ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ NGUYỄN THÚY HẰNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Trương Công Quỳnh Đà Nẵng, 2020 i LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo PGS.TS Trương Công Quỳnh, cảm ơn lời động viên, nhắc nhở Thầy suốt trình hướng dẫn khoa học cho Thầy giúp vượt qua khó khăn để hồn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q Thầy - Cơ giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Khóa K36 trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng toàn thể thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tơi suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định nghĩa 1.2 Một số tính chất khác Chương Các phương pháp tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ 2.1 2.2 Phương pháp bất đẳng thức 2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski: 16 2.1.3 Bất đẳng thức trị tuyệt đối: 22 Phương pháp đạo hàm 22 2.2.1 Dạng 1: Tìm – max cách đạo hàm trực tiếp 23 2.2.2 Dạng 2: Đặt ẩn phụ, sau tìm đạo hàm 25 2.2.3 Dạng 3: Dùng phép đạo hàm 27 2.2.4 Dạng 4: Dồn biến cách chặn chặn 30 2.3 Phương pháp lượng giác hóa 32 2.4 Phương pháp phản chứng 35 2.5 Phương pháp hệ số bất định 37 Chương Ứng dụng giá trị lớn - giá trị nhỏ vào giải toán 3.1 Ứng dụng vào việc giải biện luận phương trình, bất phương trình 3.2 40 40 Ứng dụng vào số toán thực tế 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 MỞ ĐẦU Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hay tìm cực trị biểu thức có từ lâu, ln xuất lĩnh vực toán học Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn tìm giá trị lớn nhỏ trải dài hầu hết cấp học, có mặt tất mơn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học Lượng giác Đặc biệt kỳ thi Đại học, học sinh giỏi Quốc gia quốc tế thường có xác định cực trị biểu thức Bởi tốn tìm giá trị lớn nhỏ toán nhiều người quan tâm nghiên cứu Các tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có vị trí xứng đáng chương trình dạy học tốn khối THPT Các tốn tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức phong phú, đa dạng, địi hỏi người làm tốn vận dụng kiến thức hợp lý, đơi cịn phải sáng tạo Hơn nữa, toán xác định giá trị lớn nhỏ liên quan đến đánh giá, tìm chặn xét xem biểu thức có tính chất đạt cực trị Chính thế, phương pháp xác định giá trị lớn hay nhỏ biểu thức thiết thực người làm toán quan tâm nghiên cứu Việc tìm phương pháp giải giá trị lớn nhất, nhỏ việc xây dựng ứng dụng thực tiễn niềm say mê khơng người, đặc biệt người trực tiếp giảng dạy mơn Tốn Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, chọn đề tài “ Giá trị lớn - giá trị nhỏ số ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng luận văn Những kết tham khảo từ tài liệu [2, 3, 5, 1, 8, 6, 7] 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số y = f (x) với TXĐ D Giá trị lớn (GTLN): M gọi giá trị lớn hàm số f (x) f (x) ≤ M, ∀x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f (x0 ) = M Ký hiệu M = max f (x) x∈D Giá trị nhỏ (GTNN): m gọi giá trị nhỏ f (x) f (x) ≥ m, ∀x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f (x0 ) = m Ký hiệu M = f (x) x∈D Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số y = f (x) với TXĐ D Hàm số y = f (x) gọi đồng biến D, nếu: ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến D, nếu: ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Các khẳng định sau suy trực tiếp từ định nghĩa Điều cho ta cách chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến ❼ Hàm số y = f (x) đồng biến D khi: f (x1 ) − f (x2 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ D, x1 = x2 x1 − x2 ❼ Hàm số y = f (x) nghịch biến D khi: f (x1 ) − f (x2 ) < 0, ∀x1 , x2 ∈ D, x1 = x2 x1 − x2 Điều kiện cần để hàm số (có đạo hàm) đồng biến, nghịch biến Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm D ❼ Nếu y = f (x) đồng biến D ⇒ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ D ❼ Nếu y = f (x) nghịch biến D ⇒ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm D ❼ Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ D ⇒ hàm số y = f (x) đồng biến D ❼ Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ D ⇒ hàm số y = f (x) nghịch biến D Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) ❼ Hàm số y = f (x) liên tục x0 ∈ (a; b) lim (f (x)) = f (x0 ) x→x0 ❼ Hàm số y = f (x) liên tục khoảng (a; b) f (x) liên tục điểm thuộc (a; b) ❼ Hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a; b] f (x) liên tục khoảng (a; b), lim+ f (x) = f (a), lim− f (x) = f (b) x→a x→b Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) f (x) − f (x0 ) x0 ∈ (a; b) Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số x → x0 x − x0 gọi đạo hàm hàm số cho x0 , kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 ) Như vậy: f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 f (x0 ) = lim KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu giá trị lớn nhất, nhỏ số ứng dụng, luận văn hoàn thành đạt kết cụ thể sau: Trình bày khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ liệt kê số phương pháp thường dùng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Trình bày cách chi tiết phương pháp dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nêu luận văn ví dụ minh họa Nêu số ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ vào giải tốn số ví dụ minh họa Từ kiến thức thu nhận thông qua luận văn, kết hợp với việc giảng dạy thực tế, dự định nghiên cứu sâu cho trường hợp nâng cao giá trị lớn nhất, nhỏ toán học 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình (2007), Nâng cao phát triển tốn 9, NXB Giáo Dục [2] Dỗn Minh Cương (2003), Tốn ôn thi đại học, NXB Đại Học Sư Phạm [3] Hồng Chúng (1993), Các tốn cực trị, NXB Giáo Dục [4] Lê Hồng Đức (2002), Phương pháp giải dạng toán THPT - Bất đẳng thức, giá trị lớn nhỏ nhất, NXB Giáo Dục [5] Trần Văn Hạo (2005), Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào đại học, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Thái Hòe (2004), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXB Giáo Dục [7] Phan Huy Khải (1995) Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, NXB Giáo dục [8] Phạm Trọng Thư ( 2007), Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đại số, NXB Đại Học Sư Phạm 54 DAI HOC DA NANG TRUONG DAI HOC " su PHAM S6: b-S/QD-DHSP CQNG HoA XA HQI CHU NGHiA Vq:T NAM DQc I~p - Tl}'do - Hanh plnic Da NJng, I7f thang ii ndm J{[j QUYETDJNH V~ vi~c giao d~ h\i va trach nhi~m hU'Ongdin lu~n van thac si ~UTRUONGTRUaNGD~IHQCSUPB4M Can c~ Nghi dinh s6 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phu v~ viec l~p D