Không gian các hàm giảm nhanh S ( R n )
Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) , chúng ta chỉ ra một số ký hiệu được trình bày trong luận văn.
Cho N = {1, 2, } là tập các số tự nhiên, Z + = {0, 1, 2, } là tập các số nguyên không âm,Rlà tập các số thực,Clà tập các số phức Đơn vị ảo √ −1 = i.
Với mỗi số tự nhiên n ∈ N tập Z n + = {α = (α 1 , , α n ) | α j ∈Z+ , j = 1, 2, , n},
R n là không gian Euclid n chiều x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n với chuẩn Euclid kxk = ( n
Với mỗi k ∈Z + ký hiệu các tập như sau
C k (R ) = {u : R → C |u khả vi liên tục đến cấp k},
Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu
Ký hiệu F đại diện cho phép biến đổi Fourier, trong khi fb (hay Ff) là ảnh Fourier của hàm f Giá trị của ảnh Fourier, được gọi là phổ, là suppfb Các giới hạn lim m→∞ a m, lim m→∞ a m, lim m→∞ a m tương ứng với giới hạn, giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy hàm {a m} ∞ m=1.
Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là một tập hợp quan trọng trong phân tích toán học Định nghĩa này có thể được minh họa bằng các ví dụ cụ thể, giúp làm rõ các đặc điểm và tính chất của không gian này Việc hiểu rõ không gian S (R n ) sẽ hỗ trợ trong việc áp dụng các định lý liên quan đến nó trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
Cho hàm ϕ ∈ S (R n ), khi đó giới hạn kxk→∞ lim x α D β ϕ (x) = 0 với mọi α, β ∈ Z n + Điều này cho thấy hàm ϕ (x) giảm về 0 khi kxk → ∞ nhanh hơn bất kỳ hàm nào có dạng 1/P (x), x ∈ R n Do đó, S (R n ) được định nghĩa là không gian các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.1 Không gian C 0 ∞ (R n ) là không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (R n )
Khi đó, ta đặt suppϕ = K, Klà tập compact trongR n Với mọi x / ∈ K, suy ra
Ta có điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S (R n ) , từ đây suy ra được C 0 ∞ (R n ) là không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) Chứng minh được hoàn thành.
Ví dụ 1.2 Cho hàm số ϕ (x) = e −kxk 2 , x ∈R n Khi đó ϕ là hàm số thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R n )
Chứng minh Theo giả thiết, ta có kxk 2 = x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n nên e −kxk 2 = e −x 2 1 e −x 2 2 e −x 2 n , x ∈R n Mặt khác
= e −kxk 2 Q (x 1 , x 2 , , x n ) ∀β ∈Z n + , x ∈R n , trong đó Q (x 1 , x 2 , , x n ) là hàm chứa các lũy thừa của x 1 , x 2 , , x n Do đó x α D β ϕ (x) = x α Q(x 1 , x 2 , , x n )e −kxk 2 ∀α, β ∈Z n +
Ta thấy rằng t→∞ lim t a e −|t| 2 = 0 với mọi a ∈R
Từ đây, suy ra lim kxk→∞ x α Q (x 1 , x 2 , , x n ) e −kxk 2 = 0 ∀α ∈Z n + Vậy nên, ta có sup x∈R n x α D β ϕ (x)
Đối với mọi α, β thuộc Z n +, ta có thể khẳng định rằng ϕ là hàm trong không gian các hàm giảm nhanh S(R n) Việc chứng minh đã được hoàn tất Định nghĩa 1.2 đề cập đến khái niệm về sự hội tụ trong không gian S(R n).
Dãy hàm {ϕ k } ∞ k=1 trong không gianS (R n ) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R n ) nếu k→∞ lim sup x∈ R n x α (D β ϕ k (x) − D β ϕ (x))
= 0 ∀α, β ∈Z n + Khi đó, ta viết S_ lim k→∞ ϕ k = ϕ.
Chú ý 1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là không gian con của không gian L p (R n ) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Chứng minh Ta chọn hàm ϕ ∈ S (R n ) Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L ∞ (R n ) Nên ta chỉ cần xét 1 ≤ p < ∞ Theo định nghĩa, ta có
Kết hợp (1.1) và (1.2), ta suy ra được
Do hàm ϕ ∈ S (R n ) nên dẫn đến sup x∈ R n
Vì thế, ta nhận được
< ∞, điều này cho ta hàm ϕ ∈ L p (R n ) Chứng minh được hoàn thành.
Nếu hàm a (.) thuộc C ∞ (R n ) và với mỗi α ∈ Z n + có một số thực m = m (α) và một số dương c = c (α) sao cho |D α a (x)| < c(1 + kxk) m, thì ánh xạ biến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) vào chính nó Hơn nữa, không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là không gian đầy đủ.
Chứng minh Lấy dãy hàm{ϕ m } ∞ m=1 là một dãy Cauchy trong không gianS (R n ) , nghĩa là dãy hàm x α D β ϕ m (x) ∞ m=1 ∀α, β ∈Z n + hội tụ đều trên từng tập com- pact trong R n đến một hàm ψ ∈ C ∞ (R n )
Thật vậy, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0)cho nên dãy hàm {ϕ m } ∞ m=1 hội tụ trong
R n Khi đó, tồn tại hàm ϕ 0 ∈ C ∞ (R n ) thỏa mãn m→∞ lim ϕ m (x) = ϕ 0 (x) , và tồn tại hàm ψ ∈ C ∞ (R n ) thỏa mãn m→∞ lim D β ϕ m (x) = ψ (x) ∀β ∈Z n + Với mọiβ ∈Z n + do đó dãy hàm
D β ϕ m (x) ∞ m=1 liên tục trong R n , nên hàmψ (x) liên tục trong R n Như vậy, ta nhận được
D β ϕ m (x) → ψ (x) trong R n điều này dẫn đến, hàm ϕ 0 (x) khả vi cấpβ và
D β ϕ 0 (x) = ψ (x) ∀β ∈Z n + Nói cách khác là hàm ϕ 0 ∈ C ∞ (R n ) và m→∞ lim D β ϕ m (x) = D β ϕ 0 ∀β ∈Z n + ,trong R n Bây giờ ta cần phải chứng minh hàm ϕ 0 ∈ S (R n ) , tức là phải chứng minh sup x∈ R n x α D β ϕ 0 (x)
Từ (1.3) và (1.4), ta nhận thấy m→∞ lim sup x∈R n x α (D β ϕ m (x) − D β ϕ 0 (x))
Khi đó, tồn tại m 0 thỏa mãn sup x∈R n x α (D β ϕ m 0 (x) − D β ϕ 0 (x))
0 ∀α, β ∈Z n + (1.6) Kết hợp (1.5) và (1.6), ta nhận được sup x∈R n x α D β ϕ 0 (x)
Như vậy, ta đã chỉ ra rằng hàm ϕ 0 ∈ S (R n ) Vậy không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là không gian đầy đủ Định lý được chứng minh.
Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 ( R n )
Định nghĩa 1.3 Ta nói rằng f là hàm suy rộng tăng chậm nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (R n )
Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S(R n ) được biểu diễn dưới dạng f, ϕ Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (R n ) bao gồm tất cả các hàm thuộc loại này.
Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (R n), có thể xây dựng một cấu trúc không gian vectơ trên R n, cho phép định nghĩa các phép toán tuyến tính.
•Phép cộng : với các hàm f 1 , f 2 ∈ S 0 (R n ) tổng các hàm f 1 + f 2 được xác định như sau
Phép nhân với số thực đối với hàm thuộc không gian phân phối S₀(Rⁿ) được xác định qua công thức λf: ϕ → hλf, ϕi = λhf, ϕi cho mọi ϕ thuộc S(Rⁿ) Ngoài ra, chúng ta cũng có thể định nghĩa phép nhân của hàm suy rộng tăng chậm f với một đa thức P(x).
Ví dụ 1.3 Với 1 ≤ p ≤ ∞, không gianL p (R n ) là không gian con của không gian các hàm tăng chậm S 0 (R n ) , tức là với mỗi hàm f ∈ L p (R n ) thì hàm suy rộng f : ϕ → hf, ϕi =
R n f (x)ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R n ) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (R n )
Ví dụ 1.4 Hàm δ a Dirac tại a là phiếm hàm xác định như sau hδ, ϕi = ϕ (−a) ∀ϕ ∈ S (R n ) Khi đó δ a là hàm suy rộng tăng chậm.
Chứng minh Hiển nhiên ta thấy hàm Dirac tạia là một phiếm hàm tuyến tính, vì với mọi α, β ∈R thì hδ a , αϕ + βψi = (αϕ + βψ) (−a) = αϕ (−a) + βψ (−a)
Xét {ϕ k } ∞ k=1 là dãy hàm trong không gian các hàm giảm nhanh S(R n ) hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R n ) Do đó k→∞ lim sup x∈R n
Nên k→∞ lim |ϕ k (−a) − ϕ (−a)| = 0 ∀ϕ ∈ S (R n ) Theo định nghĩa hàm Dirac tại a, ta có hδ a , ϕi = ϕ (−a) ϕ ∈ S (R n ) , hδ a , ϕ k i = ϕ k (−a) ∀ϕ ∈ S (R n ) , k = 1, 2,
Nên ta nhận được k→∞ lim hδ a , ϕ k i = hδ a , ϕi ∀ϕ ∈ S (R n ) Vậy nên δ a là hàm suy rộng tăng chậm Chứng minh được hoàn thành.
Đạo hàm của hàm suy rộng
Đạo hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng tăng chậm f, ký hiệu là D α f, là ánh xạ từ không gian S (R n ) vào không gian C, với f ∈ S 0 (R n ) và α = (α 1 , , α n ) ∈ Z n +.
Đối với mỗi hàm suy rộng f ∈ S 0 (R n ) và α ∈ Z n +, đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f cũng là một hàm suy rộng tăng chậm Cụ thể, đạo hàm D α f được xác định là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian S (R n ) vào không gian C Do đó, D α f là một hàm suy rộng thuộc không gian các hàm tăng chậm S 0 (R n ).
Ví dụ 1.5 Cho hàm θ (x) được xác định sau θ (x) =
Tìm đạo hàm của hàm suy rộng θ (x).
Chứng minh Theo định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng, ta có hθ 0 , ϕi = −hθ, ϕ 0 i ∀ϕ ∈ S (R ) , (1.7) rõ ràng hθ, ϕ 0 i =
Kết hợp (1.7) và (1.8), ta kết luận được rằng θ 0 = δ 0
Khi đó, đạo hàm của hàm suy rộng θ chính là hàm Dirac δ 0 Chứng minh được hoàn thành.
Giá của hàm suy rộng
Để hiểu rõ về hai hàm suy rộng tăng chậm bằng nhau tại một điểm trong không gian R n, trước tiên cần định nghĩa các hàm này Định nghĩa 1.5 nêu rõ rằng với x ∈ R n và các hàm suy rộng f, g thuộc S 0 (R n ), ta nói rằng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω của x sao cho tích phân của f và ϕ bằng tích phân của g và ϕ cho mọi ϕ trong không gian S (R n ) với hỗ trợ của ϕ nằm trong ω.
Hàm suy rộng f khác g tại điểm x thuộc R^n nếu với mọi lân cận mở ω trong R^n, tồn tại một hàm ϕ thuộc không gian C^0_∞ (R^n) với hỗ trợ của ϕ nằm trong ω, sao cho tích phân của f và ϕ không bằng tích phân của g và ϕ.
Cho hàm suy rộng f ∈ S 0 (R n ) Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau suppf = {x ∈R n : f 6= 0 tại x}
Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu giá của hàm suy rộng suppf là tập compact.
Ví dụ 1.6 Hàm Dirac δ 0 là phiếm hàm xác định như sau hδ 0 , ϕi = ϕ (0) ∀ϕ ∈ S (R ) Khi đó, giá của hàm suy rộng δ 0 là suppδ 0 = {0}.
Chứng minh Ta xét σ 6= 0 Khi đó, với mọi hàm ϕ ∈ S(R ) thỏa mãn suppϕ ∈ B (σ, |σ|
2 ), ta luôn có hàm ϕ(0) = 0 Do đó, δ 0 , ϕ
= ϕ(0) = 0 ∀ϕ ∈ S (R ) Điều này dẫn đến σ 6∈suppδ 0 Ta thấy 0 ∈suppδ 0 Vậy nên ta có suppδ 0 = {0}.
Chứng minh được hoàn thành.
Không gian hàm suy rộng với giá compact E 0 ( R n )
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các đặc điểm của hàm suy rộng trong không gian với giá compact E 0 (R n ) Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm hội tụ trong không gian.
Không gian E (R n ) là không gian tôpô tuyến tính gồm các hàm ϕ ∈ C ∞ (R n ) Định nghĩa hội tụ trong không gian này được xác định như sau: một dãy các hàm {ϕ k } ∞ k=1 trong C ∞ (R n ) được coi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C ∞ (R n ) nếu giới hạn k→∞ của sup x∈K tồn tại.
Khi đó, ta viết E_ lim k→∞ ϕ k = ϕ.
Với dãy hàm {ϕ k } ∞ k=1 được gọi là một dãy Cauchy trong không gian hàm cơ bản E (R n ) nếu k,l→∞ lim sup x∈K
Không gian hàm cơ bản E (R n ) là không gian đầy đủ, trong khi tập C 0 ∞ (R n ) là tập trù mật trong không gian này Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trong E (R n ) được gọi là hàm suy rộng và tập hợp các hàm này được ký hiệu là E 0 (R n ) Nếu f là hàm suy rộng có giá compact, thì f có thể được mở rộng thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trong E (R n ) Ngược lại, nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục, nó có thể được thu hẹp trên không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) thành hàm suy rộng có giá compact.
Ví dụ 1.7 Hàm Dirac δ 0 là hàm suy rộng thuộc không gian hàm suy rộng giá compact E 0 (R n ) Hơn nữa, không tồn tại hàm g ∈ L 1 loc (R n ) thỏa mãn hδ 0 , ϕi =
Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tại hàm g ∈ L 1 loc (R n ) thỏa mãn hδ 0 , ϕi =
0 với |x|> ε do đó, ϕ ε ∈ C 0 ∞ (R n ) , suppϕ ε (x) ⊂ B (0, ε) Theo giả thiết phản chứng, ta có hδ 0 , ϕi = ϕ ε (0) = 1 e ∀ϕ ∈ E (R n ) (1.10) Mặt khác ε→0 lim
Từ (1.9), (1.10) và (1.11), suy ra mâu thuẫn, do đó không tồn tại hàm g ∈
R n g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) ∀ϕ ∈ E (R n ) Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.1 i) Cho hàm suy rộngf ∈ E 0 (R n ) , ϕ ∈ C 0 ∞ (R n ) và suppf ∩suppϕ =
∅ khi đó, hf, ϕi = 0. ii) Cho hàm suy rộngf ∈ E 0 (R n ) , ϕ ∈ C 0 ∞ (R n ) khi đó, supp(f ϕ) ⊂suppϕ∩suppf. Hơn nữa, các hàm suy rộng f, g ∈ E 0 (R n ) khi đó, supp(f + g) ⊂ suppf ∪suppg và
D α f ∈ E 0 (R n ) , suppD α f ⊂suppf. iii) Cho hàm suy rộng f ∈ E 0 (R n ) và giá của hàm suy rộng suppf = {0} do đó, hàm suy rộng f có thể biểu diễn diễn duy nhất dưới dạng f = X
C α D α δ 0 δ 0 là hàm suy rộng có giá compact và giá của nó suppδ 0 = {0}.
Tích chập
Tích chập của hai hàm khả tích trên R n được định nghĩa để xác định quy tắc lấy tích chập giữa chúng Cụ thể, cho hai hàm f và g là các hàm khả tích địa phương trên R n, tích phân của chúng sẽ được tính theo quy tắc tích chập, giúp xác định mối quan hệ giữa các hàm này trong không gian R n.
Tích phân \( \int_{R^n} f(x - y) g(y) dy \) được xác định cho hầu hết các giá trị \( x \in R^n \), tức là tập hợp các giá trị \( x \in R^n \) mà tích phân không tồn tại có độ đo bằng không Hàm này là khả tích địa phương trên \( R^n \), chuyển đổi biến \( x \) thành giá trị trong \( R \).
R n f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và hàm g, ký hiệu là f ∗ g Như vậy
Tích chập của hai hàm f và g được ký hiệu là f ∗ g, và nó có tính giao hoán, tức là f ∗ g = g ∗ f Theo Định lý 1.3, với 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f, g thuộc L 1 (R n), tích chập f ∗ g tồn tại và thuộc L 1 (R n), đồng thời thỏa mãn bất đẳng thức kf ∗ gk p ≤ kfk p kgk 1 Mệnh đề 1.2 chỉ ra rằng nếu ϕ và ψ là các hàm trong S (R n), thì ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ và thuộc C ∞ (R n).
Hơn nữa, ta có ánh xạ biến mỗi hàm ϕ ∈ S (R n ) thành ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian S (R n ) vào chính nó
Phép biến đổi Fourier
Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (R n ) Định nghĩa 1.10 Cho hàm f ∈ S (R n ) Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu là fb(ξ) hay F (f) (ξ), là hàm được xác định bởi
R n e −ixξ f (x) dx trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈R n , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) ∈R n Định nghĩa 1.11 Ảnh Fourier ngược của hàmf ∈ S (R n ) là hàm được xác định bởi
Chúng ta sẽ xem xét các tính chất của ảnh Fourier và ảnh Fourier ngược của hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) Việc nghiên cứu sâu hơn các mệnh đề liên quan sẽ được thực hiện dựa trên tài liệu tham khảo (xem [1], [6]).
Mệnh đề 1.3 Cho hàm ϕ ∈ S (R n ) Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (R n ) và
Chứng minh Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) , có
R n e −ixξ ϕ (x) dx (1.12) Áp dụng định lý về tính khả vi các tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm
R n e −ixξ x α ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R n ) hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong R n và mọi α ∈Z n + Vì e −ixξ x α ϕ (x)
Do hàm ϕ ∈ S (R n ) , nên dẫn đến
|x| α |ϕ (x)| dx ∀α ∈Z n + hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong R n Do đó, tồn tại đạo hàm D ξ α (F ϕ) (ξ), dẫn đến Fϕ ∈ C ∞ (R n )
Vì thế mỗi ξ ∈R n , β, γ ∈ Z n +, có lim kxk→∞ ξ β D γ x e −ixξ ϕ (x)
Sử dụng phép tính tích phân từng phần |β| lần cho (1.13), ta được
Như vậy, với mỗi α, β ∈Z n +, có ξ β D α ξ (F ϕ) (ξ) = (2π) −n/2
R n e −ixξ (−iD x ) β (−ix) α ϕ (x) dx, (1.14) nhận thấy rằng
(1 + kxk) n+1 (1.15) Kết hợp (1.14) và (1.15), ta nhận được sup ξ∈R n ξ β D ξ α F ϕ (ξ)
Từ công thức (1.13), cho α = 0, β ∈Z n + ta nhận được ξ β F ϕ (ξ) = (2π) −n/2
Phép biến đổi Fourier là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) Tương tự, chúng ta cũng có thể chứng minh tính chất của phép biến đổi Fourier ngược F −1.
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.4 Cho hàm ϕ ∈ S (R n ) Khi đó
Chứng minh Với các hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) theo định nghĩa, ta có
Nên theo định lý Fubini, có
R n e ihx−y,ξi F ϕ (ξ) dξ dy, từ đây, suy ra
Kết hợp (1.16) và (1.17), ta thu được
R n ψ ε (y) F −1 (F ϕ) (x − y) dy (1.18) Áp dụng mệnh đề
Do đó, cho ε → 0, thì (1.16) trở thành ϕ (x) = F −1 (F ϕ) (x).
Do đó, F là đẳng cấu tuyến tính trên không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) với ánh xạ ngược F −1
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.5 Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) Khi đó,
Chứng minh Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm ψ (x) trong không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) , có
R n e −ixξ ψ (ξ) dξ, khi đó ϕ, ψ ∈ S (R n ) , ta có
Tương tự, ta nhận được
Mặt khác, với các hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) theo định lý Fubini, có
Kết hợp (1.19), (1.20) và (1.21), ta đạt được
Bằng cách cho hàm ψ = F −1 ϕ ta thấy rằng
F −1 ϕ = F ϕ, ϕ = F ψ và sử dụng (1.22), ta nhận được
Như vậy, phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính, tự liên hợp, đẳng cự trên không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) với không gian metric
Mệnh đề 1.6 Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) Khi đó,
Chứng minh Áp dụng định nghĩa tích chập cho hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) , ta có
Sử dụng định lý Fubini với các hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) , có
= (2π) n/2 F −1 (ϕψ) (ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (R n ) Chứng minh được hoàn thành.
Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier, trong không gian các hàm giảm nhanh S (R n )
Mệnh đề 1.7 Cho hàm ϕ ∈ S (R n ) Khi đó i) F ϕ (ξ − h) = F e ihx ϕ (x)
Chứng minh i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có
Do vậy, ta suy ra
(ξ) ∀ϕ ∈ S (R n ) , ξ, h ∈ R n ii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (x − h) với ξ, h ∈ R n , ta thấy rằng
R n ϕ (x − h)e −iξx dx (1.25) Đặt x − h = t hay x = t + h, thay vào (1.25), ta được
R n ϕ (t)e −iξx dt = e −iξh Fϕ (ξ) (1.27) Kết hợp (1.26) và (1.27), ta thu được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = e −iξh F ϕ (ξ) ∀ϕ ∈ S (R n ) , ξ, h ∈ R n iii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (tx), ta có
F (ϕ (tx)) (ξ) = |t| −n F ϕ (ξ/t) ∀ϕ ∈ S (R n ) , t 6= 0, ξ ∈ R n Chứng minh được hoàn thành.
Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày tiêu chí xác định ảnh Fourier và ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng thuộc không gian các hàm suy rộng tăng chậm \( S_0(\mathbb{R}^n) \) Định nghĩa 1.12 nêu rõ rằng, đối với hàm \( f \in S_0(\mathbb{R}^n) \), ảnh Fourier của hàm suy rộng tăng chậm \( f \), được ký hiệu là \( \hat{f} \) (hoặc \( Ff \)), là một hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi \( \hat{f}, \varphi \) Sau đó, chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa này để giải một ví dụ minh họa đi kèm.
= hf, ϕi ˆ ∀ϕ ∈ S (R n ) Định nghĩa 1.13 Với hàm f ∈ S 0 (R n ) Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng tăng chậm f, ký hiệu ^ f hay F −1 (f ) là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi h ^ f , ϕi = f, ϕ ^
Ví dụ 1.8 Cho δ 0 là hàm Dirac tại điểm 0 Tìm biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ 0
Chứng minh Áp dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S 0 (R n ) , ta có hbδ 0 , ϕi = hδ 0 , ϕi b , hơn nữa có hδ 0 , ϕi b = ϕ b (0) = (2π)
Sử dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier ngược cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S 0 (R n ) , ta có h δ ^ 0 , ϕi = hδ 0 , ^ ϕi, mà hδ 0 , ^ ϕi = ^ ϕ (0) = (2π) −n/2
Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ 0 đều là hàm hằng (2π) −n/2 Chứng minh được hoàn thành.
Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng với giá compact E 0 ( R n )
với giá compact E 0 (R n ) Định nghĩa 1.14 Cho hàm suy rộng f ∈ E 0 (R n ) Do không gian E 0 (R n ) ⊂
S 0 (R n ) nên ảnh Fourier F f được xác định như sau
Khi đó, ta biết rằng hàm suy rộngFf có thể viết dưới dạng hàm thông thường (2π) −n/2 f x , e −ixξ
Như vậy, nếu hàm suy rộng f ∈ E 0 (R n ) thì ảnh Fourier Ff là một hàm suy rộng từ không gian R n vào không gian C được xác định bởi: ξ → (2π) −n/2 f x , e −ixξ
Hàm suy rộng F f (ξ) có thể thác triển lên thành một hàm nguyên xác định trên không gian C n như sau ξ → (2π) −n/2 f x , e −ixξ
Để một hàm giải tích ψ là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng f, cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định Theo định lý 1.4, với ψ : C n → C, điều kiện cần là tồn tại số R > 0, hàm suy rộng f ∈ E 0 (R n ) với suppf ⊂ B[0, R], sao cho ψ (ξ) = F f (ξ) Điều này yêu cầu tồn tại các số R, N, C > 0 để đảm bảo tính chính xác của biến đổi Fourier.
Chứng minh Cho hàm ψ ∈ C 0 ∞ (R n ) , suppψ ⊂ B[0, R], biến đổi Fourier F ψ của hàm ψ có thể thác triển F ψ lên không gian C n
Dễ thấy, F ψ(ξ) là hàm khả vi vô hạn trên không gian C n Ngoài ra ta có ξ α Fψ (ξ) = (2π) −n/2
Z kxk≤R e xη−ixς (−iD) α ψ (x) dx ∀α ∈Z n + , (ξ = ς + iη) nên |ξ α F ψ (ξ)| ≤ Ce R|η| do đó, với mỗi N > 0 đều có C N > 0 thỏa mãn
|D α (Fψ) (ξ)| = |F (x α ψ) (ξ)| ≤ CR |α| e Rk=ξk ∀ξ ∈C n , α ∈ Z n + nên Fψ (ξ) là hàm giải tích trên không gian C n Định lý được chứng minh.
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá các tính chất của hàm số trực tiếp thông qua phổ Fourier của nó Cụ thể, nghiên cứu hình dạng của dãy đạo hàm trong các không gian L p (R), L p (π) và L p (R n) sẽ được trình bày (xem [4], [5], [6]).
Dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian L p ( R )
Định lý 2.1 chỉ ra mối liên hệ giữa dãy số \( kf(m) \|_{1/m}^{p} \) và phổ của hàm \( f \) trong không gian một chiều \( L^p(R) \) Cụ thể, với điều kiện \( 1 \leq p \leq \infty \) và hàm \( f \in C^{\infty}(R) \) thỏa mãn \( f^{(m)} \in L^p(R) \) cho \( m = 0, 1, \ldots \), luôn tồn tại giới hạn \( d = \lim_{m \to \infty} kf(m) \|_{1/m}^{p} \) Hơn nữa, giá trị này được xác định là \( d = \sup_{n} \).
Trong phần chứng minh định lý 2.1, chúng ta áp dụng các định lý quan trọng, bao gồm bất đẳng thức Kolmogoroff-Stein Đối với 1 ≤ p ≤ ∞ và 1 ≤ k ≤ m, nếu hàm f thuộc không gian Lp(R), thì ta có đánh giá kf(k)kp ≤ π.
Bất đẳng thức Bernstein Cho 1 ≤ p ≤ ∞, σ > 0, f ∈ L p (R ) và suppfb⊂ [−σ, σ]. Khi đó kf (m) k p ≤ σ m kfk p ∀m = 0, 1,
Chứng minh Bắt đầu chứng minh bằng cách cho thấy sự tồn tại của giới hạn d = lim m→∞ kf (m) k 1/m p (2.1)
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng kf k = 1 Áp dụng định lý Kolmogoroff-Stein, ta có kf (k) k m p ≤ π
Từ (2.2), ta có điều sau đây kf (k) k 1/k p ≤ π
Do vậy m→∞ lim kf (k) k 1/k p ≤ lim m→∞ kf (m) k 1/m p ∀k = 1, 2, (2.3) Phương trình (2.1) trở thành (2.3) Tiếp theo ta chứng minh rằng d ≤ sup{|ξ| : ξ ∈suppf}.b (2.4)
Với sup{|ξ| : ξ ∈suppfb} = ∞điều này là hiển nhiên, nên ta chỉ cần chứng minh (2.4) cho trường hợp sup n
< ∞ Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Bernstein, ta nhận được kf (m) k p ≤ [sup{|ξ| : ξ ∈suppf}]b m kf k p ∀m = 0, 1,
Và (2.4) là hệ quả của bất đẳng thức trên.
Cuối cùng chúng tôi cho rằng d ≥ sup{|ξ| : ξ ∈suppf}.b
Thật vậy, ta xét σ ∈ suppf ˆ , nên tồn tại hàm h ∈ C 0 ∞ (R ) , supph ⊂ (σ − , σ + ) sao cho ˆ f , h 6= 0 Đặt g m = F h(ξ) ξ m .
Theo bất đẳng thức Ho ¨lder, ta thu được
0 6= f, ˆ h ≤ kD m fk p kg m k q , trong đó 1 p + 1 q = 1 Khi đó lim m→∞ kD m f k 1/m p ≥ m→∞ lim kg m k 1/m q
Hơn nữa ta có, sup x∈ R
Kết hợp (2.6), (2.7) và (2.8), ta thu được m→∞ lim
Từ (2.5) và (2.9), ta có m→∞ lim kD m f k 1/m p ≥ σ − 2.
Cho → 0, ta đạt được m→∞ lim kD m f k 1/m p ≥ σ
Do đó m→∞ lim kD m fk 1/m p ≥ sup{|ξ| : ξ ∈suppfb} (2.10) Kết hợp (2.10) và (2.4), ta kết luận được rằng m→∞ lim kD m fk 1/m p = sup{|ξ| : ξ ∈suppfb}. Định lý được chứng minh.
Tiếp theo, ta đưa ra kết quả sau. Định lý 2.2 Cho 1 ≤ p < ∞, σ ∈R + , (D m f ) m∈ Z + ⊂ L p (R ) và suppfb⊂ [−σ, σ]. Khi đó, ta có giới hạn sau m→∞ lim σ −m kD m f k p = 0.
Chứng minh Do 1 ≤ p < ∞ nên với mọi ε > 0đều tồn tại số λ ∈ (0, 1)thỏa mãn kf (x) − f (λx)k p ≤ ε. Đặt h (x) = f (λx) Rõ ràng là kf − hk p ≤ ε và suppbh = λsuppfb⊂ [−λσ, λσ] (2.11)
Do λ ∈ (0, 1), nên từ (2.11), ta nhận được suppbh ⊂ [−σ, σ].
Dựa vào bất đẳng thức Bernstein, ta thu được kD m hk p ≤ (λσ) m khk p ∀m = 0, 1,
Vì suppfb⊂ [−σ, σ] và suppbh ⊂ [−σ, σ] nên suppf[− h ⊂ [−σ, σ] Từ đây và áp dụng bất đẳng thức Bernstein, suy ra kD m (f − h)k p ≤ σ m kf − hk p ∀m = 0, 1, Điều này dẫn đến σ −m kD m f k p ≤ σ −m kD m (f − h)k p + σ −m kD m hk p
≤ ε + λ m khk p , với mọi m ∈Z+ Khi đó m→∞ lim σ −m kD m f k p ≤ ε.
Cho ε → 0, ta được m→∞ lim σ −m kD m f k p = 0. vậy nên ta có m→∞ lim σ −m kD m f k p = 0. Định lý được chứng minh.
Chú ý 2.1 Định lý 2.2 không đúng khi p = ∞.
Khi đó, suppf ˆ = {−σ, σ} và D m f = σ m sin σx, nên σ −m kD m f k ∞ = 1 ∀m ∈Z+
Dáng điệu của dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn trong không
Với 1 ≤ p ≤ ∞ta định nghĩa L p (π) là tập hợp tất cả các hàm f (x)tuần hoàn chu kỳ 2π thỏa mãn |||f ||| p < ∞, trong đó
Kết quả của nghiên cứu về dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn trong không gian L p (π) cho thấy rằng nếu f ∈ C ∞ (R) là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2π với 1 ≤ p ≤ ∞, thì tồn tại giới hạn d f = lim m→∞ |kf (m) k| 1/m p Hơn nữa, giá trị này cũng được xác định là d f = σ f = supn.
Chứng minh Sử dụng khai triển Fourier cho hàm f (x), ta có f (x) =
X k=−∞ f k exp (ikx), trong đó f k = (2π) −1 hf, exp (−ikx)i ∀k = 0, ±1,
Theo bất đẳng thức Ho ¨lder, có
|f k k m | = (2π) −1 |hf (m) , exp (−ikx)i| ≤ (2π) −1/p |kf (m) k| p , trong đó m = 0, 1, ; k = 0, ±1,
|kf (m) k| 1/m p , (2.12) với bất kỳ chỉ số k thỏa mãn f k 6= 0.
Từ (2.12), ta suy ra σ f ≤ lim m→∞
|kf (m) k| 1/m p (2.13) Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng m→∞ lim |kf (m) k| 1/m p ≤ σ f (2.14) Với σ f < ∞ là đủ để chứng minh (2.14)
Từ bất đẳng thức Bernstein và Nikol’skii, ta có
Khi đó (2.14) là hệ quả của bất đẳng thức trên.
Kết hợp (2.13) và (2.14), ta thu được kết quả lim m→∞
|kf (m) k| 1/m p = lim m→∞ |kf (m) k| 1/m p = σ f Định lý được chứng minh.
Dáng điệu của dãy P - đạo hàm trong không gian L p ( R n )
gian L p ( R n ) Định nghĩa 2.1 Cho P (x) là một đa thức n biến và có bậc t trong C,
Ta định nghĩa P ( ¯ D) là một toán tử, được xác định bởi
Với mọi đa thức P(x) và hàm f ∈ C ∞ (R n), chúng ta có thể xác định dãy P-đạo hàm của hàm f thông qua toán tử vi phân P m D ¯ f Định lý 2.4 (xem [5]) chỉ ra rằng, đối với 1 ≤ p ≤ ∞, nếu f ∈ L p (R n) và P(ξ) là đa thức với hệ số hằng, cùng với suppF f là tập compact trong R n, thì luôn tồn tại giới hạn d f = lim m→∞.
1/m p , và hơn nữa d f = sup ξ∈suppFf
|P (ξ)| Chứng minh Bắt đầu bằng cách cho thấy rằng lim m→∞
Không mất tính tổng quát, ta giả sửP ξ 0
> 0 Do đó, ta cố định số0 < ε < P (ξ) 2 và chọn miền G thỏa mãn ξ 0 ∈ G và
0 ∞ (G) sao cho ξ 0 ∈suppb v fbvà hb v f ,bb ω 0 i 6= 0
Và cho ψ ∈ C 0 ∞ (G) trong đó ψ = 1 trong lân cận của suppb ω 0 Do đó với mọi m ≥ 1, ta có
−m (ξ)b ω 0 (ξ) và 1 p + 1 q = 1. Tiếp tục, ta chứng minh tồn tại hằng số C 1 thỏa mãn kFb ω m k q ≤ C 1 P ξ 0
Sử dụng bất đẳng thức Nikol’skii, chỉ ra rằng kFb ω m k 1 ≤ C 2 P ξ 0
Do đó, từ đằng thức đơn hình Tô pô H (k) =W k,2
− ε m kb ω m k k,2 ≤ C 4 ∀m ≥ 1 (2.19) Cho |α| ≤ k Từ P (ξ) 6= 0 trong G và áp dụng công thức Leibniz, ta có
Khi đó , chom ≥ k Ta nhận xét rằng vớiγ 1 + +γ m = β, ít nhấtm − |β| ≥ m − k đa chỉ số trong γ 1 , , γ m bằng không.
0 (G), ta đạt được hằng sốC 5 = C 5 (P,b ω 0 , k) thỏa mãn kD α ω b m k 2 ≤ C 5 sup
Với mọi |α| ≤ k, m ≥ k dẫn đến ta có (2.19), và sau đó là (2.18).
Kết hợp (2.17) và (2.18), ta đạt được
Cho dần ε → 0, ta nhận được (2.15). Để hoàn thành chứng minh này, ta phải chỉ ra rằng m→∞ lim
Cho ε > 0 và đặt K = suppf ˆ Ta chọn hàm h ∈ C 0 ∞ (R n ) thỏa mãn h = 1 trong khu vực lân cận của suppF (f ), supph ⊂ K Ta có
Với mọi β ∈Z n + , β ≤ (2, 2, , 2), ta có điều sau sup x∈ R n
D β h(ξ)P m (ξ) dξ Áp dụng công thức Leibniz, có sup x∈ R n
Ta thấy, tồn tại hằng số A không phụ thuộc vào m sao cho sup x∈K
Với mọi θ ∈Z n + , θ ≤ (2, 2, , 2) Từ (2.22) và (2.23), ta có sup x∈ R n
Sử dụng (2.24) và kH m k 1 ≤ π n sup x∈ R n
, ta nhận được m→∞ lim kH m k 1/m 1 ≤ sup ξ∈K
Cho dần ε → 0, ta kết luận rằng m→∞ lim
Kết hợp (2.15) và (2.25) ta thu được m→∞ lim
|P (ξ)| Định lý được chứng minh.
Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P - đạo hàm và bất đẳng thức tích chập
và bất đẳng thức tích chập
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu về tính chất phổ của dãy P-đạo hàm được hình thành từ toán tử vi phân, thông qua giá trị của biến đổi Fourier Theo Định lý 2.5, với 1 ≤ p < ∞ và P(x) là đa thức n biến, nếu f thuộc không gian Lp(Rn), thì với mọi m thuộc Z+, ta có supp f̂ = supp P m \D ¯ f.
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh (2.26) cho trường hợp m = 1 Giả sử ngược lại, tức là tồn tại σ ∈R n thỏa mãn σ ∈suppfb∪supp P \D ¯ f , σ / ∈suppfb∩supp P \D ¯ f (2.27)
P\D ¯ f = P (ξ) ˆ f , ta suy ra supp P \D ¯ f ⊂suppf ˆ ⊂supp P \D ¯ f ∪ A.
Vì vậy, theo (2.27) suy ra σ / ∈ supp P \D ¯ f , σ ∈ A ∩ suppf b Cho nên, tồn tại số ε > 0 sao cho B (σ, ε) ∩
C 0 ∞ (R n ) , supph ⊂ B (σ, ε) thỏa mãn h (ξ) = 1 trong B (σ, ε/2) Khi đó supph fb⊂ {σ}
Vì vậy, tồn tại số N ∈Z + sao cho h fb=
Từ đây và (2.28), ta suy ra
Vì σ ∈suppfb nên tồn tại hàm ϕ ∈ C 0 ∞ (R n ) , suppϕ ⊂ B (σ, ε/2) sao cho h f , ϕi 6=b
0 Khi đó, do h (ξ) = 1 Trong B (σ, ε/2), ta nhận được
0 6= h f , ϕib = h f , hϕib = hh f , ϕib = 0 và đây là điều mâu thuẫn Định lý được chứng minh xong.
Kết quả mở rộng về bất đẳng thức tích chập của hai hàm nhiều biến trong không gian nhiều chiều được trình bày qua Định lý 2.6 Định lý này khẳng định rằng, với hàm f ∈ L p (R n ) và g ∈ L q (R n ) trong đó 1 ≤ p, q ≤ ∞ và 1/p + 1/q > 1, thì tích chập f ∗ g sẽ thuộc L r (R n ) với 1/r = 1/p + 1/q − 1 Hơn nữa, chúng ta có đánh giá kf ∗ gk r ≤ kf k p kgk q Chứng minh sẽ được thực hiện qua các trường hợp cụ thể.
Trường hợp 1: p < ∞, q < ∞, r < ∞ Ta chọn α = p r , β = q r , s = pr r − p , t = qr r − q và thấy rằng α ≥ 0, β ≥ 0, s ≥ 1, t ≥ 1 thỏa mãn
1 r + 1 s + 1 t = 1, αr = p = (1 − α)s, βr = q = (1 − β)t và p + pr s = r = q + qr t , kf ∗ gk r L r =
|f(y)| α |g(x − y)| β |f(y)| 1−α |g(x − y)| 1−β dy r dx. Áp dụng bất đẳng thức Ho ¨lder cho hai hàm |f (y)| α |g(x − y)| β | và |f(y)| 1−α |g(x − y)| 1−β với 1 r + t+s ts = 1, ta được kf ∗ gk r L r ≤
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Ho ¨lder cho hai hàm |f(y)| (1−α) t+s st và |g(x − y) (1−β) t+s st | với t+s 1 t
Từ đây ta áp dụng định lý Fubini, được kết quả sau kf ∗ gk r L r =
= kfk p p kgk q q kf k pr p s kgk qr q t
Trường hợp 2: p = ∞, r = ∞, q = 1 Ta cần chứng minh kf ∗ gk ∞ ≤ kfk ∞ kgk 1, có
|(f ∗ g)(x)| ≤ kfk ∞ kgk 1 , hay kf ∗ gk ∞ ≤ kfk ∞ kgk 1
Ta cần chứng minh kf ∗ gk ∞ ≤ kfk 1 kgk ∞ , có
|(f ∗ g)(x)| ≤ kfk 1 kgk ∞ , hay kf ∗ gk ∞ ≤ kfk 1 kgk ∞ Trường hợp 4: r = ∞, 1 p + 1 q = 1 Ta cần chứng minh kf ∗ gk ∞ ≤ kf k p kg k q , có
R n f(y).g(x − y)dy|. Áp dụng bất đẳng thức Ho ¨lder cho f (y) và g(x − y) với 1 p + 1 q = 1, ta được
|(f ∗ g)(x)| ≤ kf k p kgk q , hay kf ∗ gk ∞ ≤ kf k p kgk q
Ta kết thúc chứng minh.
Hệ quả 2.1 Cho 1 ≤ p, q, r ≤ ∞, 1 r = 1 p + 1 q − 1 và cho hàm f ∈ L p (R ) , g = 1 trong một lân cận của suppF f trong đó suppFf là tập compact Khi đó, ta có đánh giá kD m fk r ≤ kf k p kD m gk q
Luận văn cung cấp một cái nhìn chi tiết và có hệ thống về lý thuyết hàm suy rộng cùng với các đặc điểm của dãy đạo hàm trong không gian Nội dung chính của luận văn tập trung vào việc phân tích và trình bày các khía cạnh quan trọng liên quan đến hàm suy rộng và ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực toán học khác nhau.
• Mô tả dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian một chiều L p (R ) cho lớp các hàm có phổ nằm trong một tập compact cho trước.
• Mô tả dáng điệu của dãy các đạo hàm tuần hoàn trong không gian L p (π).
• Mô tả dáng điệu của dãyP - đạo hàm trong không gian nhiều chiềuL p (R n ) thông qua giá của ảnh Fourier.
•Trình bày bất đẳng thức tích chập của hai hàm nhiều biến trong không gian nhiều chiều.
Tôi xin chân thành cảm ơn!