Bài giảng Toán cao cấp A1

MA TR Ậ N – ĐỊ NH TH Ứ C

K HÁI NIỆM MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

Một bảng số, gồm 𝑚 × 𝑛 số 𝑎 𝑖𝑗 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) được xếp thành 𝑚 dòng và 𝑛 cột được gọi là ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 (trên trường số thực ℝ), kí hiệu

Ta có thể viết gọn là 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 hoặc 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑚×𝑛

Số 𝑎 𝑖𝑗 được gọi là phần tử của ma trận 𝐴 nằm trên dòng 𝑖 cột 𝑗 (phần tử vị trí (𝑖, 𝑗))

Tập hợp tất cả các ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 trên trường ℝ được kí hiệu là 𝑀(𝑚 × 𝑛; ℝ) (hoặc 𝑀𝑚×𝑛(ℝ))

Ví dụ 1: Các ma trận sau

Hai ma trận 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 và 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 được gọi là bằng nhau nếu 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑏 𝑖𝑗 với mọi 𝑖 = 1, 𝑚̅̅̅̅̅̅ và 𝑗 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅

Ví dụ 2: Với giá trị nào của 𝑥 và 𝑦 thì hai ma trận sau bằng nhau?

Hướng dẫn: Ta thấy 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀2×3(ℝ) do đó 𝐴 = 𝐵 khi 𝑥 = 2, 𝑦 = 5.

1.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt a Ma trận không

Ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0 được gọi là ma trận không Kí hiệu

𝜃 (hoặc đơn giản là số 0) cho mọi ma trận không cấp 𝑚 × 𝑛 tùy ý

Ví dụ 3: Ma trận không cấp 2 × 3 và ma trận không cấp 3 × 3 là

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 2

Ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 được gọi là ma trận vuông cấp 𝑛 khi số dòng 𝑚 bằng số cột 𝑛 Khi đó, ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛.

] trong đó các phần tử 𝑎11, 𝑎22, … , 𝑎𝑛𝑛 được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính, các phần tử 𝑎 𝑛1 , 𝑎 (𝑛−1)1 , … , 𝑎 1𝑛 gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ

Kí hiệu tập các ma trận vuông cấp 𝑛 là 𝑀(𝑛; ℝ) (hoặc 𝑀𝑛(ℝ))

Ví dụ 4: Cho các ma trận sau

Ma trận 𝐴 là ma trận vuông cấp 2, trong khi 𝐵 và 𝐶 là ma trận vuông cấp 3 Phần tử trên đường chéo chính của ma trận 𝐶 là 1 − 𝜋, 5,0, còn đường chéo phụ là 6, 5, 3 Đối với ma trận 𝐵, phần tử trên đường chéo chính là 1, 5, 0, và đường chéo phụ là 3, 5, 3 Bài viết cũng đề cập đến khái niệm ma trận dòng và ma trận cột.

Ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 có thể được phân loại thành các loại khác nhau dựa trên số lượng dòng và cột Khi 𝑚 = 1, ma trận chỉ có một dòng và được gọi là ma trận dòng hoặc vectơ dòng Tương tự, nếu 𝑛 = 1, ma trận chỉ có một cột và được gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột.

Ví dụ 5: 𝐴 = [−1 0 3] là ma trận dòng

] là ma trận cột d Ma trận chéo

Ma trận vuông có tất các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo (ma trận đường chéo)

Ví dụ 6: Các ma trận sau là ma trận chéo

Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi diag(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ) với các phần tử trên đường chéo chính là lần lượt là 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛. e Ma trận đơn vị

Bài gi ả ng Toán cao c ấ p A1 Chương 1 – Ma tr ậ n – Đị nh th ứ c

Ma trận chéo cấp 𝑛, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, kí hiệu 𝐼 𝑛

Ví dụ 7: Các ma trận đơn vị sau

Ma trận chuyển vị của ma trận 𝐴 được tạo ra bằng cách chuyển các dòng thành các cột và ngược lại, với thứ tự tương ứng Ma trận này được ký hiệu là 𝐴 𝑇.

Ví dụ 8: Cho ma trận

Ma trận 𝐴 vuông cấp 𝑛được gọi là đối xứngnếu 𝐴 𝑇 = 𝐴 (hay 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗)

Trong Ví dụ 8 thì ma trận 𝐶 là ma trận đối xứng h Ma trận đối

Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 , khi đó ma trận (−𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 được gọi là ma trận đối của ma trận 𝐴, kí hiệu – 𝐴

Ví dụ 9: Ma trận 𝐴 = [1 −4 −12 0 3] có ma trận đối là ma trận −𝐴 = [−1 4 1

Ma trận vuông với tất cả các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác Cụ thể, một ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛×𝑛 được coi là ma trận tam giác khi và chỉ khi các điều kiện nhất định được thỏa mãn.

Ví dụ 10: Các ma trận sau là ma trận tam giác

]. j Ma trận bậc thang dòng

Một dòng hoặc cột trong ma trận được gọi là dòng không (cột không) khi tất cả các phần tử trong dòng hoặc cột đó đều bằng 0 Ngược lại, nếu có ít nhất một phần tử khác 0, nó được gọi là dòng khác không (cột khác không).

Ma trận bậc thang dòng là ma trận có hai tính chất:

∗ Các dòng khác không nằm phía trên dòng bằng không (nếu có)

∗ Phần tử khác không đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở dòng trên

Ví dụ 11: Trong các ma trận sau thì ma trận nào là ma trận bậc thang dòng?

Chú ý: Phát biểu tương tự như khái niệm trên nhưng thay dòng thành cột và cột thành dòng ta được khái niệm ma trận bậc thang cột

1.1.3 Các phép toán trên ma trận a Phép cộng hai ma trận (cùng cấp)

Cho 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 , 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 thì tổng của hai ma trận 𝐴 và 𝐵, kí hiệu 𝐴 + 𝐵, là ma trận 𝐶 = (𝑐 𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 với 𝑐 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏 𝑖𝑗 , (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛).

Tính chất: Cho các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝜃 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℝ) Khi đó

Chú ý: Cho 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑚×𝑛 (ℝ) thì hiệu của hai ma trận 𝐴 và 𝐵, kí hiệu 𝐴 − 𝐵, là phép cộng giữa ma trận 𝐴 và ma trận đối của ma trận 𝐵 Vậy 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)

13 5]. b Phép nhân một số với một ma trận

Cho 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 và số𝜆 ∈ ℝ thì tích của số𝜆 và ma trận 𝐴, kí hiệu 𝜆𝐴, là ma trận

Nhận xét: Nếu 𝜆 = −1 thì (−1)𝐴 chính là ma trận đối của 𝐴 (vậy (−1)𝐴 = −𝐴)

Tính chất: Cho các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝜃 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℝ) và 𝜆, 𝑘 ∈ ℝ Khi đó

Thực hiện các phép tính sau: 𝐴 − 3𝐵, 𝐴 − 2𝐶 𝑇 + 2𝐵.

−5 −1 8]. c Phép nhân hai ma trận Điều kiện để có phép nhân của hai ma trận 𝐴 và 𝐵 là số cột của ma trận 𝐴 bằng với số dòng của ma trận 𝐵.

Cho 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑝 , 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) 𝑝×𝑛 thì tích của hai ma trận 𝐴 và 𝐵, kí hiệu 𝐴 𝐵 (hoặc

Chú ý: Nói chung 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 và 𝐴𝐵 = 𝜃 thì không thể kết luận 𝐴 = 𝜃 hoặc 𝐵 = 𝜃.

Ví dụ 15: Cho các ma trận sau 𝐴 = [1 𝑥 32 −1 1] , 𝐵 = [

Tính chất: Cho các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶 và 𝜆, 𝑘 ∈ ℝ Giả thuyết rằng các phép tính đều thực hiện được, ta có:

Nếu 𝐴 là ma trận vuông cấp 𝑛, thì 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛𝐴 = 𝐴 Định nghĩa: Cho ma trận 𝐴 thuộc 𝑀𝑛(ℝ) và 𝑘 thuộc tập số tự nhiên ℕ, lũy thừa bậc 𝑘 của 𝐴, được ký hiệu là 𝐴 𝑘, là ma trận được xác định theo quy nạp.

Ví dụ 16: Cho ma trận 𝐴 = [0 1 0

Tính chất: Cho các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝜃 ∈ 𝑀 𝑛 (ℝ) và 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ Khi đó

Ví dụ 17: Tính 𝐷 = 𝐶 2 + 2𝐶 + 𝐼 3 − (𝐴𝐵) 𝑇 , với 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các ma trận cho bởi

Ta có thể tính từng giá trị một hoặc có thể nhận thấy

1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp

Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 với 𝑚 ≥ 2, các phép biến đổi sơ cấp dòng trên 𝐴 bao gồm một số dạng cơ bản Sau khi thực hiện các phép biến đổi này, ma trận 𝐵 sẽ được tạo ra từ ma trận 𝐴 ban đầu.

∗ Phép 1: Đổi vị trí hai dòng của ma trận Giả sử đổi chỗ dòng 𝑖 và dòng 𝑗, kí hiệu

∗ Phép 2: Nhân một dòng nào đó của ma trận với một số (thuộc ℝ) khác không Giả sử nhân dòng 𝑖 với số 𝜆 ∈ ℝ\{0}, kí hiệu

Phép 3 trong đại số tuyến tính cho phép cộng một dòng của ma trận với một dòng khác đã được nhân với một số thực Cụ thể, nếu chúng ta cộng vào dòng i dòng j đã được nhân với hệ số λ thuộc ℝ, thì quá trình này giúp thay đổi ma trận mà không làm ảnh hưởng đến nghiệm của hệ phương trình tương ứng.

Chúng ta có thể thực hiện nhiều phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận 𝐴 một cách liên tiếp, nhưng cần lưu ý không gây nhầm lẫn Tương tự, các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận 𝐴 cũng được định nghĩa theo cách tương tự.

Ví dụ 19: Hãy dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận 𝐴 = [

Đ ỊNH THỨC

1.2.1 Định nghĩa định thức a Ma trận con cấp 𝒌

Cho ma trận 𝐴 cấp 𝑚 × 𝑛 Ma trận vuông cấp 𝑘 lập từ các phần tử nằm trên giao của

𝑘 dòng và 𝑘 cột được gọi là ma trận con vuông cấp 𝑘 của 𝐴 b Ma trận con ứng với một phần tử

Cho ma trận vuông cấp n, ký hiệu là 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑛×𝑛, ma trận con cấp n − 1 được tạo ra bằng cách loại bỏ dòng 𝑖 và cột 𝑗 từ 𝐴, được gọi là ma trận con ứng với phần tử 𝑎 𝑖𝑗, ký hiệu là 𝑀 𝑖𝑗.

Ví dụ 19: Cho ma trận 𝐴 = [1 −1 2

Khi đó 𝑀 11 = [1 −11 −1] , 𝑀 12 = [0 −11 −1] , 𝑀 23 = [1 −11 1]. c Định nghĩa định thức

Cho ma trận vuông cấp n, ký hiệu là 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑛, định thức cấp n của ma trận 𝐴, được ký hiệu là det 𝐴 hoặc |𝐴|, được định nghĩa theo cách qui nạp.

𝑎 21 𝑎 22 ], khi đó det 𝐴 = 𝑎11det 𝑀11− 𝑎12det 𝑀12 = 𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21. (chú ý 𝑎11, 𝑎12 là các phần tử nằm trên dòng 1)

 Với 𝐴 cấp 𝑛 ≥ 3, khi đó det 𝐴 = 𝑎 11 det 𝑀 11 − 𝑎 12 det 𝑀 12 + ⋯ + (−1) 1+𝑛 𝑎 1𝑛 det 𝑀 1𝑛 (chú ý 𝑎 11 , 𝑎 12 , 𝑎 1𝑛 là các phần tử nằm trên dòng 1)

Chú ý: Gọi 𝐴𝑖𝑗 = (−1) 𝑖+𝑗 det 𝑀𝑖𝑗 là phần bù đại số của phần tử 𝑎𝑖𝑗 Khi đó det 𝐴 = 𝑎 11 𝐴 11 + 𝑎 12 𝐴 12 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝐴 1𝑛

Ví dụ 20: Tính định thức của ma trận 𝐴 = [1 −1 2

Chú ý: Từ định nghĩa, bằng chứng minh qui nạp ta cũng có det 𝐴 = 𝑎11𝐴11+ 𝑎21𝐴21+ ⋯ + 𝑎𝑛1𝐴𝑛1. (chú ý 𝑎11, 𝑎21, 𝑎𝑛1 là các phần tử nằm trên cột 1)

Định thức có những tính chất quan trọng như: i) det 𝜃 = 0, det 𝐼 𝑛 = 1 và det diag(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ) = 𝑎 1 𝑎 2 … 𝑎 𝑛 ii) Đối với định thức cấp 2, có quy tắc lấy tích đường chéo chính trừ cho tích đường chéo phụ iii) Đối với định thức cấp 3, áp dụng quy tắc sáu đường chéo hay còn gọi là quy tắc Sarius.

Ví dụ 21: Tính định thức của ma trận 𝐴 và 𝐴 𝑇 , với 𝐴 = [

1.2.2 Các tính chất của định thức

Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛×𝑛 là ma trận vuông cấp 𝑛 a Tính chất 1

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 11 Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là det 𝐴 𝑇 = det 𝐴. b Tính chất 2

Nếu đổi vị trí hai dòng (hay hai cột) của ma trận thì định thức đổi dấu

1 0 −1|. c Tính chất 3 Định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau thì bằng 0.

0 3 2| = 0. d Tính chất 4 Định thức có một dòng không (hay một cột không) thì định thức bằng 0

Hệ quả: Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính e Tính chất 5

Nhân tử chung của tất cả phần tử trên một dòng (cột) có thể đem ra ngoài định thức

Khi nhân tất cả các phần tử trong một dòng hoặc cột của ma trận với số 𝜆 ≠ 0, định thức sẽ tăng lên 𝜆 lần Cụ thể, ta có công thức det 𝜆𝐴 = 𝜆^n det 𝐴 Ngoài ra, nếu hai dòng hoặc hai cột của ma trận có các phần tử tương ứng tỉ lệ với nhau, thì định thức sẽ bằng 0.

Nếu định thức có một dòng (một cột) mà mỗi phần tử là tổng của hai số hạng thì ta có thể tách thành tổng hai định thức Vậy

4 1 0|. h Tính chất 8 Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào một dòng (hay một cột) với 𝜆 lần dòng (cột) khác (𝜆 ∈ 𝐾)

Chúng ta sẽ áp dụng tính chất này để biến đổi định thức ban đầu thành định thức của ma trận tam giác, từ đó tạo ra nhiều số 0 nhất có thể.

Chú ý: Như vậy ta có phương pháp đầu tiên để tính nhanh định thức là áp dụng linh hoạt các tính chất

Ví dụ 22: Tính định thức sau (𝑚 ∈ ℝ)

Bài giải Ý tưởng đầu tiên là cộng các dòng về dòng 1, xuất hiện nhân tử chung

1.2.3 Công thức khai triển định thức (khai triển Laplace)

Cho 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑛 là ma trận vuông cấp 𝑛 Ta có khai triển Laplace như sau:

 Khai triển theo dòng thứ 𝑖 det 𝐴 = 𝑎 𝑖1 𝐴 𝑖1 + 𝑎 𝑖2 𝐴 𝑖2 + ⋯ + 𝑎 𝑖𝑛 𝐴 𝑖𝑛

 Khai triển theo cột thứ 𝑗 det 𝐴 = 𝑎1𝑗𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐴2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑗

Ví dụ 23: Tính định thức sau bằng hai cách, khai triển theo dòng 1và theo cột 2

Nhận xét: Khi tính định thức, ta nên khai triển Laplace theo dòng (hay cột) có chứa nhiều phần tử 0 nhất

Có hai phương pháp chính để tính định thức: sử dụng các tính chất của định thức và khai triển Laplace Việc linh hoạt áp dụng hai phương pháp này sẽ giúp tối ưu hóa quá trình tính toán.

Ví dụ 23: Tính định thức sau: ∆= ||

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 14 Định lí: Cho 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) Khi đó det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵.

Ví dụ 24: Cho ma trận 𝐴 = [1 1 −1

1 2 1] Tìm 𝑥 biết det 𝐴𝐵 = 1. Hướng dẫn: 1 = det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵 = −1(−2𝑥 + 5) = 2𝑥 − 5 Do đó 𝑥 = 3.

Chú ý: Ma trận vuông 𝐴 được gọi là không suy biến nếu det 𝐴 ≠ 0.

H ẠNG CỦA MA TRẬN E RROR ! B OOKMARK NOT DEFINED 1.4 M A TRẬN NGHỊCH ĐẢO E RROR ! B OOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 E RROR ! B OOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG 1 E RROR ! B OOKMARK NOT DEFINED CHƯƠNG 2 – H Ệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ N TÍNH

1.3.1 Định nghĩa a Định thức con cấp 𝒌

Cho ma trận 𝐴 cấp 𝑚 × 𝑛 Định thức của ma trận con vuông cấp 𝑘 của 𝐴 được gọi là định thức con cấp 𝑘 của 𝐴.

Nhận xét: Nếu ma trận 𝐴 có tất cả các định thức con cấp 𝑘 đều bằng 0 thì các định thức con cấp cao hơn cũng bằng 0 b Hạng của ma trận

Cho ma trận 𝐴 cấp 𝑚 × 𝑛 Hạng của ma trận 𝐴, kí hiệu rank 𝐴 hoặc 𝑟(𝐴), là số nguyên 𝑟 không âm thỏa mãn các điều kiện sau:

∗ Nếu 𝐴 ≠ 𝜃 thì 𝑟 là số nguyên dương lớn nhất sao cho 𝐴 có định thức con cấp 𝑟 khác không

Ví dụ 25: Tính hạng của các ma trận sau:

Ma trận 𝐴 là ma trận vuông cấp 3 với định thức det 𝐴 = 0, cho thấy ma trận không khả nghịch Khi tính các định thức con cấp 2, ta tìm được |1 24 5| = −3 Do đó, theo định nghĩa, bậc của ma trận 𝑟(𝐴) = 2.

Ma trận 𝐵 không phải là ma trận vuông Định thức con cấp lớn nhất là cấp 3, có 𝐶 4 3 định thức con cấp 3 Tính thử ta thấy

Kiểm tra thử các định thức con cấp 2, ta thấy | 1 2

−1 1| = 3 Nên theo định nghĩa ta được 𝑟(𝐵) = 2.

Nhận xét: i) 𝑟(𝐴) ≤ min{𝑚, 𝑛} ii) Nếu 𝐴 là ma trận vuông cấp 𝑛 thì 𝑟(𝐴) = 𝑛 ⟺ det 𝐴 ≠ 0. iii) 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴 𝑇 ).

Ví dụ 26: Tìm 𝑚 ∈ ℝ để ma trận sau có hạng là 3.

Ta có det 𝐴 = −2𝑚 2 + 3𝑚 − 8 < 0, ∀𝑚 ∈ ℝ Do đó 𝑟(𝐴) = 3 với ∀𝑚 ∈ ℝ.

1.3.2 Cách tìm hạng của ma trận Để tìm hạng bằng ma trận, nếu ta lần lượt xét các định thức con đôi khi rất khó khăn

Để tính hạng của ma trận, chúng ta cần áp dụng một phương pháp khác dựa trên hai định lý quan trọng Định lý 1 khẳng định rằng các phép biến đổi sơ cấp dòng không làm thay đổi hạng của ma trận Định lý 2 cho biết hạng của ma trận bậc thang dòng tương ứng với số dòng khác không của nó.

Để xác định hạng của một ma trận, ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển ma trận về dạng bậc thang Hạng của ma trận sẽ được xác định bằng số dòng khác không trong ma trận bậc thang.

Trong Ví dụ 25 ta tìm hạng của 𝐵 bằng các phép biến đổi sơ cấp.

Nhận xét: Ta có thể tìm hạng của ma trận bậc bằng các phép biến đổi sơ cấp trên cột

Ví dụ 27: Biện luận theo 𝑚 ∈ ℝ hạng của ma trận 𝐴 = [𝑚 + 1 1 3

1.4.1 Định nghĩa, điều kiện tồn tại và công thức tính a Định nghĩa

Cho ma trận vuông 𝐴 cấp 𝑛, nếu tồn tại ma trận vuông 𝐵 cấp 𝑛 sao cho 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛, thì ma trận 𝐴 được gọi là khả đảo và 𝐵 là ma trận nghịch đảo của 𝐴, ký hiệu 𝐴 −1 Điều này có nghĩa là 𝐴𝐴 −1 = 𝐴 −1 𝐴 = 𝐼𝑛.

Định lý cho biết rằng ma trận vuông 𝐴 có ma trận nghịch đảo nếu và chỉ nếu 𝐴 không suy biến, tức là định thức của 𝐴 khác không (det 𝐴 ≠ 0) Tính chất này là cơ sở quan trọng trong lý thuyết ma trận, giúp xác định khả năng nghịch đảo của ma trận.

Cho 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛, không suy biến Khi đó

3 (𝐴 𝑇 ) −1 = (𝐴 −1 ) 𝑇 d Công thứctìm ma trận nghịch đảo

Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛 là ma trận vuông không suy biến cấp 𝑛 Tính các phần bù đại số

Ví dụ 28: Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau

∗ Ta có det 𝐴 = 0 nên 𝐴 không có ma trận nghịch đảo

∗ Ta có det 𝐵 = 2 nên 𝐵 khả nghịch Ta tính các phần bù đại số

∗det 𝐶 = −3 Việc tìm ma trận nghịch đảo của 𝐶 xin giành cho các bạn độc giả

1.4.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp dòng

Để tìm ma trận nghịch đảo 𝐴 −1 của ma trận vuông cấp 𝑛 không suy biến, ta có thể áp dụng các phép biến đổi sơ cấp dòng Quy trình này giúp xác định 𝐴 −1 một cách hiệu quả thông qua các thao tác thực hiện trên các hàng của ma trận.

Lập ma trận ghép[𝐴|𝐼 𝑛 ] (có cấp 𝑛 × 2𝑛)

Sau đó dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận [𝐴|𝐼 𝑛 ] về dạng [𝐼 𝑛 |𝐵] Khi đó 𝐵 chính là ma trận nghịch đảo của 𝐴, 𝐴 −1 = 𝐵.

Xét Ví dụ 28 ta tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 𝐶 Ta có

]. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận

Xét phương trình ma trận 𝐴𝑋 = 𝐵 hoặc (𝑋𝐴 = 𝐵) Nếu 𝐴 khả nghịch thì

Ví dụ 29: Tìm ma trận 𝑋 thỏa 𝐴𝑋 − 𝐵 = 0 trong đó 𝐴 = [−4 7−1 2] , 𝐵 𝑇 = [1 −2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1

Chọn câu trả lời đúng nhất cho các câu hỏi dưới đây.

Dạng toán: Ma trận và các phép toán

−1 2 2 1] Khẳng định nào KHÔNG đúng?

C 𝐴 − 𝐵 không tồn tại D 𝐴 + 𝐵 không tồn tại

0 3] Khẳng định nào sau đây là đúng

A 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 B 𝐴𝐵 xác định nhưng 𝐵𝐴 không xác định

A 𝐴𝐵 và 𝐵𝐴 đều không xác định B 𝐴𝐵 xác định nhưng 𝐵𝐴 không xác định

C 𝐵𝐴 xác định nhưng 𝐴𝐵 không xác định D 𝐴𝐵 và 𝐵𝐴 đều xác định

A 𝐴𝐵 và 𝐵𝐴 đều không xác định B 𝐴𝐵 xác định nhưng 𝐵𝐴 không xác định

C 𝐵𝐴 xác định nhưng 𝐴𝐵 không xác định D 𝐴𝐵 và 𝐵𝐴 đều xác định

0 2 0] Khẳng định nào là đúng

0 ] D 𝐵𝐴 xác định nhưng 𝐴𝐵 không xác định

9 Cho ma trận 𝐴 = [0 11 0] và ma trận 𝐵 = [1 −11 0] Kết quả của phép tính 𝐴 𝐵 𝑇 là

0 2 0] Kết quả của phép tính 𝐴 +

1 −1 1] Khi đó ma trận 𝐴 2 là kết quả nào sau đây

12 Cho ma trận 𝐴 = [1 20 1] Ma trận 𝐵 = 𝐴 3 là

14 Cho ma trận 𝐴 ∈ 𝑀 7×8 (ℝ) Biểu thức nào sau đây có nghĩa?

Dạng toán: Định thức của ma trận

16 Cho ma trận 𝐴 = [1 −21 3] Định thức của ma trận 𝐴 là

17 Cho ma trận 𝐴 = [1 −21 3] Định thức của ma trận (𝐴 + 𝐼2) là

18 Cho ma trận 𝐴 = [1 23 4] Định thức của ma trận 2𝐴 là

1 0] Định thức của ma trận 𝐴𝐵 là

0 1] Định thức của ma trận 𝐴𝐵 là

1 3 2] Định thức của ma trận 𝐴 là

| Khẳng định nào sau đây là đúng.

| Khẳng định nào sau đây là đúng

36 Cho định thức ∆= | 1 2−1 𝑚| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆= 0

A 𝑚 = −2 B 𝑚 ≠ −2 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

37 Cho định thức ∆= | 1 0−1 𝑚| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆≠ 0

A 𝑚 = 0 B 𝑚 ≠ 0 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị𝑚

38 Cho định thức ∆= |𝑚 41 𝑚| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆= 0

C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

𝑚 𝑚 + 1| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆< 0

A 𝑚 < 1 B 𝑚 > 1 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

1 𝑚 −1| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆= 0

2 −1 𝑚 + 6| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆≠ 0

A 𝑚 ≠ −1 B 𝑚 ≠ 1 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

0 1 𝑚| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆= 0

A 𝑚 = −1 B 𝑚 = 1 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

2 𝑚 1| Với giá trị nào của 𝑚 thì ∆= 0

1 2 𝑚 − 3] Với giá trị nào của 𝑚 thì det 𝐴 = 0

𝑚 −1 𝑚] Với giá trị nào của 𝑚 thì det 𝐴 ≠ 0

0 𝑚 + 1 2𝑚 + 1] Với giá trị nào của 𝑚 thì det 𝐴 ≠ 0

A 𝑚 = 0 B 𝑚 ≠ 0 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

] Với giá trị nào của 𝑚 thì det 𝐴 = 0

] Với giá trị nào của 𝑚 thì det 𝐴 ≠ 0

1 0 𝑥 + 1| = 0 là khẳng định nào sau đây

2 2 𝑥| = 0là khẳng định nào sau đây

Dạng toán: Hạng của ma trận

52 Tìm hạng 𝑟(𝐴) của ma trận 𝐴 = [1 −11 1]

53 Tìm hạng 𝑟(𝐴) của ma trận 𝐴 = [2 1 34 3 −1]

54 Tìm hạng 𝑟(𝐴) của ma trận 𝐴 = [1 2 3

55 Tìm hạng 𝑟(𝐴) của ma trận 𝐴 = [1 0 −1

56 Tìm hạng 𝑟(𝐴) của ma trận 𝐴 = [

57 Tìm hạng 𝑟(𝐴) của ma trận 𝐴 = [ 1 2 1

60 Tìm giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 = [ 1 1 2

60 Tìm giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 = [−1 1 0

61 Tìm giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 = [3 1 𝑚 + 1

62 Tìm giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 = [3 1 𝑚 + 1

Dạng toán: Ma trận nghịch đảo

63 Cho ma trận 𝐴 = [0 11 0] Ma trận nghịch đảo của ma trận 𝐴 là:

64 Ma trận nào sau đây khả nghịch

65 Ma trận nào sau đây khả nghịch

66 Ma trận nào sau đây KHÔNG khả nghịch

67 Cho ma trận = [−1 1 1 𝑚] Giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 khả nghịch là

68 Cho ma trận = [ 1 2−1 𝑚] Giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 KHÔNG khả nghịch là

69 Cho ma trận = [−𝑚 1 2 𝑚] Giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 khả nghịch là

A 𝑚 = 2 B 𝑚 = −2 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

70 Cho ma trận = [ 𝑚 1−2 𝑚] Giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 khả nghịch là

1 3 𝑚 + 1] Giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 khả nghịch là

1 2 𝑚] Giá trị của 𝑚 để ma trận 𝐴 KHÔNG khả nghịch là

1 2 𝑚] Giá trị của 𝑚 để 𝐴 KHÔNG khả nghịch là

1 −1 𝑚] Giá trị của 𝑚 để 𝐴 KHÔNG khả nghịch là

BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG 1

4 Thực hiện các phép tính sau a

6 Tính các định thức sau a

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 29 i

7 Giải các phương trình sau

8 Tìm hạng của các ma trận sau a 𝐴 = [1 −2 1

9 Với giá trị nào của 𝜆 ∈ ℝ thì hạng các ma trận sau bằng 1 a

10 Giải phương trình ma trận sau

11 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 30 a 3 5

12 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch a 𝐴 = [𝑚 + 1 1 3

13 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp 𝑛 sau a

Bài gi ả ng Toán cao c ấ p A1 Chương 2 – H ệ phương trình tuyế n tính

Chương 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

K HÁI NIỆM CHUNG VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1.1 Các khái niệm cơ bản a Định nghĩa

(𝐼) trong đó 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 là các ẩn , 𝑎 𝑖𝑗 , 𝑏 𝑖 ∈ ℝ (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) là các hằng số, gọi là hệphương trình tuyến tính (𝑚 phương trình, 𝑛 ẩn số)

Nếu 𝑥 1 = 𝑘 1 , 𝑥 2 = 𝑘 2 , … , 𝑥 𝑛 = 𝑘 𝑛 là một nghiệm của hệ phương trình (𝐼) thì ta ghi gọn là một bộ số (𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛)

] gọi là ma trận các hệ số của hệ (𝐼)

Ma trận các hệ số mở rộng của hệ phương trình tuyến tính là yếu tố quyết định để xác định tính hoàn toàn của hệ Khi nắm rõ ma trận này, ta có thể hiểu rõ cấu trúc và giải quyết hệ phương trình một cách hiệu quả.

] gọi là ma trậntự do (cột tự do) của hệ (𝐼)

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 32 gọi là ma trậnẩn của hệ (𝐼)

Khi đó hệ phương trình (𝐼) có thể cho dưới dạng ma trận: 𝐴𝑋 = 𝐵.

Hai hệ phương trình có cùng số ẩn gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình tuyến tính

]. b Một vài hệ phương trình tuyến tính đặc biệt

Hệ phương trình tuyến tính (𝐼) gọi là hệ Cramer nếu 𝑚 = 𝑛 (tức là số phương trình bằng số ẩn) và ma trận hệ số 𝐴 là không suy biến (det 𝐴 ≠ 0).

 Hệ phương trình tuyến tính (𝐼) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (hệ thuần nhất) nếu cột tự do của hệ bằng 0 (tức là 𝑏 1 = 𝑏 2 = ⋯ = 𝑏 𝑚 = 0).

2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm

Khi giải hệ phương trình, điều quan trọng đầu tiên là xác định điều kiện để hệ phương trình có nghiệm Định lý Kronecker – Capelli cung cấp tiêu chuẩn giúp kiểm tra tính khả thi của nghiệm trong hệ phương trình tuyến tính.

Trước tiên ta gọi các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính là các phép biến đổi sau dây:

∗ Phép 1: Đổi vị trí hai phương trình của hệ

∗ Phép 2: Nhân một phương trình nào đó của hệ với một số khác không

∗ Phép 3: Cộng vào một phương trình nào đó của hệ, một phương trình khác đã được nhân với một số

Các phép biến đổi sơ cấp giúp chuyển đổi hệ phương trình tuyến tính thành một hệ tương đương mới Việc áp dụng các phép biến đổi này tương ứng với các phép biến đổi dòng trên ma trận hệ số mở rộng 𝐴̅ Do đó, để giải hệ phương trình (𝐼), chúng ta cần thực hiện biến đổi trên ma trận mở rộng 𝐴̅.

Để giải một hệ phương trình tuyến tính, chúng ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp để chuyển đổi hệ đã cho thành một hệ đơn giản hơn thông qua biến đổi 𝐴̅ Mục tiêu là đưa 𝐴̅ về dạng bậc thang, từ đó áp dụng phương pháp thế từ dưới lên để tìm nghiệm Điều này dẫn đến định lý về điều kiện tồn tại nghiệm và số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 33 Định lí (Kronecker – Capelli)

Hệ phương trình tuyến tính gồm 𝑚 phương trình và 𝑛 ẩn với ma trận hệ số 𝐴 và ma trận hệ số bổ sung 𝐴̅ có những đặc điểm quan trọng Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi rank 𝐴 < rank 𝐴̅ Ngược lại, hệ có nghiệm khi và chỉ khi rank 𝐴 = rank 𝐴̅ = 𝑟 Nếu 𝑟 = 𝑛, hệ có nghiệm duy nhất; còn nếu 𝑟 < 𝑛, hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào 𝑛 − 𝑟 ẩn tự do (tham số).

Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm (là nghiệm (0,0, … ,0)).

C ÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH E RROR ! B OOKMARK

2.2.1 Hệ Cramer a Phương pháp ma trận nghịch đảo

Hệ phương trình Cramer có dạng ma trận 𝐴𝑋 = 𝐵, trong đó 𝐴 là ma trận vuông và det 𝐴 ≠ 0 Với điều kiện ma trận 𝐴 khả nghịch, ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với ma trận 𝐴 −1, dẫn đến 𝑋 = 𝐴 −1 𝐵 Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

Do det 𝐴 = 4 ≠ 0 ta tìm được

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 𝑥 = −3, 𝑦 = 6, 𝑧 = −1 (hoặc (−3, 6, −1)) b Phương pháp định thức

Nội dung của phương pháp này cũng chính là nội dung của định lí sau: Định lí (Quy tắc Cramer)

Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất được cho bởi công thức

𝑥 𝑖 𝐴𝑖 det 𝐴 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 trong đó 𝐴 là ma trận hệ số, 𝐴 𝑖 là ma trận thu được từ ma trận 𝐴 bằng cách thay cột 𝑖 của 𝐴 bằng cột tự do

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

Do đó hệ đã cho là hệ Cramer Ta tính các định thức phụ det 𝐴1 = | 2 −2 1

Theo công thức Cramer hệ có nghiệm duy nhất ( 7 2 , 2, 5 2 ).

Quy tắc Cramer là một phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, dựa trên phân tích ma trận nghịch đảo để đạt được kết quả cuối cùng Bên cạnh đó, hệ Cramer cũng có thể được giải quyết bằng cách xem xét nó như một hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

2.2.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss (phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp)

Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính dựa trên định lý số nghiệm sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận 𝐴̅ về dạng bậc thang Quá trình này chuyển đổi hệ phương trình tuyến tính thành hệ bậc thang, trong đó các ẩn chính được giữ lại và tính toán qua các ẩn tự do Từ dòng cuối cùng, các nghiệm được tìm ra bằng cách thế từ dưới lên.

Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình sau:

Hệ đã cho tương đương với hệ sau

Vì rank 𝐴 = 2 < rank 𝐴̅ = 3 (phương trình cuối là 0𝑥1+ 0𝑥2+ 0𝑥3 = 3 (vô lý)) nên hệ phương trình vô nghiệm c) 𝐴̅ = [1 1 2

Hệ đã cho tương đương với hệ sau

𝑥2 = 2 + 𝑥3− 2𝑥4 Đặt 𝑥3 = 𝑎, 𝑥4 = 𝑏, công thức nghiệm tổng quát là

Hay nghiệm tổng quát của hệ là (3 − 3𝑎 + 𝑏, 2 + 𝑎 − 2𝑏, 𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ).

Ví dụ 6: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số 𝑚 ∈ ℝ

∗ Nếu 𝑚 ≠ 1 và 𝑚 ≠ −2 thì det 𝐴 ≠ 0do đó hệ trên là hệ Cramer, nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ta có

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vương 36 det 𝐴 1 = |1 1 1

1 1 𝑚| = (𝑚 − 1) 2 Vậy nghiệm duy nhất của hệ là 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1 (𝑚 + 2)⁄

∗ Nếu 𝑚 = 1 thay vào hệ ta được 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số

∗ Nếu 𝑚 = −2 thay vào hệ ta được hệ {−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

03] Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Tóm lại: Với 𝑚 = −2 thì hệ vô nghiệm

Với 𝑚 = 1 hệ có vô số nghiệm Nghiệm tổng quát là (𝑎, 𝑏, 1 − 𝑎 − 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) Với 𝑚 ≠ 1 và 𝑚 ≠ −2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( 𝑚+2 1 , 𝑚+2 1 , 𝑚+2 1 )

Ví dụ 7: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số 𝑚 ∈ ℝ.

∗ Nếu 𝑚 ≠ 5 thì hệ phương trình vô nghiệm

∗ Nếu 𝑚 = 5 thì hệ đã cho tương đương với hệ sau {𝑥1+ 2𝑥2+ 2𝑥4+ 𝑥5 = 1

−𝑥4+ 2𝑥5 = 0 Vậy hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số Nghiệm tổng quát của hệ là

Tóm lại: Với 𝑚 ≠ 5 thì hệ vô nghiệm

Với 𝑚 = 5 thì hệ có vô số nghiệm Nghiệm tổng quát là

Ví dụ 8: Cho hệ phương trình sau (với tham số 𝑚 ∈ ℝ)

𝑥 1 − 𝑥 2 + 4𝑥 3 − 𝑥 4 = 𝑚 4𝑥 1 + 3𝑥 2 − 𝑥 3 + 𝑚𝑥 4 = 𝑚 2 − 6𝑚 + 4 Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm

∗ Nếu 𝑚 ≠ 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ có ma trận hệ số bổ sung

Ta thấy rank 𝐴 = rank 𝐴̅ = 4, nên hệ có nghiệm duy nhất

∗ Nếu 𝑚 = 7 thì rank 𝐴 = rank 𝐴̅ = 3 nên hệ có VSN phụ thuộc một tham số (𝑥 4 ) Vậy hệ có nghiệm với mọi 𝑚 ∈ ℝ

2.2.3 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm 𝑚 phương trình và 𝑛 ẩn

Cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có thể thực hiện bằng quy tắc Cramer hoặc phương pháp Gauss Hệ phương trình này luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường, đó là nghiệm (0,0,…,0) Vấn đề cần xem xét là khi nào hệ có nghiệm không tầm thường Theo các phương pháp đã nêu, hệ (𝐼𝐼) sẽ có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu tồn tại ít nhất một ẩn tự do Chúng ta sẽ phân tích ba khả năng xảy ra trong trường hợp này.

∗ Nếu 𝑚 = 𝑛thì hệ có nghiệm không tầm thường khi det 𝐴 = 0

∗ Nếu 𝑚 < 𝑛 hệ luôn có nghiệm không tầm thường

∗ Nếu 𝑚 > 𝑛 thì dùng các phép biến đổi sơ sơ cấp đưa về bậc thang Lúc đó hệ mới chỉ xảy ra một trong hai trường hợp trên

Khi hệ (𝐼𝐼) có nghiệm không tầm thường, ta quan tâm tới một hệ nghiệm sau

Kí hiệu 𝑟 = rank 𝐴, 𝑟 < 𝑛 Khi đó hệ có nghiệm phụ thuộc 𝑛 − 𝑟 ẩn tự do Giả sử các ẩn tự do là 𝑥 𝑖 1 , 𝑥 𝑖 2 , … , 𝑥 𝑖 𝑛−𝑟

∗ Cho 𝑥𝑖 1 = 1, 𝑥𝑖 2 = 0, … , 𝑥𝑖 𝑛−𝑟 = 0 tính các 𝑥𝑖 còn lại theo công thức nghiệm tổng quát, ta sẽ tìm được một nghiệm của hệ (𝐼𝐼), đặt là 𝛼 1

∗ Cho 𝑥𝑖 1 = 0, 𝑥𝑖 2 = 1, … , 𝑥𝑖 𝑛−𝑟 = 0 tương tự như trên, ta tìm được một nghiệm 𝛼2.

∗ Cho 𝑥 𝑖 1 = 0, 𝑥 𝑖 2 = 0, … , 𝑥 𝑖 𝑛−𝑟 = 1 ta tìm được một nghiệm 𝛼 𝑛−𝑟

Khi đó 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛−𝑟 được gọi là hệ nghiệm cơ bảncủa hệ (𝐼𝐼)

Ví dụ 9: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

Ta thấy rank 𝐴 = 2, hệ có vô số nghiệm phụ thuộc mộtẩn tự do (chọn 𝑧)

Hệ trên tương đương với hệ sau

Cho 𝑎 = 1, ta đươc 𝑥 = −1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 1 Vậy nghiệm cơ bản là (− 1, 2, 1).

Hệ trên tương đương với hệ sau

Vậy hệ nghiệm cơ bản là (1, −1, 1, 0), (−1, 0, 0, 1).

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 2

Chọn câu trả lời đúng nhất cho các câu hỏi dưới đây.

Dạng toán: Giải hệ phương trình tuyến tính

1 Hệ phương trình nào sau đây là hệ Crammer

2 Hệ phương trình nào sau đây KHÔNG là hệ Crammer

3 Hệ phương trình nào sau đây là hệ thuần nhất

4 Hệ phương trình nào sau đây KHÔNG giải được bằng phương pháp Crammer

5 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 5 là

6 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 + 𝑧 = 2

7 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1−2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 2 là

8 Nghiệm của hệ phương trình {3𝑥 1 − 𝑥 2 + 2𝑥 3 = 3

9 Nghiệm của hệ phương trình { 𝑥 1 − 𝑥 2 + 2𝑥 3 = 3

10 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {𝑥 1 − 𝑥 2 − 2𝑥 3 = 1

11 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {𝑥 1 + 2𝑥 2 + 3𝑥 3 = 1

12 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 1

13 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1

14 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 1

15 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 1

16 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 1

18 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1

19 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 2

21 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 1

22 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

23 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 2

24 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính {

27 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥1+ 𝑥2+ 2𝑥3+ 𝑥4 = 5

28 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 1 − 2𝑥 2 + 3𝑥 3 + 𝑥 4 = 1

Dạng toán: Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

31 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1

32 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 𝑧 = 2

33 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 1

34 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 1

A 𝑚 = −6 B 𝑚 = −1 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

35 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 2

A 𝑚 ≠ 0 B 𝑚 = 0 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

36 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 1

A 𝑚 = 1 B 𝑚 ≠ 1 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

37 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1

A 𝑚 ≠ −1 B 𝑚 = −1 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

38 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1

39 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ {𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

40 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 𝑧 = 0

A 𝑚 = −2 B 𝑚 ≠ −2 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚

42 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 − 𝑧 = 1

A 𝑚 = 0 B 𝑚 ≠ 0 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị𝑚

44 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2

45 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 − 5𝑦 − 𝑧 = 1

46 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

47 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

48 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥1− 2𝑥2+ 𝑥3 = 1

49 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 5 3𝑥 + 7𝑦 + 𝑚 2 𝑧 = 6 có duy nhất một nghiệm

50 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 𝑦 − 𝑚𝑧 = 1

−𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 có duy nhất một nghiệm

51 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑚𝑧 = 2

𝑚𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3 có duy nhất một nghiệm

52 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑚𝑧 = 3

𝑚𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 3 có duy nhất một nghiệm

53 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ { 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −1

54 Với giá trị nào của tham số 𝑚 thì hệ { 𝑥 1 − 2𝑥 2 + 𝑥 3 + 2𝑥 4 = 1

55 Với giá trị nào của tham số 𝑚 thì hệ {𝑥1− 2𝑥2+ 𝑥3+ 2𝑥4 = 1

56 Với giá trị nào của tham số 𝑚 thì hệ {𝑚𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 1

57 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ phương trình sau có nghiệm

58 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ {

59 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ phương trình sau có duy nhất một nghiệm

61 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Dạng toán: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

63 Nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất { 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0

64 Nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất {𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0

65 Nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất {𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0

66 Hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất { 𝑥 1 + 𝑥 2 − 2𝑥 3 = 0

67 Hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất {𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 0

68 Hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất { −𝑥 + 𝑦 = 0

69 Hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất { 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0

70 Số nghiệm cơ bản của hệ phương trình { 3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 0

71 Số nghiệm cơ bản của hệ phương trình {

72 Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất {

Hệ nghiệm cơ bản của hệ trên là

73 Với giá trị nào của 𝑎 thì hệ { 𝑎𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 có nghiệm KHÔNG tầm thường

74 Với giá trị nào của 𝑚thì hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm tầm thường

75 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ phương trình sau có nghiệm KHÔNG tầm thường

76 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ phương trình sau có số nghiệm cơ bản nhiều nhất

77 Với giá trị nào của 𝑚 thì hệ phương trình sau có số nghiệm cơ bản nhiều nhất

78 Với giá trị NGUYÊN nào của 𝑚 thì hệ phương trình sau có nghiệm KHÔNG tầm thường

BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG 2

I Giải các hệ phương trình tuyến tính sau

II Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau

II Định giá trị của tham số

1 Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất : a)

2 Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm: a)

3 Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:  a) 2 2 1

4 Định m để hệ phương trình sau có nghiệm:  a)

5 Cho hệ phương trình sau (với tham số m )

 a) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm

6 Xác định giá trị của 𝑎 ∈ ℝ để hệ sau có nghiệm không tầm thường

7 Cho hệ phương trình sau (với tham số m ) 1

 Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (ĐS: m 3)

Sơ đồ giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

Hệ có nghiệm duy nhất Có thể dùng công thức nghiệm Cramer hoăc dùng phương pháp Gauss det 𝐴 = 0 det 𝐴 ≠ 0

Từ điều kiện này nếu tìm được m thì thế ngược lại phương trình, dùng phương pháp Gauss để giải Nếu không tìm được m thì bắt buộc dùng 𝑟(𝐴), 𝑟(𝐴̅)

H ệ có vô s ố nghi ệ m ph ụ thu ộ c

𝑛 − 𝑟 tham số Dùng phương pháp Gauss giải r(𝐴) ≠ r(𝐴̅) r(𝐴) = r(𝐴̅) = 𝑟

Hệ luôn có ít nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường

Hệ có duy nhất một nghiệm tầm thường det 𝐴 = 0 det 𝐴 ≠ 0

Hệ có vô số nghiệm Từ đây tìm được m Dùng pp Gauss để giải

Dùng pp Gauss, đưa về hệ mới

H ệ có vô s ố nghi ệ m ph ụ thu ộ c 𝑛 − 𝑟(𝐴) tham số Dùng pp Gauss giải

Bài gi ả ng Toán cao c ấ p A1 Chương 3 – Không gian Vectơ

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vươ ng 53

Chương 3 – KHÔNG GIAN VECTƠ Đối tượng ban đầu của môn Đại số tuyến tính là việc giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính Tuy vậy, để có thể hiểu thấu đáo điều kiện đảm bảo cho một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm và cấu trúc nghiệm của nó, người ta đã đưa ra khái niệm không gian vectơ và khái niệm này đã trở thành một trong những trụ cột của môn Đại số tuyến tính Không gian vectơ sau đó đã được sử dụng phổ biến trong rất nhiều lĩnh vực của toán học Ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu một loại không gian vectơ phổ biến nhất là ℝ 𝒏

3.1 Khái niệm không gian vectơ ℝ 𝒏

3.1.1 Tậphợp ℝ 𝑛 a Định nghĩa tập hợp ℝ 𝑛

Một bộ gồm 𝑛số 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 có thứ tự được kí hiệu là (𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ) Tập hợp tất cả các bộ 𝑛 số có thứ tự được kí hiệu là ℝ 𝑛 Như vậy

Với hai phần tử 𝛼 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛), 𝛽 = (𝑏 1 , 𝑏2, … , 𝑏𝑛) ∈ ℝ 𝑛 Ta định nghĩa 𝛼 = 𝛽 khi và chỉ khi 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛.

Ví dụ 2: Xét ℝ 4 cho 𝛼 = (1, 𝑥 + 1, 2, −1), 𝛽 = (1, 2, 2, 𝑦 − 1) Tìm 𝑥, 𝑦 để 𝛼 = 𝛽 Đáp số: 𝑥 = 1, 𝑦 = 0.

Bộ 𝑛 số 0, (0, 0, … , 0), được gọi là phần tử không, kí hiệu là 𝜃.

Cho phần tử 𝛼 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) thì phần tử (−𝑎1, −𝑎2, … , −𝑎𝑛) được gọi là phần tử đối của 𝛼, kí hiệu −𝛼. b Hai phép toán

Xét ℝ 𝑛 và hai phần tử 𝛼 = (𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ), 𝛽 = (𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛 ) ∈ ℝ 𝑛 , 𝑘 ∈ ℝ Trong

ℝ 𝑛 ta xác định hai phép toán sau:

Ví dụ 3: Cho 𝛼 = (1, −1, 3), 𝛽 = (0, 2, −2) ∈ ℝ 3 Khi đó

3.1.2 Định nghĩa không gian vectơℝ 𝑛

Tập hợp ℝ 𝑛 cùng hai phép toán trên thỏa mãn 8 điều kiện đặc trưng sau:

1 Phép cộng có tính kết hợp: với mọi 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ 𝑛 thì 𝛼 + (𝛽 + 𝛾) = (𝛼 + 𝛽) + 𝛾.

2 Phép cộng có tính giao hoán: với mọi 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 𝑛 thì 𝛼 + 𝛽 = 𝛽 + 𝛼.

3 Phần tử không, 𝜃 có tính chất: với mọi 𝛼 ∈ ℝ 𝑛 thì 𝛼 + 𝜃 = 𝜃 + 𝛼 = 𝛼.

4 Với mọi 𝛼 ∈ ℝ 𝑛 phần tử đối – 𝛼 có tính chất:

5 Với mọi 𝑘 ∈ ℝ và mọi 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 𝑛 thì 𝑘(𝛼 + 𝛽) = 𝑘𝛼 + 𝑘𝛽.

6 Với mọi 𝑘, 𝑙 ∈ ℝ và mọi 𝛼 ∈ ℝ 𝑛 thì (𝑘 + 𝑙)𝛼 = 𝑘𝛼 + 𝑙𝛼.

7 Với mọi 𝑘, 𝑙 ∈ ℝ và mọi 𝛼 ∈ ℝ 𝑛 thì (𝑘𝑙)𝛼 = 𝑘(𝑙𝛼).

Khi đó ℝ 𝑛 được gọi là không gian vectơ trên trường ℝ (hoặc đơn giản là không gian vectơ (KGVT))

Hai điều kiện 5 và 6 thể hiện tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Trong không gian vector ℝ^n, mỗi phần tử được gọi là một vectơ.

3.1.3 Các tính chất cơ bản

1 Vectơ 𝜃 là duy nhất Với mỗi vectơ 𝛼 thì vectơ đối – 𝛼 cũng là duy nhất

2 Phép cộng có luật giản ước: với mọi 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ 𝑛 , nếu 𝛼 + 𝛽 = 𝛼 + 𝛾 thì 𝛽 = 𝛾.

3 Với mọi 𝑘 ∈ ℝ và mọi 𝛼 ∈ ℝ 𝑛 thì 𝑘𝜃 = 𝜃, 0𝛼 = 𝜃, (−1)𝛼 = −𝛼.

4 Với 𝑘 ∈ ℝ và 𝛼 ∈ ℝ 𝑛 mà 𝑘𝛼 = 𝜃 thì 𝑘 = 0 hoặc 𝛼 = 𝜃.

6 Với mọi 𝑘 ∈ ℝ và mọi 𝛼 ∈ ℝ 𝑛 thì (−𝑘)𝛼 = 𝑘(−𝛼) = −(𝑘𝛼).

3.2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

3.2.1 Định nghĩa tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính

Xét không gian vectơ ℝ 𝑛 , 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 là các vectơ của ℝ 𝑛 (còn gọi là hệ vectơ)

 Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 là một biểu thức có dạng

 Vectơ 𝛽 ∈ ℝ 𝑛 được gọi là biểu thị tuyến tính (BTTT) được qua hệ vectơ

𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 nếu tồn tại các số 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘 𝑛 ∈ ℝ sao cho

Tức là phương trình vectơ 𝑥1𝛼1+ 𝑥2𝛼2+ ⋯ + 𝑥𝑛𝛼𝑛 = 𝛽 có nghiệm

Ví dụ 4: Trong không gian vectơ ℝ 4 cho các vectơ

Khi đó 2𝛼 1 + 𝛼 2 − 𝛼 3 , 3𝛼 1 − 2𝛼 2 + 0𝛼 3 , 0𝛼 1 + 3𝛼 2 + 0𝛼 3 là các tổ hợp tuyến tính của các vectơ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛

Vì 𝛽 = 0𝛼 1 + 2𝛼 2 + 0𝛼 3 nên 𝛽 BTTT được qua hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 (chú ý là ta còn một biểu thị tuyến tính khác của 𝛽qua hệ vectơ𝛼 1 , … , 𝛼 𝑛 là 𝛽 = 𝛼 1 + 𝛼 2 + 𝛼 3 )

1 Một đẳng thức 𝛽 = 𝑘1𝛼1+ 𝑘2𝛼2+ ⋯ + 𝑘𝑛𝛼𝑛 được gọi là một biểu thị tuyến tính hay (tổ hợp tuyến tính) của 𝛽 qua các vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 Một vectơ có thể có nhiều biểu thị tuyến tính khác nhau qua một hệ vectơ

2 Ta nói hệ (𝛼 1 , 𝛼2, … , 𝛼𝑛) biểu thị tuyến tính được qua hệ (𝛽 1 , 𝛽2, … , 𝛽𝑚) nếu mỗi vectơ 𝛼 𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛, biểu thị tuyến tính được qua hệ (𝛽 1 , 𝛽 2 , … , 𝛽 𝑚 )

Ví dụ 5: Trong không gian vectơ ℝ 3 cho các vectơ

Để xác định xem vectơ 𝛽 = (−1, 2, 3) có bậc tuyến tính thông qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 hay không, ta cần kiểm tra tính khả thi của việc biểu diễn nó bằng tổ hợp tuyến tính của các vectơ này Tương tự, ta cũng cần xem xét vectơ 𝛽 khi sử dụng hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼4 Đối với vectơ 𝑢 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), cần tìm điều kiện để vectơ này có bậc tuyến tính thông qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 Cuối cùng, điều kiện để vectơ 𝑢 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) có bậc tuyến tính qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼4 cũng cần được xác định.

Bài giải a) Xét phương trình 𝑥 1 𝛼 1 + 𝑥 2 𝛼 2 + 𝑥 3 𝛼 3 = 𝛽 ⟺ {𝑥1+ 𝑥3 = −1

Do rank 𝐴 = rank 𝐴̅ nên hệ phương trình luôn có nghiệm Do đó vectơ 𝛽 BTTT qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 Hơn nữa ta tìm được 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = −1

Do đó 𝛽 = 0𝛼 1 + 3𝛼 2 − 𝛼 3 b) Xét phương trình 𝑥 1 𝛼 1 + 𝑥 2 𝛼 2 + 𝑥 3 𝛼 4 = 𝛽 ⟺ { 𝑥1+ 𝑥3 = −1

Do rank 𝐴 < rank 𝐴̅ nên hệ phương trình vô nghiệm Do đó vectơ 𝛽 không BTTT qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 c) Xét phương trình 𝑥 1 𝛼 1 + 𝑥 2 𝛼 2 + 𝑥 3 𝛼 3 = 𝑢 ⟺ {𝑥 1 + 𝑥 3 = 𝑎 1

Do rank 𝐴 = rank 𝐴̅ nên hệphương trình luôn có nghiệm Do đó vectơ 𝑢 luôn BTTT qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3. d) Xét phương trình 𝑥 1 𝛼 1 + 𝑥 2 𝛼 2 + 𝑥 3 𝛼 4 = 𝑢 ⟺ { 𝑥1+ 𝑥3 = 𝑎1

𝑢 biểu thị tuyến tính 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 khi và chỉ khi hệ phương trình trên có nghiệm, tức là rank 𝐴 = rank 𝐴̅ ⟺ 𝑎 3 − 2𝑎 1 + 𝑎 2 = 0 ⟺ 2𝑎 1 = 𝑎 2 + 𝑎 3

Nhận xét: Để xét vectơ 𝛽 có BTTT được qua hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 hay không trong

Để xác định tính khả thi của hệ phương trình tuyến tính, ta xây dựng ma trận 𝐴̅ với các cột là các vectơ 𝛼 1, 𝛼 2, …, 𝛼 𝑛 và bổ sung một cột với vectơ 𝛽 Sau đó, chúng ta tiến hành tính hạng của ma trận 𝐴 Nếu hạng của 𝐴 bằng hạng của 𝐴̅, điều này cho thấy vectơ 𝛽 là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 𝛼, và từ đó, chúng ta có thể tìm được đẳng thức biểu diễn, trong đó các hệ số của 𝛼 1, 𝛼 2, …, 𝛼 𝑛 chính là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính đã cho.

Ví dụ 6: Trong không gian vectơ ℝ 4 cho hệ vectơ

𝛼1 = (1, 1, 1, 1), 𝛼2 = (2, 3, −1, 0), 𝛼3 = (−1, −1, 1, 1), 𝛼4 = (1, 2, 1, −1) a) Vectơ 𝛽 = (1, 2, 2, 3) có BTTT qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 hay không? b) Tìm điều kiện đểvectơ 𝑢 = (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 )BTTT qua hệ vectơ𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 c) Tìm điều kiện để vectơ 𝑢 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4) BTTT qua hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4.

Do đó 𝛽 biểu thị tuyến tính 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 hơn nữa 𝛽 = 𝛼1+ 𝛼2+ 2𝛼3.

Bành Th ị H ồ ng - Bùi Hùng Vươ ng 57 b) 𝐴̅ = [

𝑢 biểu thị tuyến tính 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 khi và chỉ khi hệ phương trình trên có nghiệm, tức là rank 𝐴 = rank 𝐴̅ ⟺ 𝑎4− 𝑎3− 𝑎2+ 𝑎1 = 0 ⟺ 𝑎2+ 𝑎3 = 𝑎1+ 𝑎4. c) 𝐴̅ = [

Do rank 𝐴 = rank 𝐴̅ nên hệ phương trình luôn có nghiệm Do đó vectơ 𝑢 luôn BTTT qua hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 , 𝛼 4

Ví dụ 7: Trong không gian vectơ ℝ 3 cho hai hệ vectơ

Hệ (𝑈) có biểu thị tuyến tính được qua hệ (𝑉) hay không?

Ta lần lượt kiểm tra 3 phương trình vectơ sau có ngiệm hay không

Ta sẽ xét chung ma trận chia khối sau:

Vậy (𝑈) biểu thị tuyến tính được qua hệ (𝑉) Hơn nữa

3.2.2 Định nghĩa độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

Cho 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 là một hệ vectơ của ℝ 𝑛

 Hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 được gọi là hệ vectơphụ thuộc tuyến tính (PTTT) nếu tồn tại các số thực 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛 không đồng thời bằng 0 sao cho

Tức là phương trình vectơ 𝑥1𝛼1+ 𝑥2𝛼2+ ⋯ + 𝑥𝑛𝛼𝑛 = 𝜃 có nghiệm khác (0,0, … ,0)

 Hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 được gọi là hệ vectơđộc lậptuyến tính (ĐTTT) nếu nó không phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác hệ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 ĐLTT khi và chỉ khi:

Nếu 𝑘 1 𝛼 1 + 𝑘 2 𝛼 2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝛼 𝑛 = 𝜃 với 𝑘 𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑛 thì 𝑎 𝑖 = 0 với mọi 𝑖. Tức là phương trình vectơ 𝑥1𝛼1+ 𝑥2𝛼2+ ⋯ + 𝑥𝑛𝛼𝑛 = 𝜃 có nghiệm duy nhất là (0,0, … ,0).

Ví dụ 8: Trong không gian vectơ ℝ 4 hệ vectơ sau là ĐLTT hay PTTT?.

Bài giải Xét hệ phương trình vectơ 𝑥 1 𝛼 1 + 𝑥 2 𝛼 2 + 𝑥 3 𝛼 3 = 𝜃⟺ {

Do rank 𝐴 = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường (0,0,0)

Vậy hệ vectơ trên ĐLTT

Ví dụ 9: Trong không gian vectơ ℝ 3 Hệ vectơ sau là ĐLTT

Tổng quát: Trong không gian vectơ ℝ 𝑛 Hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính

Nhận xét: Để xét hệ 𝑚 vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑚 ĐLTT hay PTTT trong ℝ 𝑛 ta lập ma trận

𝐴 với các cột là các vectơ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑚 rồi tìm rank 𝐴 Nếu rank 𝐴 = 𝑚 (số vectơ) thì hệ ĐLTT, nếu rank 𝐴 < 𝑚 thì hệ PTTT

Nếu 𝐴 là ma trận vuông thì hệ vectơ ĐLTT khi và chỉ khi 𝐴 không suy biến

3.2.3 Các tính chất cơ bản

1 Hệ chứa vectơ 𝜃 luôn PTTT

2 Hệ gồm 1 vectơ PTTT khi và chỉ khi đó là vectơ 𝜃, hệ gồm 2 vectơ PTTT khi và chỉ khi 2 vectơ đó tỉ lệ

3 Nếu một hệ ĐLTT thì hệ con của nó cũng ĐLTT.

4 Một hệ chứa hệ con PTTT thì PTTT.

5 Hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 PTTT khi và chỉ khi có một vectơ có một vectơ trong hệ biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ

6 Nếu hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 ĐLTT thì hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 , 𝛽 ĐLTT khi và chỉ khi 𝛽 không biểu thị tuyến tính được qua hệ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛

3.2.4 Hạng của một hệ vectơ a Hệ vectơtương đương

Trong không gian vectơ ℝ 𝑛 , cho hai hệ vectơ (𝛼) 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 và (𝛽) 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛

Ta nói hệ (𝛼) tương đương với hệ (𝛽), kí hiệu (𝛼)~(𝛽), nếu (𝛼) BTTT được qua hệ (𝛽) và ngược lại

Ví dụ 10: Trong không gian vectơ ℝ 3 , xét hai hệ vectơ

Khi đó (𝛼)~(𝛽) b Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ vectơ

Trong không gian vectơ ℝ 𝑛, một hệ vectơ (𝛼) gồm các vectơ 𝛼 1, 𝛼 2, …, 𝛼 𝑛 có thể có một hệ con 𝛼 𝑖 1, 𝛼 𝑖 2, …, 𝛼 𝑖 𝑚 được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đa Hệ con này được xác định khi các vectơ 𝛼 𝑖 1, 𝛼 𝑖 2, …, 𝛼 𝑖 𝑚 là độc lập tuyến tính (ĐLTT) và mọi vectơ 𝛼 𝑖 trong hệ (𝛼) đều có thể được biểu diễn như tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ con này.

Một hệ vectơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại, và những hệ con này tương đương với hệ vectơ ban đầu Hạng của một hệ vectơ được xác định bởi số lượng các vectơ độc lập tuyến tính tối đại trong nó.

Bổ đề về sự độc lập tuyến tính trong không gian vectơ ℝ 𝑛 cho biết rằng, nếu hai hệ vectơ (𝛼) gồm các vectơ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 và (𝛽) gồm các vectơ 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑚, trong đó hệ (𝛼) là độc lập tuyến tính và bậc tự do thì số lượng vectơ n trong hệ (𝛼) không được vượt quá số lượng vectơ m trong hệ (𝛽), tức là n ≤ m.

Từ bổ đề trên suy ra ngay hai hệ vectơ ĐLTT tương đương thì có số vectơ bằng nhau

Hệ (𝛼) có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau, nhưng tất cả đều tương đương và có số vectơ bằng nhau Số vectơ này được gọi là hạng của hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛, kí hiệu rank {𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 } Do đó, rank {𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 } chính là số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 Để tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ vectơ trong ℝ 𝒏, cần áp dụng các phương pháp xác định tính độc lập tuyến tính và xác định số lượng vectơ tối đa trong hệ.

𝛼 𝑚 = (𝑎 𝑚1 , 𝑎 𝑚2 , … , 𝑎 𝑚𝑛 ). Để tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑚 ta làm như sau:

 Lập ma trận 𝐴 là ma trận dòng của các vectơ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑚

 Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa ma trận 𝐴 về dạng bậc thang Khi đó rank {𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 } = rank 𝐴.

Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑚 gồm các vectơ ứng với các dòng khác không của ma trận bậc thang.

Ví dụ 11: Trong không gian vectơ ℝ 5 cho hệ vectơ

Tìm một hệ con độc độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ vectơ trên

Hệ con ĐLTT tối đại của 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4 là {𝛼1, 𝛼2, 𝛼4} (có thể ra kết quả {𝛼1, 𝛼3, 𝛼4})

3.3 Không gian vectơ con, cơ sở và số chiều

3.3.1 Định nghĩa và các ví dụ a Định nghĩa

Tập con 𝐿 (khác 𝜙) của ℝ 𝑛 được gọi là không gian vectơ con của ℝ 𝑛 nếu thỏa hai điều kiện sau:

2 Với mọi 𝑘 ∈ ℝ và mọi 𝑥 ∈ 𝐿 thì 𝑘𝑥 ∈ 𝐿.

Điều kiện 1 được gọi là đóng kín đối với phép cộng, trong khi điều kiện 2 được gọi là đóng kín đối với phép nhân vô hướng Hai điều kiện này tương đương với một điều kiện khác.

Với mọi 𝑘, 𝑙 ∈ ℝ và mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 thì 𝑘𝑥 + 𝑙𝑦 ∈ 𝑈. b Các ví dụ

1 {𝜃} và ℝ 𝑛 là các không gian vectơ con của ℝ 𝑛 Được gọi là không gian vectơ con tầm thường của ℝ 𝑛

2 Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (𝑛 phương trình 𝑛 ẩn) là không gian vectơ con của ℝ 𝑛

3 Tập 𝐴 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎 1 + 𝑎2+ ⋯ + 𝑎𝑛 = 0} ⊆ ℝ 𝑛 là không gian vectơ con của ℝ 𝑛 Tập 𝐵 = {(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 )|𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 ≥ 0} ⊆ ℝ 𝑛 không là không gian vectơ con của ℝ 𝑛

3.3.1 Cơ sở, số chiều của không gian vectơ con

Cho 𝐿 là không gian vectơ con của ℝ 𝑛 và hệ vectơ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑚 của 𝐿.

 Hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑚 được gọi là một hệ sinh của 𝐿 nếu mọi vectơ của 𝐿 đều BTTT được qua hệ 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑚

Hệ vectơ 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑚 được gọi là một cơ sở của 𝐿 nếu nó là hệ sinh của 𝐿 và là hệ ĐLTT

Hai cơ sở bất kỳ của không gian vector 𝐿 đều tương đương và tuân theo định lý cơ sở, do đó chúng có số vectơ bằng nhau Số vectơ này được gọi là số chiều của 𝐿, được ký hiệu là dim 𝐿 Do đó, dim 𝐿 bằng số vectơ của một cơ sở bất kỳ của 𝐿.

Nếu 𝐿 = {𝜃} ta quy ước dim 𝐿 = 0 Nếu dim 𝐿 = 𝑚 ta có thể gọi 𝐿 là không gian vectơ con 𝑚 chiều

Ví dụ 12: Hệ vectơ 𝛼1= (1,0,0), 𝛼2 = (0,1,0), 𝛼3 = (0,0,1) là một cơ sở của ℝ 3

Do đó dim ℝ 3 = 3 Bạn đọc thử kiểm tra hệ sau cũng là một cơ sở của ℝ 3

Tổng quát: Xét không gian vectơ ℝ 𝑛 Hệ vectơ

Tiêu đề	Bài Giảng Toán Cao Cấp A1
Tác giả	GVC. Ths. Bành Thị Hồng, Ths. Bùi Hùng Vương
Trường học	Trường Đại Học Nguyễn Tất Thành
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Thành Phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	110
Dung lượng	1,55 MB