ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN MẠNH CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHO HỌC SINH LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN MẠNH CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHO HỌC SINH LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN HỌC Mã số: 8140209.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG HÀ NỘI – 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn thạc sĩ “Rèn luyện kĩ giải toán chủ đề hệ thức lượng tam giác vuông cho học sinh lớp Trung học Cơ sở” trung thực khơng có chép Tất giúp đỡ cho việc xây dựng sở lý luận cho luận trích dẫn đầy đủ ghi rõ nguồn gốc rõ ràng phép cơng bố i LỜI CÁM ƠN Để hồn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực thân có hướng dẫn nhiệt tình q Thầy Cơ, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Tác giả xin chân thành cảm ơn gửi lời biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q thầy khoa Sư phạm - Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo trường THCS Phú Diễn A – Quận Bắc Từ Liêm – Hà Nội, anh chị đồng nghiệp động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian nghiên cứu thực luận văn Mặc dù cố gắng, thời gian kinh nghiệm cịn hạn chế, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả ln mong đón nhận ý kiến đóng góp bổ sung quý vị độc giả để luận văn hoàn thiện Cuối em xin gửi lười chúc tốt đẹp tới thầy cơ, gia đình bạn Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 03 năm 2021 Tác giả Nguyễn Mạnh Cường ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Diễn giải DHPH Dạy học phù hợp ĐC Đối chứng GT Giả thiết GV Giáo viên HS Học sinh KL Kết luận PPDH Phương pháp dạy học SBT Sách tập SGK Sách giáo khoa THCS Trung học sở TN Thực nghiệm TNSP Thực nghiệm sư phạm iii DANH MỤC HÌNH VẼ, BẢNG BIỂU, BIỂU ĐỒ Bảng 3.1 Phân bố tần số, tần suất, phần trăm tích lũy điểm kiểm tra trước thực nghiệm 66 Bảng 3.2 Phân bố tần số, tần suất, phần trăm tích lũy điểm kiểm tra 15 phút hai lớp thực nghiệm 9A1 lớp đối chứng 9A2 68 Bảng 3.3 Phân bố tần số, tần suất, phần trăm tích lũy điểm kiểm tra 45 phút hai lớp thực nghiệm 9A1 lớp đối chứng 9A2 sau thực nghiệm 70 Biểu đồ 3.1 Điểm số kiểm tra đánh giá trước thực nghiệm của lớp 9A1 lớp 9A2 67 Biểu đồ 3.2 Đường tích lũy biểu diễn kiểm tra trước thực nghiệm 67 Biểu đồ 3 Đường tích lũy biểu diễn kiểm tra 15 phút sau thực nghiệm 69 Biểu đồ Điểm số kiểm tra đánh giá 45 phút sau thực nghiệm của lớp 9A1 lớp 9A2 70 Biểu đồ Đường tích lũy biểu diễn kiểm tra 45 phút sau thực nghiệm 71 iv MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .i LỜI CÁM ƠN ii DANH MỤC HÌNH VẼ, BẢNG BIỂU, BIỂU ĐỒ iv MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lý luận dạy học giải toán 1.1.1 Vai trò ý nghĩa việc giải tập toán trường trung học sở 1.1.2 Chức giải tập toán 1.2 Kĩ 1.2.1 Khái niệm kĩ 1.2.2 Đặc điểm kĩ 1.2.3 Sự hình thành kĩ 1.3 Kĩ giải toán 1.3.1 Khái niệm kĩ giải toán 1.3.2 Vai trò kĩ giải toán 1.3.3 Các yêu cầu rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh 1.3.4 Phân loại kĩ mơn tốn 1.3.5 Mối quan hệ kỹ 10 1.3.6 Đặc trưng người có kỹ giải tốn 11 1.4 Thực trạng dạy học rèn luyện kỹ giải toán hệ thức lượng tam giác vuông 11 1.4.1 Thực trạng việc học Hệ thức lượng tam giác vuông trường trung học sở Phú Diễn A – Quận Bắc Từ Liêm – Hà Nội 11 1.4.2 Thực trạng việc dạy Hệ thức lượng tam giác vuông trường trung học sở Phú Diễn A – Quận Bắc Từ Liêm – Hà Nội 12 Tiểu kết chương 15 v CHƯƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHO HỌC SINH LỚP 16 2.1 Kiến thức liên quan đến Hệ thức lượng tam giác vuông 16 2.1.1 Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông 16 2.1.2 Tỉ số lượng giác góc nhọn 17 2.1.3 Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng 17 2.2 Biện pháp để giải tốn hệ thức lượng tam giác vng 18 2.3 Thiết kế hệ thống hóa tập để rèn luyện kĩ giải toán 20 2.3.1 Một số ý dạy học nội dung: “Hệ thức lượng tam giác vuông” cho học sinh lớp 20 2.3.2 Các toán ứng dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông 21 2.2.3 Các tập chứng minh đẳng thức cho trước 47 2.2.4 Sử dụng tình thực tiễn có liên quan đến hệ thức lượng tam giác vuông 55 Tiểu kết chương 64 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 65 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 65 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 65 3.2 Tổ chức thực nghiệm 65 3.2.1 Phương pháp thực nghiệm 65 3.2.2 Chọn lớp thực nghiệm 65 3.2.3 Thời gian thực nghiệm 65 3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 66 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm 68 3.4.1 Đánh giá định lượng 68 3.4.2 Đánh giá định tính 72 vi Kết luận chương 74 KẾT LUẬN 75 Kết luận 75 Khuyến nghị 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 PHỤ LỤC 79 vii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện nay, đất nước bước vào thời kỳ cơng nghiệp hố, đại hố Để thực thành cơng mục tiêu yếu tố nguồn nhân lực đóng vai trị quan trọng bậc Chính vậy, năm vừa qua, công tác giáo dục đào tạo Đảng, Nhà nước tầng lớp nhân dân quan tâm Trong tâm đổi giáo dục cần phải đổi phương pháp đào tạo Giáo dục Việt Nam giai đoạn này, trọng việc phát triển kĩ vận dụng, kĩ thực hành cho học sinh mục tiêu hàng đầu cần trang bị cho học sinh Vì việc đổi phương pháp dạy học theo phát triển lực để người học vận dụng kiến thức học vào giải tập vấn đề thức tế sống Dạy học để học sinh năm kiến thức cách có hệ thống nâng cao để em hăng say, hứng thú, say mê học tập vấn đề trở ngại không nhỏ với giáo viên Đối với mơn tốn, việc tiếp thu đánh giá lực học sinh thông thường đánh giá thơng qua việc giải tốn Học sinh Đây đặc thù môn học, khác với môn học xã hội khác Thông qua việc giải bài, GV biết khả nắm vững kiến thức HS đến đâu, mức độ tiếp thu học sinh đến đâu Giải tập hình thức chủ đạo việc dạy tốn Từ trước đến nay, có nhiều tác giả nghiên cứu hệ thức lượng Vũ Hữu Bình, Nguyễn Đức Tấn…Tuy nhiên nghiên cứu mang tính chất định hướng, chưa sâu vào vấn đề giúp học sinh dễ dàng việc giải toán Bên cạnh đó, nghiên cứu kỹ giải tốn có số tác giả có viết quan trọng, làm tảng để tác giả nghiên cứu Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy… Các nhà giáo, nhà khoa học nghiên cứu phân tích việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh khối, phương pháp giải toán thường dùng - GV Đặt vấn đề: Nhờ - HS nghe GV đặt Định lý 4: hệ thức (3) nhờ định vấn đề lý Pytago, ta 1  2 2 h b c chứng minh hệ thức sau: 1  2 2 h b c - HS đọc định lý A (4) c * NV1: Chứng minh HS nghe GV hướng định lý dẫn tìm cách chứng b h b' c' B C H a HD CM theo sơ đồ minh hệ thức phân tích lên 1   từ hệ h b c Ta có: (4) b2  c  = 2 h bc thức b.c = h.a định lý Py-ta-go  b 2c  h  b  c   b 2c  h 2a  b.c = h.a * Ví dụ 3: Xem SGK/trang ? Bài tốn u cầu 67 NV2: làm ví dụ sgk tìm điều gì? ? Bài tốn cho ta biết điều gì? ? Vậy ta sử dụng hệ thức để tính độ dài cạnh huyền? h - HS làm hướng dẫn gv Theo hệ thức (4) ta có: - Yêu cầu HS nhà 1  2 2 h trình bày lại ví dụ vào 62.82 2.82 h  2 8 102 h  4,8 C Hoạt động luyện tập (10 phút) * Mục tiêu: HS thành thạo cơng thức để tính tốn độ dài cạnh tam giác vuông * Phương pháp: Nêu vấn đề, thuyết trình, vấn đáp, hoạt động cá nhân Gv cho hs nhắc lại - HS lớp làm Ta có hệ thức học vào vở, sau HS y  52   74 (Định lý - HS hoạt động cá nhân lên bảng trình bày Py-ta-go) làm 3/69, sau gọi làm Mà x y  5.7 (Định lý 3) HS lên bảng làm - HS lớp nhận - Gọi HS nhận xét xét làm hai làm bạn bạn bảng x 5.7 35  y 74 - GV nhận xét sửa sai (nếu có) Đánh giá việc thực nhiệm vụ D Tìm tịi, mở rộng (2 phút) * Mục tiêu: - HS chủ động làm tập nhà để củng cố kiến thức học - HS chuẩn bị giúp tiếp thu tri thức học buổi sau * Kĩ thuật sử dụng: Kĩ thuật viết tích cực - Nắm vững hệ thức - Bài tập nhà : 6, 7, 8, 9/SGK- trang 69, 70; 4, 5, 6/SBT - trang 103 PHỤ LỤC ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN BÀI KIỂM TRA 15 phút Thời gian làm bài: 15 phút ĐỀ BÀI Câu Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH (như hình vẽ) Hệ thức sau sai? A B A AB  BH BC C AC  CH BC H C B AB AC  AH BC D AH  AB  AC AB AC Câu Cho tam giác ABC vng A có BC  cm , AC  cm Tính tỉ số lượng giác Tan C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) A Tan C  0,87 B Tan C  0,86 C Tan C  0,88 D Tan C  0,89  là: Câu Cho tam giác MNP vng M Khi Tan MNP A MN NP B MP NP C MN MP D MP MN Câu Tính x hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A x 12 B 13 H C A x  8,81 B x  8,80 C x  8,82 D x  8,83 Câu Tính x , y hình vẽ sau: A x B H C y A x  2,8 , y  7, C x  , y  B y  35 74 , x  74 74 D x  35 74 , y  74 74 Câu Cho tam giác ABC vuông A , AH  BC  H  BC  AB  BC  15 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH AC A BH  5, B BH  5,2 C BH  4,4 D BH  Câu Tính x , y hình vẽ sau: A B H x C y A x  3,6 , y  6, B y  3,6 , x  6,4 C x  , y  D x  2,8 , y  7, Câu Cho hình vẽ sau, độ dài cạnh AB A B H C Cho biết A 13 B 13 C 13 D 13 Câu Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi độ dài AH A B H C A B C 13 D 13 Câu 10 Cho hình vẽ sau Giá trị y A 30 y x 32 B H C A 40 B 60 C 50 D 70 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Biểu điểm D 1,0 C 1,0 D 1,0 C 1,0 D 1,0 A 1,0 A 1,0 A 1,0 B 1,0 10 A 1,0 PHỤ LỤC ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN BÀI KIỂM TRA 45 phút Thời gian làm bài: 45 phút ĐỀ BÀI I TRẮC NGHIỆM (4điểm) Khoanh tròn chữ đứng trước câu trả lời Câu Tam giác ABC vuông A , đường cao AH A AB  BH CH B AC  AH  CH C AH  BHCH D AH  AB AC Câu Tam giác MND vuông M , đường cao MI , với NI  25 cm , ID  cm , độ dài MI : A 15cm B 10cm C 100cm D 64cm Câu Tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 6cm 8cm độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là: A 3,7cm B 5,8cm C 4,8cm D 7, 2cm Câu Tam giác ABC vuông A , BC  a , AB  c , AC  b Hệ thức sau ? A b  a.Sin B B b  a.Cos B C b  c.Tan C D c  a.CotC Câu Giá trị biểu thức Sin 600  Cos 450 : A 2cos 450 B C 2Sin 600 3 2 D Câu Cho Tan   , Cot nhận kết bằng: A B C D Câu Đẳng thức sau không đúng: A Sin 37  Cos530 B Tan 300.Cot 300  C Tan 300  Cos300 Sin 30 D Sin   Cos   (Với  góc nhọn) Câu Cho tam giác vng có góc nhọn 300 cạnh huyền 14cm Góc nhọn cịn lại có số đo bằng: A 300 B 400 C 500 D 600 II TỰ LUẬN (6 điểm)   600 , Bài (2 điểm) Giải tam giác ABC vuông A , biết B BC  20 cm Bài (4 điểm) Cho Tam giác MND có MN  10 cm , MD  24 cm , DN  26 cm a Chứng minh: Tam giác MND vuông M  (Làm trịn đến độ) , D b Tính đường cao MI , N c Vẽ IH vng góc với MD , IK vng góc với MN Chứng minh: HK  MI  (Làm tròn d Từ M kẻ đường trung tuyến MQ ,  Q  ND  Tính IMQ đến độ) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Đáp án Biểu điểm I TRẮC NGHIỆM 4,0 C 0,5 B 0,5 C 0,5 A 0,5 D 0,5 C 0,5 C 0,5 D 0,5 II TỰ LUẬN 6,0 Bài A 600 B H 20 cm C 0,25 Lời giải + Xét ABC vng A có Cos B  AB (Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn) BC  Cos 600  AB 20  AB  20.Cos 600  10 cm + Áp dụng định lý Py-ta-go ABC vng A 0,25 có AC  BC  AB  202  102  300 0,5  AC  10 cm + Ta có ABC vng A   ABC ACB  900 (Tổng góc tam giác)  ACB  900  600  300 0,5 Vậy ABC có   900 ;  BAC ACB  300 ;  ABC  600 0,5 AB  10 cm ; AC  10 cm ; BC  20 cm Bài M H 10 cm 24 cm K 0,25 N I 26 cm Q D Lời giải a Ta có MN  MD  102  242  676 1 ND  26  676   0,5 Từ 1 ,    MN  MD  ND + Xét MND có MN  MD  ND  MND vuông M b 0,5 + Áp dụng hệ thức lượng MND vuông M , MI đường cao có MI ND  MN MD  MI 26  10.24  MI  0,5 120 cm 13 + Xét MND vng M có  Cos MND MN (Áp dụng tỉ số lượng giác góc ND nhọn)  Cos N  10 26 0,25   67  MND + Ta có MND vuông M   MDN   900 (Tồng góc tam giác)  MND   900  670  230  MDN 0,25 c   900 + Có IH  MD  IHM 0,5   900 + Có IK  MN  IKM   900 + Có MND vng M  KMH + Xét tứ giác MHIK có   IKM   KMH   900 IHM 0,25  Tứ giác MHIK hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)  MI  KH (tính chất) d + Xét MND vng M có 0,25 MQ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ND  MQ  ND  MQ  1 ND  26  13 cm 2 + Xét MIQ vuông I có  Cos IMQ 0,5 MI (Áp dụng tỉ số lượng giác góc MQ nhọn)   120 :13  120  Cos IMQ 13 169   450  IMQ 0,5 ... cấp cho HS kỹ giải toán hệ thức lượng tam giác vng, giúp HS nhận biết dạng toán, tác giả lựa chọn đề tài: ? ?Rèn luyện kĩ giải toán chủ đề hệ thức lượng tam giác vuông cho học sinh lớp trung học sở? ??... lượng tam giác vuông 15 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHO HỌC SINH LỚP 2.1 Kiến thức liên quan đến Hệ thức lượng tam giác vuông 2.1.1 Một số hệ thức cạnh... nghiên cứu đề tài kỹ giải toán biện pháp rèn kỹ giải tốn Hệ thức lượng tam giác vng Phạm vi nghiên cứu - Nội dung: Rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh lớp chủ đề hệ thức lượng tam giác vuông - Mẫu