Ứng dụng phần mềm cocoa để giải một số bài toán về ideal đơn thức

Tính cấp thiết của đề tài

Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển nhanh chóng, mọi lĩnh vực kinh tế xã hội, bao gồm giáo dục, đều ứng dụng công nghệ vào quản lý và sản xuất Sự phát triển này đã dẫn đến sự ra đời của nhiều phần mềm hỗ trợ giảng dạy, tạo ra những đột phá trong việc dạy học, đặc biệt là môn toán Đại số, một nhánh lớn của toán học, nghiên cứu ký hiệu và quy tắc thao tác với chúng, trong đó đại số giao hoán nghiên cứu các vành giao hoán và ideal của chúng Luận văn này tập trung vào việc nghiên cứu ideal đơn thức trong vành đa thức.

Ideal trong A được hình thành từ các đơn thức và bao gồm những tính chất cơ bản cùng các phép toán liên quan đến ideal đơn thức Mặc dù có thể thực hiện các phép toán như giao, lũy thừa và căn của ideal một cách thủ công dựa trên định nghĩa và định lý, nhưng công việc này trở nên phức tạp khi làm việc với các ideal phức tạp hoặc nhiều ideal cùng lúc Do đó, việc sử dụng công cụ hỗ trợ tính toán là rất cần thiết trong những trường hợp này.

Phần mềm CoCoA (viết tắt của Computations in Commutative Algebra)

CoCoA là phần mềm đại số máy tính miễn phí, hỗ trợ lập trình và tính toán tương tự như các phương pháp thủ công truyền thống Ứng dụng chính của nó nằm trong đại số giao hoán và hình học đại số, cho phép tính toán trên các vành đa thức nhiều biến với tập số hữu tỷ và số nguyên, cũng như trên các ideal và module Phần mềm này có ưu điểm là miễn phí, giao diện thân thiện và ngôn ngữ cú pháp giống như Pascal, giúp người dùng dễ dàng học hỏi và phù hợp cho việc giảng dạy.

Phần mềm CoCoA là công cụ hữu ích trong việc dạy và học đại số giao hoán, đặc biệt là các vấn đề liên quan đến ideal đơn thức Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Ứng dụng phần mềm CoCoA để giải một số bài toán về ideal đơn thức”.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Làm rõ được sự cần thiết và những ưu điểm, hiệu quả của phần mềm CoCoA trong quá trình học tập, nghiên cứu môn đại số.

- Đưa ra được những hướng dẫn cụ thể sử dụng phần mềm.

Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên ngành toán, giúp họ tìm hiểu về các phần mềm hỗ trợ quá trình học tập và nghiên cứu hiệu quả.

Mục tiêu nghiên cứu

Tính chất cơ bản của ideal đơn thức

1.1.1 Ideal đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Một ideal đơn thức của R là một ideal của R được sinh bởi các đơn thức theo các biến x 1 , , x d

Vành đa thức hai biến R = A[x, y] có ideal I = (x^2, y^3)R, là một ideal đơn thức, bao gồm cả đa thức x^2 - y^3 Điều này cho thấy rằng các ideal đơn thức có thể chứa nhiều hơn một đơn thức Ngoài ra, ideal J = (y^2 - x^3, x^3)R cũng được xem xét trong bối cảnh này.

8 là một ideal đơn thức trong vành đa thức J = (y^2, x^3)R Các ideal tầm thường 0 và R cũng là các ideal đơn thức, với 0 = (∅)R và R = 1 R R = x^0 1 x^0 d R Định nghĩa 1.1.3 nêu rõ rằng, cho R = A[x_1, , x_d] là vành đa thức với d biến, ký hiệu [[I]] đại diện cho tập hợp tất cả các đơn thức có trong ideal I ⊆ R.

Một điểm quan trọng cần lưu ý là đối với mỗi ideal đơn thức khác không I ⊆ R, tập hợp [[I]] ∈ R là một tập vô hạn và không phải là một ideal Theo định nghĩa, ta có đẳng thức [[I]] = I ∩ [[R]] Bổ đề sau sẽ chỉ ra rằng tập hợp này chính là tập sinh của I.

Bổ đề 1.1.4 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Với mỗi ideal đơn thức I ⊆ R ta có I = ([[I]])R.

Chứng minh Gọi S là tập hợp các đơn thức sinh ra I Điều này kéo theo

S ⊆ [[I]] ⊆ I, do đó I = (S)R ⊆([[I]])R ⊆ I, dẫn đến đẳng thức cần chứng minh.

Mệnh đề 1.1.5 Cho R = A[x1, , xd] là vành đa thức d biến Gọi I và J là các ideal đơn thức của R Khi đó:

Chứng minh rằng nếu I thuộc tập R, thì [[I]] = I∩[[R]] sẽ thuộc J∩[[R]] và do đó [[J]] Ngược lại, nếu [[I]] thuộc [[J]], thì theo Bổ đề 1.1.4, ta có I = ([[I]])R thuộc ([[J]])R = J Điều này dẫn đến một kết luận trực tiếp từ mệnh đề (a) Định nghĩa 1.1.6 nêu rõ rằng R = A[x1, , xd] là vành đa thức với d biến.

(a) Gọi f và g là các đơn thức trong R Khi đó f là một bội của g nếu có một đơn thức h ∈ R sao cho f = gh.

(b) Với mỗi đơn thức f = x n ∈ R, vectơ gồm d thành phần n ∈ N d được gọi là vectơ lũy thừa của f.

Do các đơn thức trong vành R = A[x 1 , , x d ] là độc lập tuyến tính trên

A, các vectơ lũy thừa của mỗi đơn thức f ∈ R được định nghĩa tốt Do đó, với 2 vectơ m, n ∈ N d , ta có x m = x n khi và chỉ khi m = n.

Kết quả cho thấy rằng tích của một đơn thức với một nhân tử không phải là đơn thức sẽ không tạo ra một đơn thức Mặc dù điều này có vẻ đúng theo trực giác, chúng tôi đã cung cấp thêm chứng minh để đảm bảo tính đầy đủ Chứng minh tập trung vào tính độc lập tuyến tính của các đơn thức trong vành R = A[x₁, , xₖ] Quan hệ < trong N d được định nghĩa là: với số nguyên d dương, (a₁, , aₖ) < (b₁, , bₖ) nếu aᵢ ≥ bᵢ cho mọi i từ 1 đến d.

Bổ đề 1.1.7 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Gọi f = x m , g = x n là các đơn thức trong R Nếu h là một đa thức trong R sao cho f = gh, thì m < n và h = x p với p i = m i −n i

Chứng minh Giả sử f = gh với h = X p∈Λ apx p ∈ R và Λ ⊂ N d là tập hợp con hữu hạn thỏa mãn a p 6= 0 A với mỗi p ∈ Λ Khi đó, đẳng thức f = gh được viết thành: x m = x n X p∈Λ a p x p = X p∈Λ a p x n+p

Do các đơn thức trong R là độc lập tuyến tính dẫn đến: ap 

Giả sử mỗi hệ số ap đều khác 0, hạng tử khác không duy nhất của h là apx p khi n+p = m, tạo thành tập hợp Λ với phần tử Λ = {p} Với ap = 1A, ta có h = x p, từ đó suy ra rằng f = gh dẫn đến f là một bội của g theo định nghĩa.

Bổ đề 1.1.8 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Gọi f = x m , g x n là các đơn thức trong R Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(iii) f là bội đơn thức của g;

Các tương đương (i) ⇔ (ii) và (iv) ⇔ (v) được chứng minh dựa trên định nghĩa Từ đó, dễ dàng chứng tỏ rằng (ii) dẫn đến (iii), điều này được suy ra từ Bổ đề 1.1.7.

(iii) ⇒ (iv): Giả sử f = gh với h = x p Điều này dẫn đến: x m = x n x p = x n+p

Do tính định nghĩa tốt của các các vectơ lũy thừa của một đơn thức, dẫn đến m = n + p, m i = n i + p i với i = 1, d Do mỗi p i ≥ 0 dẫn đến m i = n i +p i ≥ n i với mọi i, do đó m < n theo định nghĩa.

(iv) ⇒ (iii): Giả sử m < n Từ định nghĩa dẫn đến m i −n i ≥ 0 với mỗi i Đặt p i = m i −n i , ta có p ∈ N d và theo như trên f = gh với h = x p Điều này chứng tỏ f là một bội của g.

Bổ đề nêu rõ rằng "thứ tự chia hết" trên tập hợp các đơn thức [[R]] thực chất là thứ tự bộ phận Điều này cho thấy quan hệ thứ tự < trên N d cũng là một quan hệ thứ tự bộ phận.

Do đó, cần chứng minh rằng các đơn thức trong [[R]] tương ứng với các phần tử của N d theo một song ánh Từ Bổ đề 1.1.8, ta có thể kết luận rằng x m nhỏ hơn x n khi và chỉ khi m nhỏ hơn n.

Kết quả dưới đây xác định điều kiện để một đơn thức thuộc vào một ideal đơn thức, với giả định rằng ideal được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức Theo Định lý 1.1.12, mọi ideal đơn thức đều được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức, do đó, kết quả này áp dụng cho mọi ideal đơn thức Cụ thể, Định lý 1.1.9 khẳng định rằng trong vành đa thức R = A[x1, , xd], một đơn thức f thuộc vào ideal sinh bởi các đơn thức f1, , fm khi và chỉ khi f thuộc vào f_i R với một chỉ số i nào đó.

Chứng minh ⇐=: Do f i ∈ {f 1 , , f m }, ta có f i R = (f i )R ⊆(f 1 , , f m )R.

=⇒: Giả sử f ∈ (f1, , fm)R và viết f m

X i=1 figi với gi ∈ R Từ giả thiết ta có f = x n và f i = x n i với một vài n, n 1 , , n m ∈ N d Bằng định nghĩa ta có thể viết mỗi gi ∞

X p∈ N d ai,px p với mỗi ai,p ∈ A, do đó: x n = f m

Do các đơn thức trong R độc lập tuyến tính trên A, đơn thức x^n phải xuất hiện trong tổng cuối cùng của đẳng thức Điều này có nghĩa là x^n = x^{n_i} + p với một số i và p, dẫn đến f = x^n = x^{n_i} x p ∈ f_i R cho một số i Định nghĩa 1.1.10 cho R = A[x_1, , x_d] là vành đa thức d biến, trong đó đồ thị của một ideal đơn thức I được xác định bởi Γ(I) = {n ∈ N^d | x^n ∈ I} Định lý 1.1.11 chỉ ra mối liên hệ giữa các phần tử sinh của ideal đơn thức và các tập con cơ bản của N^d, giúp đơn giản hóa việc xác định Γ(I), cụ thể nếu I = (x^{n_1}, , x^{n_m})R thì Γ(I) = [n_1] ∪ ∪ [n_m].

Chứng minh ⊇: Lấy m ∈ [n 1 ]∪ ∪[n m ] Khi đó ta có m ∈ [n i ] với một vài i và do đó m < n i Từ Bổ đề 1.1.8 dẫn đến x m ∈ x n i R ⊆ (x n 1 , , x n m )R = I và kéo theo m ∈ Γ(I) từ định nghĩa.

⊆: Giả sử p∈ Γ(I) Khi đó x p ∈ I = (x n 1 , , x n m )R, do đó từ Định lý 1.1.9 dẫn đến x p ∈ x n j R với j nào đó.

Từ Bổ đề 1.1.8 ta kết luận rằng p ∈ [n j ] ⊆ [n 1 ]∪ ∪[n m ].

Ta xét hai ví dụ trên vành đa thức R = A[x, y] Với I = (x 4 , x 3 y, y 2 )R ta có Γ(I) = [(4,0)]∪[(3,1)]∪[(0,2)]⊆ N 2 được biểu diễn dưới đây

Tiếp theo, xét ideal J = (x 2 )R và K = (y 3 )R Khi đó J+K = (x 2 , y 3 )R. Định lý 1.1.11 chỉ ra rằng Γ(J) = [(2,0)], Γ(K) = [(0,3)] và Γ(J + K) = [(2,0)]∪([0,3)] = Γ(J)∪Γ(K).

Ta có minh họa bằng đồ thị như sau:

Tổng quát hơn, ta thấy rằng nếu I 1 , , I n là các ideal trong A[x 1 , , x d ] thì Γ

Để xác định các tập con của N d dưới dạng đồ thị của ideal đơn thức, một tập con khác rỗng Γ ⊆ N d có dạng γ = Γ(I) với ideal đơn thức I ⊆ A[x 1 , , x d ] khi và chỉ khi với mỗi m ∈ Γ và mỗi n ∈ N d, ta có m+n ∈ Γ Ví dụ, đồ thị dưới đây không có dạng γ = Γ(I).

1.1.2 Phần tử sinh của ideal đơn thức Định lý 1.1.11 chỉ phát biểu cho ideal đơn thức I sinh bởi một số hữu hạn các đơn thức Kết quả sau đây chỉ ra rằng điều này là đúng với mọi ideal đơn thức. Định lý 1.1.12 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Khi đó mọi ideal đơn thức của R đều là hữu hạn sinh; hơn nữa, chúng được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức.

Chứng minh Gọi I ⊆ R là một ideal đơn thức Không mất tính tổng quát, giả sử I 6= 0 Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo d.

Với d= 1, ta có R = A[x] Đặt r = min{e> 0| x e ∈ I}.

Khi x r thuộc I, ta có x r R ⊆ I và cần chứng minh x r R ⊇ I để hoàn tất Vì I được sinh bởi các đơn thức của nó, nên x r R ⊇ [[I]] Nếu x s thuộc I thì s ≥ r, theo Bổ đề 1.1.8, ta suy ra x s thuộc x r R Giả sử d ≥ 2 và mọi ideal đơn thức của vành R 0 = A[x 1, , x d−1] là hữu hạn sinh Đối với ideal đơn thức I, ta sẽ xây dựng tập hợp.

S = {đơn thức z ∈ R₀ | zxê d ∈ I với một vài e ≥ 0} và J = (S)R₀ Theo định nghĩa, J là một ideal đơn thức trong R₀, và theo giả thiết quy nạp, J là hữu hạn sinh, tức là J = (z₁, , zₙ)R₀ với z₁, , zₙ ∈ S Đối với mọi i = 1, , n, tồn tại số nguyên eᵢ ≥ 0 sao cho zᵢxêᵢ ∈ I Với e = max{e₁, , eₙ}, ta có zᵢxê d ∈ I với i = 1, , n.

Theo định nghĩa J m là một ideal đơn thức trong R 0 , do đó theo giả thiết quy nạp J m là hữu hạn sinh, J m = (w m,1 , , w m,n m )R 0 với w m,1 , , w m,n m ∈ S m Đặt I 0 là ideal trong R sinh bởi z i x e d và w m,i x m d :

Bằng cách xây dựng này, ta có I 0 là một ideal đơn thức hữu hạn sinh của R. Bằng định nghĩa, mỗi z i x e d , w m,i x m d ∈ I, do đó ta có I 0 ⊆ I.

PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IDEAL ĐƠN THỨC 35

Ideal đơn thức bất khả quy

Trong vành đa thức d biến R = A[x₁, , xₖ], một ideal đơn thức J được gọi là khả quy nếu tồn tại hai ideal đơn thức J₁ và J₂ khác J sao cho J = J₁ ∩ J₂ Ngược lại, một ideal J được xem là bất khả quy nếu nó không thỏa mãn điều kiện trên.

Từ định nghĩa ta thấy, một ideal đơn thức J ⊆ R là bất khả quy khi và chỉ khi J 6= R, và nếu cho hai ideal đơn thức J 1 , J 2 sao cho J = J 1 ∩ J 2 thì

Một cách quy nạp, nếu J là bất khả quy và J1, , Jn, n ≥ 2 là các ideal đơn thức sao cho J n

J i , thì J = J i với chỉ số i nào đó.

Ví dụ 2.1.2 Cho R = A[x, y] là vành đa thức hai biến Ideal đơn thức

J = (x 3 , x 2 y, y 3 )R là khả quy Thật vây, ta có:

Ta cũng có x 2 ∈ (x 2 , y 3 )R\ J nên J 6= (x 2 , y 3 )R, và y ∈ (x 3 , y)R \J nên

Ideal J = (x³, y)R và các ideal (x², y³)R, (x³, y)R đều là bất khả quy Điều này có thể được chứng minh trực tiếp hoặc thông qua Định lý 2.1.3 Định lý 2.1.3 chỉ ra rằng cho R = A[x₁, , x_d] là vành đa thức d biến và J là một ideal đơn thức khác không của R, thì ideal J là bất khả quy nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương k, t₁, , tₖ, e₁, , eₖ sao cho 1 ≤ t₁ < < tₖ ≤ d.

Chứng minh Giả sử tồn tại các số nguyên dương k, t1, , tk, e1, , ek sao cho

Lấy cố định các ideal J 1 , J 2 thuộc R sao cho J = J 1 ∩J 2 Giả sử J ( J i với i = 1,2 và lấy cố định một đơn thức f i ∈ [[J i ]]\[[J]] Viết f 1 = x m và f 2 = x n Với i = 1, , d đặt p i = max{m i , n i }.

Với i = 1, , k, ta có m_i < e_i; nếu không, sẽ có m_i ≥ e_i với một i nào đó, dẫn đến mâu thuẫn khi so sánh các vectơ lũy thừa, f_1 ∈ x^{e_t i} R ⊆ J Tương tự, với i = 1, , k, ta cũng có n_i < e_i, từ đó p_i = max{m_i, n_i} < e_i Lập luận này cho thấy rằng lcm(f_1, f_2) = x^p ∉ J, nhưng lại có lcm(f_1, f_2) ∈ J_1 ∩ J_2 = J, tạo ra một mâu thuẫn.

Nếu J là bất khả quy và f1, , fk là một dãy sinh đơn thức thu gọn của J, thì mỗi fi có dạng xê_i Giả sử có một fi không có dạng này, ta sắp xếp lại các đơn thức để f_k không có dạng xê_i Điều này cho thấy f_k có thể viết dưới dạng xê_i g, với e_i ≥ 1, x^t_i - g và g ≠ 1 Tiếp tục sắp xếp lại các biến để giả sử f_k = xê_1, với e ≥ 1 và x_1 - g, g ≠ 1 Đặt I = (f_1, , f_{k−1}, x^{e_1})R.

Ta cần chứng minh J = I ∩I 0 Ta thấy I ∩I 0 được sinh bởi dãy sau: f 1 , , f n−1 ,lcm(f 1 , x e 1 ),lcm(f 1 , g)

Loại bỏ các phần dư khỏi dãy này ta thấy I ∩I 0 được sinh bởi f, , f n−1 , f n

Do dãy này sinh ra I, ta có được điều cần chứng minh.

Để chứng minh J ⊆ I, ta chỉ cần chỉ ra rằng f₁, , fₙ ∈ I Các đơn thức f₁, , fₙ₋₁ là phần tử sinh của I theo định nghĩa, và xᵉ₁ cũng là phần tử sinh của I, do đó fₙ = xᵉ₁g ∈ I Để chứng minh I ≠ J, ta cần chứng minh xᵉ₁ ∉ J Giả sử xᵉ₁ ∈ J, thì tồn tại chỉ số i sao cho fᵢ | xᵉ₁ Vì xᵉ₁ | fₖ nên fᵢ | fₖ Do dãy f₁, , fₖ là thu gọn, ta có fᵢ = fₖ.

Do đó ta có f k = x e 1 g | x e 1 Bằng cách so sánh các vectơ lũy thừa, ta kết luận g = 1, mâu thuẫn.

Tương tự ta có J ( J 0 Tóm lại ta cóJ = I∩I 0 ,J ( I vàJ ( I 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết J là bất khả quy Suy ra điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.1.4 ChoR = A[x 1 , , x d ]là vành đa thứcd biến Giả sửI, J 1 , , J n là các ideal của R sao cho I là bất khả quy Nếu n

J i ⊆ I thì có một chỉ số j sao cho J j ⊆I.

Chứng minh Nếu I = 0, thì điều kiện n

Giả sử Ji = 0, điều này dẫn đến Ji = 0 = I với một chỉ số i nào đó Nếu I khác 0, chúng ta xem xét trường hợp n ≥ 2, vì trường hợp n = 1 đã rõ ràng Theo định lý 2.1.3, tồn tại các số nguyên dương k, t1, , tk, e1, , ek với điều kiện 1 ≤ t1 < < tk ≤ d, sao cho I có thể biểu diễn dưới dạng (xe1t1, , xektk)R.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Với n = 2, giả sử J 1 ∩ J 2 ⊆ I Giả sử phản chứng J 1 * I và J 2 * I. Khi đó [[J 1 ]] * [[I]] và [[J 2 ]] * [[I]] nên tồn tại các đơn thức f 1 ∈ J 1 \I và f 2 ∈ J 2 \I Viết f 1 = x m và f 2 = x n Với i = 1, , d đặt p i = max{m i , n i }, ta có: x p = lcm(f 1 , f 2 ) ∈ J 1 ∩J 2 ⊆ I = (x e t 1 1 , , x e t k k )R

Bằng cách so sánh các vectơ lũy thừa, ta có thể rút ra rằng e j ≤ p t j = max{m t j , n t j }, từ đó suy ra e j ≤ m t j hoặc e j ≤ n t j Nếu e j ≤ m t j, ta có x e t j j | x m = f 1, dẫn đến f 1 ∈ (x e t j j )R ⊆ I, tạo ra mâu thuẫn Tương tự, nếu e j ≤ n t j thì sẽ có f 2 ∈ I, cũng gây ra mâu thuẫn Qua lập luận hình thức theo quy nạp, ta đã chứng minh được điều cần thiết.

Phân tích bất khả quy của ideal đơn thức

Định nghĩa 2.2.1 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Giả sử

J ( R là ideal đơn thức Một phân tích bất khả quy của J là một biễu diễn

Ji, trong đó mỗi Ji là các ideal đơn thức bất khả quy.

Ví dụ 2.2.2 Xét vành đa thức R = A[x, y] Một phân tích bất khả quy của ideal đơn thức J = (x 3 , x 2 y, y 3 )R là

Trong bài viết này, chúng ta khám phá định lý 2.2.3 liên quan đến vành đa thức nhiều biến R = A[x₁, , xₖ] Định lý chỉ ra rằng nếu J là một ideal đơn thức trong R, thì tồn tại các ideal đơn thức bất khả quy J₁, , Jₙ của R, trong đó Jₙ là một phần của J Điều này chứng minh rằng mọi ideal đơn thức đều có thể phân tích thành các yếu tố bất khả quy.

Chứng minh Nếu J = 0 thì J là bất khả quy, nên nó là giao của một ideal đơn thức bất khả quy.

Giả sử có một ideal đơn thức J trong R, không phải là giao của một số hữu hạn các ideal đơn thức bất khả quy của R Tập hợp Σ = {J ( R | J ≠ 0, J không phải là giao của một số hữu hạn các ideal đơn thức bất khả quy của R} là không rỗng và chứa các ideal đơn thức của R Trong Σ, tồn tại một phần tử tối đại J, và J không phải là bất khả quy Do đó, tồn tại các ideal đơn thức I, K ⊆ R sao cho J = I ∩ K và J nằm trong I, K, với điều kiện 0 ≠ I ≠ R và 0 ≠ K ≠ R Vì J là tối đại trong Σ, nên I, K không thuộc Σ, dẫn đến sự tồn tại của các ideal đơn thức bất khả quy I₁, , Iₘ, K₁, , Kₙ sao cho Iₘ.

J là giao của các ideal đơn thức bất khả quy trong vành đa thức R = A[x₁, , xₖ] Theo định nghĩa, J là một ideal đơn thức, và phân tích bất khả quy của J cho thấy tính chất mâu thuẫn trong cấu trúc của nó.

J i là thừa nếu tồn tại cặp chỉ số i 6= i 0 sao cho Ji ⊆ Ji 0 Một phân tích bất khả quy J m

Ji là thu gọn nếu nó là không thừa, nghĩa là với mọi cặp chỉ số i 6= i 0 ta cóJ i * J i 0

Ví dụ 2.2.5 Trong vành đa thức R = A[x, y], xét ideal đơn thức J (x 3 , x 2 y, y 3 )R Phân tích bất khả quy của J trong Ví dụ 2.2.2

J = (x 2 , y 3 )R∩(x 3 , y)R là thu gọn Thật vậy, ta có x 2 ∈ (x 2 , y 3 )R \ (x 3 , y)R do đó (x 2 , y 3 )R * (x 3 , y)R Ta cũng có y ∈ (x 3 , y)R\(x 2 , y 3 )R do đó (x 3 , y)R * (x 2 , y 3 )R. Bên cạnh đó, phân tích bất khả quy

J = (x², y³)R ∩ (x³, y)R ∩ (x, y)R không phải là phân tích duy nhất vì (x², y³)R ⊆ (x, y)R Điều này cho thấy rằng phân tích bất khả quy không có tính duy nhất Tuy nhiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng phân tích bất khả quy thu gọn là duy nhất Đầu tiên, mỗi phân tích bất khả quy có thể được chuyển đổi thành dạng phân tích thu gọn.

Thuật toán 2.2.6 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Gọi J là một ideal đơn thức với phân tích bất khả quy J n

Ji, n ≥ 1. Bước 1: Kiểm tra xem phân tích J n

J i có thu gọn hay không.

Bước 1a: Nếu với mọi chỉ số j và j 0 sao cho j 6= j 0 ta có I j * I j 0 , thì phân tích của J là thu gọn, thuật toán kết thúc.

Bước 1b: Nếu tồn tại các chỉ số j và j 0 sao cho j 6= j 0 và I j ⊆ I j 0 , thì phân tích của J là không thu gọn, chuyển sang bước 2.

Bước 2: Loại bỏ các yếu tố không cần thiết để phân tích của J trở nên rõ ràng hơn Giả định rằng tồn tại các chỉ số j và j 0 với j khác j 0, và Jj nằm trong Jj 0 Không làm mất tính tổng quát, giả sử j 0 = n, dẫn đến j nhỏ hơn n và Jj nằm trong Jn, từ đó suy ra Jn−1.

Bước 3: Áp dụng bước 1 đối với phân tích mới J n−1

J i Thuật toán sẽ kết thúc sau tối đa n−1 bước bởi chỉ có thể bỏ đi tối đa n−1 đơn thức khỏi dãy tới khi còn lại một ideal.

Hệ quả 2.2.7 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Mọi ideal đơn thức J ( R đều có một phân tích bất khả quy thu gọn.

Mệnh đề 2.2.8 Cho R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến Gọi J là một ideal trong R với phân tích bất khả quy J n

J i Khi đó hai mệnh đề sau tương đương:

(b) Có một chỉ số j sao cho J = \ i6=j

Chứng minh (i) ⇒(ii) : Giả sử phân tích J n

J i là thừa Khi đó tồn tại các chỉ số j 6= j 0 sao cho J j ⊆ J j 0 , suy ra J = \ i6=j

(ii) ⇒(i) : Giả sử tồn tại một chỉ số j sao cho J = \ i6=j

J i (điều này dẫn đến n ≥2) Khi đó ta có \ i6=j

Theo Bổ đề 2.1.4, tồn tại một chỉ số j₀ sao cho J_{j₀} ⊆ J_j, điều này cho thấy phân tích J là thừa Định lý 2.2.9 chứng minh rằng phân tích bất khả quy thu gọn là duy nhất, chỉ khác nhau ở thứ tự Kết quả này tương tự như định lý về tính duy nhất của phân tích nguyên tố trong số nguyên Đối với R = A[x₁, , x_d] là vành đa thức d biến, J là một ideal đơn thức trong R với phân tích bất khả quy thu gọn J_n.

I h Khi đó m = n và tồn tại một phép thế σ ∈ S n sao cho J t = I σ(t) với t= 1, , n. Chứng minh Trước hết ta chứng minh: với t = 1, , n tồn tại một chỉ số u sao cho I u = J t Ta có: m

Theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại một chỉ số u sao cho Iu ⊆Jt Tương tự ta có: n

Theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại một chỉ số v sao cho J v ⊆ I u ⊆ J t Do phân tích n

Ji là thu gọn, nên từ Jv ⊆ Jt ta có v = t, do đó Jt ⊆ Iu ⊆ Jt, tức là

Chúng ta sẽ chứng minh rằng với t = 1, , n, tồn tại một chỉ số u duy nhất sao cho Iu = Jt Cụ thể, nếu Iu = Jt = Iu 0, điều này dẫn đến tính tối giản trong phân tích m.

I h dẫn đến nên u = u 0 Định nghĩa hàm số σ : {1, , n} −→ {1, , m}, t 7−→ σ(t) = u sao cho

Với mỗi u từ 1 đến m, tồn tại một chỉ số duy nhất t sao cho I u = J t Định nghĩa hàm số ω từ tập {1, , m} đến tập {1, , n} với ω(u) = t, sao cho I u = J t Hàm số ω chính là hàm ngược của hàm σ, điều này chứng minh được tính chất cần thiết.

Trong các mục từ 2.3 đến 2.6 ta luôn luôn giả sử A là một vành giao hoán khác không có đơn vị và R = A[x 1 , , x d ] là vành đa thức d biến.

Phân tích bất khả quy của lũy thừa hình thức của một ideal 41

Nhắc lại rằng, với J là ideal đơn thức của R, k = 1,2 , lũy thừa hình thức của ideal J xác định bởi

Mệnh đề 2.3.1 Giả sử I là một ideal đơn thức của R với phân tích bất khả quy I n

I j và k là một số nguyên dương.

(i) Ideal I là bất khả quy khi và chỉ khi ideal I (k) là bất khả quy.

(ii) Phân tích bất khả quy của I (k) là I (k) n

I j là thu gọn khi và chỉ khi phân tích I (k) n

Nếu I là một ideal đơn thức bất khả quy của R, thì I(k) cũng sẽ bất khả quy Trong trường hợp I = 0, thì I(k) = 0 là bất khả quy Giả sử I khác 0, theo Định lý 2.1.3, tồn tại các số nguyên dương m, t1, , tm, e1, , em với điều kiện 1 ≤ t1 < < tm ≤ d, sao cho I = x^e1 * t1, , x^em * tm trong R Do đó, I(k) = x^k * e1 * t1, , x^k * em * tm.

R nên I (k) là bất khả quy.

Nếu I (k) là bất khả quy và giả sử I khác 0, thì dãy sinh đơn thức thu gọn của I là f 1, f 2, , f m Do đó, dãy sinh đơn thức thu gọn của I (k) sẽ là f 1 k, f 2 k, , f m k.

Vì I (k) là bất khả quy nên theo Định lý 2.1.3 suy ra với i = 1,2, , m, tồn tại chỉ số j i và lũy thừa e i sao cho f i k = x e j i i So sánh vectơ lũy thừa ta thấy rằng với i = 1,2, , m luôn tồn tại lũy thừa a i sao cho e i = ka i và f i = x a j i i.

Từ đó suy ra I là bất khả quy.

I j (k) Theo (i) mỗi ideal I j (k) là bất khả quy.

I j là thu gọn thì có các chỉ số i 6= i 0 sao cho

I i ⊆ I i 0 Ta có I i (k) ⊆I i (k) 0 , do đó phân tích I (k) n

Ngược lại, nếu phân tích I (k) n

I j (k) là thu gọn thì có các chỉ số i 6= i 0 sao cho I i (k) ⊆ I i (k) 0 Ta có I i ⊆I i 0 , do đó phân tích I n

Ví dụ 2.3.2 Cho R = A[x, y, z] và xét ideal đơn thức

J = (x 3 y 4 , x 2 y 4 z 3 , x 2 z 5 , y 4 z 3 , y 3 z 5 )R = (x 2 , y 3 )R∩(x 3 , z 3 )R∩(y 4 , z 5 )R. Đây là phân tích bất khả quy thu gọn của J Khi đó ta có phân tích bất khả quy thu gọn của I (k) là:

Phân tích bất khả quy của ideal căn

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách sử dụng phân tích bất khả quy của ideal đơn thức J để xác định phân tích bất khả quy của m-rad(J) Cần nhắc lại rằng m-rad(J) được định nghĩa là tập hợp các phần tử z thuộc [[R]] sao cho x^n thuộc J với n ≥ 1.

Mệnh đề 2.4.1 Giả sử I là ideal đơn thức của R với phân tích bất khả quy

(i) Mỗi ideal m-rad(Ij) là bất khả quy.

(ii) Một phân tích bất khả quy của m-rad(I) là m-rad(I) n

\ j=1 m-rad(I j ). (iii) Nếu phân tích I n

I j là thu gọn thì m-rad(I) n

(ii) Ta có m-rad(I) = m-rad

Theo (i), các ideal m-rad(I j ) là bất khả quy nên suy ra đây là phân tích bất khả quy.

(iii) Giả sử rằng phân tích I n

Ij là thu gọn Khi đó tồn tại chỉ số j 6= j 0 sao cho I j ⊆ I j 0 Ta cũng có m-rad(I j ) ⊆ m-rad(I j 0 ) nên phân tích m-rad(I) n

\ j=1 m-rad(I j ) cũng là thu gọn.

Ví dụ 2.4.2 Cho R = A[x, y, z] Ideal J = (x 2 z 2 , y 4 , y 3 z 2 )R = (x 2 , y 3 )R ∩(y 4 , z 2 )R có m-rad(J) = (xz, y)R với phân tích bất khả quy m-rad(J) (x, y)R∩(y, z)R.

Phân tích bất khả quy của tổng

Nhắc lại rẳng, nếu I 1 , I 2 , , I n là những ideal đơn thức thì tổng

) cũng là một ideal đơn thức.

Mệnh đề 2.5.1 Nếu J 1 , , J n là các ideal đơn thức bất khả quy thì tổng

J1 + +Jn là một ideal đơn thức bất khả quy.

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp đối với n.

Để chứng minh rằng I + J là bất khả quy khi I và J là các ideal đơn thức bất khả quy, ta cần xem xét hai trường hợp Nếu I = 0, thì I + J = 0 + J = J, và J là ideal bất khả quy Tương tự, nếu J = 0, thì I + J = I, và I cũng là ideal bất khả quy Nếu cả I và J đều khác 0, theo Định lý 2.1.3, tồn tại các số nguyên dương j, k cùng với các phần tử s1, , sj, t1, , tk, d1, , dj, e1, , ek.

1, , x d s j j, x e t 1 1 , , x e t k k R Khi đó ideal này là bất khả quy.

Ví dụ 2.5.2 Xét vành R = A[x, y, z], ta có

Bổ đề sau đây là luật phân phối giữa tổng và giao của các ideal đơn thức.

Bổ đề 2.5.3 Cho các ideal đơn thức I 1 , , I n và J 1 , , J m trong R, ta có:

(Ij + Ji) là các ideal đơn thức, do đó ta chỉ cần chỉ ra tập các đơn thức trong mỗi ideal là giống nhau Ta có:

Định lý 2.5.4 chỉ ra phương pháp xây dựng phân tích bất khả quy cho tổng của hai ideal đơn thức Giả sử I và J là các ideal đơn thức với phân tích bất khả quy.

J i Khi đó phân tích bất khả quy của I +J là

(I j +J i ) Chứng minh Từ Bổ đề 2.5.3 ta có:

Khi đó theo Mệnh đề 2.5.1, mỗi ideal I j +J i là bất khả quy.

Ví dụ 2.5.5 Cho R = A[x, y, z] và xét các ideal đơn thức

Khi đó ta có phân tích bất khả quy thu gọn của I + J là

Phân tích bất khả quy của ideal chia

Đối với một tập con S của R và một ideal I của R, ta có thể xác định ideal chia của I cho S thông qua tập hợp rS = {rs | s ∈ S} với mỗi r thuộc R.

Mệnh đề 2.6.1 Giả sử k, t 1 , , t k , e t 1 , , e t k là các số nguyên dương và

J = x e t 1 t 1 , , x e t k tk R Với đơn thức f = x n ∈ [[R]], ta có

R nếu tồn tại một chỉ số i sao cho n t i ≥ e t i x e t 1 t 1 −n t 1 , , x e t k tk −n tk R nếu với i = 1, , n ta có n t i < e t i

Chứng minh rằng hàm f thuộc tập J khi và chỉ khi tồn tại một chỉ số i sao cho f thuộc vào x e t i ti R Qua việc so sánh các vectơ lũy thừa, ta có thể khẳng định rằng f thuộc J nếu và chỉ nếu tồn tại chỉ số i sao cho n t i lớn hơn hoặc bằng e t i.

Nếu có một chỉ số i sao cho n t i ≥ e t i thì f ∈ J, do đó (J : R f) = R Giả sử với i = 1, , k ta có n t i < e t i Với i = 1, , k, đơn thức x e t i tk −n ti thuộc vào (J : R f) bởi x e t i tk −n ti f = x n 1 1 x e t i tk −n ti +n ti x n d d ∈ x e t i ti

Bây giờ ta lấy cố định một đơn thức g ∈ (J : R f) và chỉ ra rằng g ∈ x e t i tk −n ti

R với chỉ số i nào đó Đặt g = x m ∈ [[(J :R f)]] Khi đó f g ∈ J, nên tồn tại một chỉ số i sao cho 1 ≤ i ≤ n và f g ∈ x e t i ti

R Bằng cách so sánh các vectơ lũy thừa dẫn đến n t i +m t i ≥ e t i , do đó m t i ≥ e t i −n t i Lại bằng cách so sánh các vectơ lũy thừa ta có g ∈ x e t i tk −n ti R như yêu cầu.

Giả sử J là một ideal đơn thức bất khả quy của R và f là một đơn thức thuộc [[R]] Khi đó, ideal (J : R f) sẽ là bất khả quy hoặc bằng R Điều này xảy ra khi và chỉ khi f không thuộc J.

Chứng minh Nêu J = 0 thì (J : R f) = 0 và là bất khả quy Nếu J 6= 0 thì kết quả suy ra từ Định lý 2.1.3 và Mệnh đề 2.6.1.

Ví dụ 2.6.3 Cho R = A[x, y, z] và J = (x 2 , z 3 )R Theo Mệnh đề 2.6.1 ta có

Định lý 2.6.4 khẳng định rằng nếu I là một ideal đơn thức của R với dãy sinh đơn thức f1, , ft, và J là một ideal đơn thức của R có phân tích bất khả quy, thì (J:R xy) = (x, z^3)R và (J:R xyz^4) = R.

Ji Giả sử rằng I * J Khi đó một phân tích bất khả quy của (J :R I) là

(J i : R f j ) trong đó giao lấy trên tập các cặp sắp thứ tự (i, j) sao cho 1 ≤ i ≤ m,

(J i : R f j ). Áp dụng Hệ quả 2.6.2, khi f j ∈/ J i thì ideal (J i : R f j ) là bất khả quy.

Ví dụ 2.6.5 Cho R = A[x, y, z] và xét các ideal đơn thức

Theo ký hiệu của Định lý 2.6.4, ta có f 1 = y 4 , f 2 = z 5 , J 1 = (x 2 , y 3 )R và

J 2 = (x 3 , z 3 )R Để tìm phân tích bất khả quy của (J : R I), ta tìm các cặp sắp thứ tự (i, j) sao cho f j ∈/ J i : f 1 ∈ J 1 , f 1 ∈/ J 2 , f 2 ∈/ J 1 và f 2 ∈ J 2 Do đó ta có:

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày kiến thức về phân tích bất khả quy của ideal đơn thức và các phép toán liên quan Chương 2 giới thiệu hai thuật toán để tìm phân tích bất khả quy của bất kỳ ideal đơn thức nào, cũng như cách xác định phân tích bất khả quy của các ideal I + J, I ∩ J, và (I :R J) dựa trên phân tích của I và J.

Chương 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ

3.1 Giới thiệu về phần mềm CoCoA

CoCoA là phần mềm miễn phí hỗ trợ tính toán với các đa thức nhiều biến, liên quan đến các vành đa thức trên Q hoặc Zp về ideal và module Phép toán trên ideal và module được thực hiện dựa trên lý thuyết cơ sở Gr¨obner Một trong những điểm nổi bật của CoCoA là ngôn ngữ lập trình cấp cao, cho phép người dùng tự viết chức năng và thực hiện các tính toán phức tạp Ngôn ngữ này được thiết kế tự nhiên, dễ học và phù hợp với việc giảng dạy, phục vụ chủ yếu cho các nhà nghiên cứu và sinh viên trong lĩnh vực Đại số giao hoán và Đại số hình học Các kỹ thuật đại số tính toán cũng đang được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác như phân tích số, mật mã, thống kê và hệ thống động lực Hệ thống cung cấp trợ giúp trực tuyến đầy đủ và có sẵn ở định dạng html và pdf CoCoA hoàn toàn miễn phí cho mục đích nghiên cứu và giáo dục, có thể truy cập tại trang web chính thức và trang web nhân bản ở Mỹ.

Bước 1: Tải phần mềm về máy tính thông qua trang web: http://cocoa.dima.unige.it Bước 2: Chạy chương trình thông qua file cocoa_qt.exe.

Bước 3: Trên thanh công cụ của giao diện phần mềm, chọn “CocoaServer”, rồi chọn “open” và “execute” Sau khi nhập lệnh code, ta nhấp vào biểu tượng

“Execute curent command set” để chạy chương trình.

3.2 Các phép toán trên ideal đơn thức

3.2.1 Giao của các ideal đơn thức

Bài tập 3.2.1 Xét vành đa thức R = Z 101 [x, y] Tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của các ideal I = (x, y 5 )R∩(x 4 , y)R và J = (x 4 , x 3 y 2 , y 3 )∩(x 3 , y 5 )R.

Để giải quyết bài tập này, ta áp dụng Mệnh đề 1.2.7 và Thuật toán 1.1.18 Trước tiên, chúng ta cần xác định dãy sinh thu gọn của ideal I bằng cách tìm các bội chung lớn nhất, cụ thể là: lcm(x, x^4) = x^4, lcm(x, y) = xy, lcm(y^5, x^4) = x^4y^5, và lcm(y^5, y) = y^5.

Từ Mệnh đề 1.2.7, dãy sinh của ideal I bao gồm các đơn thức x^4, xy, x^4y^5, y^5 Áp dụng Thuật toán 1.1.18, ta loại bỏ đơn thức x^4y^5 vì nó là bội của x^4, tạo ra dãy mới x^4, xy, y^5 Trong dãy này, không có đơn thức nào là bội của đơn thức còn lại, do đó đây là dãy sinh đơn thức thu gọn của I Tương tự, khi áp dụng cho ideal J, ta tìm được các bội chung nhỏ nhất như sau: lcm(x^4, x^3) = x^4, lcm(x^4, y^5) = x^4y^5, lcm(x^3y^2, x^3) = x^3y^2, lcm(x^3y^2, y^5) = x^3y^5, lcm(y^3, x^3) = x^3y^3, và lcm(y^3, y^5) = y^5.

Dãy đơn thức x^4, x^4y^5, x^3y^2, x^3y^5, x^3y^3, y^5 là dãy sinh của ideal J Đơn thức x^4y^5 là bội của x^4, trong khi x^3y^5 và x^3y^3 là bội của x^3y^2 Khi loại bỏ các đơn thức này, dãy sinh đơn thức thu gọn của ideal J còn lại là x^4, x^3y^2 và y^5 Để thực hiện phép toán giao của các ideal đơn thức, ta sử dụng lệnh Intersection trong phần mềm CoCoA Lưu ý rằng môi trường vành mặc định trong CoCoA là vành đa thức ba biến với hệ số hữu tỉ R = Q[x, y, z] Để thực hiện phép toán trên vành R = Z_101[x, y], cần thêm câu lệnh Use R::=ZZ/(101)[x,y].

Kết quả hiển thị như sau:

Ideal(xy, x ∧ 4, y ∧ 5) Ideal(x ∧ 4, x ∧ 3y ∧ 2, y ∧ 5) Bài tập 3.2.2 Xét vành đa thức R = Z 101 [x, y] Chứng minh rằng

Trước hết ta tìm ideal I Bội chung nhỏ nhất của hai đơn thức xy 2 và x 2 y là đơn thức lcm(xy 2 , x 2 y) = x 2 y 2 Do đó ideal I sinh bởi đơn thức này Vậy

Bây giờ ta tìm ideal J Ta có được các bội chung nhỏ nhất như sau: lcm(x 2 , x 3 ) = x 3 lcm(x 2 , y) = x 2 y lcm(y 3 , x 3 ) =x 3 y 3 lcm(y 3 , y) = y 3

Dãy sinh đơn thức của ideal J bao gồm các phần tử x³, x²y, x³y³ và y³ Để tìm dãy sinh đơn thức thu gọn, chúng ta áp dụng thuật toán 1.1.18 Trong quá trình này, đơn thức x³y³ được xác định là bội của x²y, do đó chúng ta loại bỏ nó ra khỏi dãy, còn lại là x³, x²y và y³ Không có đơn thức nào trong dãy này là bội của ít nhất một đơn thức khác, vì vậy đây chính là dãy sinh đơn thức thu gọn của I Theo Bổ đề 1.2.6 và Mệnh đề 1.2.7, chúng ta có thể kết luận rằng J = (x², y³)R ∩ (x³, y)R = (x³, x²y, y³)R.

Cách 2 Sử dụng CoCoA để tìm giao của hai ideal đơn thức.

Nhập các câu lệnh sau vào cửa sổ đầu vào:

Bài tập 3.2.3 Xét vành đa thức R = Z 101[x, y] Cho các ideal đơn thức

Trước tiên ta có I + J = (x 2 , y)R Bây giờ ta tìm (I +J)∩K, I ∩K và

J ∩K Ta có các bội chung nhỏ nhất sau: lcm(x 2 , x 3 ) = x 3 lcm(x 2 , xy) = x 2 y lcm(x 2 , y 5 ) = x 2 y 5 lcm(y, x 3 ) =x 3 y lcm(y, xy) = xy lcm(y, y 5 ) = y 5

Dãy x 3 , x 2 y, x 2 y 5 , x 3 y, xy, y 5 là dãy sinh đơn thức của ideal (I + J) ∩

K Sử dụng Thuật toán 1.1.18 ta tìm được dãy sinh đơn thức thu gọn là x 3 , xy, y 5 , suy ra (I +J)∩K = (x 3 , xy, y 5 )R Bằng cách làm tương tự ta có

I∩K = (y 5 , x 2 y, x 3 )R và J∩K = (xy, x 4 , y 5 )R Do đó (I∩K) + (J∩K) (y 5 , x 2 y, x 3 )R+ (xy, x 4 , y 5 )R = (x 3 , xy, y 5 )R.

Cách 2 Sử dụng phần mềm CoCoA

I:=Ideal(x ∧ 2,y ∧ 5); J:=Ideal(x ∧ 4,y); K:=Ideal(x ∧ 3,xy,y ∧ 5); Intersection(I+J,K);

Ideal(xy, x ∧ 3, y ∧ 5) Ideal(y ∧ 5, x ∧ 2y, x ∧ 3, xy, x ∧ 4) Bằng Thuật toán 1.1.18 ta có (y 5 , x 2 y, x 3 , xy, x 4 )R = (xy, x 3 , y 5 )R.

Bài tập 3.2.4 Xét vành đa thức R = Q, y, z] Cho các ideal đơn thức

I = (x 3 , y 2 z 4 )R và J = (x 4 y, y 3 , x 2 y 3 z 2 , z 9 )R Tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của m-rad(I) và m-rad(J).

Ta áp dụng Định lý 1.2.18 để giải bài tập, bắt đầu bằng việc xác định dãy sinh đơn thức thu gọn của m-rad(I) với kết quả là dãy x, yz Tiếp theo, ta tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của m-rad(J), cho ra dãy xy, y, xyz, z Cuối cùng, sử dụng Thuật toán 1.1.18, ta xác định dãy sinh đơn thức thu gọn là y, z.

Cách 2 Sử dụng phần mềm CoCoA Để tìm ideal căn của một ideal đơn thức, ta sử dụng lệnh Radical.

Với bài tập này, ta nhập dòng lệnh sau:

Bài tập 3.2.5 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Cho các ideal đơn thức

I = (x 2 y, y 2 , xz 3 ) và J = (xy 4 , xy 2 z 2 , y 3 , z 5 ) Chứng minh rằng:

Để tìm m-rad(I), ta áp dụng phương pháp từ Bài tập 3.2.4 Kết quả thu được là dãy các đơn thức xy, y, xz, tạo thành dãy sinh của ideal m-rad(I) Do đó, m-rad(I) được xác định là (y, xz)R.

Bây giờ ta nhận xét rằng các phần tử sinh của ideal I đều có thể biểu diễn qua các phần tử sinh của ideal m-rad(I) Do đó I ⊂ m-rad(I).

(b) Bằng cách tìm ideal căn tương tự ta thu được m-rad(J) = (y, z)R và m-rad(m-rad(J) = (y, z)R Vậy ta có điều phải chứng minh.

(c) Ta có (I +J) = (x 2 y, y 2 , xz 3 , xy 4 , z 5 )R Tính toán tương tự ta được m-rad(I +J) =m-rad(x 2 y, y 2 , xz 3 , xy 4 , z 5 )R = (y, z)R m-rad(I) +m-rad(J) = (y, z)R

Vậy ta có điều phải chứng minh.

IJ = x 3 y 3 z 2 , xy 4 z 2 , x 2 y 4 , y 5 , xy 3 z 3 , x 2 yz 5 , yz 5 , zx 8 )R

I ∩J = (y 3 , xy 2 z 2 , xz 5 , y 2 z 5 )R Tương tự ta được m-rad(IJ) = m-rad(I ∩ J) = (xz, y)R

Cách 2 Sử dụng phần mềm CoCoA.

(a) Nhập các câu lệnh sau:

Kết quả thu được như sau:

Ideal(y,xz) (b) Nhập tiếp các câu lệnh sau:

Ideal(y,z) Ideal(y,z) (c) Nhập tiếp các câu lệnh sau:

Ideal(y,z) Ideal(y,xz,z) (d) Nhập tiếp các câu lệnh sau:

I = (x 2 , y 3 , z 5 )R, J = (xz, x 4 y 3 , y 2 z 6 )R, K = (xyz 3 , x 2 y 4 , z)R Chứng minh rằng I ⊆ (I : R J) và ((I : R J) : R K) = ((I : R K) : R J).

Trước hết ta tính các ideal chia Theo phần chứng minh Định lý 1.2.19 ta có:

Nhận thấy rằng xz /∈ I, sử dụng Mệnh đề 2.6.1 dẫn đến (I : R xzR) (x, y 2 , z 4 )R Tương tự ta có x 4 y 3 ∈ I nên (I : R x 4 y 3 R) = R và y 2 z 6 ∈/ I nên

(I : R y 2 z 6 R) = R Do đó (I : R J) = (x, y 2 , z 4 )R∩R∩R = (x, y 2 , z 4 )R Vậy ta kết luận được rằng I ⊆ (I : R J) do các phần tử sinh của ideal I đều có thê biểu diễn được qua các phần tử sinh của ideal (I : R J).

Bằng cách tương tự ta có các ideal chia

Cách 2 Sử dụng phần mềm CoCoA. Để tìm ideal chia ta sử dụng lệnh Colon hoặc :.

Nhập các câu lệnh sau:

(I:K):J Kết quả hiển thị như sau:

3.2.4 Lũy thừa hình thức của ideal

Bài tập 3.2.7 Xét vành đa thức R = Z 101 [x, y, z] Cho các ideal đơn thức

(e) Kiểm chứng xem đẳng thức (IJ) (3) = I (3) J (3) là đúng hay sai.

(a) Theo Mệnh đề 1.2.24 ta có I (4) = (x 8 y 4 , y 4 z 4 , z 20 )R.

(b) Ta có: x 8 y 4 = x 6 y 3 (x 2 y) + 0.(yz) + 0.(z 5 ) y 4 z 4 = 0.(x 2 y) +y 3 z 3 (yz) + 0.(z 5 ) z 20 = 0.(x 2 y) + 0.(yz) +z 19 (z 20 )

Các phần tử sinh của I (4) đều thuộc I, do đó I (4) ⊆ I.

(c) Ta có: x 2 y = x.(xy) + 0.(z) yz = 0.(xy) +y.(z) z 5 = 0.(xy) +z 4 (z 5 )

Các phần tử sinh của I đều thuộc J, do đó I ⊆ J Không có phần tử sinh nào của J có thể biểu diễn qua các phần tử sinh của I, do đó J * I Theo

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

3.3 Phân tích bất khả quy của ideal căn

Bài tập 3.3.1 Xét vành đa thức R = A[x, y, z], cho ideal

Tìm một phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J).

Trước hết ta tìm m-rad(J) bằng Định lý 1.2.18 Ta có: red(x 3 y 4 ) =xy red(x 2 y 4 z 3 ) =xyz red(x 2 z 5 ) =xz red(y 4 z 3 ) = yz red(y 3 z 5 ) = yz

Dãy sinh của m-rad(J) bao gồm các phần tử xy, xz, yz Áp dụng Thuật toán 1.1.18, ta có dãy sinh thu gọn là xy, xz, yz, từ đó m-rad(J) được xác định là (xy, xz, yz)R Tiếp theo, chúng ta tiến hành tìm phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J), và kết quả là m-rad(J) = (xy, xz, yz)R.

Ta sẽ tìm phân tích bất khả quy của ideal J như sau:

Khi đó phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J) là: m-rad(J) = m-rad((x 2 , y 3 )R)∩m-rad((x 3 , z 3 )R)∩m-rad((y 4 , z 5 )R)

Cách 3 Sử dụng phần mềm CoCoA. Để tìm phân tích bất khả quy của một ideal, ta sử dụng lệnh

Nhập các dòng lệnh sau:

3.4 Phân tích bất khả quy của tổng

Bài tập 3.4.1 Xét vành đa thức R = A[x, y] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn của ideal I +J, trong đó I = (x 3 , xy 2 , y 3 )R và J = (x 3 , x 2 y, y 3 )R.

Ta tìm các phân tích bất khả quy thu gọn của I và J như sau:

Ta có I +J có phân tích bất khả quy như sau:

Trước tiên có thể xác định ideal I +J rồi tìm phân tích bất khả quy của ideal này.

Ta có phân tích như sau:

Bài tập 3.4.2 Xét vành đa thức R = A[x, y] Tìm một phân tích bất khả quy của tổng

Cách 1. Đặt I = (x 2 , xy 5 , y 6 )R, J = (x 4 , x 3 y 3 , y 5 )R, K = (x 7 , x 3 y 2 , y 3 )R Ta có các phân tích bất khả quy của I, J, K:

Khi đó ta tìm phân tích bất khả quy của I +J +K như sau:

Trước hết ta tìm tổng

Ideal (x², y³)R là một ideal bất khả quy, do đó không thể phân tích thành giao của các ideal bất khả quy Vì vậy, phân tích của tổng I + J + K chỉ bao gồm một ideal duy nhất.

IrreducibleDecom_Frobby5(I+J+K); Kết quả hiển thị như sau

3.5 Phân tích bất khả quy của ideal chia

Bài tập 3.5.1 Xét vành đa thứcR = A[x, y] Cho các idealI = (x 3 , xy 2 , y 3 ) và J = (x 3 , x 2 y, y 3 ) Tìm phân tích bất khả quy của ideal chia (J : R I).

Ta áp dụng Mệnh đề 2.6.1 và Định lý 2.6.4 để giải bài toán liên quan đến phân tích bất khả quy thu gọn của J Cụ thể, J được xác định là giao của hai tập hợp: J = (x², y³)R ∩ (x³, y)R Theo ký hiệu trong Định lý 2.6.4, chúng ta có J₁ = (x², y³)R, J₂ = (x³, y)R, với các hàm f₁ = x³, f₂ = xy², f₃ = y³ Đặc biệt, nhận thấy rằng f₂ không thuộc J₁ Áp dụng Định lý 2.6.4 cho phép chúng ta tiếp tục phân tích bài toán này.

Bây giờ áp dụng Mệnh đề 2.6.1 ta thấyxy 2 ∈/ J 1 Dó đó(J 1 : R xy 2 ) = (x, y)R. Vậy phân tích bất khả quy của ideal (J : R I) chỉ gồm một ideal (x, y)R.

IrreducibleDecom_Frobby5(Ideal(x ∧ 3,x ∧ 2y,y ∧ 3):Ideal(x ∧ 3,xy ∧ 2,y ∧ 3));

3.6 Một số bài tập tương tự

Bài tập 3.6.1 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], tìm giao của hai ideal đơn thức I và J trong các trường hợp sau:

(a) I = (x 2 y 3 , xy 4 z, xz)R và J = (xz 2 , x 2 yz 3 )R.

Bài tập 3.6.2 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức

I = (x 4 z, x 4 y, y 2 z 2 )R, J = (xy 3 z, xz 3 , z 5 )R và K = (x 3 y 3 z 3 , x 4 z 2 , yz 5 )R.Chứng minh rằng (I +J)∩K = (I ∩ K) + (J ∩K).

I = (x 5 , y 3 y, xy 3 , z)R, J = (x 2 y 2 z 2 , xz 3 , xy 5 )R và K = (x, y, z)R Chứng minh rằng (K : R (I + J)) = (K : R I)∩(K : R J).

I = (x 2 yz 3 , xy 2 z, x 3 z 3 )R, J = (xyz, x 3 , y 3 , z 3 )R và K = (xy, yz, x 2 )R. Chứng minh rằng ((I : R J) : R K) = (I : R (J : R K)) = (I : R J K).

I = (x 2 , y, z 2 )R, J = (xyz, y 3 , z 3 )R, K = (x 2 z, x 2 y)R và L = (xy 4 z, xz)R. Chứng minh rằng ((I ∩J ∩K) :R L) = (I :R L)∩(J :R L)∩(K :R L). Bài tập 3.6.7 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức

Chứng minh rằng m-rad(IJ) = m-rad(I ∩J) =m-rad(I)∩m-rad(J).

I = (x 2 yz 2 , xy 2 z 2 )R, J = (xyz 3 , xy 3 z) và K = (xy, yz)R Chứng minh rằng m-rad(I +J +K) = m-rad(I) +m-rad(J) +m-rad(K).

Bài tập 3.6.10 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z, t], tìm phân tích bất khả quy thu gọn của ideal sau:

Bài tập 3.6.11 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(I) với ideal đơn thức I được cho như sau:

Bài tập 3.6.12 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn của tổng I +J trong các trường hợp sau:

(b) I = (x 2 y, xy 2 z, x 3 z 3 )R và J = (x 3 , y 3 , z 3 , xy, yz, xz)R.

Bài tập 3.6.13 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn của ideal chia (I : R J) trong các trường hợp sau:

Bài tập 3.6.14 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z, t], cho các ideal

I = (xy, yz, zt, tx)R và J = (x, y 2 , z 3 , t 4 )R.

Tìm phân tích bất khả quy của các ideal I +J, (I : R J) và m-rad(I +J).

Các phép toán trên ideal đơn thức

3.2.1 Giao của các ideal đơn thức

Bài tập 3.2.1 Xét vành đa thức R = Z 101 [x, y] Tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của các ideal I = (x, y 5 )R∩(x 4 , y)R và J = (x 4 , x 3 y 2 , y 3 )∩(x 3 , y 5 )R.

Để giải quyết bài tập này, ta áp dụng Mệnh đề 1.2.7 và Thuật toán 1.1.18 Đầu tiên, chúng ta xác định dãy sinh thu gọn của ideal I bằng cách tìm các bội chung lớn nhất, cụ thể là: lcm(x, x^4) = x^4, lcm(x, y) = xy, lcm(y^5, x^4) = x^4y^5, và lcm(y^5, y) = y^5.

Từ Mệnh đề 1.2.7, ta có dãy sinh x^4, xy, x^4y^5, y^5 cho ideal I Áp dụng Thuật toán 1.1.18, ta loại bỏ đơn thức x^4y^5 vì nó là bội của x^4, thu được dãy mới x^4, xy, y^5 Không có đơn thức nào trong dãy này là bội của ít nhất một đơn thức còn lại, do đó đây là dãy sinh đơn thức thu gọn của I Tương tự, khi áp dụng cho ideal J, ta tìm được các bội chung nhỏ nhất như sau: lcm(x^4, x^3) = x^4, lcm(x^4, y^5) = x^4y^5, lcm(x^3y^2, x^3) = x^3y^2, lcm(x^3y^2, y^5) = x^3y^5, lcm(y^3, x^3) = x^3y^3, và lcm(y^3, y^5) = y^5.

Dãy đơn thức x 4 , x 4 y 5 , x 3 y 2 , x 3 y 5 , x 3 y 3 , y 5 là dãy sinh của ideal J Đơn thức x 4 y 5 là bội của x 4, trong khi x 3 y 5 và x 3 y 3 là bội của x 3 y 2 Do đó, chúng ta loại bỏ các đơn thức này, và dãy sinh đơn thức thu gọn của ideal J còn lại là x 4 , x 3 y 2 , y 5 Để thực hiện phép toán giao của các ideal đơn thức, ta sử dụng lệnh Intersection trong phần mềm CoCoA Lưu ý rằng môi trường vành mặc định trong CoCoA là vành đa thức ba biến với hệ số hữu tỉ R = Q[x, y, z] Để xét phép toán trên vành R = Z 101 [x, y], ta cần thêm câu lệnh Use R::=ZZ/(101)[x,y].

Ideal(xy, x ∧ 4, y ∧ 5) Ideal(x ∧ 4, x ∧ 3y ∧ 2, y ∧ 5) Bài tập 3.2.2 Xét vành đa thức R = Z 101 [x, y] Chứng minh rằng

Trước hết ta tìm ideal I Bội chung nhỏ nhất của hai đơn thức xy 2 và x 2 y là đơn thức lcm(xy 2 , x 2 y) = x 2 y 2 Do đó ideal I sinh bởi đơn thức này Vậy

Bây giờ ta tìm ideal J Ta có được các bội chung nhỏ nhất như sau: lcm(x 2 , x 3 ) = x 3 lcm(x 2 , y) = x 2 y lcm(y 3 , x 3 ) =x 3 y 3 lcm(y 3 , y) = y 3

Dãy sinh đơn thức của ideal J bao gồm các phần tử x³, x²y, x³y³ và y³ Áp dụng thuật toán 1.1.18 để tìm dãy sinh đơn thức thu gọn, ta nhận thấy x³y³ là bội của x²y, do đó loại bỏ x³y³ khỏi dãy Kết quả thu được là dãy x³, x²y, y³ Không có đơn thức nào trong dãy này là bội của ít nhất một đơn thức còn lại, khẳng định rằng đây là dãy sinh đơn thức thu gọn của I Theo Bổ đề 1.2.6 và Mệnh đề 1.2.7, ta có J = (x², y³)R ∩ (x³, y)R = (x³, x²y, y³)R.