Nội dung sáng kiến
Về câu hỏi mcq (multiple choise questions)
a) Đặc tính của câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn
- Phân biệt các cấp độ của câu hỏi MCQ (theo GS Boleslaw Niemierko)
Nhận biết Học sinh nhớ các khái niệm cơ bản, có thể nêu lên hoặc nhận ra chúng khi được yêu cầu
Học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản và có khả năng áp dụng chúng khi được trình bày theo cách tương tự như phương pháp giảng dạy của giáo viên hoặc thông qua các ví dụ điển hình trong lớp học.
Học sinh có khả năng nắm bắt khái niệm ở mức độ sâu hơn, không chỉ dừng lại ở việc "thông hiểu", mà còn tạo ra mối liên hệ logic giữa các khái niệm cơ bản Điều này cho phép các em vận dụng kiến thức để tổ chức lại thông tin đã được trình bày, tương tự như trong bài giảng của giáo viên hoặc trong sách giáo khoa.
Học sinh có khả năng áp dụng kiến thức từ môn học để giải quyết các vấn đề mới, không giống như những gì đã học trong sách giáo khoa Việc này diễn ra ở mức độ phù hợp với nhiệm vụ và kỹ năng đã được giảng dạy, tương ứng với mức độ nhận thức của học sinh Những vấn đề này phản ánh các tình huống thực tế mà học sinh sẽ đối mặt trong xã hội.
- Theo lí thuyết khảo thí hiện đại, các câu hỏi MCQ có thể phân chia thành các cấp độ như sau:
(cấp độ nhận biết, thông hiểu)
Thí sinh chỉ cần thực hiện các thao tác tư duy đơn giản như tính toán số học, ghi nhớ thông tin và áp dụng trực tiếp các công thức cũng như khái niệm liên quan.
Lời giải chỉ bao gồm 1 bước tính toán, lập luận
Mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận là trực tiếp
Câu hỏi đề cập tới các nội dung kiến thức sơ cấp, trực quan, không phức tạp, trừu tượng
(tương đương cấp độ vận dụng)
Thí sinh cần thực hiện các thao tác tư duy cơ bản như phân tích, tổng hợp và áp dụng một số công thức cùng khái niệm thiết yếu.
Lời giải bao gồm từ 1 tới 2 bước tính toán, lập luận
Giả thiết và kết luận có mối quan hệ tương đối trực tiếp
Câu hỏi đề cập tới các nội dung kiến thức tương đối cơ bản, không quá phức tạp, trừu tượng
(tương đương cấp độ vận dụng cao)
Yêu cầu thí sinh sử dụng các thao tác tư duy cao như phân tích, tổng hợp, đánh giá, sáng tạo
Giả thiết và kết luận không có mối quan hệ trực tiếp
Lời giải bao gồm từ 2 bước trở lên
Câu hỏi đề cập tới các nội dung kiến thức khá sâu sắc, trừu tượng b) Một số nguyên tắc khi viết câu hỏi MCQ
Để đảm bảo chất lượng và tính chính xác của đề thi, câu hỏi cần được viết theo đúng yêu cầu của các thông số kỹ thuật trong ma trận chi tiết đã được phê duyệt Ngoài ra, cần chú ý đến các quy tắc cần tuân thủ trong quá trình viết câu hỏi để đạt được hiệu quả tốt nhất.
- Câu hỏi không được sai sót về nội dung chuyên môn
Câu hỏi cần đảm bảo tính phù hợp với thuần phong mỹ tục Việt Nam và không vi phạm các đường lối, chủ trương, cũng như quan điểm chính trị của Đảng và Nhà nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam.
Câu hỏi cần phải được xây dựng một cách sáng tạo, không được sao chép nguyên văn từ sách giáo khoa hoặc các tài liệu tham khảo khác Việc sao chép từ những nguồn đã được xuất bản, dù là bản in hay điện tử, cũng là điều không được phép.
- Câu hỏi cần khai thác tối đa việc vận dụng các kiến thức để giải quyết các tình huống thực tế trong cuộc sống
- Các ký hiệu, thuật ngữ sử dụng trong câu hỏi phải thống nhất c) Kĩ thuật viết câu hỏi MCQ
Để xây dựng câu hỏi kiểm tra hiệu quả, mỗi câu hỏi cần phải đo lường một kết quả học tập quan trọng, phù hợp với mục tiêu đánh giá Việc xác định đúng mục tiêu của kiểm tra là yếu tố then chốt giúp tạo ra những câu hỏi chính xác và có ý nghĩa.
Khi viết câu hỏi tự luận, cần tập trung vào một vấn đề duy nhất để kiểm tra kiến thức sâu rộng Ngược lại, với câu hỏi trắc nghiệm (MCQ), người viết nên chú ý đến một vấn đề cụ thể hơn, nhằm đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong việc đánh giá kiến thức.
- Dùng từ vựng một cách nhất quán với nhóm đối tượng được kiểm tra
- Tránh việc một câu trắc nghiệm này gợi ý cho một câu trắc nghiệm khác, giữ các câu độc lập với nhau
- Tránh các kiến thức quá riêng biệt hoặc câu hỏi dựa trên ý kiến cá nhân
- Tránh sử dụng các cụm từ đúng nguyên văn trong sách giáo khoa
- Tránh việc sử dụng sự khôi hài
- Tránh viết câu không phù hợp với thực tế d) Một số lưu ý khi viết phần dẫn
Đảm bảo rằng các hướng dẫn trong phần dẫn rõ ràng và sử dụng từ ngữ chính xác, giúp thí sinh hiểu rõ yêu cầu của bài thi.
- Để nhấn mạnh vào kiến thức thu được nên trình bày câu dẫn theo định dạng câu hỏi thay vì định dạng hoàn chỉnh câu
- Nếu phần dẫn có định dạng hoàn chỉnh câu, không nên tạo một chỗ trống ở giữa hay ở bắt đầu của phần câu dẫn
- Tránh sự dài dòng trong phần dẫn
Trong phần dẫn, nên sử dụng thể khẳng định để truyền đạt thông điệp rõ ràng Khi áp dụng dạng phủ định, cần nhấn mạnh từ phủ định bằng cách in đậm, gạch chân, hoặc kết hợp cả hai cách để tăng tính nổi bật Kỹ thuật viết các phương án lựa chọn cũng cần được chú trọng để đảm bảo sự rõ ràng và hiệu quả trong việc truyền đạt ý tưởng.
- Phải chắc chắn có và chỉ có một phương án đúng hoặc đúng nhất đối với câu chọn một phương án đúng/đúng nhất
- Nên sắp xếp các phương án theo một thứ tự nào đó
- Cần cân nhắc khi sử dụng những phương án có hình thức hay ý nghĩa trái ngược nhau hoặc phủ định nhau
- Các phương án lựa chọn phải đồng nhất theo nội dung, ý nghĩa
- Các phương án lựa chọn nên đồng nhất về mặt hình thức (độ dài, từ ngữ,…)
- Tránh lặp lại một từ ngữ/thuật ngữ nhiều lần trong câu hỏi
- Viết các phương án nhiễu ở thể khẳng định.
Định nghĩa tích phân
Tránh sử dụng các thuật ngữ mơ hồ và không có định nghĩa rõ ràng về mức độ, chẳng hạn như “thông thường”, “phần lớn”, “hầu hết” Đồng thời, hạn chế việc sử dụng các từ hạn định cụ thể như “luôn luôn” để đảm bảo tính chính xác và rõ ràng trong nội dung.
“không bao giờ”, “tuyệt đối”
- Phương án nhiễu không nên “sai” một cách quá lộ liễu.
3 Định nghĩa tích phân:
Cho f x( ) là hàm số liên tục trên [ ; ]a b Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của ( ) f x trên [ ; ]a b
Hiệu số F b( )F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ]a b ) của hàm số f x( ), kí hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t Tức là:
3.1 Tính chất của tích phân:
Tính chất 2: b ( ) ( ) b ( ) b ( ) a a a f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b
Tính chất 4: Nếu f x ( ) 0, x a b ; thì b ( ) 0 a f x dx
Chú ý: Nếu f x ( ) g x ( ), x a b ; thì b ( ) b ( ) a a f x dx g x dx
3.2 Phương pháp đổi biến số:
Cho hàm số f x( ) liên tục trên [ ; ]a b Giả sử hàm số x( )t có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ] sao cho ( )a , ( )b và a ( )t b với mọi
Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép đổi biến số ở dạng như sau: Cho hàm số f x( ) liên tục trên [ ; ]a b Để tính ( ) b a f x dx
, đôi khi ta chọn hàm số ( ) uu x làm biến số mới, giả sử có thể viết f x ( ) g u x u x ( ) '( ) với x [ ; ] a b thì
Nếu u x ( ) và v( )x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ; ]a b thì:
Nhất lô, Nhì đa, Tam lượng, Tứ mũ Để tính nhanh tích phân từng phần ta có thể dùng hai kỹ thuật như:
Sơ đồ chéo ( bản chất là thu gọn phép đặt)
3.4 Công thức đạo hàm một tích, một thương:
4 Các bài toán về định nghĩa tích phân:
4.1 Công thức tính tích phân:
Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên a b ; và F x ( ) là một nguyên hàm của
Từ công thức trên ta thấy có ba đại lượng liên quan đến nhau đó là
Nếu biết hai trong ba đại lượng, ta có thể dễ dàng xác định đại lượng còn lại bằng cách sử dụng công thức trực tiếp.
Ví dụ 1: Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên 1;3 và có một nguyên hàm là F x ( ) thỏa mãn F (3) 2; (1) F 3 Khi đó giá trị của 3
Hướng dẫn: Mức độ: Nhận biết
Hiển nhiên theo công thức tính tích phân ta có: 3
Vậy đáp án đúng là A
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên 1; 2 và có một nguyên hàm là F x ( ) Biết
Hướng dẫn: Mức độ: Nhận biết
Hiển nhiên theo công thức tính tích phân ta có:
Các bài toán về định nghĩa tích phân
I x x Khẳng định nào sau đây sai?
Suy ra, đáp án A, B là những khẳng định đúng
Mặt khác, tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b d a f x x
Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b, không phụ thuộc vào biến số x hay u Do đó, đáp án D là đúng Khẳng định sai trong bài này là đáp án C, vì vậy lựa chọn đúng là đáp án C.
3 f x 2 x dx 3 f x dx 2 xdx 3 f x dx 2 xdx 3 I 3.
4.2 Các bài toán khai thác các tính chất:
4.2.1 Sử dụng các phép toán về tích phân:
Dấu hiệu nhận biết từ hai phép toán trên là cận số trong các tích phân không thay đổi, và bài toán chỉ liên quan đến các hàm số đã cho cùng với các phép toán giữa chúng.
Ví dụ 1: Cho hàm số y f x y ( ); g x ( ) liên tục trên 1;3 và thỏa mãn
3 Hướng dẫn: Mức độ: Nhận biết
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x y ( ); g x ( ) liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn
Hướng dẫn: Mức độ: Nhận biết Đặt 4 4
( ) ; ( ) a f x dx b g x dx ta có hệ:
4.2.2 Sử dụng công thức tách cận tích phân:
Lời giải Áp dụng tính chất: b d c d b d a a c f x x f x x f x x a c b
Với công thức trên ta thấy dấu hiệu thường sử dụng là cận tích phân có thể thay đổi nhưng hàm số dưới dấu tích phân là không đổi
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên 1;3 và thỏa mãn
Hướng dẫn: Mức độ: Nhận biết ta có
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn
Hướng dẫn: Mức độ: Nhận biết
4.2.3 Sử dụng tính chất tích phân của hàm số không âm:
Trong dạng toán này, chúng ta thường gặp các biểu thức tích phân với những đặc điểm nổi bật, chẳng hạn như các biểu thức chứa dạng \[ f(x) \]^2, f(x), \[ f'(x) \]^2 Vì vậy, cần nhóm các biểu thức trong dấu tích phân một cách hợp lý để áp dụng các công thức thích hợp.
Mặt khác, ta có tính chất quen thuộc b 2 0, ; a f x dx x a b
Dựa vào tính chất nói trên, ta có thể đi giải một số bài toán có dạng như sau
Cho hàm f x và g x có đạo hàm liên tục trên a b ; thoả mãn
Hoặc Cho hàm f x và g x có đạo hàm liên tục trên a b ; thoả mãn
Bước 1: Gọi G x là một nguyên hàm của hàm g x Áp dụng tích phân từng phần cho b b b a b ' a a a g x f x dx f x d G x G x f x G x f x dx
Bước 2: Xác định hệ số k sao cho b ' 2 0 a f x k G x dx
Bước 3: Từ f ' x k G x với các giả thiết đã cho tìm được f x
Như vậy, có hai mấu chốt của dạng toán này là:
Ví dụ 1: Cho hàm số f x ( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;1 Biết 1
Hướng dẫn này tập trung vào việc tìm mối liên hệ giữa hai biểu thức f x ( ) 2 và xf x ( ) Để giải quyết bài toán, học sinh cần nhận thức rằng việc áp dụng các công thức đã học có thể gặp khó khăn trong việc xác định mối liên hệ giữa các đại lượng chứa biểu thức f x ( ) 2 Do đó, giáo viên nên hướng dẫn học sinh suy nghĩ về dạng f x ( ) kx 2 Sự xuất hiện của đại lượng xf x ( ) gợi ý cho việc lựa chọn số k sao cho 1 2.
Vì thế ta có biến đổi: 1 2 1 2 2 2
Từ đó ta có lời giải
Ví dụ 2: Cho hàm số f x ( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;1 Biết 1
Hướng dẫn giải: Mức độ: Vận dụng cao
Bài toán này tương tự như bài toán trước, nhưng các giả thiết trong bài toán này là rời rạc Để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng, chúng ta cần xác định mối quan hệ giữa ba đại lượng có trong giả thiết Rõ ràng, để các giả thiết liên kết với nhau, chúng ta có thể sử dụng đẳng thức (f(x) + ax + b)², qua đó trong khai triển của đẳng thức này sẽ bao gồm tất cả các giả thiết trong bài toán.
( ( ) f x ax b dx ) f x ( ) dx 2 a xf x dx b f x dx ( ) ( ) ( ax b dx )
Các tích phân trong vế phải của đẳng thức đều có thể tính toán được, vì vậy chúng ta nên xem xét việc áp dụng tính chất tích phân của dạng bình phương.
( ( ) f x ax b dx ) 0 f x ( ) dx 2 a xf x dx ( ) 2 b f x dx ( ) ( ax b dx ) 0
Xét phương trình bậc hai ẩn a ta có:
Để a tồn tại rõ ràng phải có b 2 a 6 Khi đó hàm f x ( ) 6 x 2 là hàm duy nhất thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Từ đó ta có lời giải
( ( ) 6 f x x 2) dx f x ( ) dx 12 xf x dx ( ) 4 f x dx ( ) (6 x 2) dx
Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 ,
Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng cao
Câu hỏi này đã từng xuất hiện trong đề thi minh họa năm 2018 và sau đó trở thành xu hướng trong các đề thi thử Mặc dù nhiều lời giải trên mạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, nhưng đây không phải là ý tưởng chính trong việc ra đề.
Bài toán trong bài viết này liên quan đến việc đưa về bình phương trong bối cảnh kiến thức đại học Cụ thể, hàm dưới dấu tích phân f'(x)² và hàm x f(x)² không có mối liên hệ trực tiếp với nhau.
Tuy nhiên trong bài toán có xuất hiện các biểu thức dưới dạng tích điều đó cho ta nghĩ đến dạng tích phân từng phần Và từ
dẫn đến mối liên hệ
Từ các hướng suy nghĩ trên ta đi đến lời giải cho bài toán
Lời giải Từ giả thiết: 1 2
x f x x Đến đây ta tìm k để sao cho 1 3 2
Ví dụ 4: Cho hàm số f x ( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;
Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng cao
Để giải quyết bài toán, chúng ta cần đưa nó về dạng tích phân bình phương Tuy nhiên, khi áp dụng trực tiếp như trong các ví dụ minh họa 1 và 2, chúng ta gặp khó khăn do giả thiết chứa cả \([f'(x)]^2\) và \(f(x)\), khiến việc tạo bình phương trở nên không khả thi Vì vậy, bước đầu tiên là thực hiện các biến đổi cần thiết.
để tạo biểu thức f x ( ) bằng cách đặt từng phần làm xuất hiện các đại lượng có liên quan trong giả thiết
Xét phép đặt ( ) ( ) cos s inx u f x du f x dx dv xdx v
Đến đây ta được hai biểu thức f x ( ) 2 và f x ( ).s inx nên ta tạo bình phương dạng f x ( ) k s inx 2 Ta chọn k sao cho
( ) s inx 0 ( ) 2 s inx ( ) sin 0 f x k dx f x k f x k x dx
( ) 2 sin ( ) sin 0 f x dx k x f x dx k xdx
Từ đó ta có lời giải
, đặt u dv f x cos ( ) xdx v du s inx f x dx ( ) khi đó 0 2 2
( ) 2s inx 0 ( ) 4s inx ( ) 4sin f x dx f x f x x dx
1 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 4 ,
2 (Yên Phong 1 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn 1 2
2 (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn 2 2
4.2.4 Sử dụng tính chất nguyên hàm kết hợp: '( ) ( ) ( ) b a f x dx f b f a
Khi áp dụng các tính chất trong toán tích phân, cần tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng trong dấu tích phân để xác định dạng vi phân của biểu thức Đối với các tích phân có hàm số rõ ràng, việc giải quyết thường đơn giản hơn Tuy nhiên, khi hàm số không cụ thể, cần xem xét và có thể biến đổi bài toán để đưa về dạng vi phân của các hàm số Đặc biệt, trong các dạng toán này, cần chú ý đến công thức đạo hàm của các biểu thức tổng, hiệu, tích, thương và các biểu thức chứa căn.
Ví dụ 1: Cho hàm số f x ( ) thỏa mãn f (1) 4 và f x ( ) xf x ( ) 2 x 3 3 x 2 với mọi x 0
Suy ra, f x ( ) x là một nguyên hàm của hàm số g x 2 x 3
Ta có 2 x 3 dx x 2 3 x C , C Do đó, f x ( ) x x 2 3 x C 1 , (1) với C 1 nào đó
Vì f (1) 4 theo giả thiết, nên thay x 1 vào hai vế của (1) ta thu được C 1 0, từ đó
Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn đồng thời
Hướng dẫn: Với bài toán này ta dễ dàng nhận thấy bài toán có dấu hiệu của đạo hàm dạng tích của các biểu thức
Ta có: xf x ( ) ' f x ( ) xf x '( ) nên có 1 1 1
Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn f 1 1 và
Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ( x 1) f x f x ( ) 3 x 2 2 x x 1) f x 3 x 2 2 x
Qua ví dụ trên ta có phương pháp giải tổng quát u x f x u x f x g x ( )
Bài 1 Cho hàm số y f x ( ) có đạo hàm liên tục trên R Biết f (1) 1 và
Bài 2 Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; ,
2 cos sin cos xf x xf x x
3 6 f f a b trong đó , a b Tính giá trị của biểu thức P a b.
Bài 3 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn f 0 f 1 1 Biết rằng 1 2
Khi giải quyết bài toán đạo hàm, nếu chưa nhận ra ngay dạng của nó, học sinh có thể sử dụng các phép biến đổi đại số như cộng, trừ, nhân, chia và thêm bớt các đại lượng thích hợp để tạo ra công thức Nhiều dạng toán này đã xuất hiện trong các đề thi thử đại học gần đây Chúng tôi đã cố gắng trình bày các suy luận hợp lý dựa trên dấu hiệu của các công thức trong sách giáo khoa, nhằm giúp học sinh THPT dễ dàng tiếp cận và hiểu bài hơn.
Dưới đây là những ví dụ minh họa cho dạng toán này, được tác giả trình bày dựa trên cách tiếp cận và suy luận từ các công thức đạo hàm của hàm số dạng tích và thương Một đặc điểm nổi bật trong các công thức này là sự hiện diện đồng thời của các biểu thức f(x), f'(x) với đạo hàm dạng tích, cùng với f(x), f'(x), x f²(x) x với đạo hàm dạng thương.
Ví dụ 1: Cho hàm số f x 0, x R và có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu
Bài toán này có cách tiếp cận giải quyết đơn giản nhờ vào sự xuất hiện của hai đại lượng f(x) và f'(x) Điều này gợi ý đến một số công thức liên quan đến hai biểu thức này Để áp dụng công thức đạo hàm của hàm ln(f(x)), cần tìm cách đưa giả thiết về dạng f'(x).
( ) f x f x Với bài toán trên việc làm xuất hiện biểu thức này khá đơn giản Do đó ta hoàn toàn có thể đi đến lời giải
Lấy nguyên hàm hai vế ta có '( ) 6 ln ( ) 6 ( ) 6
Từ giả thiết có f (0) 1 e C 1 C 0 Vậy f x ( ) e 6 x
Do đó ln 2 ln 2 6 6 ln 2
Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm trên R thỏa mãn
2018 2018 2017 e 2018 x f x f x x với mọi x và f 0 2018 Tính giá trị f 1
Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng
Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn giống bài toán trên Ta có thể dùng hàm phụ dạng e hx f x ( ) kx 2017 ' 2018 e hx f x ( ) kx 2017 để tìm ra đại lượng k h ,
Ta sẽ đi xét một cách tiếp cận khác Nhận thấy đẳng thức ở vế trái có dạng
Vào năm 2018, biểu thức \( f'(x) - f(x) \) cho thấy dấu hiệu của đạo hàm dạng tích Do đó, chúng ta xem xét việc nhân cả hai vế với đại lượng \( e^{kx} \), vì hàm số \( e^{u(x)} \) sẽ giữ nguyên biểu thức sau khi lấy vi phân Với giả thiết này, ta dễ dàng nhận ra rằng \( k = -2018 \) do \( (e^{f(x)} \cdot e^{kx})' = e^{f(x)} \cdot e^{kx}' + k e^{f(x)} \cdot e^{kx} \).
Do đó ta có thể đi đến lời giải
Nhân vào hai vế đại lượng e 2018x ta có
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 2018 1 0 1 2018 2018
Từ các ví dụ minh họa đơn giản trên ta có thể giải quyết các bài toán sau:
Ví dụ 3: Cho hàm số f x ( ) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn 2 f x ( ) 2 f x f ( ) ( ) x f x ( ) 2 0 với x 0; 2 Biết f (0) 1, (2) f e 6 , tính tích phân
Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu
Để giải quyết bài toán liên quan đến các đại lượng f(x), f'(x) và f²(x), chúng ta cần biến đổi nó thành dạng thức của đạo hàm của một thương Điều này sẽ được thực hiện dựa trên công thức đạo hàm một thương, giúp tối ưu hóa quá trình tính toán và phân tích hàm số.
, biểu thức vế trái có dạng ( )
nên ta có thể tìm được lời giải hợp lý cho bài toán vừa nêu
Lời giải Do f x ( ) đồng biến trên đoạn 0; 2 nên ta có f (0) f x ( ) f (2) 1 f x ( ) e 6
Nên ta có ln ( ) f x x 2 cx c 1 Do 6 1
Ví dụ 4: Cho hàm số y f x ( )có đạo hàm trên R và thỏa mãn 3 ( ) 3 ( ) 2 1 2 2
với x R Biết f (0) 1 , tính tích phân
Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng
Ví dụ 5: Cho hàm số y f x ( ) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn
( x 1) ( ) f x x f x ( ) 2 e x với x 1; 2 Biết f (1) e , tính tích phân
Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng
Với bài toán này trước tiên ta nhận thấy có dạng đạo hàm của tích các biểu thức f x g x ( ) ( ) Với công thức đạo hàm dạng tích ta có
Từ mối liên hệ của các đại lượng có trong giả thiết ta hướng đến việc đi tìm biểu thức u x ( )
Các bài toán sử dụng phép tích phân từng phần
Các bài toán này thường có sự kết hợp của các biểu thức dạng tích và các đại lượng như u x u x ( ); '( ) Để giải quyết, chúng ta chỉ cần áp dụng phương pháp đặt từng phần một cách hợp lý Tuy nhiên, đối với những bài toán phức tạp hơn, việc kết hợp kỹ thuật sơ đồ hóa với các phương pháp đã đề cập là cần thiết Dưới đây là một số ví dụ minh họa cụ thể.
Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn
Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu Đặt d 2 d u x v f x x
Ví dụ 2: Cho hàm số f x có có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn
Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu Đặt d 4 d u x v f x x
Ví dụ 3: Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn 2
Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng
Đặt t 3sin x 1 3 dt cos xdx Đổi cận: 0 0; 3 x t x 2 t
Đặt 2 1 1 t x 2 dt dx Đổi cận: x 1 t 1; x 2 t 3 2 3 3
Ví dụ 4: Cho hàm số y f x liên tục trên thỏa mãn 1
Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu Đặt d d
Ví dụ 5: Cho hàm số y f x liên tục trên thỏa mãn f 2 16; 2
Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu Đặt
Ví dụ 6: Cho hàm số f x liên tục trên và thoả mãn
Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu
