Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi
Thi học sinh giỏi toán quốc tế
Trên thế giới, nhiều quốc gia đã chú trọng đến việc phát hiện và đào tạo học sinh có năng khiếu toán học để phát huy tối đa khả năng của họ Tại một số nước châu Âu, các kỳ thi học sinh giỏi toán được tổ chức thống nhất từ cấp cơ sở đến toàn quốc, như ở Bulgaria và Đức Để tạo ra một sân chơi khoa học bổ ích, một số nước đã hợp tác tổ chức kỳ thi học sinh giỏi quốc tế cấp trung học phổ thông (IMO), lần đầu tiên diễn ra ở Rumani năm 1959 với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu Ban đầu, IMO chủ yếu là cuộc thi của các quốc gia thuộc hệ thống XHCN và chỉ diễn ra trong khu vực Đông Âu Tuy nhiên, từ năm 1970, số lượng các đoàn tham gia đã tăng nhanh chóng, biến IMO thành một kỳ thi quốc tế cho học sinh giỏi toán Đến nay, cuộc thi được tổ chức hàng năm, ngoại trừ năm 1980, với kỷ lục số lượng đoàn tham gia tại IMO 2011 ở Amsterdam, Hà Lan.
Mỗi đoàn tham dự có tối đa 6 thí sinh, cùng một trưởng đoàn và một phó đoàn, kèm theo các quan sát viên Thí sinh tham gia phải dưới 20 tuổi và không vượt quá trình độ THPT.
Việt Nam lần đầu tham dự kỳ thi IMO vào năm 1974 và đã đạt được kết quả đáng tự hào Để có học sinh tham gia, các quốc gia tổ chức tuyển chọn và đào tạo học sinh theo đặc thù riêng Những đoàn như Mỹ, Nga, Trung Quốc và Hàn Quốc thường có thành tích cao, trong khi Việt Nam thường lọt vào top 10 của kỳ thi.
Thi học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi ở Việt Nam 8
Kỳ thi học sinh giỏi các cấp không chỉ khuyến khích giáo viên và học sinh phát huy năng lực sáng tạo, mà còn thúc đẩy cải tiến chất lượng dạy và học Qua đó, kỳ thi giúp nâng cao hiệu quả quản lý giáo dục và phát hiện những học sinh có năng khiếu, từ đó tạo nguồn bồi dưỡng nhằm thực hiện mục tiêu đào tạo nhân tài cho địa phương và đất nước.
Kỳ thi học sinh giỏi toán toàn quốc, diễn ra hàng năm từ năm học 1961-1962, nhằm tìm kiếm những tài năng toán học trong bậc THPT Ban đầu, kỳ thi chỉ được tổ chức ở miền Bắc từ 1962 đến 1975, nhưng sau khi đất nước thống nhất, nó đã mở rộng ra toàn quốc Từ năm 1974, dựa trên kết quả của kỳ thi này, Việt Nam đã chọn đội tuyển tham dự kỳ thi vô địch toán quốc tế (IMO) và đã đạt được nhiều thành tích đáng khích lệ.
Hàng năm, các trường và lớp học đều thành lập đội tuyển học sinh giỏi để tham gia các kỳ thi cấp quốc gia và địa phương Để đạt được thành công trong các kỳ thi này, việc đào tạo và bồi dưỡng học sinh là một yếu tố quan trọng không thể thiếu.
Bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt là trong môn toán, là quá trình chuẩn bị kiến thức hệ thống và tạo môi trường giáo dục thuận lợi Giáo viên áp dụng các phương pháp dạy học hiệu quả để nâng cao trình độ và kỹ năng của học sinh Qua nỗ lực và cố gắng, học sinh sẽ phát triển năng lực đặc biệt, giúp họ vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tiễn trong cuộc sống.
Trong quá trình bồi dưỡng, vai trò của người thầy là rất quan trọng để phát huy tư duy sáng tạo của học sinh Người thầy cần nắm bắt năng lực sẵn có của học sinh và tác động có chủ đích để giúp học sinh phát huy tối đa khả năng của mình Điều này bao gồm việc áp dụng các phương pháp học tập hiệu quả, khuyến khích tự đánh giá, tìm kiếm và thu thập tài liệu, cũng như xử lý thông tin Mục tiêu là chuyển từ quá trình học tập truyền thống sang quá trình tự học và tự bồi dưỡng, giúp học sinh trở nên chủ động hơn trong việc phát triển bản thân.
Những thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng học
sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và các lớp chọn trong trường THPT chuyên
Các trường THPT chuyên tại Việt Nam được hưởng nhiều thuận lợi trong việc đào tạo và bồi dưỡng học sinh giỏi, theo quy định của Điều lệ trường THPT chuyên Những cơ sở này được đầu tư mạnh mẽ về cơ sở vật chất, trang thiết bị, và đội ngũ giáo viên chất lượng cao Chương trình giảng dạy được thiết kế theo chuẩn, đồng thời giáo viên thường xuyên tham gia các khóa tập huấn và thảo luận chuyên môn do Bộ GDĐT hoặc các Sở GDĐT tổ chức Đặc biệt, các trường trong lộ trình xây dựng trung tâm chất lượng cao của tỉnh Nam Định nhận được sự quan tâm và hỗ trợ từ Tỉnh uỷ, HĐND và UBND.
Sở GDĐT đã hỗ trợ các trường trong việc nâng cao cơ sở vật chất và phát triển đội ngũ giáo viên chất lượng, nhằm tạo điều kiện cho học sinh tham gia các đội tuyển học sinh giỏi cấp quốc gia.
Mặc dù các trường THPT không chuyên đã chú trọng vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) và xem đây là một trong những mục tiêu quan trọng để đáp ứng tiêu chí thi đua, nhưng vẫn còn nhiều hạn chế tồn tại Những hạn chế này xuất phát từ một số nguyên nhân chủ yếu.
Do thiếu chương trình riêng biệt như học sinh chuyên, tài liệu giảng dạy chủ yếu do giáo viên tự nghiên cứu và biên soạn, dẫn đến việc thiếu tính hệ thống và liên thông trong chương trình giáo dục.
Quy chế ưu tiên cho học sinh giỏi (HSG) hiện chưa đầy đủ, chỉ áp dụng cho những HSG đạt giải cấp quốc gia Điều này khiến học sinh chưa thực sự yên tâm và không dám đầu tư toàn bộ thời gian, công sức vào các môn học mà họ có thế mạnh, mà thường tập trung vào các khối thi đại học.
Nhiều kiến thức trong lĩnh vực Khoa học Tự nhiên (KHTN) vẫn còn xa lạ và không có trong chương trình sách giáo khoa, khiến học sinh gặp khó khăn trong việc tiếp cận.
Tư duy
Khái niệm
Tư duy, theo từ điển bách khoa toàn thư Việt Nam, là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức đặc biệt trong não, phản ánh tích cực thế giới khách quan qua các khái niệm và lý luận Nó xuất hiện trong hoạt động sản xuất của con người, giúp phản ánh thực tại một cách gián tiếp và phát hiện các mối quan hệ quy luật với thực tế.
Theo Tâm lý học, tư duy được định nghĩa là quá trình nhận thức lý tính, mang lại một hiểu biết sâu sắc hơn về thực tại so với cảm giác và tri giác Tư duy không chỉ phản ánh những đặc điểm và bản chất bên trong của sự vật, hiện tượng mà còn giúp chúng ta nhận diện các mối liên hệ quy luật mà trước đây chúng ta chưa từng biết đến.
Tư duy là giai đoạn cao nhất trong quá trình nhận thức, giúp con người khám phá bản chất và nhận diện quy luật của sự vật, hiện tượng thông qua các hình thức như biểu tượng, phán đoán và suy lý.
Đặc điểm của tư duy
Khi đối mặt với những tình huống mới, nếu chúng ta không thể giải quyết vấn đề bằng kiến thức và phương pháp hiện có, chúng ta rơi vào "tình huống có vấn đề" Trong những trường hợp này, xu hướng của chúng ta là tìm cách thoát khỏi những hiểu biết cũ để đạt được những kiến thức mới, điều này đòi hỏi chúng ta phải tư duy sáng tạo.
Tư duy có tính khái quát, cho phép phản ánh các thuộc tính chung và mối liên hệ quy luật giữa nhiều sự vật hiện tượng khác nhau.
Tư duy của con người có tính độc lập tương đối, mặc dù bị ảnh hưởng bởi môi trường và sự giao tiếp xã hội Trong quá trình hoạt động, con người không chỉ trao đổi thông tin mà còn chịu tác động từ tư duy của những người xung quanh thông qua các hoạt động vật chất Điều này cho thấy tư duy không chỉ liên quan đến bộ não cá nhân mà còn là sản phẩm xã hội, phản ánh sự tiến hóa của xã hội trong khi vẫn duy trì tính cá thể của mỗi người.
Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ rất chặt chẽ, bởi con người có nhu cầu giao tiếp và tiếp nhận thông tin, điều này tạo điều kiện cho sự phát sinh ngôn ngữ Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ, và tư duy được truyền tải thông qua ngôn ngữ Vì vậy, ngôn ngữ có thể được xem như là vỏ bọc của tư duy Sự ra đời của ngôn ngữ không chỉ đánh dấu bước phát triển của tư duy mà còn cho thấy tư duy phụ thuộc vào ngôn ngữ.
Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức rất quan trọng, trong đó nhận thức bao gồm cảm giác, tri giác và biểu tượng Những yếu tố này được hình thành từ thực tiễn của thế giới khách quan, phản ánh thông tin về hình dạng và hiện tượng bên ngoài một cách riêng lẻ.
Tư duy là công cụ quan trọng trong nhận thức, đóng vai trò là nguyên nhân và kết quả, đồng thời thể hiện sự phát triển cao của nhận thức Ở giai đoạn đầu, tư duy cụ thể hình thành, sau đó kết hợp với ngôn ngữ để thực hiện các thao tác như so sánh, phân tích, tổng hợp, khu biệt và quy nạp thông tin Những thông tin đơn lẻ được kết nối với sự vật, giúp tìm ra nội dung và bản chất của hiện tượng, từ đó hình thành các khái niệm, phạm trù và định luật Giai đoạn này được gọi là tư duy trừu tượng.
Chẳng hạn, học sinh đã được định hướng có được công thức cos A + cos B + cos C = 1 + r
Một cách rất tự nhiên học sinh đi tìm những công thức nào liên quan đến tỷ số r
R hoặc liên quan đến cos A + cos B + cos C.
Lúc này học sinh phải tổng hợp, đối chiếu, phân tích tức là phải tư duy đến công thức cos A + cos B + cos C ≤ 3
2 và kết hợp với kiến thức vừa biết đi so sánh được
R ≥ 2r. Đây cũng chính là thực hiện tư duy sáng tạo ta sẽ nghiên cứu lý luận cụ thể ở phần sau.
Những phẩm chất của tư duy
Khả năng định hướng là khả năng nhận thức nhanh chóng và chính xác về đối tượng cần tiếp thu, xác định mục tiêu cần đạt được, cùng với việc tìm ra những phương án tối ưu để thực hiện mục tiêu đó.
Bề rộng của kiến thức cho phép áp dụng nghiên cứu vào nhiều đối tượng khác nhau, trong khi độ sâu giúp nắm vững bản chất của sự vật và hiện tượng một cách sâu sắc hơn Tính linh hoạt thể hiện sự nhạy bén trong việc vận dụng tri thức vào các hoạt động và tình huống khác nhau một cách sáng tạo.
Tính mềm dẻo:Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các hướng xuôi hoặc ngược chiều.
Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện những vấn đề, đề xuất cách giải quyết và tự giải quyết được vấn đề.
Khi đối diện với một vấn đề, việc xây dựng mô hình khái quát là rất quan trọng Mô hình này không chỉ giúp giải quyết vấn đề hiện tại mà còn có thể áp dụng cho các tình huống tương tự trong tương lai.
Các thao tác của tư duy
Phân tích và tổng hợp là hai quá trình quan trọng trong nghiên cứu Theo Nguyễn Cảnh Toàn, phân tích là việc tách rời một chỉnh thể thành các bộ phận để khám phá chi tiết từng phần Ngược lại, tổng hợp là khả năng nhìn nhận toàn diện một chỉnh thể, nhận diện mối liên hệ giữa các bộ phận và sự tương tác của chỉnh thể đó với môi trường xung quanh.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản trong quá trình tư duy, đóng vai trò nền tảng cho mọi hoạt động trí tuệ Hai quá trình này có mối quan hệ chặt chẽ và không thể tách rời, thể hiện sự thống nhất biện chứng giữa hai mặt đối lập.
So sánh và tương tự:
So sánh là quá trình tư duy giúp nhận diện sự tương đồng và khác biệt giữa các sự vật và hiện tượng Để thực hiện so sánh, cần phân tích các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, sau đó đối chiếu và tổng hợp để xác định những điểm giống và khác nhau.
Tương tự là hình thức so sánh giữa hai đối tượng có những điểm tương đồng, từ đó suy ra rằng chúng cũng có thể giống nhau ở những khía cạnh khác Điều này cho thấy sự giống nhau giữa các đối tượng ở một mức độ nhất định.
Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá:
Khái quát hoá là quá trình chuyển đổi từ một tập hợp đối tượng lớn hơn sang tập hợp ban đầu, thông qua việc nhấn mạnh những đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát.
Khái quát hoá, theo Theo Polya, là quá trình mở rộng nghiên cứu từ một tập hợp đối tượng cụ thể sang một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu.
Khái quát hoá là quá trình chuyển từ các yếu tố riêng lẻ hoặc đặc thù đến những khái niệm chung hơn, thường được áp dụng trong toán học để tạo ra các kết quả tổng quát từ những định lý hoặc bài toán cụ thể Ngược lại, đặc biệt hoá là thao tác tư duy nhằm cụ thể hoá các khái niệm hoặc kết quả tổng quát thành những trường hợp riêng lẻ.
Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá và khái quát hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán, sáng tạo ra những bài toán mới.
Trừu tượng hoá là một quá trình tư duy giúp loại bỏ các yếu tố, thuộc tính và mối liên hệ không cần thiết, chỉ giữ lại những yếu tố quan trọng cho sự tư duy.
Trừu tượng hoá và khái quát hoá có mối liên hệ chặt chẽ, giúp nâng cao khả năng nhận thức về sự vật Trừu tượng hoá cho phép chúng ta khái quát hoá một cách rộng rãi hơn, đồng thời giúp nhận thức sâu sắc hơn về bản chất của vấn đề Ngược lại, khái quát hoá cũng hỗ trợ trong việc phân tách các đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã thực hiện quá trình trừu tượng hoá Hoạt động trừu tượng hoá là một phần quan trọng trong tư duy, có thể áp dụng cho bất kỳ lĩnh vực nào trong khoa học, đặc biệt là toán học.
Vấn đề phát triển năng lực của tư duy
Phát triển năng lực tư duy, đặc biệt là tư duy toán học, là yếu tố quan trọng giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức và vận dụng vào thực tiễn Học sinh chỉ có thể lĩnh hội tri thức khi có tư duy tích cực và sự hướng dẫn từ giáo viên, từ đó biết phân tích, khái quát và rút ra những kết luận cần thiết.
Để phát triển năng lực tư duy, nội dung dạy học cần được thiết kế sao cho không chỉ phù hợp với trình độ hiện tại của học sinh mà còn thách thức họ đạt được trình độ cao hơn Điều này đòi hỏi học sinh phải tham gia vào các hoạt động trí tuệ phức tạp, từ đó khuyến khích sự tìm tòi và tư duy sáng tạo nhằm đạt được những mục tiêu học tập mới.
Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển
Học sinh có khả năng tự chuyển tải tri thức và kỹ năng sang các tình huống mới, điều này thể hiện qua việc giải quyết vấn đề trong quá trình học tập Khi học sinh biết liên tưởng và tái hiện kiến thức đã học để áp dụng vào những tình huống khác, đó là dấu hiệu của tư duy phát triển.
Tái hiện kiến thức và thiết lập được sơ đồ các mối quan hệ bản chất một cách nhanh chóng.
Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán.
Có khả năng áp dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tiễn, nhanh chóng định hướng, phân tích và suy đoán, sử dụng các thao tác tư duy nhằm tìm ra phương án tối ưu và tổ chức thực hiện một cách hiệu quả.
Tư duy sáng tạo
Một số công trình trong nước nghiên cứu tư duy sáng tạo
Theo tác giả Phạm Văn Hoàn, tư duy sáng tạo được thể hiện qua việc không tuân theo những khuôn mẫu cũ, linh hoạt thay đổi các phương pháp giải quyết vấn đề và nhận diện mối liên hệ giữa những sự kiện tưởng chừng không liên quan Tác giả đã đề xuất 7 biện pháp để rèn luyện tư duy sáng tạo, nhằm giúp tìm ra những giải pháp hiệu quả và độc đáo.
1) Khắc phục "Tính ỳ" của tư duy bằng cách cho học sinh làm các bài toán khác nhau.
2) Khuyến khích học sinh tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau của một bài toán và chọn ra cách giải hay nhất.
3) Sử dụng các phép tính và bài toán không giải theo lối rập khuôn.
4) Cho học sinh giải các bài toán vui để tập suy luận khác với cách giải thông thường
5) Rèn luyện trí tưởng tượng cho học sinh.
6) Tập cho học sinh ý thức xem xét một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
7) Cần và tiến hành rèn luyện tư duy ở tất cả các lớp song phải có phương pháp phù hợp.
Tác giả Hoàng Chúng đã nghiên cứu các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học cho học sinh, bao gồm đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự Những phương pháp này có thể áp dụng để giải quyết bài tập, dự đoán kết quả, và mở rộng kiến thức Để phát triển khả năng sáng tạo toán học, ngoài đam mê học tập, học sinh cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau, thể hiện qua hai mặt quan trọng.
Phân tích khái niệm và bài toán từ nhiều góc độ khác nhau giúp chúng ta hiểu rõ hơn về kết quả đã biết Qua việc xem xét các khía cạnh đa dạng, chúng ta có thể tổng quát hóa thông tin và áp dụng vào các vấn đề tương tự, từ đó mở rộng nhận thức và tìm ra những giải pháp sáng tạo.
Khám phá nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài toán giúp mở rộng hiểu biết và ứng dụng vào các bài toán tương tự hoặc phức tạp hơn Việc khai thác các lời giải này không chỉ nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề mà còn tạo cơ hội để đề xuất những bài toán mới, góp phần phát triển tư duy toán học.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn, mục đích chính của cuốn sách là rèn luyện tư duy sáng tạo, đặc biệt là tư duy biện chứng, với trọng tâm là phát hiện vấn đề và tìm tòi cái mới Qua 10 đề tài trong sách, tác giả nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phát triển tư duy biện chứng trong quá trình lao động sáng tạo.
Để sáng tạo trong lĩnh vực toán học, cần phải thành thạo cả phân tích và tổng hợp Hai quá trình này không chỉ đan xen mà còn hỗ trợ lẫn nhau, giúp phát triển tư duy sáng tạo một cách hiệu quả.
Trong nghiên cứu của Trần Văn Hoàn, Trần Thúc Trình và Nguyễn Gia Cốc, phát triển năng lực toán học cho học sinh được xác định là nhiệm vụ quan trọng của giáo viên Việc nghiên cứu kỹ lưỡng cấu trúc năng lực tư duy toán học của học sinh Việt Nam là cần thiết, nhằm xây dựng nội dung và phương pháp hiệu quả để bồi dưỡng khả năng sáng tạo toán học một cách chủ động.
Tư duy sáng tạo
Sáng tạo, theo định nghĩa từ điển, là việc tạo ra cái mới và giải quyết vấn đề một cách độc lập, không bị ràng buộc bởi những gì đã tồn tại Nội dung của sáng tạo bao gồm hai yếu tố chính: tính mới mẻ và lợi ích vượt trội so với cái cũ Do đó, sáng tạo đóng vai trò thiết yếu trong mọi hoạt động của xã hội loài người Nghiên cứu về sáng tạo thường được thực hiện từ nhiều góc độ, xem đây là quá trình phát sinh cái mới dựa trên nền tảng của cái cũ.
Các nhà nghiên cứu có nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Nguyễn Bá Kim nhấn mạnh rằng tính linh hoạt, độc lập và phê phán là những yếu tố thiết yếu của tư duy sáng tạo, phản ánh khả năng tạo ra cái mới và phát hiện các vấn đề cũng như hướng đi mới Tuy nhiên, việc nhấn mạnh sự mới mẻ không có nghĩa là coi nhẹ giá trị của cái cũ.
Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy độc lập, giúp tạo ra những ý tưởng mới và độc đáo, đồng thời có khả năng giải quyết vấn đề hiệu quả Nó không bị ràng buộc bởi những gì đã có, thể hiện tính độc lập trong việc xác định mục tiêu và tìm kiếm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang đậm dấu ấn cá nhân của người sáng tạo.
Theo G.Polya, tư duy hiệu quả là tư duy dẫn đến lời giải cho một bài toán cụ thể, và được coi là sáng tạo khi nó tạo ra các phương tiện giải quyết các bài toán sau này Mức độ sáng tạo tăng lên khi số lượng và đa dạng của các bài toán sử dụng những phương tiện này càng lớn Tác giả Trần Thúc Trình cho rằng sự sáng tạo trong học toán thể hiện qua việc học sinh tự mình khám phá cái mới khi đối mặt với những vấn đề chưa biết Một bài tập được xem là sáng tạo nếu người giải không bị ràng buộc bởi các mệnh lệnh hay thuật toán đã biết và phải tìm ra các bước giải quyết chưa từng biết trước Trường học có thể giúp học sinh chuẩn bị cho hoạt động sáng tạo này.
Tư duy sáng tạo trong học sinh thể hiện qua khả năng tự khám phá và tìm kiếm giải pháp cho những vấn đề chưa biết Bắt đầu từ những tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giúp giải quyết mâu thuẫn một cách hiệu quả, với các tiêu chí như tính hợp lý, tiết kiệm, khả thi và vẻ đẹp của giải pháp Tóm lại, tư duy sáng tạo là hình thức tư duy độc lập, sinh ra những ý tưởng mới độc đáo và có khả năng giải quyết vấn đề cao.
Cấu trúc của tư duy sáng tạo
Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý, giáo dục học, đã thống nhất đưa ra
5 thành phần cơ bản của cấu trức tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
Tính mềm dẻo của tư duy là khả năng chuyển đổi linh hoạt giữa các hoạt động trí tuệ khác nhau, bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh và trừu tượng hóa Nó cho phép cá nhân dễ dàng áp dụng các phương pháp suy luận như quy nạp và suy diễn, đồng thời điều chỉnh nhanh chóng các giải pháp khi gặp khó khăn Sự linh hoạt này không chỉ giúp cải thiện khả năng giải quyết vấn đề mà còn nâng cao hiệu quả trong tư duy sáng tạo.
Tính mềm dẻo của tư duy là khả năng thay đổi nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, cho phép chuyển đổi từ góc nhìn này sang góc nhìn khác và định nghĩa lại sự vật, hiện tượng Điều này bao gồm việc từ bỏ sơ đồ tư duy cũ, xây dựng phương pháp tư duy mới và tạo ra sự vật mới trong các mối quan hệ khác nhau Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng máy móc kiến thức đã có vào hoàn cảnh mới, mà nhận diện vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc và nhìn thấy chức năng mới của các đối tượng quen biết.
Tính mềm dẻo là đặc điểm quan trọng của tư duy sáng tạo Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên có thể giao cho các em những bài tập giúp rèn luyện tính linh hoạt trong suy nghĩ.
Tính nhuần nhuyễn của tư duy được thể hiện qua khả năng nhanh chóng kết hợp các yếu tố riêng lẻ trong các tình huống và hoàn cảnh khác nhau, đồng thời đưa ra những giả thuyết mới Các nhà tâm lý học đánh giá cao chất lượng của những ý tưởng được hình thành, coi đó là tiêu chí quan trọng trong việc đánh giá sự sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được định nghĩa bởi khả năng phát sinh nhiều ý tưởng, với số lượng ý tưởng càng lớn thì khả năng xuất hiện các ý tưởng độc đáo càng cao Trong trường hợp này, số lượng không chỉ đơn thuần là con số mà còn là yếu tố thúc đẩy chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn được thể hiện qua hai đặc trưng nổi bật.
Tính đa dạng trong cách xử lý vấn đề khi giải toán cho phép người có tư duy nhạy bén nhanh chóng đề xuất nhiều giải pháp từ nhiều góc độ khác nhau Khi đối mặt với một vấn đề, họ có khả năng tìm ra nhiều phương án và từ đó lựa chọn phương án tối ưu nhất.
Khả năng nhìn nhận sự vật và hiện tượng từ nhiều khía cạnh khác nhau giúp tạo ra cái nhìn sinh động và đa chiều, tránh sự phiến diện và cứng nhắc trong suy nghĩ.
Ví dụ 1.1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
1 ab + 1 bc + 1 ca ≤ 1 4r 2 Đây là ví dụ tiếp theo của nội dung cuối chương 2, khi ta đã có kiến thức cơ bản về hệ thức lượng giác Chẳng hạn
Kết hợp với R ≥ 2r được đpcm.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Sử dụng kết quả trên, ta được đpcm.
Ta luôn có(ab + bc + ca)
≥ 9.Suy ra 1 ab + 1 bc + 1 ca ≥ 9 ab + bc + ca. Mặt khác, ta dễ ràng có được a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca, sử dụng kết quả trên được đpcm.
Bài toán tương đương với 2p abc ≥ 1
(abc) 2 ⇔ abc ≥ 8(p − a)(p − b)(p − c). Thật đơn giản, ta có a = (p − b) + (p − c) ≥ p
Cách 5: Ta có (a + b) 2 ≥ 4ab ⇔ 1 ab ≥ 4 (a + b) 2 , suy ra:
Sử dụng kết quả trên, ta có đpcm.
⇔ sin A + sin B + sin C ≥ 4 sin A sin B sin C
Sử dụng kết quả trên, ta được đpcm.
Là khả năng tìm và đề xuất, quyết định phương thức hoàn toàn mới Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng:
- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity)
Năng lực này cho phép phát hiện nhanh chóng các vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm và thiếu sót trong logic, đồng thời nhận diện những điểm chưa tối ưu Từ đó, nó giúp đề xuất các giải pháp sáng tạo nhằm cải thiện và phát triển cái mới.
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề.
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Tư duy sáng tạo không chỉ bao gồm 5 thành phần cơ bản mà còn phụ thuộc vào một số yếu tố quan trọng khác như tính chính xác, năng lực định giá, khả năng phán đoán và năng lực định nghĩa lại Những yếu tố này góp phần nâng cao khả năng sáng tạo và quyết định trong quá trình phát triển ý tưởng.
Các yếu tố cơ bản trong tư duy sáng tạo không tách rời mà có mối quan hệ mật thiết, hỗ trợ lẫn nhau Tính mềm dẻo cho phép chuyển đổi linh hoạt giữa các hoạt động trí tuệ, từ đó tìm ra nhiều giải pháp đa dạng cho các tình huống khác nhau Sự nhuần nhuyễn này giúp khám phá những phương án độc đáo và mới lạ, góp phần quan trọng vào việc phát triển tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học môn toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh 21
toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp chặt chẽ với các hoạt động trí tuệ khác như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá và hệ thống hoá Trong đó, hoạt động phân tích và tổng hợp đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo, giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.
Để phát triển tính mềm dẻo và nhuần nhuyễn trong tư duy, học sinh cần thường xuyên luyện tập các kỹ năng và năng lực, đồng thời thực hiện phân tích kết hợp với tổng hợp để nhìn nhận đối tượng từ nhiều góc độ khác nhau Việc so sánh các trường hợp riêng lẻ và sử dụng phép tương tự để chuyển đổi giữa các trường hợp là cần thiết, giúp khai thác mối quan hệ chặt chẽ với trừu tượng hóa Điều này làm rõ mối quan hệ chung và riêng, giữa các mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được qua đặc biệt hóa và hệ thống hóa.
Rèn luyện cho học sinh khả năng khái quát hóa tài liệu toán học giúp phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo Qua việc tìm kiếm nhiều giải pháp từ các góc độ và tình huống khác nhau, học sinh có thể nhận diện những mối liên hệ giữa các sự kiện tưởng chừng như không liên quan Các hoạt động này không chỉ bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn trong tư duy mà còn khuyến khích sự tìm tòi và khám phá những giải pháp độc đáo, góp phần nâng cao khả năng giải quyết vấn đề của học sinh.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng khơi dạy những ý tưởng mới, phát hiện những vấn đề mới
Trong giảng dạy lý thuyết, việc áp dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu là rất quan trọng, nhằm tạo ra các tình huống có vấn đề giúp học sinh khám phá kiến thức mới Học sinh cần được rèn luyện khả năng suy luận có lý thông qua các kỹ năng như quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp và tương tự Điều này sẽ giúp học sinh tự tìm tòi, dự đoán quy luật của thế giới khách quan, đồng thời phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán kết quả và tìm ra hướng giải cho các bài toán.
Trong thực hành giải toán, việc chú trọng đến các bài tập có điều cần chứng minh chưa rõ ràng là rất quan trọng Học sinh cần tự xác lập vấn đề, tìm tòi để phát hiện và giải quyết những thách thức trong quá trình học.
Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát triển các yếu tố của tư duy sáng tạo như tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo Bằng cách khai thác nội dung giảng dạy, giáo viên nên đưa ra những câu hỏi "Có vấn đề" để khuyến khích học sinh suy nghĩ và rèn luyện các yếu tố này.
Để phát triển tư duy sáng tạo, cần sử dụng các loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố khác nhau Những bài tập đơn giản giúp khắc phục "tính ỳ" bằng cách áp dụng công thức cụ thể, trong khi những bài tập yêu cầu nhiều lời giải khác nhau khuyến khích học sinh chuyển đổi giữa các phương pháp Các bài tập với vấn đề thuận nghịch song song hỗ trợ hình thành liên tưởng ngược và thuận đồng thời Cuối cùng, các bài toán "không theo mẫu" thách thức học sinh không chỉ áp dụng định lý và quy tắc mà còn khuyến khích tư duy sáng tạo hơn.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành ở tất cả các khâu của quá trình dạy học
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình liên tục và hệ thống, cần được thực hiện xuyên suốt trong các tiết học và hoạt động trải nghiệm sáng tạo Để phát triển khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh, cần tạo điều kiện cho các em thực hành toán học hóa các tình huống thực tế, viết báo toán với những đề toán tự sáng tác, tìm ra những cách giải mới và khai thác kết quả từ các bài tập đã giải.
Một vấn đề quan trọng trong giáo dục là kiểm tra và đánh giá Các đề kiểm tra và đề thi cần được thiết kế để đánh giá năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể hoàn thành tốt các đề kiểm tra này khi họ thể hiện rõ rệt khả năng tư duy sáng tạo của mình, thay vì chỉ học thuộc lòng hay áp dụng kiến thức một cách thiếu sáng tạo.
Nhận xét 1.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, khi dạy giáo viên phải chuẩn bị và giao nhiệm vụ:
Chuẩn bị tài liệu giảng dạy một cách kỹ lưỡng là rất quan trọng, bao gồm việc trang bị các khái niệm, định nghĩa và kiến thức cơ bản Giáo viên nên đặt ra những câu hỏi và tình huống "Có vấn đề" liên quan đến thực tế, nhằm tạo động lực cho học sinh trong quá trình học tập.
Học sinh nên phát triển tư duy thông qua việc so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, phân tích và tổng hợp thông tin Việc tự sưu tầm và thu thập tài liệu liên quan là rất quan trọng, giúp hình thành ý thức nghiên cứu và khả năng giải quyết vấn đề.
Định hướng và tổ chức thảo luận nhóm cho học sinh là một phương pháp hiệu quả, giúp các em trình bày nhiều hướng giải quyết bài toán khác nhau Qua đó, học sinh có cơ hội đưa ra ý kiến phản biện, thảo luận và phân tích các giải pháp Cuối cùng, các em sẽ tự chọn lọc ra cách giải tối ưu nhất, nâng cao khả năng tư duy và kỹ năng làm việc nhóm.
Học sinh cần tự thực hiện và phân tích các phương pháp đã áp dụng, đồng thời đánh giá kỹ lưỡng những ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp Việc ghi chép lại nhận xét theo cách hiểu cá nhân sẽ giúp củng cố kiến thức và phát triển tư duy phản biện.
Học sinh có thể phát triển tư duy sáng tạo bằng cách tự đặt ra các bài toán mới thông qua việc phán đoán, dự đoán, đặc biệt hoá và khái quát hoá Việc giải quyết những bài toán này không chỉ giúp nâng cao kỹ năng tư duy mà còn khuyến khích trao đổi ý tưởng với các bạn học sinh khác Quan trọng là trong quá trình thảo luận, học sinh cần chú trọng đến việc trân trọng và phát triển tư duy phê phán để đạt được những giải pháp tối ưu.
• Cuối cùng, tập hợp các kết quả (cùng các bạn hoặc có sự định hướng của thầy) tổng hợp lại các kết quả tìm được.
Nhận xét 1.2 Thái độ của giáo viên khi dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy cho học sinh:
Tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận với nhiều trường phái và quan điểm khác nhau một cách cởi mở và nhẹ nhàng, đồng thời tìm kiếm và cung cấp lý do cho những hoạt động mà học sinh đang thực hiện.
• Định hướng không để học sinh xa rời điểm chính của cuộc hội thảo, thảo luận.
• Luôn luôn cởi mở, khuyến khích quan điểm của cá nhân học sinh; tránh lặp lại nhiều lần những yêu cầu.
• Sẵn sàng tiếp nhận ý kiến của học sinh kể cả những hạn chế Nắm được cảm giác, trình độ hiểu biết, độ tinh tế của học sinh.
• Định hướng những giải pháp giàu tưởng tượng, phù hợp; định hướng học sinh viết tổng hợp, nhận xét.
Thực trạng của quá trình dạy và học nội dung đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan
bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan
Trong các năm học 2014-2015 và 2015-2016, tác giả đã thực hiện điều tra và thí nghiệm sư phạm tại các lớp học sinh có năng lực tốt thuộc các trường trung tâm chất lượng cao ở tỉnh Nam Định, cùng với tổ toán của các trường này Tác giả đưa ra những nhận định quan trọng từ nghiên cứu của mình.
Chương trình giáo dục hiện hành chủ yếu tập trung vào việc trang bị kiến thức, dẫn đến phương pháp dạy học một chiều, khiến học sinh trở nên thụ động và chỉ ghi nhớ máy móc nội dung sách giáo khoa mà không được rèn luyện phương pháp học hiệu quả Hình thức tổ chức dạy học chủ yếu diễn ra trong lớp học, chưa dành đủ thời gian cho các hoạt động trải nghiệm thực tiễn Những hạn chế trong thiết kế nội dung môn học, phương pháp dạy học, cũng như nội dung kiểm tra và đánh giá đã gây cản trở trong việc đạt được các mục tiêu giáo dục về đạo đức, lối sống, kỹ năng, phát triển khả năng sáng tạo và tự học suốt đời.
Trong những năm gần đây, Bộ GDĐT đã chỉ đạo đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại, nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh Đội ngũ giáo viên đã chú trọng hơn đến việc bồi dưỡng kỹ năng tư duy và định hướng phát triển năng lực cho học sinh Tuy nhiên, việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi vẫn chưa được quan tâm đúng mức, khi giáo viên thường tập trung vào việc cung cấp thông tin mà chưa giao nhiệm vụ học tập rõ ràng Điều này dẫn đến việc tư duy sáng tạo của học sinh bị kìm hãm và chưa được phát triển đúng cách.
Một số giáo viên, đặc biệt là những người có nhiều năm kinh nghiệm, thường có khả năng xử lý tình huống sư phạm hiệu quả Tuy nhiên, phương pháp dạy học truyền thống vẫn còn mang tính áp đặt và máy móc, không khuyến khích học sinh phát huy nội lực và phát triển năng lực tư duy sáng tạo của mình.
Trong dạy học môn toán tại các trường THPT, giáo viên thường chỉ tập trung vào việc phân dạng bài tập và hướng dẫn giải mẫu, khiến học sinh phải ghi nhớ nhiều bước khuôn mẫu Điều này dẫn đến việc học sinh chỉ có thể giải quyết những bài tập quen thuộc và gặp khó khăn khi đề bài có sự thay đổi Hơn nữa, học sinh thường hài lòng ngay khi tìm ra một lời giải, mà không chịu suy nghĩ về các phương pháp khác hoặc không phân tích để chọn lựa cách giải tối ưu Kết quả là các em không phát triển tư duy mở rộng và khả năng giải quyết vấn đề.
Dạy học chuyên đề "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" là một phương pháp quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, qua điều tra, cho thấy việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh vẫn còn hạn chế.
- Việc chuẩn bị của nội dung của giáo viên chưa được hệ thống, các phương pháp dạy học hiện đại chưa được sử dụng.
Việc tổ chức các hoạt động nhóm trong lớp học hiện nay chưa đạt hiệu quả mong muốn do thiếu rõ ràng trong yêu cầu, cách thức thực hiện và thời gian giới hạn Học sinh thường gặp khó khăn trong việc trình bày sản phẩm của mình, trong khi giáo viên yêu cầu tìm ra lời giải mà không phân chia các mức độ để phát triển tư duy Cần cải thiện cách tổ chức để nâng cao khả năng tư duy và sự tham gia của học sinh trong các hoạt động nhóm.
Việc giao nhiệm vụ về nhà cho học sinh hiện nay vẫn mang tính hình thức, chưa thực sự khuyến khích và động viên các em khám phá nhiều cách giải khác nhau, tổng hợp các dạng toán, cũng như phát triển các dạng toán mới.
- Học sinh chưa nắm vững bản chất của vấn đề nên thường khi vận dụng vào giải toán chưa được nhuần nhuyễn.
Việc chuyển đổi giữa các hoạt động trí tuệ khác nhau gặp nhiều khó khăn, do chưa áp dụng linh hoạt các phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa Suy nghĩ vẫn còn mang tính rập khuôn, máy móc, dẫn đến việc nhớ theo dạng thức và lối mòn.
Khi giải bài toán, nhiều học sinh thường chỉ dừng lại ở kết quả mà không tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo Việc tìm kiếm nhiều lời giải khác nhau, phân tích các phương pháp giải độc đáo và thay đổi giả thiết của bài toán là những hoạt động cần thiết để nâng cao khả năng tư duy của các em.
Rất ít học sinh có khả năng tự phát triển bài toán và ra đề bài Tính tự giác và độc lập trong học tập của học sinh còn hạn chế, họ thường phụ thuộc vào sự hướng dẫn của giáo viên trong việc giải bài mẫu Học sinh chưa chú trọng đến việc tự học, khám phá và sưu tập tài liệu tham khảo để nâng cao kiến thức của mình.
Chương này trình bày lịch sử kỳ thi IMO và quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tại Việt Nam Tác giả phân tích lý luận phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan Bài viết nêu rõ khái niệm, cấu trúc và đặc trưng của tư duy và tư duy sáng tạo Đặc biệt, tác giả nhấn mạnh vai trò của việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua các chuyên đề giảng dạy, từ đó định hướng phát triển năng lực và phẩm chất, kích thích tính sáng tạo của học sinh trong học tập và cuộc sống.
Chương 2 Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác
Đa thức bậc ba
Công thức nghiệm của phương trình bậc ba
Phương trình bậc ba có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình phổ thông, thường tập trung vào việc xác định nghiệm hoặc giải quyết các bài toán đã biết một nghiệm Tuy nhiên, các tài liệu giáo khoa thường không cung cấp phương pháp giải tổng quát cho loại phương trình này.
Để giải phương trình bậc ba tổng quát với hệ số thực, ta xét phương trình có dạng ax³ + bx² + cx + d = 0, với a khác 0 Trong bài toán này, chúng ta sẽ giải phương trình (2.1) khi đã biết một nghiệm x = x₀.
Lời giải Theo giả thiết thì ax 3 0 + bx 2 0 + cx 0 + d = 0
(2.1)⇔ ax 3 + bx 2 + cx + d = ax 3 0 + bx 2 0 + cx 0 + d
1) Nếu ∆ = (ax 0 + b) 2 − 4a(ax 2 0 + bx 0 + c) < 0thì phương trình (2.1) có nghiệm duy nhấtx = x 0
2) Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình (2.1) có các nghiệm
Hệ quả 2.1 1) Nếu x 0 là nghiệm của phương trình (2.1) thì điều kiện cần và đủ để phương trình (2.1) có ba nghiệm phân biệt là ax 2 0 + (ax 0 + b)x 0 + ax 2 0 + bx 0 + c 6= 0
2) Nếu x 0 là nghiệm của (2.1) thì có thể phân tích : ax 3 + bx 2 + cx + d = (x − x 0 )f (x) (2.2) trong đó f(x) là một tam thức bậc hai xác định.
3) Nếu x 1 , x 2 , x 3 là các nghiệm của phương trình (2.1) thì ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) và có công thức Viete
x 1 + x 2 + x 3 = − b a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c a x 1 x 2 x 3 = − d a Bài toán 2.2 Giải phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (2.3) với ac 3 = db 3 (2.4)
(Khi đó phương trình (2.3)−(2.4) có tên gọi là phương trình quy hồi bậc ba) Lời giải Từ (2.4) suy ra
2) c 6= 0 ⇒ b 6= 0 và d a = ( c b ) 3 Đặt c b = −x 0 thì c = −bx 0 , d = −ax 3 0 Thế vào (2.3), ta được ax 3 + bx 2 − bx 0 x − ax 3 0 = 0
Nếu ∆ = (ax 0 + b) 2 − 4a 2 x 2 0 ≥ 0 thì phương trình còn có nghiệm x = −(ax 0 + b) ± √
Bài toán 2.3 Giải phương trình: 4x 3 − 3x = m với |m| ≤ 1.
Lời giải Đặt m = cos α = cos(α ± 2π) Khi đó cos α = cos(3 α
Do vậy phương trình có ba nghiệm
Lời giải. a) Đẳng thức (2.5) hiển nhiên. b) Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.
Thật vậy, phương trình không có nghiệm trong [−1, 1] vì nếu x = x 0 ∈ [−1, 1] là nghiệm thì ta đặt x 0 = cos β.
Giả sử phương trình có nghiệm x = x 1 với |x 1 | > 1.
Khi đó 4x 3 1 − 3x 1 = m Vậy có phương trình
Vậy x = x 1 là nghiệm duy nhất. Đặt m = 1
Khi đó theo (2.5) phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Bài toán 2.5 Giải phương trình
Lời giải Nhận xét rằng nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình thì đó là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, xét x > x 0 khi đó
Tương tự, với x < x 0 thì 4x 3 + 3x < 4x 3 0 + 3x 0 = m. Đặt x = 1
Khi đó dễ dàng kiểm tra đẳng thức
Suy ra cách giải phương trình như sau. Đặt m = 1
Khi đó theo (2.6) ta có nghiệm duy nhất của phương trình : x = 1
Bài toán 2.6 Giải và biện luận phương trình t 3 + at 2 + bt + c = 0.
3 Khi đó ta có thể viết phương trình dưới dạng
3 − c. a) Nếu p = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất y = √ 3 q. b) Nếu p > 0 Đặt y = 2 q p
3 x Khi đó ta được phương trình 4x 3 − 3x = m với m = 3 √
+) |m| ≤ 1 Đặt m = cos α Khi đó phương trình có ba nghiệm: x = cos α
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
3 x ta được phương trình 4x 3 + 3x = m. Đặt m = 1
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Học sinh lớp 10 có thể dễ dàng hiểu cách giải này bằng việc áp dụng công thức lượng giác Bài viết giới thiệu phương pháp chứng minh công thức Cardano để giải phương trình bậc ba, sử dụng số phức.
Mọi phương trình bậc ba tổng quát có dạng a1x^3 + b1x^2 + c1x + d1 = 0 đều có thể chuyển đổi dễ dàng về dạng chính tắc x^3 + ax^2 + bx + c = 0.
Sử dụng phép biến đổi x = y − a
3, ta có thể đưa về phương trình dạng sau (gọi là dạng rút gọn) y 3 + py + q = 0 (2.8) với p = b − a 2
Thật vậy, với đổi biến x = y − a
Khai triển và nhóm số hạng, ta được y 3 + (b − a 2
3 + c, ta được phương trình bậc ba (2.8) Dùng phép thế Vietey = z − p
3z vào phương trình (2.8) ta được z − p 3z
Nếu đặt lại t = z 3 thì ta được phương trình bậc hai
Phương trình này có hai nghiệm (thực hoặc phức) t 1,2 = − q
Ta đã biết rằng √ 3 1 có ba giá trị (kể cả giá trị phức) là e k = cos 2kπ
2 , trong đó i là đơn vị ảo, tức là i = √
Căn bậc ba của √3t có ba giá trị chính là t1, t1.e1 và t1.e2, trong đó t1 đại diện cho giá trị thực của căn bậc ba Từ đó, chúng ta có tổng cộng 6 giá trị của z tương ứng với các giá trị của t Cụ thể, giả sử z = √3t1, thì ba giá trị của z sẽ là z10 = 3s.
27 , z 11 = z 10 e 1 , z 12 = z 10 e 2 với z = √ 3 t 2 cho ba giá trị là z 20 = 3 s
3z ta được 6 giá trị của y là y 1k = z 1k − p
3z 2k với k = 0, 1, 2 Tuy nhiên, chỉ có ba giá trị y 10 , y 11 , y 12 vì y 10 = y 20 , y 11 = y 22 , y 12 = y 21
Thật vậy, do t là nghiệm của phương trình t 2 + qt − p 3
3z 21 + z 21 = y 21 Vậy phương trình có ba nghiệm là y 10 = z 10 − p
3z 12 = z 12 + z 21 Sau đây ta xét số nghiệm thực của phương trình (2.8) dựa theo số nghiệm thực của phương trình bậc hai
27 > 0. Khi đó phương trình bậc hai (2.3) có hai nghiệm thực phân biệt t 1,2 = − q
Do đó phương trình (2.2) có một nghiệm thực là y 10 = z 10 + z 20 = 3 s
27 và hai nghiệm phức liên hợp là y 11 = z 11 + z 22 = z 10 e 1 + z 20 e 2
Khi đó phương trình (2.8) có một nghiệm đơn y 10 = z 10 + z 20 = −2q 3 q
27 < 0. Khi đó p < 0 Ta viết t 1,2 dưới dạng lượng giác t 1,2 = − q
Theo công thức Moivre, ba giá trị của z = √ 3 t 1 = √ 3 r(cosϕ + isinϕ) được tính theo công thức z 1k = √ 3 r cos ϕ + k2π
Tương tự, ba giá trị của z = √ 3 t 2 =p 3 r(cosϕ − isinϕ) = 3 r r cos(−ϕ) + isin(−ϕ) được tính theo công thức z 2k = √ 3 r cos −ϕ + k2π
Trong trường hợp này, phương trình bậc ba (2.8) có ba nghiệm thực.
Công thức nghiệm của phương trình bậc ba thường phức tạp và khó nhớ, gây khó khăn trong việc áp dụng khi giải Để khắc phục điều này, ta có thể tìm một nghiệm thực của phương trình trước, sau đó chuyển đổi về dạng phương trình tích để dễ dàng hơn trong việc giải quyết.
Định lí Viete
Định lý 2.1 Giả sử phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a 6= 0) có ba nghiệm là x 1 , x 2 , x 3 Khi đó ta có
x 1 + x 2 + x 3 = − b a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c a x 1 x 2 x 3 = − d a Chứng minh Giả sử đa thức P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 6= 0) có 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 Khi đó P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) = ax 3 − a(x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + a(x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 )x − ax 1 x 2 x 3 đúng với mọi x nên suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.2 Vìa 6= 0 nên ta chuyển về phương trình dạng x 3 + ax 2 + bx + c = 0.
x 1 + x 2 + x 3 = −a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = b x 1 x 2 x 3 = −c Ngược lại, nêú ba số x 1 , x 2 , x 3 thoả mãn
x 1 + x 2 + x 3 = −a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = b x 1 x 2 x 3 = −c thì x 1 , x 2 , x 3 là nghiệm của phương trình t 3 + at 2 + bt + c = 0 (2.9)
Chú ý 2.1 Thay t = 1 t ta được 1 x 1 , 1 x 2 , 1 x 3 là nghiệm của phương trình ct 3 + bt 2 + at + 1 = 0 (2.10)
Từ hai phương trình trên và sử dụng định lý Viete ta có các tính chất về nghiệm:
Những biểu thức này yêu cầu học sinh chuẩn bị cách chứng minh, việc chứng minh được sử dụng nhiều cho những kết quả phần sau.
Định lí về sự tồn tại các nghiệm thực và tính chất nghiệm 40
Cách 1: Theo lời giải bài toán 2.6 cho ta ngay kết quả.
Để khảo sát hàm số f(x) = a1x³ + b1x² + c1x + d1 (với a1 ≠ 0) trên R, ta nhận thấy hàm này liên tục trên R Giả sử a1 > 0, khi x tiến đến âm vô cực, lim f(x) = -∞, do đó tồn tại số α < 0 sao cho f(α) = m với m < 0 Ngược lại, khi x tiến đến dương vô cực, lim f(x) = +∞, nên có số β > 0 để f(β) = M với M > 0.
Ta có f(α).f(β) = m.M < 0, suy ra tồn tại số c trong khoảng (α; β) sao cho f(c) = 0, chứng tỏ x = c là nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong (α; β), do đó phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên R Định lý 2.3 cho biết nếu phương trình bậc ba a₁x³ + b₁x² + c₁x + d₁ = 0 có hai nghiệm thực x₁, x₂ thì x₁x₂ ≥ 4a₁c₁ - b₁²/a₁² Để chứng minh, giả sử x₁, x₂ là nghiệm thực của phương trình bậc ba, thì x₃ cũng phải là nghiệm thực.
Từ định lí Viete, suy ra x 1 + x 2 + x 3 = − b 1 a 1 và x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c 1 a 1
Ta có phương trình x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = c₁a₁ và x₁x₂ + x₃(−b₁a₁ − x₃) = c₁a₁ Từ đó, x₃ là nghiệm của phương trình bậc hai a₁x² − b₁x + c₁ − a₁x₁x₂ = 0 Điều này dẫn đến bất đẳng thức 4 = b₁² − 4a₁(c₁ − a₁x₁x₂) ≤ 0, hay x₁x₂ ≥ 4a₁c₁ − b₁²/a₁² Theo định lý 2.4 (Định lý Sturm về nghiệm của phương trình bậc ba), phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 với các hệ số thực a, b, c có ba nghiệm thực x₁, x₂, x₃ khi và chỉ khi.
Chứng minh Phương trình đã cho chuyển được về phương trình y 3 + py + q = 0 với p = b − a 2
3 + c Hơn nữa, theo phần trên phương trình có ba nghiệm thực khi và chỉ khi q 2
27 ≤ 0, thay p, q theo a, b, c khai triển ta được điều phải chứng minh. Định lý 2.5 Phương trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 có ba nghiệm dương khi và chỉ khi có −4a 3 c + a 2 b 2 + 18abc − 4b 3 − 27c 2 ≥ 0 và a < 0, b > 0, c < 0.
Giả sử cả ba nghiệm đều dương thì chúng phải là những nghiệm thực theo định lí Sturm ta có−4a 3 c + a 2 b 2 + 18abc − 4b 3 − 27c 2 ≥ 0, mặt khác, theo Viete
Phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 có các nghiệm x₁, x₂, x₃ thỏa mãn điều kiện a < 0, b > 0, c < 0 Theo định lý Sturm, nếu −4a³c + a²b² + 18abc − 4b³ − 27c² ≥ 0, thì các nghiệm phải là nghiệm thực Nếu tồn tại một nghiệm x₁ ≤ 0, kết hợp với các điều kiện trên, ta có x₁³ + ax₁² + bx₁ + c < 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết Do đó, tất cả các nghiệm của phương trình phải là số dương Định lý 2.6 khẳng định rằng nghiệm của phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 là độ dài các cạnh của tam giác khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện: −4a³c + a²b² + 18abc − 4b³ − 27c² ≥ 0; a < 0, b > 0, c < 0 và a³ − 4ab + 8c > 0.
Chứng minh Ta có kết quả(x 1 + x 2 − x 3 )(x 2 + x 3 − x 1 )(x 3 + x 1 − x 2 ) = a 3 − 4ab + 8c (học sinh tự chứng minh kết quả này).
Để các nghiệm của phương trình trở thành độ dài các cạnh của tam giác, chúng cần phải là số dương và thỏa mãn các điều kiện: x1 + x2 - x3 > 0, x2 + x3 - x1 > 0, x3 + x1 - x2 > 0 Điều này chứng minh rằng −4a^3c + a^2b^2 + 18abc − 4b^3 − 27c^2 ≥ 0; với a < 0, b > 0, c < 0 và a^3 − 4ab + 8c > 0 đều được thỏa mãn.
Ngược lại, vì có −4a 3 c + a 2 b 2 + 18abc − 4b 3 − 27c 2 ≥ 0; a < 0, b > 0, c < 0 nên nghiệm của phương trình là những số thực dương Vì a 3 − 4ab + 8c > 0 nên x 1 + x 2 − x 3 > 0, x 2 + x 3 − x 1 > 0, x 3 + x 1 − x 2 > 0.
Nếu một trong ba bất đẳng thức có dấu ngược lại, như x₁ + x₂ - x₃ ≤ 0, thì sẽ tồn tại một bất đẳng thức có dấu cùng chiều, ví dụ như x₃ + x₁ - x₂ ≤ 0, dẫn đến kết luận x₁ ≤ 0, điều này là vô lý Do đó, nếu ba nghiệm dương thỏa mãn điều kiện a³ - 4ab + 8c > 0, thì ba nghiệm này chính là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Định lý 2.3 cung cấp một tiêu chuẩn hữu ích để xác định khi nào nghiệm của phương trình bậc ba có thể là ba cạnh của một tam giác.
Sử dụng dạng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba
Trong phần trước, chúng ta đã giải và phân tích phương trình bậc ba Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng đồ thị để xác định số nghiệm của phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0, với điều kiện a khác 0.
Xét hàm số f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, có y 0 = 3ax 2 + 2bx + c
Trường hợp 1: y 0 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến Phương trình f (x) = 0 có đúng một nghiệm.
Trường hợp 2: y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệtx 1 , x 2 Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2
Nếu các giá trị cực trị là y 1 , y 2 thì y 1 = r(x 1 ), y 2 = r(x 2 ) trong đór(x) là phần dư của phép chia f (x) cho f 0 (x)
+ y 1 y 2 < 0 ⇔ đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
+ y 1 y 2 = 0 ⇔ đồ thị tiếp xúc với trục Ox ⇔ phương trình có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép).
Nếu y1 y2 > 0, thì đồ thị sẽ cắt trục Ox tại một điểm, điều này đồng nghĩa với việc phương trình có một nghiệm Dựa vào kết quả này, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán liên quan đến số nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2.1 Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt x 3 + mx 2 + 4 = 0.
Để giải bài toán bậc 1 với tham số m, ta cần cô lập tham số này Phương trình tương đương với −m = x + 4x², trong đó x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Từ bảng biến thiên, suy ra đồ thị cắt đường thẳng y = −m tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi −m < 3 ⇔ m > −3.
Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi m > −3.
Cách 2: Sử dụng phần lý thuyết ở trên.
Hàm số đồng biến trên R ⇔ g 0 (x) = 3x 2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m = 0
Hàm số g(x) có hai giá trị cực trị cùng dấu Ta có g 0 (x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = − 2m
3 Để hai giá trị cực trị cùng dấu thìm 6= 0; g(0).g(− 2m
Kết hợp lại ta được m > −3 là kết quả cần tìm.
Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng phương trình (x + a) 3 + (x + b) 3 − x 3 = 0 luôn có nghiệm duy nhất với mọi tham số thực a, b.
Trường hợp 1: 4 ≤ 0 ⇔ ab ≤ 0 thì y 0 ≤ 0 với mọi x, suy ra hàm số nghịch biến trênR Khi đó đồ thị cắt trục hoành tại 01 điểm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Trường hợp 2: 4 > 0 ⇔ ab > 0 thì y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (khi đó x 1 , x 2 là hai điểm cực trị của hàm số)
Gọi y 1 , y 2 là các giá trị cực trị của hàm số Ta tính y 1 , y 2 bằng cách lấy y chia cho y 0 được thương p(x), dư r(x) = −ab(4x + a + b). y(x) = y 0 (x).p(x) + r(x)
Do đó y 1 y 2 > 0 nên đồ thị cắt trục Ox tại một điểm duy nhất hay phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
Ví dụ 2.3 (Đại học Quốc gia Hà Nội, khối A, năm học 1998-1999) Giả sử phương trình x 3 − x 2 + ax + b = 0 có ba nghiệm thực phân biệt Chứng minh rằng a 2 + 3b > 0.
Lời giải Giả sử phương trình x 3 − x 2 + ax + b = 0 có ba nghiệm thực phân biệt x 1 , x 2 , x 3 Theo Viete ta có x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = a, x 1 x 2 x 3 = −b.
Với ba nghiệm phân biệt, ta có (x 1 − x 3 ) 2 > 0, (x 2 − x 1 ) 2 > 0, (x 3 − x 2 ) 2 > 0. Nếu a 2 + 3b = 0 thì có x 2 1 = x 2 2 = x 2 3 = 0 mâu thuẫn với giả thiết phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2.4 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1.
Lời giải Đặt x = a + b + c; y = ab + bc + ca; z = abc.
Ta luôn có: a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 − 2(ab + bc + ca) = x 2 − 2y = 1 a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca) = x(1 − y)
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a
Bài toán đã cho trở thành, chứng minh rằng: −2 ≤ 3x − x 3 ≤ 2 khi |x| ≤ √
3 Khi đó, thật đơn giản các em xét hàm số f (x) = 3x − x 3 với |x| ≤ √
3 được điều cần chứng minh.
Đa thức bậc ba có những tính chất đặc biệt giúp tính toán giá trị lượng giác của biểu thức khi các số hạng là nghiệm của phương trình bậc ba.
Xuất phát từ bài toán giải phương trình cos 4x = cos 3x, ta giải được nghiệm của phương trình
Mặt khác ta có thể đổi phương trình (2cos 2 2x − 1) = 4cos 3 x − 3 cos x ⇔ 8cos 4 x − 8cos 2 x + 1 = 4cos 3 x − 3 cos x ⇔ (cos x − 1)(8cos 3 x + 4cos 2 x − 4 cos x + 1) = 0 Suy ra cos 2π
7 là nghiệm của phương trình bậc ba 8t 3 + 4t 2 − 4t + 1 = 0 Từ đó ta được các kết quả từ các tính chất đã nêu trên
Từ những đẳng thức trên, ta thu được thêm các kết quả sau: cos π
còn nhiều kết quả khác nữa.