó γ = 1 − n/p Hơn nũa, với hình cau bat kì B = B R - hình cau bán kính R,
Chúng minh: Ket hợp đánh giá (1.41) và (1.34), cho S = Ω = B, q = ∞ và à = n −1 , ta cú:
Tà đó suy ra ket quả vì:
Ket hợp Định lý 1.13 và Định lý 1.20, với u ∈ W 1,p (Ω) và p > n ta có đánh giá: |u| 0,γ ≤ C [1 + (diamΩ) ] ǁDuǁ p (1.43)
Hơn nǎa, ket quả của các Định lý 1.13, 1.18, 1.20 có the tóm lược theo sơ đo sau đây:
\ C λ (Ω) , λ = 1 − n , p > n trong đó L ϕ (Ω) là kí hi u của không gian Orlicz với hàm ϕ xác định
Tả Bő đe 1.15 và 1.17 ta có : Với u ∈ W 1,p (Ω) , 1 ≤ p < ∞. ǁuǁ p ≤ 1 ω |Ω| 1/n ǁDuǁ p ; (1.44) Trong khi mà tà Bő đe 1.15 và 1.19 ta có: với u ∈ W 1,p (Ω) và Ω loi: ǁu − u S ǁ p
≤ |S| d ǁDuǁ p , (1.45) d = diamΩ là đường kính của mien Ω. Định lj 1.21 Các không gian W 1,p (Ω) được nhúng compact i) vào trong các không gian L q (Ω) với moi q < np/(n − p) neu p < n và γ γ 0
Bo đe 1.22 Giả sủ u ∈ W 1,p (Ω) Khi đó ∆ h u ∈ L p (Ω ′ ) với moi Ω ′ ⊂⊂ Ω thóa mãn h < dist (Ω ′ , ∂Ω) và ta có: ¨∆ h u¨ ≤ ǁD i uǁ p
Bo đe 1.23 Cho u ∈ L p (Ω), 1 < p < ∞ và giả sủ ton tại hang so K sao cho ∆ h u ∈ L p (Ω ′ ) và ¨∆ h u¨ p ′ ≤ K với moi h > 0 và Ω ′ ⊂⊂ Ω
L (Ω ) thóa mãn h < dist (Ω ′ , ∂Ω) Khi đó đạo hàm yeu D i u ton tại và thóa mãn ǁD i uǁ L p (Ω) ≤ K.
NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
Khái ni m nghi m yeu
Định nghĩa
Chương này sẽ tập trung vào việc nghiên cứu các phương trình vi phân riêng phần elliptic có dạng bảo toàn, trong đó các hàm số được xem xét dưới giả thuyết trơn và yêu cầu tương đối Chúng ta sẽ xem xét phương trình vi phân L có dạng cụ thể.
+ c i (x) D i u + d (x) u (2.3) trong đó: a ij , b i , c i , d (i, j = 1, , n) là các hàm đo được trên m®t mien
Giả sử hàm u là khả vi yêu, các hàm a_ij D_j u + b_i u, c_i D_i u, với i = 1, , n là khả tích địa phương Khi đó, hàm u được gọi là thỏa mãn Lu = 0 trong miền Ω nếu thỏa mãn điều kiện của tích phân sau.
D i v − c i D i u + du v} dx = 0 (2.4) với moi hàm v ∈ C 1 (Ω). a Nghi m yeu của phương trình.
Cho f i , g, i = 1, , n là các hàm khả tích địa phương trong Ω Hàm u
∈ W 1,2 (Ω) được goi là nghi m yeu hay nghi m suy r®ng của phương trình không thuan nhat
Lu = g + D i f i (2.5) trong Ω neu đȁng thác tích phân sau được thảo mãn:
L (u, v) Ω f i D i v − gv dx ∀v ∈ C 1 (Ω) (2.6) Nghi m cő đien của (2.5) cũng là nghi m suy r®ng và m®t nghi m suy r®ng
C 2 (Ω) cũng là m®t nghi m cő đien khi h so của L là đủ trơn. b Nghi m yeu của bài toán.
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.5), giả sả L là elliptic ng t trong Ω, tác là ton tại m®t so dương λ sao cho: a ij (x) ξ i ξ j ≥ λ|ξ| 2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ R n (2.7)
Ta cũng giả sả L có h so giới n®i, tác là: đoi với các hang so Λ, ν ≥
M®t hàm u thu®c vào không gian Sobolev W 1,2 (Ω) được goi là nghi m suy r®ng của bài toán Dirichlet : Lu = g + D i f i , u = ϕ trên ∂Ω, neu u là
2 nghi m suy r®ng của phương trình (2.5), ϕ ∈ W 1,2 (Ω) và u−ϕ ∈ W 1,2 (Ω). Các hàm v ∈ C 1 (Ω) xuat hi n trong công thác (2.4) và (2.6) được goi là hàm thả.
Chú ý bang đieu ki n (2.8) ta có:
.a ij D j uD i v + b i uD i v + c i vD i u + |duv|} dx (2.9)
≤ Cǁuǁ W 1,2 (Ω) ǁvǁ W 1,2 (Ω) do bat đȁng thác Schwarz.
Với u thuộc không gian W 1,2 (Ω), ánh xạ v → L(u, v) là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên W 1,2 (Ω) Điều này dẫn đến việc tính đúng đắn của các hệ thức (2.4) với v thuộc C 1 (Ω), từ đó suy ra tính đúng đắn của chúng với v thuộc W 1,2 (Ω).
2.1.3 Sf ton tại và duy nhat của nghi m yeu.
Giả sả: dv 2 + c i − b i vD i v dx ≤ 0, ∀v ∈ C 1 (Ω) (2.10) trong đó: b i , c i , d là giới n®i Bat đȁng thác (2.10) van còn đúng với moi hàm v ∈ W 1,1 (Ω). Định lj 2.1 Cho toán tủ L thóa mãn đieu ki n (2.7), (2.8) và (2.10).
Với ϕ ∈ W 1,2 (Ω) và g, f i ∈ L 2 (Ω) , i = 1, , n, bài toán Dirichlet, Lu g + D i f i trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω có lời giải duy nhat.
Chúng minh: Trước het, ta quy ve bài toán Dirichlet với trường hợp giá trị biên bang 0 Đ t w = u − ϕ, tà (2.5) ta có:
Tà các đieu ki n trên L và ϕ, rõ ràng: gˆ, fˆ i ∈ L 2 (Ω); i = 1, , n và w ∈ W 1,2 (Ω) Bởi v y chỉ can cháng minh định lý trên đúng với trường hợp ϕ ≡ 0. Đ t H = W 1,2 (Ω), g = g, f 1 , f 2 , , f n và F (v) = − ∫ gv − f i D i v dx với v ∈ H Vì: Ω
Trong bài toán Dirichlet, nếu F(v) thỏa mãn điều kiện |F(v)| ≤ ǁgǁ2ǁvǁW 1,2(Ω) và F thuộc không gian H*, cùng với việc định nghĩa dạng song tuyến tính L theo (2.4) là cương bác trên H và giới hạn, ta có thể kết luận về khả năng giải duy nhất của bài toán này theo Định lý 1.3.
Liên quan đen tính cương bác của L ta có bő đe sau đây:
Bo đe 2.2 Cho L thóa mãn đieu ki n (2.7) và (2.8), khi đó ∃ν > 0 sao cho:
L (u, u) Ω a ij D i uD j u + b i − c i uD i u − du 2 dx
≥ Ω∫ λ|Du| − | 2 λ Du| − 2 λν 2 u 2 dx (bat đȁng thác Schawarz)
Với σ thuộc R, ta định nghĩa toán tử L σ bằng công thức L σ u = Lu − σu Theo Bő đe 2.2, dạng liên hợp của L σ sẽ bị cương bác nếu σ đủ lớn hoặc |Ω| đủ nhỏ Tiếp theo, chúng ta có thể định nghĩa phép nhúng I : H → H ∗.
Bo đe 2.3 Ánh xạ I là compact.
Chúng minh: Đ t : I = I 1 I 2 trong đó: I 2 : H → L 2 (Ω) là phép nhúng tự nhiên và I 1 : L 2 (Ω) → H ∗ cho bởi (2.12) Theo Định lý 1.21 I 2 là compact (neu p = n = 2), vì I 1 rõ ràng liên tục ta có được I là compact.
Tiep theo, ta chon σ 0 đe dạng L σ 0 là giới n®i và cương bác trên không gian Hilbert H Phương trình Lu = F với u ∈ H, F ∈ H ∗ là tương đương với phương trình:
L σ 0 u + σ 0 Iu = F là liên tục, ánh xạ 1:1 của H ∗ lên H và áp dụng
L − σ 1 cho phương trình ở trên, ta có được phương trình tương đương: u + σ o L − σ 1 Iu = L − σ 1 F (2.13)
Ánh xạ T = −σ 0 L − σ 1 là một ánh xạ compact theo Bőde 2.3 Do đó, theo Định lý 1.2, sự tồn tại của một hàm u ∈ H thỏa mãn phương trình (2.13) là kết quả của tính duy nhất trong H của nghiệm tam thường của phương trình.
M®t mô tả của dáng đi u phő của toán tả L suy ra tà Định lý 1.4, chúng ta định nghĩa dạng liên hợp hình thác L ∗ của L bởi:
Vì L ∗ (u, v) = L(v, u) với u, v ∈ H = W 1,2 (Ω), L ∗ được xem là liên hợp của L trong không gian Hilbert H Khi thay thế L bằng L σ, phương trình L σ u = F trở thành u + (σ 0 − σ) L − σ 1 Iu = L − σ 1 F, đồng thời liên hợp T σ ∗ của ánh xạ compact cũng được xác định.
T = (σ − σ) L −1 I được cho bởi T ∗ = (σ − σ) L ∗ −1 I Áp dụng Định lý 1.4, chúng ta có kết quả theo Định lý 2.4 Cho toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.7) và (2.8), tồn tại một tập hợp rời rạc Σ ⊂ R sao cho nếu σ ∉ Σ, bài toán Dirichlet L σ u, L σ ∗ u = g + D i f i, u = ϕ trên ∂Ω có nghiệm duy nhất với g tùy ý, f i ∈ L 2 (Ω) và ϕ ∈ W 1,2 (Ω) Nếu σ ∈ Σ, không gian con sẽ được xác định.
Sự ton tại và duy nhat của nghi m yeu
có so chieu là dương và hũu hạn và bài toán L σ ∗ u = g + D i f i , u = ϕ trên ∂Ω là giải được neu và chí neu: g − c i D i ϕ − dϕ + σϕ v − f i − a ij D j ϕ − b i ϕ
D i v} dx = 0(2.15) với moi v thóa mãn L σ ∗ v = 0, v = 0 trên ∂Ω Hơn nũa, đieu ki n
Toán tả Green G σ : H ∗ → H được xác định bởi G σ = L σ −1 với σ ∈/ Σ, là toán tả liên quan đến bài toán Dirichlet với L σ Theo Định lý 1.2, G σ là một toán tả tuyến tính giới hạn trên H ∗, từ đó dẫn đến việc có thể đưa ra đánh giá tiên nghi m cho nó.
H quả 2.5 Cho u ∈ W 1,2 (Ω) thóa mãn L σ u = g + D i f i , u = ϕ trên ∂Ω với σ ∈/ Σ Khi đó chí ton tại m®t hang so C chí phự thu®c L, σ và Ω : ǁuǁ W 1,2 (Ω) ≤ C ǁgǁ 2 + ǁϕǁ W 1,2 (Ω) (2.16)
Tà Định lý 2.4 suy ra Định lý 2.1 còn hi u lực neu ta thay the b i bang
Đ® trơn của nghi m yeu
Đ® trơn bên trong mien
Định lý 2.6 khẳng định rằng nếu u ∈ W 1,2(Ω) là nghiệm yếu của phương trình Lu = f trong miền Ω, với L là toán tử elliptic và các hệ số aij, bi, i, j = 1, , n liên tục Lipschitz trong Ω, cùng với các hệ số ci, d, i = 1, , n bị chặn trong Ω và hàm f ∈ L 2(Ω), thì đối với bất kỳ miền con Ω' ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ W 2,2(Ω') và ǁuǁW 2,2(Ω') ≤ C ǁuǁW 1,2(Ω) + ǁfǁL 2(Ω), trong đó C = C(n, λ, K, d'), với λ được xác định bởi (2.7).
Hơn nũa, u thóa mãn phương trình
Chúng minh: Tà đong nhat thác tích phân (2.6), ta có: a ij D j uD i vdx Ω Ω gvdx, ∀v ∈ C 1 (Ω) , (2.19) trong đó g ∈ L 2 (Ω) xác định bởi: g = b i + c i
Với |2h| ≤ dist (sup v, ∂Ω), ta thay v bởi tỉ sai phân ∆ −h v = ∆ −h v với k nào đó thỏa 1 ≤ k ≤ n Ta được:
(x) = a ij (x + he k ) ∆ h D j u (x) + ∆ h a ij (x) D j u (x) ta có: a ij (x + he k ) ∆ h uD i vdx = −
Ω g.Dv + g∆ −h v dx trong đó g = g 1 , , g n và g i = ∆ h a ij D j u Dùng (2.20) và Bő đe 1.22, chúng ta có đánh giá:
∫ a ij (x + he k ) D j ∆ h uD i vdx ≤ (ǁgǁ 2 + ǁgǁ 2 ) ǁDvǁ 2
Tiep theo lay η ∈ C 1 (Ω) thỏa mãn 0 ≤ η ≤ 1 và đ t v = η 2 ∆ h u Dùng
(2.7) và Bat đȁng thác Schawarz, ta có: λ ∫
Với sự trợ giúp của Bat đȁng thác Young (1.6), ta có: ¨η∆ h Du¨ ≤ C ǁuǁW 1,2 (Ω) + ǁf ǁ2 + ¨∆ h uDη¨
Theo Bő đe 1.22, ta có ǁC 1 + sup |Dη| ǁuǁW 1,2 (Ω) + ǁf ǁ2, với C = C (n, λ, K) Hàm η được chọn sao cho η = 1 trên Ω ′ ⊂⊂ Ω và |Dη| ≤ 2/d ′, với d ′ = dist (∂Ω, Ω ′ ) Theo Bő đe 1.23, Du thuộc W 1,2 (Ω ′ ) cho bất kỳ Ω ′ ⊂⊂ Ω, do đó u thuộc W 2 (Ω) và có đánh giá (2.17) Cuối cùng, ta có Lu thuộc L 2 (Ω) và điều này dẫn đến kết quả Lu = f trên toàn bộ miền.
Ω Chú ý rang ( xem bài toán (2.4)) trong đánh giá (2.17), so ǁuǁ W 1,2 (Ω) được thay the bang ǁuǁL 2 (Ω).
Ket quả ton tại tőng quát sau cho bài toán Dirichlet đoi với phương trình elliptic dạng:
Lu ≡ a ij (x) D ij u + b i (x) D i u + c (x) u = f (2.21) cho phép rút ra kết quả từ Định lý 2.1 và 2.6 Theo Định lý 2.7, với toán tử L là elliptic trong Ω và các hệ số a ij ∈ C 0,1 Ω, b i, c ∈ L ∞ (Ω) với c ≤ 0, thì đối với mọi f thuộc L 2 (Ω) và ϕ ∈ W 1,2 (Ω), tồn tại duy nhất một hàm u ∈ W 1,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω) thỏa mãn điều kiện trên.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các hàm trong không gian Ω, với điều kiện u − ϕ thuộc W 1,2 (Ω) Định lý 2.7 khẳng định rằng nếu biên ∂Ω đủ trơn và ϕ thuộc W 2,2 (Ω), thì định lý vẫn giữ nguyên tính đúng đắn khi giả thiết a ij nằm trong C Ω Tuy nhiên, kết quả duy nhất không còn đúng nếu giả thiết này bị suy yếu, cho phép a ij thuộc L ∞ (Ω) không liên tục, như đã được chứng minh qua phương trình liên quan.
1 − λ Neu n > 2(2 − λ) > 2 phương trình trên có hai nghi m u 1(x) = 1, u 2 (x) = |x| λ ∈ W 2,2 (B) và phù hợp trên ∂B, trong đó B là hình cau đơn vị, B 1(0).
Tính khả vi của nghiệm yêu cầu có thể dễ dàng suy ra từ tính chất của Định lý 2.6 Giả sử rằng chúng ta thực hiện mạnh tính trơn trên các hàm số bằng cách giả định a_ij, b_i ∈ C1,1(Ω) và c_i, d ∈ C0,1(Ω), cùng với f ∈
W 1,2 (Ω) Khi đó, thay the v bởi D k v với 1 ≤ k ≤ n, trong đong nhat thác (2.19), ta có
(sau khi tính tích phân tàng phan): a ij D jk uD i vdx Ω Ω
Dựa vào định lý 2.6, với u ∈ W 2,2 (Ω), ta có D k gˆ ∈ L 2 (Ω) và D k u ∈ W 2 (Ω) Qua phép quy nạp đơn giản, ta có thể rút ra kết luận mở rộng từ định lý này Định lý 2.8 khẳng định rằng nếu u ∈ W 1,2 (Ω) là một nghiệm yếu của phương trình, thì các điều kiện trên vẫn được thỏa mãn.
Lu là hàm số trong miền Ω, với L là một phương trình elliptic trong miền này Các hệ số a_ij, b_i thuộc C Ω, và các hệ số c_i, d thuộc C k−1,1 Ω, trong khi hàm f thuộc W k,2 (Ω) với k ≥ 1 Khi xem xét miền con Ω ′ ⊂⊂ Ω, ta có u thuộc W k+2,2 (Ω ′ ) và có thể xác định rằng ||u|| W k+2,2 (Ω ′ ) ≤ C ||u|| W 1,2 (Ω) + ||f|| W k,2 (Ω) với C = C(n, λ, K, d ′ , k) và K = max {a_ij, b_i} k,1(Ω).
Bang Định lý nhúng Sobolev, H quả 1.9, chúng ta có được Định lý 2.8.
H quả 2.9 Cho u ∈ W 1,2 (Ω) là m®t nghi m yeu của phương trình el- liptic ngắt Lu = f ∈ Ω và giả sủ cỏc hàm a ij , b i , c i , d, f là trong C ∞ (Ω).
Đ® trơn trên toàn mien
Dưới điều kiện tính trơn thích hợp trên biên ∂Ω, kết quả tính toán ở phần trong trước đây có thể mở rộng cho tất cả Ω Từ đó, chúng ta suy ra sự tương tự toàn cục của Định lý 2.6 Định lý 2.10 cho rằng nếu thêm vào giả thuyết của Định lý 2.6 rằng ∂Ω thuộc lớp.
C 2 và ton tại m®t hàm ϕ ∈ W 2,2 (Ω) sao cho u − ϕ ∈ W 1,2 (Ω) Khi đó ta có u ∈ W 2,2 (Ω) và ǁuǁ W 2,2 (Ω) ≤ C ǁuǁ L 2 (Ω) + ǁf ǁ L 2 (Ω) + ǁϕǁ W 2,2 (Ω) (2.25) trong đó C = C(n, λ, K, ∂Ω).
Chúng tôi chứng minh rằng trong không gian u bang u − ϕ, không mất tính tổng quát, có thể giả sử ϕ ≡ 0, do đó u thuộc W 1,2(Ω) Theo Bő đề 2.2, ta có thể đánh giá ǁuǁW 1,2(Ω) ≤ C (ǁuǁ2 + ǁfǁ2) với C = C(n, λ, K) Khi biên ∂Ω thuộc C^2, với mỗi điểm x₀ ∈ ∂Ω, tồn tại một hình cầu B = B(x₀) và ánh xạ 1:1 ψ từ B lên tập mở D ⊂ Rⁿ sao cho ψ(B ∩ Ω) ⊂ Rⁿ = {x ∈ Rⁿ | xₙ > 0} và ψ(B ∩ ∂Ω) ⊂ ∂Rⁿ.
= ψ (B R (x 0)) , D + = ψ (B + ) Dưới ánh xạ ψ phương trình Lu = f trong
B + trở thành phương trình cùng dạng D +, với các hệ số λ và K có thể được đánh giá thông qua ánh xạ ψ và trị số cho phương trình gốc Hơn nữa, do u thuộc W 1,2 (Ω), biến đổi v = u ◦ ψ −1 cũng thuộc W 1,2 (D +) và thỏa mãn ηv thuộc W 1,2 (D +) với mọi η thuộc C 1 (D ′).
Cho u ∈ W 1,2 (D +) thỏa mãn phương trình Lu = f trong D + và ηu ∈ W 1,2 (D +) với η ∈ C 1 (D ′ ) Khi |h| < dist (sup p.η, ∂D ′ ) và 1 ≤ k ≤ n − 1, ta có η 2 ∆ h u ∈ W 1,2 (D +) Áp dụng chứng minh của Định lý 2.5, ta suy ra D ij u ∈ L 2 (ψ (B ρ ∩ Ω)) với ρ < R Đạo hàm cấp hai D nn u có thể được đánh giá trực tiếp từ phương trình (2.18) Quay lại miền Ω gốc với ánh xạ ψ −1 ∈ C 2, ta có u ∈ W 2,2 (B ρ ∩ Ω) Đối với một điểm x 0 tùy ý của ∂Ω và u ∈ W 1,2 (Ω), theo Định lý 2.5, ta kết luận rằng u ∈ W 2,2 (Ω) Cuối cùng, bằng cách chọn một số hữu hạn các điểm x (i) ∈ ∂Ω sao cho các hình cầu B ρ x (i) phủ ∂Ω, ta có được các đánh giá (2.25), (2.17) và (2.26).
Chú ý rằng nếu u ∈ W 2,2 (D +) và ηu ∈ W 1,2 (D +) với η ∈ C 1 (D ′), thì ηD k u ∈ W 1,2 (D +) khi 1 ≤ k ≤ n − 1 Cụ thể, theo Bőde 1.22, ta có η∆ h u ∈ W 1,2 (D +) và ǁηD k uǁ W 1,2 (D +) ≤ ǁηǁ C 1 (D +) ǁuǁ W 2,2 (D +) với h đủ nhỏ Theo Định lý 1.5, điều này dẫn đến sự tồn tại của một dãy η∆ hj u hội tụ yếu trong không gian Hilbert W 1,2 (D +) Giới hạn của dãy này rõ ràng là hàm ηD k u, cho thấy tính chính quy toàn cục của nghiệm của phương trình.
Lu = f được suy ra theo cùng kieu như Định lý 2.8 tà Định lý 2.6. Định lj 2.11 Giả sủ chúng ta thêm vào giả thiet của Đ nh lý 2.8 rang
Cho ∂Ω ∈ C k+2 và tồn tại một hàm ϕ ∈ W k+2,2 (Ω) sao cho u − ϕ ∈ W 1,2 (Ω) Khi đó, u ∈ W k+2,2 (Ω) và có bất đẳng thức ǁuǁW k+2,2 (Ω) ≤ C ǁuǁ L 2 (Ω) + ǁϕǁW k+2,2 (Ω), với C = C (n, λ, K, k, ∂Ω) Nếu các hàm a ij, b i, c i, d, f và ϕ thuộc lớp C ∞ Ω và ∂Ω là một lớp của C ∞ Ω, thì nghiệm u cũng thuộc lớp này.
Ket hợp Định lý 2.1 và 2.11 chúng ta có m®t định lý ton tại cho bài toán
Dirichlet cő đien với phương trình (2.21) đã có tà Định lý 1.6 và 1.7 Định lj 2.12 Cho toỏn tủ L ( đưa bới (2.21)) là elliptic ngắt trong Ω và có C ∞ Ω h so thóa mãn c 0 trong Ω.
Khi đó, neu ∂Ω C ∞ ton tại m®t nghi m duy nhat uC ∞ Ω của bài toán Dirichlet, Lu = f, u = ϕ trên ∂Ω với f tùy ý, ϕ ∈ C ∞ Ω
Nghi m yeu của phương trình elliptic tőng quát
Định lj 2.13 Cho Ω ∈ R n là mien với biên của lớp C ∞ Giả sủ các hàm a ij (i, j = 1, , n) và c là m®t lớp của C ∞ trong Ω và thóa mãn giả thiet
* tính đoi xúng : a ij (x) = a ji (x) với moi i, j và x ∈ Ω.
* tính không âm : c (x) 0 với moi x Ω. và giả sủ f ∈ C ∞ Ω , g ∈ C ∞ (∂Ω) đã cho Khi đó bài toán Dirichlet: n i,j=1
— c (x) u (x) = f (x) trong Ω, u (x) = g (x) trên ∂Ω, có m®t nghi m (duy nhat) thu®c lớp C ∞ Ω
Bây giờ ta xét đieu gì xảy ra neu ta xém xét phương trình đạo hàm yeu:
Ω Ω fv = 0 f ∈ L 2 (Ω) (2.28) với moi v ∈ W 1,2 (Ω) Đ c bi t chúng ta có ket quả sau đây: Định lj 2.14 Cho (2.28) thóa mãn v W 1,2 (Ω), trên mien Ω thu®c lớp C ∞ , u − g ∈ W 1,2 (Ω) và hàm f ∈ C ∞ Ω, g ∈ C ∞ (∂Ω) Khi đó:
H quả 2.15 Cho u là nghi m của phương trình (2.29), với moi v ∈
W 1,2 (Ω) Neu mien Ω thu®c lớp của C ∞ , u − g ∈ W 1,2 (Ω), g ∈ C ∞ (∂Ω).
Trong lu n văn đã trình bày các van đe sau:
-Khái ni m không gian Sobolev W k,p (Ω) và W k,p (Ω) và các định lý nhúng.
Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán Dirichlet, đặc biệt là định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm Các định lý này không chỉ khẳng định tính chất tồn tại của nghiệm mà còn mô tả đặc điểm trơn của nghiệm trong không gian Việc hiểu rõ các khái niệm này giúp nâng cao khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình elliptic.
[1] David Gibarg - Neil S.Trudinger (1998), Elliptic Partial Differential
Equations of Second Order, Springer.
[2] Jurgen Jost (2002), Partial Differential Equations, Springer.
