NỘI DUNG
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hiện nay, sự phát triển lý luận và thay đổi hình thức thi yêu cầu hệ thống bài toán cũng phải đổi mới, khuyến khích người học tư duy và khám phá sâu hơn Điều này giúp học sinh "phá tan" lớp bảo vệ của bài toán, đưa nó về bản chất để giải quyết nhanh chóng Đối với giáo viên phổ thông, việc trang bị kỹ năng này cho học sinh, đặc biệt là những em khá và giỏi, là vô cùng quan trọng và cần thiết.
Sau nhiều năm giảng dạy và nghiên cứu, tác giả đã học hỏi từ các giáo viên có kinh nghiệm và đúc kết thành một chuyên đề Chuyên đề này tập trung vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích lớp 12.
Bài viết tổng quan lý luận về việc định hướng tìm lời giải cho học sinh thông qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12 Bằng cách sử dụng các biến đổi đồ thị và phần mềm GeoGebra, bài viết rút ra các quy tắc tổng quát và phương pháp tìm cực trị Hệ thống bài toán cơ sở được đưa ra nhằm giúp học sinh áp dụng nhanh chóng vào các bài toán khác, phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay Đề tài không chỉ cung cấp kiến thức mà còn phát triển khả năng tư duy và quy lạ về quen, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận các vấn đề phức tạp thông qua việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán Từ kiến thức cơ bản, học sinh sẽ tự nhiên nâng cao kiến thức mà không bị áp đặt.
THỰC TRẠNG
Trong giảng dạy hiện nay, đặc biệt là trong ôn thi TN THPT, bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12 gây khó khăn cho học sinh và giáo viên Mặc dù có nhiều phương pháp giải, việc áp dụng cụ thể cho từng bài toán lại không dễ dàng Mỗi bài toán thường được che đậy bởi một lớp phủ phức tạp, và các phương pháp giải không thể sử dụng trực tiếp do thời gian hạn chế, mà cần thông qua các bài toán định hướng Việc sử dụng phần mềm GeoGebra để biến đổi đồ thị và rút ra các bài toán tổng quát, quy tắc tìm cực trị là cần thiết để hỗ trợ học sinh và giáo viên trong việc tìm ra lời giải phù hợp cho các bài toán này.
Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho bài toán trắc nghiệm cực trị trong giải tích 12 là một thách thức lớn Nhằm khắc phục vấn đề này, tôi đã tiến hành thực nghiệm tại trường THPT Quỳnh Lưu 4, thực hiện hai bài kiểm tra 10 phút cho 10 học sinh mỗi lớp Đề kiểm tra đầu tiên được thực hiện trước khi giảng dạy chuyên đề, nhằm đánh giá mức độ vận dụng kiến thức của học sinh.
Câu 1 (VD) Cho hàm số , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 2 (VDC) Cho hàm số có đạo hàm với mọi
Hàm số có tối đa mấy điểm cực trị?
Chọn đáp án đúng và giải thích quy trình để đạt được lựa chọn đó trong Đề kiểm tra số 2, được thực hiện sau khi hoàn thành chuyên đề, nhằm đánh giá mức độ vận dụng kiến thức.
Câu 1 (VD) Cho hàm số có đạo hàm Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 9 điểm cực trị?
Hàm số liên tục và xác định trên một khoảng nhất định có đồ thị đạo hàm được cho Tập hợp các giá trị nguyên cần thiết để hàm số có đúng 7 điểm cực trị sẽ được xác định Số lượng phần tử trong tập hợp này là điều cần tìm hiểu.
“Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó”
Kết quả thực nghiệm trên được trình bày và phân tích trong phần phụ lục ở trang 35 trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này.
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Bài toán cực trị là một dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi minh họa, đề thi thử và đề thi tốt nghiệp THPT, có vai trò quan trọng trong việc phân loại học sinh khá, giỏi Để giải quyết bài toán cực trị trong chương trình Giải tích lớp 12, học sinh cần nắm vững nhiều phương pháp và nghiên cứu sâu, từ đó có thể định hướng và chuyển đổi các bài toán phức tạp thành dạng cụ thể, giúp họ dễ dàng tìm ra lời giải cho những bài toán tương tự.
Rèn luyện khả năng định hướng giải quyết các bài toán cực trị trong giải tích lớp 12 giúp học sinh chuyển đổi bài toán ban đầu thành các bài toán dễ giải hơn Điều này tạo điều kiện cho việc liên kết các bài toán tương tự, mặc dù đã trải qua một số phép biến đổi Việc nắm vững phương pháp này không chỉ nâng cao kỹ năng giải toán mà còn phát triển tư duy logic và khả năng phân tích.
Sau hơn hai mươi năm giảng dạy và nghiên cứu, tác giả đã đúc kết những phương pháp giải bài toán cực trị trong giải tích 12, tập trung vào việc sử dụng các phép biến đổi đồ thị và phần mềm GeoGebra Bài viết tổng hợp hệ thống các bài toán tìm cực trị của hàm hợp dựa trên quy tắc cơ bản Tác giả chia sẻ năm định hướng cơ bản đã áp dụng trong quá trình ôn thi cho học sinh, góp phần giúp học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia và tốt nghiệp THPT.
1 Định hướng tìm lời giải bài toán tìm số điểm cực trị của các hàm số dạng với là hàm đa thức bậc ba.
Việc tìm số điểm cực trị của hàm chứa giá trị tuyệt đối thường gặp khó khăn trong việc "phá vỡ" dấu giá trị tuyệt đối Để giải quyết vấn đề này, việc kết hợp các phương pháp suy đồ thị quen thuộc cùng với việc sử dụng phần mềm GeoGebra để trực quan hóa sẽ giúp xây dựng hệ thống định hướng tìm lời giải hiệu quả Qua đó, chúng ta có thể đưa hàm về dạng quen thuộc và tìm ra kết quả nhanh chóng (Xem video hướng dẫn cách suy đồ thị trực quan bằng GeoGebra tại đây: [Link video](https://drive.google.com/file/d/11AijiCfaLcjdMduxQiaaSfRcUjNuTxRj/view?usp=sharing)).
Bước 1 Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của hàm số
Vì hàm số là hàm chẵn, đồ thị (H) có trục tung làm trục đối xứng Do đó, phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục tung sẽ có phần đối xứng qua trục tung.
Bước 2 Từ đồ thị (H) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số
Suy ra với là phần đồ thị (H) nằm phía trên trục hoành
, còn là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (H) nằm phía dưới
GeoGebraCalculator-Windows-Installer-6-0-689-0.exe.zip
+/ Tính chất hàm liên tục:
Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho
*Phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm trong
Cho phương trình Để chứng minh có nghiệm trong , ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Chọn các số chia đoạn thành đoạn thỏa mãn :
Hàm số liên tục trên đoạn nên liện tục trên đoạn
Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình trên b Các định hướng.
Ví dụ 1 Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm số bằng 11
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương, cho thấy hàm số này có tổng cộng 11 điểm cực trị.
Ví dụ 2 Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm số bằng 9
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương Nếu hàm số này có hai điểm cực trị dương, thì tổng số điểm cực trị của hàm số sẽ là 9.
Ví dụ 3 Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 7
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương và một điểm cực trị dương Điều này cho thấy hàm số này có tổng cộng 7 điểm cực trị.
Ví dụ 4 Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 5
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ dương và một điểm cực trị dương Điều này dẫn đến việc hàm số này có tổng cộng 5 điểm cực trị.
Ví dụ 5 Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 3
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ dương và không có điểm cực trị dương Điều này cho thấy rằng hàm số này có ba điểm cực trị.
Nhận xét Tương tự cách làm trên học sinh có thể tự rút ra thêm một số các định hướng sau:
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ không âm, cho thấy rằng hàm số này có một cực trị.
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại một điểm duy nhất với hoành độ không dương Khi hàm số không có cực trị, nó sẽ có một điểm cực trị duy nhất.
Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại một điểm duy nhất với hoành độ dương Khi hàm số không có cực trị, điều này dẫn đến việc hàm số sẽ có 3 điểm cực trị.
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại hai điểm, bao gồm một điểm tiếp xúc và một điểm cắt, với hoành độ dương, cho thấy rằng hàm số này có tổng cộng bảy điểm cực trị.
Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba có thể cắt trục hoành tại hai điểm, trong đó có một điểm tiếp xúc dương và một điểm cắt âm Đồng thời, nếu đồ thị này có hai điểm cực trị dương, thì hàm số sẽ có tổng cộng năm điểm cực trị Dưới đây là một số ví dụ áp dụng để minh họa cho định hướng này.
Ví dụ 1 Cho hàm số với và
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Ta có và sao cho
Suy ra có ba nghiệm phân biệt và
Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và
Sử dụng định hướng [1.1] ta có hàm số có 11 điểm cực trị.
Ví dụ 2 Cho hàm số , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
