KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN BỘ MÔN SƯ PHẠM HOÀNG THỊ NGỌC BÍCH MAN KOMNACH THẠCH ĐÀO ĐỨC MINH BÀI TẬP LỚN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Học phần Giải toán phổ thông Mã học phần A27028 Kiên Giang – Năm 2022 KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN BỘ MÔN SƯ PHẠM HOÀNG THỊ NGỌC BÍCH MSSV 2006208011 MAN KOMNACH MSSV 2006208016 THẠCH ĐÀO ĐỨC MINH MSSV 2006208013 BÀI TẬP LỚN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Học phần Giải toán phổ thông Mã học phần A27028 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN NGUYỄN THỊ KIM HOA Kiên.
NGUYÊN HÀM
Định nghĩa nguyên hàm
Giả sử hàm số liên tục trên một khoảng nhất định, khi đó hàm số này được gọi là nguyên hàm của một hàm số khác nếu thỏa mãn điều kiện cụ thể Nếu một hàm số là nguyên hàm của một hàm số, thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số đó sẽ tạo thành một tập hợp, thường được ký hiệu là F.
Các tính chất của nguyên hàm
a Nếu là hàm số có nguyên hàm thì b Nếu có đạo hàm thì c Phép cộng
Nếu và có nguyên hàm thì d Phép trừ
Nếu và có nguyên hàm thì e Phép nhân với một hằng số khác 0 f Công thức đổi biến số
Một số phương pháp tính nguyên hàm
Ví dụ: b Một số ví dụ
1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ a Các định nghĩa
Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng với là các đa thức với hệ số thực.
Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ với
Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:
Định lí tổng quát về tích phân đa thức
Mọi đa thức với hệ số thực có một cách duy nhất để phân tích thành nhân tử, bao gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức Các nghiệm thực phân biệt của đa thức là những số thực thỏa mãn điều kiện này Phương pháp tính toán cho quá trình phân tích này rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức.
Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản:
Với ta sẽ tính theo 2 cách sau đây:
Cách 1: Phương pháp lượng giác Đặt Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tính tích phân hàm lượng giác.
Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần với Đặt và
Vậy thay vào ta có
Nguyên hàm hàm phân thức với và thì c Một số ví dụ
Cách 1: Phương pháp hệ số bất định
Cách 2: Phương pháp gán các giá trị đặc biệt
1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần a Công thức tính nguyên hàm từng phần
Giả sử có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có
Nhận dạng hàm số dưới nguyên hàm thường là tích của hai loại hàm số khác nhau Ý nghĩa của việc này là giúp đơn giản hóa nguyên hàm phức tạp thành nguyên hàm đơn giản hơn Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng nguyên hàm từng phần có thể loại bỏ bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm, cuối cùng chỉ còn lại một loại hàm số duy nhất.
Khi chọn nguyên hàm, cần ưu tiên lựa chọn sao cho đơn giản và dễ tính toán, đồng thời nguyên hàm này phải đơn giản hơn so với nguyên hàm b Việc nắm vững các dạng nguyên hàm từng phần cơ bản và cách chọn u, dv là rất quan trọng để đạt được kết quả chính xác.
Nguyên hàm u dv c Một số ví dụ minh họa
Cách làm chậm: Đặt Khi đó, ta có: Đặt Khi đó ta có: Đặt Khi đó ta có
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng
1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức a Nguyên hàm dạng với m, n, p hữu tỉ
Nếu thì gọi là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi Khi đó đặt
Nếu thì gọi là mẫu số của và đặt
Nếu thì gọi là mẫu số của và đặt b Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa
+ Bước 1: Đặt trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định (nếu có thể).
+ Bước 3: Biểu thị theo và Giả sử rằng
Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường
Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số
Cách 1: Đặt với suy ra Khi đó:
Cách 2: Đặt với suy ra Khi đó:
Với đặt suy ra Khi đó, ta có:
1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác d Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác
+ Nếu chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
+ Nếu thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo dấu cộng thứ ba + Nếu lẻ thì thực hiện biến đổi:
Trường hợp 1: là các số nguyên
+ Nếu chẵn, chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.+ Nếu chẵn, lẻ thì biến đổi:
+ Nếu lẻ, chẵn thì biến đổi:
+ Nếu lẻ, lẻ thì sử dụng biến đổi ở trường hợp 2 hoặc trường hợp 3 cho số mũ bé hơn.
Trường hợp 2: Nếu là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt
Tích phân (*) tính được 1 trong 3 số nguyên
TÍCH PHÂN
Định nghĩa
Cho hàm số liên tục trên đoạn, giả sử hàm số này có một nguyên hàm trên đoạn đó Hiệu số giữa các giá trị của nguyên hàm được gọi là tích phân từ đến, hay còn gọi là tích phân xác định trên đoạn của hàm số.
Chú ý: Trong trường hợp ta quy ước:
Trường hợp ta định nghĩa:
Nhận xét: Tích phân của hàm số từ đến có thể kí hiệu bởi hay
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào và các cận mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Tính chất
Giả sử cho hai hàm số và liên tục trên Cho là ba số bất kì thuộc Khi đó, ta có:
Phương pháp tính tích phân
2.3.1 Phương pháp đổi biến a Phương pháp đổi biến số loại 1 Định lí: Cho hàm số liên tục trên Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi Khi đó:
+ Bước 2: Tính vi phân 2 vế: Đổi cận:
+ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
Phương pháp đổi biến loại 2 là một kỹ thuật quan trọng trong tích phân, áp dụng cho hàm số liên tục trên đoạn Để tính toán hiệu quả, đôi khi ta cần chọn hàm số làm biến số mới, với điều kiện hàm số này có đạo hàm liên tục trên đoạn.
Giả sử có thể viết: với liên tục trên đoạn Khi đó ta có:
+ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
Vậy c Các cách đặt cho các dạng toán tích phân thường gặp:
Đặt trừ một số trường hợp đổi biến dạng
Đặt với BCNN d Một số ví dụ
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 3: Thực hiện phép biến đổi:
Cách 3 được trình bày dựa trên ý tưởng đổi biến của cách 2.
2.3.2 Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí: Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:
+ Bước 1: Viết dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của làm và phần còn lại
Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần (cơ bản) Đặt theo thứ tự ưu tiên
Khi chọn phần để lấy đạo hàm, nên ưu tiên lựa chọn những phần đơn giản Tốt nhất là chọn phần vi phân của một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
2.4.1 Tích phân hàm hữu tỉ
(trong đó liên tục trên đoạn
Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm và sao cho
Tính tích phân với và là hai đa thức của
Nếu bậc của lớn hơn hoặc bằng bậc của thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của nhỏ hơn bậc của thì xét các trường hợp:
+ Khi chỉ có nghiệm đơn thì đặt
+ Khi có nghiệm đơn và vô nghiệm thì đặt
+ Khi có nghiệm bội với thì đặt: với thì đặt:
2.4.2 Tích phân hàm vô tỉ trong đó có dạng:
+ gọi BSCNN Đặt a Tích phân dạng:
Căn cứ vào phân tích trên, ta có một số cách giải sau:
+ Bước 2: Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số
+ Bước 3: Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
Trong đó đã biết cách tính ở trên c Tích phân dạng
+ Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì có dạng:
Tích phân này chúng ta biết cách tính. d Tích phân dạng:
(Trong đó: là hàm số hữu tỉ đối với hai biến số và là các hằng số đã biết).
+ Bước 2: Tính theo bằng cách nâng lũy thừa bậc hai vế của (1) ta có dạng
+ Bước 3: Tính vi phân hai vế: và đổi cận
2.4.3 Tích phân hàm lượng giác a Một số dạng tích phân lượng giác
Dạng 1: Đặt Khi: và Đổi cận:
(tích phân hữu tỉ) đã biết cách tính.
Tìm bằng phương pháp đồng nhất thức:
Tìm bằng phương pháp đồng nhất thức:
Biến đổi: Đặt Đổi cận: đã tính được. b Một số ví dụ
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng được xác định bởi đồ thị của một hàm số liên tục trên đoạn trục hoành và hai đường thẳng, cũng như diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên một đoạn cụ thể và hai đường thẳng xác định.
Trên hàm số không đổi dấu thì
Nắm vững cách tính tích phân của hàm số chưa giá trị tuyệt đối
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường và hai đường thẳng được xác định:
Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
B là phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm nhất định, với diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm được xác định Giả sử hàm số liên tục trên đoạn đã cho, từ đó có thể tính được thể tích của khối tròn xoay.
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành và hai đường thẳng quanh trục
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành và hai đường thẳng quanh trục
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và hai đường thẳng quanh trục
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau: a. b. c. d.
Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau: a
Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau: a Tính
Bài tập 4: Tìm nguyên hàm của
Bài tập 5 Cho biết Tính giá trị của
Giải: Để tính ta đặt: Đổi cận:
Bài tập 6 Biết rằng Trong đó là những số nguyên Khi đó bằng?
Bài tập 7 Cho Khi đó giá trị của số thực là?
Bài tập 8 Tính các tích phân sau: a) b)
Bài tập 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng trục tung và trục hoành là:
Theo công thức ta có:
Xét phương trình trên đoạn có nghiệm
Bài tập 10 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và là
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
Một vật có hình dáng và kích thước như hình vẽ dưới đây, với đáy hình tròn được giới hạn bởi đường tròn Khi cắt vật theo mặt phẳng vuông góc với trục, ta sẽ thu được một thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể này được tính dựa trên các thông số đã cho.
Giao điểm của thiết diện và là Đặt suy ra cạnh của thiết diện là
Diện tích thiết diện tại là
Vậy thể tích của vật thể là
Bài tập 12 yêu cầu mô tả một cái lều vải (H) có hình dạng là một hình chóp lục giác đều Đáy của lều (H) là một hình lục giác đều với các cạnh bằng nhau.
Chiều cao ( vuông góc so với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên của
(H) là các sợi dây nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng
Lều (H) có hình dạng lục giác đều, với trục (P) vuông góc đi qua trung điểm của lục giác Cạnh của lục giác này được tính toán dựa trên các thông số cụ thể Mục tiêu là xác định thể tích không gian bên trong lều, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và công năng của nó.
Đặt hệ tọa độ theo hình vẽ, parabol cần tìm đi qua ba điểm với tọa độ xác định, từ đó có thể xác định được phương trình của nó Theo hình vẽ, cạnh của thiết diện cũng được xác định rõ ràng.
